江西省萍乡市2023-2024学年高三下学期二模考试数学试题含答案.pdf

1准考证号姓名绝密启用前（在此卷上答题无效）萍乡市 20232024 学年度高三二模考试试卷数数 学学本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分第卷 1 至 2 页，第卷3 至 4 页满分 150 分，考试时间 120 分钟注意事项：1答卷前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上考生要认真核对答题卡上粘贴条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人的准考证号、姓名是否一致2回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号回答非选择题时，用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效3考试结束后，监考员将试题卷、答题卡一并收回第卷一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.集合12Axx，2Bxxm，若xB的充分条件是xA，则实数m的取值范围是A1,2B2,C2,2D2,2.复数(23i)(32i)z，下列说法正确的是Az的实部为12Bz的虚部为13iC1213iz D13z 3.已知随机变量2,9N，且12PPa，则a A3B2C1D04.已知2a，(1,2)b，22ab，则向量a与b的夹角为A6B3C23D565.陀螺是中国民间的娱乐工具之一，早期陀螺的形状由同底的一个圆柱和一个圆锥组合而成.如图，已知一木制陀螺内接于一表面积为64的球，其中圆柱的两个底面为球的两个截面，圆锥的顶点在该球的球面上，若圆柱的底面直径为4 3，则该陀螺的体积为A48B56C64D726.已知2ln212ln2,42eeabc，则这三个数的大小关系为AcbaBabcCacbDcab#QQABBQAAggAIAJAAABhCAQngCkKQkBGCACoGBEAEoAIBSAFABAA=#27.点M将一条线段AB分为两段AM和MB，若512AMBMABMA，则称点M为线段AB的黄金分割点.已知直线(11)yaa 与函数sin()yx的图象相交，,A B C为相邻的三个交点，则A当0a 时，存在使点B为线段AC的黄金分割点B对于给定的常数，不存在a使点B为线段AC的黄金分割点C对于任意的a，存在使点B为线段AC的黄金分割点D对于任意的，存在a使点B为线段AC的黄金分割点8.如图 1，与三角形的一条边以及另外两条边的延长线都相切的圆被称为三角形的旁切圆，旁切圆的圆心被称为三角形的旁心，每个三角形有三个旁心.如图 2，已知12,F F是双曲线222210,0 xyabab的左、右焦点，P是双曲线右支上一点，Q是12PFF的一个旁心.直线PQ与x轴交于点M，若3MQQP，则该双曲线的渐近线方程为A12yx B2yx C22yx D2yx 二、选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分9.数列*()nanN的前n项和为nS，若11a，12,1,nnnanana为奇数为偶数，则下列结论正确的是A32a B1012SCnS为递增数列D21na为周期数列10.已知2510ab，则下列关系正确的是Ae1a bBababC49abD2211(1)(2)8ab11.设O为坐标原点，直线l过抛物线2:4C yx的焦点F且与C交于,A B两点，,M N满足2MFOF，2BNON，AM与NF相交于点P，则下列结论正确的是AAB MNB111MNAFC0OP OF DANP面积的最大值为1#QQABBQAAggAIAJAAABhCAQngCkKQkBGCACoGBEAEoAIBSAFABAA=#3萍乡市 20232024 学年度高三二模考试试卷数数 学学第卷三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分12.一种春节吉祥物为分布均匀的正十二面体模型（如图），某兴趣小组在十二个面分别雕刻了十二生肖的图案.若其中的 2 个成员将该模型各随机抛出一次，则恰好出现一次龙的图案朝上（即龙的图案在最上面）的概率为.13.在ABC中，点D,E分别在边BC,AC上，3BCBD，2ACAE，若AD,BE交于点I，则BIIE；当3,4,2BCACAB时，ABI的面积为.14.正方体1111ABCDABC D的棱长为 2，P为该正方体侧面11CC D D内的动点（含边界），若PA,PB分别与直线AD所成角的正切值之和为2，则四棱锥PABCD的体积的取值范围为.四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15.（本小题满分 13 分）已知函数2()lnf xxx.（1）求()f x的单调区间；（2）若存在0 x，使得()f xax成立，求实数a的取值范围.16.（本小题满分 15 分）定义两组数据nivuii,2,1,的“斯皮尔曼系数”为变量iu在该组数据中的排名ix和 变 量iv在 该 组 数 据 中 的 排 名iy的 样 本 相 关 系 数，记 为，其 中22161()1niiixyn n.某校 15 名学生的数学成绩的排名与知识竞赛成绩的排名如下表：数学成绩的排名ix123456789101112131415知识竞赛成绩的排名iy153498761021214131115（1）试求这 15 名学生的数学成绩与知识竞赛成绩的“斯皮尔曼系数”；（2）已知在这 15 名学生中有 10 人数学成绩优秀，现从这 15 人中随机抽取 3 人，抽到数学成绩优秀的学生有X人，试求X的分布列和数学期望.#QQABBQAAggAIAJAAABhCAQngCkKQkBGCACoGBEAEoAIBSAFABAA=#417.（本小题满分 15 分）如图所示的几何体是圆锥的一部分，A为圆锥的顶点，O是圆锥底面圆的圆心，23BOC，P是弧BC上一动点（不与,B C重合），点M在AB上，且3AMMB，33OAOB（1）当2BOP时，证明：AB 平面MOP；（2）若四棱锥MOCPB的体积大于等于316.求二面角BAOP的取值范围；记异面直线AP与BO所成的角为，求cos的最大值18.（本小题满分 17 分）已知椭圆22221(0)yxEabab：的离心率为22，,A B是E上的不同两点，且直线AB的斜率为1，当直线AB过原点时，4AB.（1）求椭圆E的标准方程；（2）设(0,3)P，点BA,都不在y轴上，连接,PA PB，分别交E于,C D两点，求点P到直线CD的距离的最大值.19.（本小题满分 17 分）固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线.1691 年，莱布尼茨等得出悬链线的方程为(ee)2xxcccy，其中c为参数.当1c 时，该表达式就是双曲余弦函数，记为eecosh2xxx，悬链线的原理常运用于悬索桥、架空电缆、双曲拱桥、拱坝等工 程 已 知 三 角 函 数 满 足 性 质：导 数：(sin)cos(cos)sinxxxx ；二 倍 角 公 式：2cos22cos1xx；平方关系：22sincos1xx.定义双曲正弦函数为eesinh2xxx（1）写出sinh x，cosh x具有的类似于题中、的一个性质，并证明该性质；（2）任意0 x，恒有sinh0 xkx成立，求实数k的取值范围；（3）正项数列 Nnan满足11 aa，2121nnaa，是否存在实数a，使得8172024a?若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由.#QQABBQAAggAIAJAAABhCAQngCkKQkBGCACoGBEAEoAIBSAFABAA=#5萍乡市 20232024 学年度高三二模考试数学参考答案及评分标准一、选择题（85=40 分）1-4：BDCA；5-8：BCDD.【7 解析】若512AMAB，则3551251BMMA，即512AMAB点M为线段AB的黄金分割点；当0a时，1ABBC，不存在使点B为线段AC的黄金分割点，故选项,A C错 误；如 下 图，当1a 时，0ABBC，当1a 时，ABBC，则0,ABBC，则存在一个01,1a 使得512ABBC，故选项B错；对于选项D，若sinyx与(11)yaa 相 交 于 相 邻 的 三 点,A B C，其 横 坐 标 分 别 为123123,()x xxxxx，则2131xxABACxx，将sinyx变换成sin()yx后，点,A B C分 别 对 应 到 点,A B C，且 满 足312123,xxxxxx，故21213131xxxxA BABA CxxxxAC，即,对比值ABAC无影响，故选项 D 正确.【8 解析】因为Q是12PF F的一个旁心，则2F Q平分2PF M，则223F MMQF PQP；又PM平分12F PF的外角，则1122PFFMPFMF，则121222PFPFFMMFPFMF，即2222acPFMF，则223MFcaPF，则2ba，即双曲线的渐近线方程为2yx.二、选择题（36=18 分）9：BCD；10：AD；11：ABD.【说明：第【说明：第 9 9、1111 题全部选对得题全部选对得 6 6 分，选对分，选对 1 1 个得个得 2 2 分，选对分，选对 2 2 个得个得 4 4 分，有选错的得分，有选错的得 0 0分；第分；第 1010 题全部选对得题全部选对得 6 6 分，选对分，选对 1 1 个得个得 3 3 分，有选错的得分，有选错的得 0 0 分分.】【11 解析】因为2MFOF，则O平分线段MF，又2BNON，则O平分线段BN，则四边形BMNF为平行四边形，故 A 对；因为四边形BMNF为平行四边形，所以MNBF，#QQABBQAAggAIAJAAABhCAQngCkKQkBGCACoGBEAEoAIBSAFABAA=#6又1121AFBFp，故111AFMN，故 B 对；当ABx轴时，根据对称性，P在y轴上，此时0OP OF ，故 C 错；设1122(,),(,)A x yB x y，因为l过焦点F，则1 24y y，则2212121212 122222121211444164160114444MAMByyyyy yyy yykkxxyyyy，则AMOBMO，又NBMBMO，则NFMAMO，即PMF为等腰三角形，且y轴为MF的垂直平分线，故P必在y轴上.此外，MNAB，则AMNFMNSS，则12ANPFMPSSMFOPOP，当MA与抛物线C相切时，OP取得最大值 1，即ANPS的最大值为 1，故 D 对.三、填空题（35=15 分）12：1172；13：1；16153；14：2 2 4,33.【说明：第【说明：第 1313 题全部做对得题全部做对得 5 5 分，做对分，做对 1 1 空得空得 3 3 分分.】四、解答题（共 77 分）15.（1）1ln2xxxf，令 0 xf，解得12ex，(2 分)当12(0,e)x时，0 xf，xf单调递减；当12(e,)x时，()0fx，xf单调递增，(4 分)则 xf的单调递减区间为12(0,e)，单调递增区间为12(e,)；(6 分)（2）依题意，存在0 x，使得lnaxx，(7 分)令()lng xxx，则()ln1g xx，(8 分)当1(0,)ex时，()0g x，()g x单调递减；当1(,)ex时，()0g x，()g x单调递增，(11 分)故min11()()eeg xg，因此1ea .(13 分)16.（1）61(91644164149)0.815224 ；(5 分)（2）X的值可能为0,1,2,3，(7 分)#QQABBQAAggAIAJAAABhCAQngCkKQkBGCACoGBEAEoAIBSAFABAA=#7353152(0)91CP XC，1210531520(1)91C CP XC，(9 分)2110531545(2)91C CP XC，31031524(3)91CP XC，(11 分)则X的分布列为：(13 分)X0123P291209145912491故X的数学期望为204524()1232919191E X .(15 分)17.（1）由题知2AB，在MBO中，11,23OBMBMBO，求得32OM，则222+BMOMBOABOM，(3 分)又,2BOPAOOP OAOBO，故OP 平面AOB，所以OPAB，(4 分)OPOMOAB，平面MOP；(5 分)（2）设,BOPAOBO AOOP，则二面角BAOP的平面角即为，(6 分)在OB上取点N，使3ONNB，连接MN，13/44MN OAMNOA，四棱锥MOCPB的体积1333412VSS，其中S表示四边形OCPB的面积，则1121131sinsinsincossin2232222SOP OBOP OC333sincossin4426，(8 分)由316V，可 得3sin62，203，则5666，故2363，解得,6 2，即二面角BAOP的取值范围为,6 2；(10 分)以OB 方向x轴正方向，在BOC内垂直于OB的方向为y轴正方向，OA 方向为z轴正方 向 建 立 空 间 直 角 坐 标 系，则(0,0,0)O，(0,0,3)A，(1,0,0)B，(cos,sin,0)P，(12 分)(cos,sin,3)AP，(1,0,0)OB ，1coscos,cos2AP OB ，(13 分)#QQABBQAAggAIAJAAABhCAQngCkKQkBGCACoGBEAEoAIBSAFABAA=#8,6 2，23,0cos，即cos的最大值为34.(15 分)18.（1）依题意22cea，则2222212cabaa，因此222ab，(2 分)设:AB yx，1111(,),(,)A x yBxy，联立AB与E的方程得22132xb，(3 分)又21|1(1)|2|4ABx，即212x，(4 分)故223,6ba，即椭圆E的标准方程为22163yxE：；(6 分)（2）【解法解法 1 1】设11223344(,),(,),(,),(,)A x yB xyC xyD xy，可知PA的斜率存在，设为k，则3333(0)ykxx，PA的 方 程 为3ykx，联 立PA与E的 方 程，整 理 得22(2)630kxkx，(7 分)13232x xk，则3331222223333333333(2)(3)226952xxxxkxyxyxyy，(8 分)又3113125352yykxy，故3333125(,)5252xyAyy，(9 分)同理可得4444125(,)5252xyByy，易知CD的斜率不为0，设CD的方程为xmyn，则3433434421434343()(52)()(52)(52)()5252(52)(52)(52)(52)xmynymynymn yyxxxyyyyyy(11 分)33442143431251255252(52)(52)yyyyyyyyyy，(12 分)又342121341(52)()AByyyykxxmn yy，则251nm，(13 分)对比CD的方程可知，直线CD恒过定点1 5(,)2 2Q，(14 分)设点P到直线CD的距离为d，则22152|(0)3222dPQ，(16 分)当且仅当PQCD时，点P到直线CD的距离取到最大值22.(17 分)#QQABBQAAggAIAJAAABhCAQngCkKQkBGCACoGBEAEoAIBSAFABAA=#9（2）【解法【解法 2 2】设11223344(,),(,),(,),(,)A x yB xyC xyD xy，,APPC BPPD ，则13130,311xxyy.，(7 分)又222233111,16363yxyx，即222223363yx，作差整理得1313131311()()()()1611311yyyyxxxx，(8 分)结合，解得1312(1)yy.，(9 分)由，解得13551,2222yy.，(11 分)同理可得，24235510,2222xxyy.，(12 分)可知CD的斜率不为0，设CD的方程为xmyn，结合可得：1212121234341()()(52)()AByyyyyykxxxxmynmynmn，则251nm，(13 分)对比CD的方程可知，直线CD恒过定点1 5(,)2 2Q，(14 分)设点P到直线CD的距离为d，则22152|(0)3222dPQ，(16 分)当且仅当PQCD时，点P到直线CD的距离取到最大值22.(17 分)（2）【解法【解法 3 3】由题可设如下直线方程：1:(3)0PAyk x，2:(3)0PByk x，:(3)0(0)AByxtt，:(3)0(0)CD m yxnn，则过,A B C D四点的曲线系方程为：12(3)(3)(3)(3)0yk xyk xyxtm yxn，(9 分)则x项的系数为nt，(3)y 项的系数为ntm，常数项为tn，(10 分)又椭圆E的方程可写为：222(3)6(3)30 xyy，(11 分)对比系数可知：02ntntmtn，解得12mn，即51:()022CD m yx，(13 分)故直线CD恒过定点1 5(,)2 2Q，(14 分)设点P到直线CD的距离为d，则22152|(0)3222dPQ，(16 分)当且仅当PQCD时，点P到直线CD的距离取到最大值22.(17 分)#QQABBQAAggAIAJAAABhCAQngCkKQkBGCACoGBEAEoAIBSAFABAA=#1019.（1）导数：sinhcoshcoshsinhxxxx，证明如下：(2 分)eeeesinhcosh,22eeeecoshsinh22xxxxxxxxxxxx；(4 分)二倍角公式：2cosh 22 cosh1xx，证明如下：(2 分)222222eee2eee2 cosh1211cosh 2222xxxxxxxx ；(4 分)平方关系：22coshsinh1xx，证明如下：(2 分)22222222eeeeee2ee2coshsinh12244xxxxxxxxxx；(4 分)【说明：说明：只需证到只需证到 1 1 个即给个即给 4 4 分；分；证到其它性质如：证到其它性质如：sinh(2)2sinhcoshxxx；2cosh(2)12 sinhxx；22cosh(2)coshsinhxxx也正确也正确.】（2）令 sinh,0,F xxkx x，coshFxxk，(6 分)当1k 时，由eecoshee12xxxxx，又因为0 x，故eexx，等号不成立，所以 cosh0Fxxk，故()F x为增函数，此时()(0)0F xF，故对任意0 x，sinh xkx恒成立，满足题意；(7 分)当1k 时，令 ,0,G xFxx，则 sinh0Gxx，可知 G x是增函数，由(0)10Gk 与1(ln2)04Gkk可知，存在唯一0(0,ln2)xk，使得0()0G x，故当0(0,)xx时，0()()()0F xG xG x，则()F x在0(0,)x上为减函数，故对任意0(0,)xx，()00 xFF，不合题意；综上所述，实数k的取值范围为,1；(10 分)（3）【解法解法 1 1】由11 aa，函数eecosh2xxx的值域为1,，对于任意大于 1 的实数1a，存在不为 0 的实数m，使得1coshma，(11 分)类 比 双 曲 余 弦 函 数 的 二 倍 角 公 式2cosh 22 cosh1xx，由1coshma，#QQABBQAAggAIAJAAABhCAQngCkKQkBGCACoGBEAEoAIBSAFABAA=#11222 cosh1cosh(2)amm，23cosh(2)am，猜想：1cosh 2nnam，(12 分)由数学归纳法证明如下：当1n 时，1 11cosh 2coshaamm成立；假设当nk（k为正整数）时，猜想成立，即1cosh 2kkam，则22111212 cosh(2)1cosh(22)cosh(2)kkkkkaammm ，符合上式，综上：1cosh 2nnam，(14 分)若2023202417cosh 28am，设20232tm，则ee17cosh28ttt，解得：414或te，即4lnt，故202222lnm，则20222022112211cosh2222mmeeam，(16 分)综上：存在实数2022202211221222a，使得8172024a成立.(17 分)（3）【解 法【解 法 2 2】构 造 数 列 nx(0nx)，且cosh()nnax，2121nnaa，212 cosh1cosh(2)nnnaxx，则11cosh()cosh(2)nnnaxx，(14 分)cosh()x在0,上单调递增，故12nnxx，即 nx是以 2 为公比的等比数列，2023202412xx，2023202412eexx，20232024112eexx，(15 分)2024202420242024117cosh()ee28xxax，解得2024e4x或14，(16 分)故2023202320222022111111222211111cosh()(ee)4422222xxaax，综上：存在实数2022202211221222a，使得8172024a成立.(17 分)命题：彭小奇（湘东中学）黄贤锋（萍乡中学）周昔康（莲花中学）罗缘辉（芦溪中学）刘维（上栗中学）审核：胡斌（市教研室）#QQABBQAAggAIAJAAABhCAQngCkKQkBGCACoGBEAEoAIBSAFABAA=#