2024高考数学思想方法与策略专题01函数与方程思想.doc

2024高考数学思想方法与策略专题函数与方程的思想一、【高考真题感悟】已知函数f(x)若f(f(0)4a，则实数a_.解析f(f(0)f(2)42a，42a4a，a2.考题分析本小题考查了函数与方程的有关内容，体现了函数与方程的转化，突出了函数与方程思想的应用易错提醒(1)函数是分段函数，在求函数值时，注意自变量所在区间(2)准确构建方程，计算要正确二、思想方法概述函数与方程是中学数学的重要概念，它们之间有着密切的联系函数与方程的思想是中学数学的基本思想，主要依据题意，构造恰当的函数，或建立相应的方程来解决问题，是历年高考的重点和热点1函数的思想用运动和变化的观点，集合与对应的思想分析和研究具体问题中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题使问题获得解决函数思想是对函数概念的本质认识4函数与方程的思想在解题中的应用(1)函数与不等式的相互转化，对函数yf(x)，当y>0时，就化为不等式f(x)>0，借助于函数的图象和性质可解决有关问题，而研究函数的性质也离不开不等式(2)数列的通项与前n项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点去处理数列问题十分重要(3)解析几何中的许多问题，需要通过解二元方程组才能解决这都涉及二次方程与二次函数的有关理论(4)立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决，建立空间直角坐标系后，立体几何与函数的关系更加密切三、热点分类突破题型一函数与方程思想在求最值或参数范围中的应用例1已知实数a>b>c，abc1，a2b2c21，求ab与a2b2的范围解由abc1可得ab1c.由a2b2c21可得(ab)22abc210即(1c)22abc210故abc2c，且ab1c.构造一个一元二次方程x2(1c)xc2c0，a，b是该方程的两个不相等的根，且两根都大于c，令f(x)x2(1c)xc2c，(二次函数根的分布)则图象与x轴有两个交点且都在(c，)内的充分必要条件：解得：<c<0所以，1<1c<，<1c2<1即ab，a2b2.探究提高 (1)求字母(式子)的值的问题往往要根据题设条件构建以待求字母(式子)为元的方程(组)，然后由方程(组)求得(2)求参数的取值范围是函数、方程、不等式、数列、解析几何等问题中的重要问题，解决这类问题一般有两种途径：其一，充分挖掘题设条件中的不等关系，构建以待求字母为元的不等式(组)求解；其二，充分应用题设中的等量关系，将待求参数表示成其他变量的函数，然后，应用函数知识求值域(3)当问题中出现两数积与这两数和时，是构建一元二次方程的明显信息，构造方程后再利用方程知识可使问题巧妙解决.(4)当问题中出现多个变量时，往往要利用等量关系去减少变量的个数，如最后能把其中一个变量表示成关于另一个变量的表达式，那么就可用研究函数的方法将问题解决变式训练1 a、b是正数，且满足abab3，求ab的取值范围解方法一(看成函数的值域)abab3，a1，b，而b>0，>0，即a>1或a<3，又a>0，a>1，故a1>0.aba·(a1)59.当且仅当a1，即a3时取等号又a>3时，(a1)5是关于a的单调增函数ab的取值范围是9，)方法二(看成不等式的解集)a，b为正数，ab2，又abab3，ab23.即()2230，解得3或1(舍去)，ab9.ab的取值范围是9，)方法三若设abt，则abt3，a，b可看成方程x2(t3)xt0的两个正根从而有，即，解得t9，即ab9.ab的取值范围是9，) 题型二函数与方程思想在方程问题中的应用例2如果方程cos2xsin xa0在(0，上有解，求a的取值范围思维启迪 可分离变量为acos2xsin x，转化为确定的相关函数的值域解方法一把方程变形为acos2xsin x.设f(x)cos2xsin x(x(0，)显然当且仅当a属于f (x)的值域时，af(x)有解f (x)(1sin2x)sin x(sin x)2，且由x (0，知sin x (0,1易求得f (x)的值域为(1,1故a的取值范围是(1,1方法二令tsin x，由x (0，可得t (0,1将方程变为t2t1a0.依题意，该方程在(0,1上有解设f(t)t2t1a.其图象是开口向上的抛物线，对称轴t，如图所示因此f (t)0在(0,1上有解等价于，即，1<a1.故a的取值范围是(1,1探究提高 研究此类含参数的三角、指数、对数等复杂方程解的问题，通常有两种处理思路:一是分离参数构建函数，将方程有解转化为求函数的值域；二是换元，将复杂方程问题转化为熟悉的二次方程，进而利用二次方程解的分布情况构建不等式或构造函数加以解决题型三函数与方程思想在不等式问题中的应用例3已知f (t)log2t，t ，8，对于f(t)值域内的所有的实数m，不等式x2mx4>2m4x恒成立，求x的取值范围思维启迪 求f(t)的值域变更主元，将m看作主元构造g(m)m(x2)x24x4.解t，8，f(t)，从而m，原题可转化为m(x2)(x2)2>0恒成立当x2时，不等式不成立x2，令g(m)m(x2)(x2)2为m的一次函数问题转化为g(m)在m上恒大于0.解得x>2或x<1.故x的取值范围是(，1)(2，)探究提高 在解决不等式恒成立问题时，一种最重要的思想方法就是构造适当的函数，利用函数的图象和性质解决问题同时要注意在一个含多个变量的数学问题中，需要确定合适的变量和参数，从而揭示函数关系，使问题更明朗化，一般地，已知存在范围的量为变量，而待求范围的量为参数题型四函数与方程思想在解决优化问题中的应用例4 若点O和点F分别为椭圆1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则·的最大值为_解由题意，得F(1,0)，设点P(x0，y0)，则有1，解得y3.因为(x01，y0)，(x0，y0)，所以·x0(x01)yx0(x01)3x03，此二次函数对应的抛物线的对称轴为x02因为-2x02，所以当x02时，·取得最大值236.探究提高 解析几何、立体几何及其实际应用等问题中的最优化问题，一般利用函数思想来解决，思路是先选择恰当的变量建立目标函数，再用函数的知识来解决变式训练4 如图所示，在单位正方体ABCDA1B1C1D1的面对角线A1B上存在一点P，使得APD1P最短，则APD1P的最小值为_解设A1Px，则在AA1P中，AP，在RtD1A1P中，D1P.yAPD1P，下面求对应的函数y的最小值将函数y变形，得y，它表示平面直角坐标系中，在x轴上存在一点P(x,0)，它到点M 与到点N(0，1)的距离之和最小，当P、M、N三点共线时，这个值最小，则为.四、规律方法总结1借助有关函数的性质，一是用来解决有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题，二是在问题的研究中，可以通过建立函数关系式或构造中间函数来求解2许多数学问题中，一般都含有常量、变量或参数，这些参变量中必有一个处于突出的主导地位，把这个参变量称为主元，构造出关于主元的方程，主元思想有利于回避多元的困扰，解方程的实质就是分离参变量五、经典练习1已知圆x2y22x4y10关于直线2axby20(a，b R)对称，则ab的取值范围是_2对于满足0p4的实数p，使x2px>4xp3恒成立的x的取值范围是_数形结合的思想一、高考真题感悟已知函数f (x) 若a，b，c互不相等，且f (a)f (b)f (c)，则abc的取值范围是_解：画出函数f (x)的图象，如下图所示：由图象知，要使f (a)f (b)f (c)，不妨设a<b<c，则lg alg bc6.lg alg b0，ab1，abcc.由图知10<c<12，abc(10,12)考题分析本小题考查了分段函数的特征及性质、对数函数及其运算重点考查了解决问题的方法即数形结合的思想方法体现了对知识和能力的双重考查易错提醒(1)找不到问题解决的突破口，即想不到用数形结合(2)f(x)的图象的特征不清，忽视对(1,0)和(10,1)这两个特殊点的分析(3)不会借助图形进行分析二、思想方法概述1数形结合的数学思想：包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：一是借助形的生动性和直观性来阐明数之间的联系，即以“形”作为手段，“数”作为目的，比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质；二是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以“数”作为手段，“形”作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质2运用数形结合思想分析解决问题时，要遵循三个原则：(1)等价性原则在数形结合时，代数性质和几何性质的转换必须是等价的，否则解题将会出现漏洞有时，由于图形的局限性，不能完整的表现数的一般性，这时图形的性质只能是一种直观而浅显的说明，要注意其带来的负面效应(2)双方性原则既要进行几何直观分析，又要进行相应的代数抽象探求，仅对代数问题进行几何分析容易出错(3)简单性原则不要为了“数形结合”而数形结合具体运用时，一要考虑是否可行和是否有利；二要选择好突破口，恰当设参、用参、建立关系、做好转化；三要挖掘隐含条件，准确界定参变量的取值范围，特别是运用函数图象时应设法选择动直线与定二次曲线3数形结合思想解决的问题常有以下几种：(1)构建函数模型并结合其图象求参数的取值范围；(2)构建函数模型并结合其图象研究方程根的范围；(3)构建函数模型并结合其图象研究量与量之间的大小关系；(4)构建函数模型并结合其几何意义研究函数的最值问题和证明不等式；(5)构建立体几何模型研究代数问题；(6)构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题；(7)构建方程模型，求根的个数；(8)研究图形的形状、位置关系、性质等4数形结合思想是解答高考数学试题的一种常用方法与技巧，特别是在解填空题时发挥着奇特功效，这就要求我们在平时学习中加强这方面的训练，以提高解题能力和速度具体操作时，应注意以下几点：(1)准确画出函数图象，注意函数的定义域；(2)用图象法讨论方程(特别是含参数的方程)的解的个数是一种行之有效的方法，值得注意的是首先要把方程两边的代数式看作是两个函数的表达式(有时可能先作适当调整，以便于作图)，然后作出两个函数的图象，由图求解5在运用数形结合思想分析问题和解决问题时，需做到以下四点：(1)要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征；(2)要恰当设参，合理用参，建立关系，做好转化；(3)要正确确定参数的取值范围，以防重复和遗漏；(4)精心联想“数”与“形”，使一些较难解决的代数问题几何化，几何问题代数化，以便于问题求解三、热点分类突破题型一数形结合思想在解决方程的根、不等式解集问题中的应用例1(1)设函数f(x)若f(4)f(0)，f(2)2，则函数yg(x)f(x)x的零点个数为_(2)使log2(x)<x1成立的x的取值范围是_解(1)由f(4)f(0)得164bcc.由f(2)2，得42bc2.联立两方程解得：b4，c2.于是，f(x)在同一直角坐标系内，作出函数yf(x)与函数yx的图象，知它们有3个交点，进而函数亦有3个零点(2)在同一坐标系中，分别作出ylog2(x)，yx1的图象，由图可知，x的取值范围是(1,0)变式训练1 已知定义在R上的奇函数f (x)满足f (x4)f (x)，且在区间0,2上是增函数，若方程f (x)m (m>0)在区间8,8上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1x2x3x4_.解函数在0,2上是增函数，由函数f(x)为奇函数，可得f(0)0，函数图象关于坐标原点对称，这样就得到了函数在2,2上的特征图象，由f(x4)f(x)f(4x)f(x)，故函数图象关于直线x2对称，这样就得到了函数在2,6上的特征图象，根据f(x4)f(x)可得 f(x8)f(x4)f(x)，函数以8为周期，即得到了函数在一个周期上的特征图象，就不难根据周期性得到函数在8,8上的特征图象(如图所示)，根据图象不难看出方程f(x)m (m>0)的四个根中，有两根关于直线x2对称，另两根关于直线x6对称，故四个根的和为2×(6)2×28.题型二数形结合思想在求参数、代数式取值范围问题中的应用例2已知函数f(x)若函数g(x)f(x)m有3个零点，则实数m的取值范围为_思维启迪 作出分段函数f(x)的图象，观察图象与ym的交点个数解函数f(x)画出其图象如图所示又由函数g(x)f(x)m有3个零点，知yf(x)与ym有3个交点，则实数m的取值范围是(0,1)探究提高 解决函数的零点问题，通常是转化为方程的根，进而转化为函数的图象的交点问题在解决函数图象的交点问题时，常用数形结合，以“形”助“数”，直观简洁变式训练2 若不等式logax>sin 2x (a>0，a1)对任意x都成立，则a的取值范围为_解记y1logax，y2sin 2x，原不等式相当于y1>y2，作出两个函数的图象，如图所示，知当y1logax过点A时，a，所以当<a<1时，x都有y1>y2.题型三数形结合思想在求几何量中最值问题中的应用例3 已知P是直线3x4y80上的动点，PA、PB是圆x2y22x2y10的两条切线，A、B是切点，C是圆心，求四边形PACB面积的最小值思维启迪 在同一坐标系中画出直线与圆作出圆的切线PA、PB，则四边形PACB的面积S四边形PACBSPACSPBC2SPAC.把S四边形PACB转化为2倍的SPAC可以有以下多条数形结合的思路解方法一从运动的观点看问题，当动点P沿直线3x4y80向左上方或向右下方无穷远处运动时，直角三角形PAC的面积SRtPACPA·ACPA越来越大，从而S四边形PACB也越来越大；当点P从左上、右下两个方向向中间运动时，S四边形PACB变小，显然,当点P到达一个最特殊的位置，即CP垂直直线时，S四边形PACB应有唯一的最小值，此时PC3，从而PA2.(S四边形PACB)min2××PA×AC2.方法二利用等价转化的思想，设点P的坐标为(x，y)，则PC，由勾股定理及AC1，得PA，从而S四边形PACB2SPAC2·PA·ACPA，从而欲求S四边形PACB的最小值，只需求PA的最小值，只需求PC2(x1)2(y1)2的最小值，即定点C(1,1)与直线上动点P(x，y)距离的平方的最小值，它也就是点C(1,1)到直线3x4y80的距离的平方，这个最小值d2()29，(S四边形PACB)min2.方法三利用函数思想，将方法二中S四边形PACB中的y由3x4y80解出，代入化为关于x的一元二次函数，进而用配方法求最值，也可得(S四边形PACB)min2.探究提高 本题的解答运用了多种数学思想方法:数形结合思想，运动变化的思想，等价转化的思想以及函数思想，灵活运用数学思想方法，能使数学问题快速得以解决变式训练3 圆C的方程为(x2)2y24，圆M的方程为(x25cos )2(y5sin )21 (R)过圆M上任意一点P作圆C的两条切线PE、PF，切点分别为E、F，则·的最小值是_解由题意，可知圆心M (25cos ，5sin )，设则可得圆心M的轨迹方程为(x2)2y225，如下图所示：由图分析可知，只有当P、M、C三点共线时，才能够使·最小,此时PC4,EC2,则PEPF2，且EPF2EPC2×30°60°，故·(2)2×cos 60°6.四、规律方法总结1利用数形结合解题，只需把图象大致形状画出即可，不需要精确图象2数形结合思想是解决高考数学试题的一种常用方法与技巧，特别在解填空题时更方便，可以提高解题速度3数形结合思想常用模型：一次、二次函数图象；斜率公式；两点间的距离公式(或向量的模、复数的模)；点到直线的距离公式等五、经典练习1函数f(x)()xsin x在区间0,2上的零点个数为_2已知函数f(x)，若方程f(x)loga(x2) (0<a<1)有且只有两个不同的实根，则实数a的取值范围是_分类讨论的思想一、高考真题感悟已知函数f(x)3ax42(3a1)x24x.(1)当a时，求f(x)的极值；(2)若f(x)在(1,1)上是增函数，求a的取值范围解(1)f(x)4(x1)(3ax23ax1)当a时，f(x)2(x2)(x1)2，f(x)在(，2)内单调递减，在(2，)内单调递增，当x2时，f(x)有极小值，f(x)的极小值是f(2)12.(2) 在(1,1)上，f(x)是增函数当且仅当f(x)4(x1)(3ax23ax1)0，即3ax23ax10. a当a0时，恒成立b当a0时，若要成立， 则需3a·123a·110，解得a.c当a0时，若要成立，则需3a210，即10，解得a.综上，a的取值范围是.考题分析本题考查了函数导数的求法、函数极值的求法，考查了由函数单调性求参数范围的方法，考查了分类讨论的数学思想方法本题的核心是考查考生利用分类讨论的思想解决问题的能力易错提醒(1)f(x)0的根x1并不是函数f(x)的极值点考生易忽视对极值点的判断(2)不能将f(x)在(1,1)上单调递增转化为不等式进行研究(3)忽视分类讨论或讨论不到位是本题出错的关键二、思想方法概述1分类讨论的思想是一种重要的数学思想方法其基本思路是将一个较复杂的数学问题分解(或分割)成若干个基础性问题，通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略对问题实行分类与整合，分类标准等于增加一个已知条件，实现了有效增设，将大问题(或综合性问题)分解为小问题(或基础性问题)，优化解题思路，降低问题难度2分类讨论的常见类型(1)由数学概念引起的分类讨论：有的概念本身是分类的，如绝对值、直线斜率、指数函数、对数函数等(2)由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论：有的数学定理、公式、性质是分类给出的，在不同的条件下结论不一致，如等比数列的前n项和公式、函数的单调性等(3)由数学运算要求引起的分类讨论：如除法运算中除数不为零，偶次方根为非负，对数真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等式两边同乘以一个正数、负数，三角函数的定义域等(4)由图形的不确定性引起的分类讨论：有的图形类型、位置需要分类：如角的终边所在的象限；点、线、面的位置关系等(5)由参数的变化引起的分类讨论：某些含有参数的问题，如含参数的方程、不等式，由于参数的取值不同会导致所得结果不同，或对于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法(6)由实际意义引起的讨论：此类问题在应用题中，特别是在解决排列、组合中的计数问题时常用3分类讨论的原则(1)不重不漏(2)标准要统一，层次要分明(3)能不分类的要尽量避免或尽量推迟，决不无原则地讨论4解分类问题的步骤(1)确定分类讨论的对象：即对哪个变量或参数进行分类讨论(2)对所讨论的对象进行合理的分类(3)逐类讨论：即对各类问题详细讨论，逐步解决(4)归纳总结：将各类情况总结归纳三、热点分类突破题型一根据数学概念分类讨论例1.已知二次函数yg(x)的导函数的图象与直线y2x平行,且yg(x)在x1处取得极小值m1 (m0)设f(x).(1)若曲线yf(x)上的点P到点Q(0,2)的距离的最小值为，求m的值；(2)k (k R)如何取值时，方程f(x)kx0有解，并求出该方程的解解(1)依题可设g(x)a(x1)2m1 (a0)，则g(x)2a(x1)2ax2a，又g(x)的图象与直线y2x平行，2a2，a1，g(x)(x1)2m1x22xm，f(x)x2.设P(x0，y0)，则PQ2x(y02)2x22x2m22m2|m|2m，当且仅当2x时，PQ2取最小值，即PQ取得最小值.当m>0时，解得m1；当m<0时，解得m1.(2)由yf(x)kx(1k)x20 (x0)，得(1k)x22xm0(*)当k1时，方程(*)有一解x；当k1时，方程(*)有两解44m(1k)>0，当m>0，k>1或者m<0，k<1时，方程f(x)kx0有两解x；当k1时，方程(*)有一解44m(1k)0，k1，方程f(x)kx0，有一解xm.综上，当k1时，方程f(x)kx0有一解x；当k>1 (m>0)，或k<1 (m<0)时，方程f(x)kx0有两解x；当k1时，方程f(x)kx0有一解xm.探究提高 本题有两次运用了数学概念进行分类，一次是根据绝对值的概念，另一次是根据一元二次方程的概念，要注意的是不能见到形如(*)式这样的方程就认定它是一元二次方程，要根据系数是否为零进行分类探究题型二根据公式、定理、性质的条件分类讨论例2.设等比数列an的公比为q，前n项和Sn>0 (n1，2，3)(1)求q的取值范围；(2)设bnan2an1，记bn的前n项和为Tn，试比较Sn与Tn的大小思维启迪 (1)根据条件列出关于q的不等式，注意分类讨论(2)能否判断bn为特殊数列进而求和作差、作商比较大小解(1)an是等比数列，Sn>0，可得a1S1>0，q0，当q1时，Snna1>0；当q1时，Sn>0，即>0 (n1,2,3，)，上式等价于(n1,2,3，)或(n1,2,3，)，解式得q>1；解式，由于n可为奇数、可为偶数，故1<q<1.综上，q的取值范围是(1,0)(0，)(2)由bnan2an1，得bnan，TnSn，于是TnSnSnSn(q2)又因为Sn>0且1<q<0或q>0，所以当1<q<或q>2时，TnSn>0，即Tn>Sn；当<q<2且q0时，TnSn<0，即Tn<Sn；当q或q2时，TnSn0，即TnSn.探究提高 本题以等比数列为载体，涉及了分类讨论和大小比较的问题，综合性较强，应用了不等式的解法和比较大小的基本方法作差比较法同时含有字母q，一般要进行分类讨论，要特别注意等比数列求和公式在应用时一定要分q1和q1讨论 .题型三根据变量式参数的取值情况分类讨论例3 已知函数f(x)ax3x21(xR)，其中a>0.(1)若a1，求曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程；(2)若在区间，上，f(x)>0恒成立，求a的取值范围解(1) 当a1时，f(x)x3x21，f(2)3.f(x)3x23x，f(2)6，所以曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程为y36(x2)，即y6x9.(2) f(x)3ax23x3x(ax1)令f(x)0，解得x0或x.若0<a2，则.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：当x，时，f(x)>0等价于即解不等式组得5<a<5.因此0<a2.若a>2，则0<<.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：当x，时，f(x)>0等价于即解不等式组得<a<5或a<.因此2<a<5.综合，可知a的取值范围为0<a<5.题型四根据图形位置或形状变化分类讨论例4.有四根长都为2的直铁条，若再选两根长都为a的直铁条，使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个三棱锥形的铁架，则a的取值范围是_解根据条件，四根长为2的直铁条与两根长为a的直铁条要组成三棱锥形的铁架，有以下两种情况：(1)底面是边长为2的正三角形，三条侧棱长为2，a，a，如图(1)，此时a可以取最大值，可知AD，SD，则有<2，即a2<84()2，即有a<，又2a>2，1<a<； (2)构成三棱锥的两条对角线长为a，其他各边长为2，如图(2)，此时a>0且a<4，即0<a<4.综上分析可知a(0,4)探究提高 涉及几何问题时，由于几何元素的形状、位置变化的不确定性，需要根据图形的特征进行分类讨论四、规律方法总结分类讨论思想的本质是“化整为零，积零为整”用分类讨论的思维策略解数学问题的操作过程：明确讨论的对象和动机确定分类的标准逐类进行讨论归纳综合结论检验分类是否完备(即分类对象彼此交集为空集，并集为全集)做到“确定对象的全体，明确分类的标准，分类不重复、不遗漏”的分析讨论五、经典练习1等比数列an中，a37，前3项之和S321，则公比q的值是_2已知a>0，命题p：函数yax (a1)在R上单调递减，命题q：不等式|x2a|x>1的解集为R，若p和q有且只有一个是真命题，则a的取值范围是_转化与化归的思想一、高考真题感悟在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2y24上有且只有四个点到直线12x5yc0的距离为1，则实数c的取值范围是_解 由题设得，若圆上有四个点到直线的距离为1，则需圆心(0,0)到直线的距离d满足0d<1.d，0|c|<13，即c(13,13)考题分析本题背景新颖、考查内容基础，但能力要求较高突出考查了转化与化归的数学思想方法，将问题转化为点到直线的距离，化归为不等式求解问题易错提醒(1)对题意理解不清，找不到解决问题的切入口(2)不能正确地转化为圆心到直线的距离问题(3)公式应用不准确或计算失误二、思想方法概述转化与化归思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而得到解决的一种方法一般总是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题，将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题，将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题转化与化归思想在高考中占有十分重要的地位，数学问题的解决，总离不开转化与化归，如未知向已知的转化、新知识向旧知识的转化、复杂问题向简单问题的转化、不同数学问题之间的互相转化、实际问题向数学问题转化等各种变换、具体解题方法都是转化的手段，转化的思想方法渗透到所有的数学教学内容和解题过程中1转化与化归的原则(1)熟悉化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，以利于我们运用熟悉的知识、经验来解决(2)简单化原则：将复杂问题化归为简单问题，通过对简单问题的解决，达到解决复杂问题的目的,或获得某种解题的启示和依据(3)直观化原则：将比较抽象的问题化为比较直观的问题来解决(4)正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时，可考虑问题的反面，设法从问题的反面去探讨，使问题获解2常见的转化与化归的方法转化与化归思想方法用在研究、解决数学问题时，思维受阻或寻求简单方法或从一种状况转化到另一种情形，也就是转化到另一种情境使问题得到解决，这种转化是解决问题的有效策略，同时也是成功的思维方式常见的转化方法有：(1)直接转化法：把原问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题(2)换元法：运用“换元”把式子转化为有理式或使整式降幂等，把较复杂的函数、方程、不等式问题转化为易于解决的基本问题(3)数形结合法：研究原问题中数量关系(解析式)与空间形式(图形)关系，通过互相变换获得转化途径(4)等价转化法：把原问题转化为一个易于解决的等价命题，达到化归的目的(5)特殊化方法：把原问题的形式向特殊化形式转化，并证明特殊化后的问题、结论适合原问题(6)构造法：“构造”一个合适的数学模型，把问题变为易于解决的问题(7)坐标法：以坐标系为工具，用计算方法解决几何问题是转化方法的一个重要途径(8)类比法：运用类比推理，猜测问题的结论，易于确定(9)参数法：引进参数，使原问题转化为熟悉的形式进行解决(10)补集法：如果正面解决原问题有困难，可把原问题的结果看作集合A，而把包含该问题的整体问题的结果类比为全集U，通过解决全集U及补集UA获得原问题的解决，体现了正难则反的原则3转化与化归的指导思想(1)把什么问题进行转化，即化归对象(2)化归到何处去，即化归目标(3)如何进行化归，即化归方法化归与转化思想是一切数学思想方法的核心三、热点分类突破题型一函数、方程与不等式之间的转化与化归例1设函数f(x)x3(1a)x24ax24a，其中常数a>1.(1)讨论f(x)的单调性；(2)若当x0时，f(x)>0恒成立，求a的取值范围思维启迪 (1)求f(x)0的根，比较两根的大小、确定区间，讨论f(x)的单调性；(2)将f(x)>0恒成立转化为f(x)的最小值大于0.解 (1) f(x)x22(1a)x4a(x2)(x2a) 由已知a>1，2a>2， 令f(x)>0，解得x>2a或x<2，当x(，2)和x(2a，)时，f(x)单调递增，当x(2,2a)时，f(x)单调递减综上，当a>1时，f(x)在区间(，2)和(2a，)上是增函数，在区间(2,2a)上是减函数(2)由(1)知，当x0时，f(x)在x2a或x0处取得最小值f(2a)(2a)3(1a)(2a)24a·2a24aa34a224aa(a6)(a3)，f(0)24a.由题设知即解得1<a<6.故a的取值范围是(1,6)探究提高 函数、方程与不等式就像“一胞三兄弟”，解决方程、不等式的问题需要函数帮助，解决函数的问题需要方程、不等式的帮助，因此借助于函数、方程、不等式进行转化与化归可以将问题化繁为简，一般可将不等关系转化为最值(值域)问题，从而求出参变量的范围变式训练1 设函数yf(x)x(xa)(xb) (a，bR)(1)若ab，ab0，过两点(0,0)，(a,0)的中点作与x轴垂直的直线，此直线与函数yf(x)的图象交于点P(x0，f(x0)，求证：函数yf(x)在P点处的切线过(b,0)点；(2)若ab>0，且当x0，a1时，f(x)<2a2恒成立，求实数a的取值范围(1)证明过两点(0,0)，(a,0)的中点坐标 且与x轴垂直的直线方程为x，代入yf(x) 得交点P的坐标，其中x0，y02.对f(x)x(xa)(xb)x3(ab)x2abx求导，得f (x)3x22(ab)xab，有f(x0)，所以函数yf(x)在点P处的切线方程为y2x2b.令y0，得xb，故yf(x)在P点处的切线经过(b,0)点(2)解当ab>0时，函数的解析式为f(x)x(xa)2x32ax2a2x.对f(x)求导，得f (x)3x24axa23(xa)，令f(x)0，得x1，x2a.对于自变量x在取值范围0，a1内的f(x)及f(x)的情况，列表如下：在区间0，a1上，要使f(x)<2a2恒成立，只要，