专题03 五大类立体几何题型-2024年高考数学最后冲刺大题秒杀技巧及题型专项训练（新高考新题型专用）含解析.pdf
更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君专题 03 五大类立体几何题型-2024 年高考数学大题秒杀技巧及专项训练（解析版）专题 03 五大类立体几何题型-2024 年高考数学大题秒杀技巧及专项训练（解析版）【题型题型 1 线面平行问题（刻度尺平移大法）】线面平行问题（刻度尺平移大法）】【题型【题型 2 线面垂直问题（勾股定理妙解）】线面垂直问题（勾股定理妙解）】【题型【题型 3 点面距离（体积求算）问题】点面距离（体积求算）问题】【题型【题型 4 线面夹角问题（两大法）】线面夹角问题（两大法）】【题型【题型 5 面面夹角问题（两大法）】面面夹角问题（两大法）】基础工具：法向量的求算基础工具：法向量的求算待定系数法：待定系数法：步骤如下：设出平面的法向量为zyxn,找出(求出)平面内的两个不共线的向量111,cbaa，222,cbab 根据法向量的定义建立关于zyx,的方程组00bnan解方程组，取其中的一个解，即得法向量注意：注意：在利用上述步骤求解平面的法向量时，方程组00bnan有无数多个解，只需给zyx,中的一个变量赋于一个值，即可确定平面的一个法向量；赋的值不同，所求平面的法向量就不同，但它们是共线向量秒杀大法：口诀：求谁不看谁，积差很崩溃（求外用外减，求内用内减）秒杀大法：口诀：求谁不看谁，积差很崩溃（求外用外减，求内用内减）向量111=ax,y,z，222=bx,y,z是平面a内的两个不共线向量，则向量122121121221,yxyxzxzxzyzyn是平面a的一个法向量.更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君特别注意：空间点不容易表示出来时直接设空间点的坐标，然后利用距离列三个方程求解.特别注意：空间点不容易表示出来时直接设空间点的坐标，然后利用距离列三个方程求解.：线面平行问题：线面平行问题线面平行：关键点线面平行：关键点必须将刻度尺与所证线重合，然后平移落在所证平面且留下痕迹眼神法：观察采用哪一种技巧（五种方法）（记住六大图像）必须将刻度尺与所证线重合，然后平移落在所证平面且留下痕迹眼神法：观察采用哪一种技巧（五种方法）（记住六大图像）：中位线型中位线型如图，在底面为平行四边形的四棱锥PABCD中，点E是PD的中点.求证：/PB平面AEC.分析：构造平行四边形：构造平行四边形如图,平行四边形ABCD和梯形BEFC所在平面相交，BE/CF，求证：AE/平面DCF.分析：过点E作EG/AD交FC于G，DG就是平面AEGD与平面DCF的交线，那么只要证明AE/DG即可。：作辅助面使两个平面是平行：作辅助面使两个平面是平行更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君如图，在四棱锥OABCD中，底面ABCD为菱形，M为OA的中点，N为BC的中点，证明：直线MNOCD平面分析：取OB中点E，连接NEME,，只需证平面MEN平面OCD。：利用平行线分线段成比例定理的逆定理证线线平行。：利用平行线分线段成比例定理的逆定理证线线平行。已知公共边为AB的两个全等的矩形ABCD和ABEF不在同一平面内，P，Q分别是对角线AE，BD上的点，且APDQ（如图）求证：PQ平面CBE已知公共边为AB的两个全等的矩形ABCD和ABEF不在同一平面内，P，Q分别是对角线AE，BD上的点，且APDQ（如图）求证：PQ平面CBE 如图，已知三棱锥ABCP，CBA、是PBC,PCA,PAB的重心.(1)求证：BA面ABC；（向量法）所证直线与已知平面的法向量垂直，关键：建立空间坐标系（或找空间一组基底）及平面的法向量。（向量法）所证直线与已知平面的法向量垂直，关键：建立空间坐标系（或找空间一组基底）及平面的法向量。如图，在四棱锥SABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱SD底面ABCDEF，分别为ABSC，的中点证明EF平面SAD；更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君分析：因为侧棱SD底面ABCD，底面ABCD是正方形，所以很容易建立空间直角坐标系及相应的点的坐标。证明：如图，建立空间直角坐标系Dxyz设(0 0)(0 0)A aSb，则(0)(00)B aaCa，0022 2aa bE aF，02bEFa uuu，因为y轴垂直与平面SAD，故可设平面的法向量为n=（0，1，0）则：02bEF na uuu，（0，1，0）=0 因此EFnuuu，所以EF平面SAD如图，三棱柱111ABCABC-中，O为底面111ABC的重心，11,:1:2DCC CD DC(1)求证：OD平面11ABC；(2)若1AA 底面111ABC，且三棱柱111ABCABC-的各棱长均为 6，设直线1AB与平面11ABC所成的角为q，求sinq的值更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君如图，平行六面体如图，平行六面体1111ABCDABC D中，中，E F分别为分别为1AB CC的中点，的中点，N在在1B B上上.(1)求证：求证：EFP平面平面1ADC；(2)若若11224,3DCDDADD DCAD平面平面111,5DCC D B NNBuuuu uuu，求平面，求平面EFN与平面与平面11DCC D的夹角的余弦值的夹角的余弦值.如图，已知四棱台如图，已知四棱台1111ABCDABC D的上、下底面分别是边长为的上、下底面分别是边长为 2 和和 4 的正方形，平面的正方形，平面11AAD D平面平面 ABCD，1117A AD D，点，点 P 是棱是棱1DD的中点，点的中点，点 Q 在棱在棱 BC 上上 (1)若若3BQQC，证明：，证明：PQ平面平面11ABB A；更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君(2)若二面角PQDC的正弦值为5 2626，求 BQ 的长1如图，在直三棱柱111ABCABC-中，ABBC，12ABBCBB，M，N，P 分别为11AB，AC，BC 的中点求证：/MN平面11BCC B；2如图，在四棱锥中，平面，为棱的中点PABCDPA,/ABCDABAD ADBC，12BCAD2PAABE，PD更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君求证：/平面；3如图，在四棱锥中，平面，(1)求证：平面；(2)再从条件、条件这两个条件中选择一个作为已知，求平面与平面所成锐二面角的大小条件：；条件：平面注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得 0 分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分4如图，为圆锥顶点，是圆锥底面圆的圆心，是长度为的底面圆的两条直径，且，为母线上一点ECPABPABCDPA ABCD2PAADCD3BC 2 3PC CD PADPBCPAD5AB/BCPADSOABCD2ABCDOI3SO PSB更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君求证：当为中点时，平面；5如图，在四棱锥中，平面，点在棱上，点，是棱上的三等分点，点是棱的中点.，.证明：平面，且；6如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面平面，是的中点，作交于PSBSAPCDPABCDPC ABCD/AB CDEPB2PEEBFHPAGPD223PCCBCDAB13AC/HDCFG/EC FGPABCDABCDPDADPAD ABCD2PDADEPCEFPBPBF更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君 求证：平面；7在四棱锥中，底面 ABCD 为平行四边形，.(1)证明：四边形 ABCD 为菱形；(2)E 为棱 PB 上一点（不与 P，B 重合），证明：AE 不可能与平面 PCD 平行.8 如 图，在 平 行 六 面 体中，点为中点 /PABDEPABCDPAPCPBAC1111ABCDABC D11ABADAA90DAB12cos,2AA ABuuu uuu 11cosuuu uuuMBD更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君证明：平面；线面垂直问题（勾股定理妙解）线面垂直问题（勾股定理妙解）必记结论：必记结论：特殊的平行四边形边长之比 1:2，夹角为060，则对角线与边垂直特殊的直角梯形边长之比 1:1:2,对角线与腰垂直等腰三角形三线合一，三线与底垂直直径所对的圆周角为直角 菱形和正方形：对角线互相垂直特殊的矩形：边长之比 1:2 或 1：2有明显的直角关系要证线面垂直，只需让线垂直于平面内两条相交直线即可如：要证AC 平面BDE；第一步：第一步：表示AC,表示（BDDEBE）中的两个第二步：BDEACDDEBDDEACBDACDEACBDAC平面又00如图，在四棱锥如图，在四棱锥PABCD中，中，PA 平面平面ABCD，底面，底面ABCD是菱形，是菱形，2AB，1/B M11AC D更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君60BAD求证：BD 平面PAC如图，在三棱柱111ABCABC中，1BB 平面ABC，ABBC12AAABBC.求证：1BC 平面11ABC；三棱柱三棱柱111ABCABC中，侧棱与底面垂直，中，侧棱与底面垂直，90ABC，12ABBCBB，M，N分别是分别是AB，1AC的中点的中点求证：MN 平面11ABC更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君1 在长方体1111ABCDABC D中，E是11C D上的点,，且11,C E AA AB的长成等比数列，又M是1BB所在的直线l上的动点.求证：1AB 平面BCE2 如图，在三棱柱111ABCABC-中，BC平面11AAC C，D是1AA的中点，ACDV是边长为2的等边三角形证明：1C DBD3如图，在三棱台111ABCABC-中，平面11ABB A 平面更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君11111,4,2,2ABC BBAB ABAAABBAC.证明：AC 平面11ABB A；4 如图，在四棱锥PABCD中，PC 平面ABCD，ABCDP，点E在棱PB上，2PEEB，点F，H是棱PA上的三等分点，点G是棱PD的中点223PCCBCDAB，13AC(1)证明：HD平面CFG，且C，E，F，G四点共面；(2)证明：平面PAB 平面PBC；5如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面侧面，为中点，是上的点，求证：平面平面；PABCDABCDPAD PABFBDEPA2PAPDPAPDPAD ABCD更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君6 如图，四棱锥，平面平面为中点证明：平面平面；7如图几何体中，底面是边长为 2 的正三角形，平面，若，求证：平面平面；8如图，在直四棱柱中，底面为矩形，高为，O，E分别为底面的中心和的中点,22,2ABCDE ABBCACCDBEBECDBCDABC,BCDE FBCAEC AFDABCAEABC/AECDBF5AE 4CD 3BF DEF AEFB1111ABCDABC D33ABADahCD更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君求证：平面平面；点面距离问题点面距离问题结论结论 1：点线距离：点线距离2121aaPPPPd异面直线求距离问题异面直线求距离问题结论结论 2：点面距离：点面距离nnPPd1结论结论 3：线面距离：线面距离nnPPd1结论结论 4：面面距离：面面距离nnPPd1结论结论 5：点点距离：点点距离221221221zzyyxxd在棱长为 1 的正方体1111ABCDABC D中，E为11AD的中点，则点1C到直线CE的距离为1AOE 11CDDC更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君在棱长为1的正方体1111ABCDABC D中，则平面1ABC与平面11AC D之间的距离为()已知正方形ABCD的边长为1，PD 平面ABCD，且1PD，E，F分别为AB，BC的中点.（1）求点D到平面PEF的距离；（2）求直线AC到平面PEF的距离.1如图，在平行六面体 ABCDAB C D 中，E 在线段 AD 上，且 EDAEAD，F，G分别为线段BC，AD的中点，且底面 ABCD为正方形.更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君(1)求证:平面 BCC B 平面EFG(2)若EF与底面ABCD不垂直，直线 ED与平面EBC所成角为 45，且 2EBAB，求点 A 到平面 AB C D 的距离.2如图，四边形是圆柱的轴截面，点在底面圆上，圆的半径为 1，点是线段的中点.(1)证明：平面；(2)若直线与圆柱底面所成角为，求点到平面的距离.3如图，在直三棱柱形木料中，为上底面上一点ABCDOEFOO3AF GBF/EGDAFDF45GDEF111ABCABC-DABC更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君(1)经过点在上底面上画一条直线 与垂直，应该如何画线，请说明理由；(2)若，为的中点，求点到平面的距离4如图，在直四棱柱中，底面 ABCD 为菱形，E 是的中点(1)证明：平面；(2)求点 B 到平面的距离5图，在四棱锥中，平面，底面是正方形，点 E 在棱上，.DABCl1B D11BCBB2AB 1112ABCE11ABB1AC E1111ABCDABC D60BADo2AB 14 2AA 1DD/BD1AC E1AC EPABCDPA ABCDABCDPD2ADAPAECE更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君(1)证明：；(2)求点 C 到平面的距离.6设四边形为矩形，点为平面外一点，且平面，若(1)求与平面所成角的正切值；(2)在边上是否存在一点，使得点到平面的距离为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由；7如图，在四棱锥中，平面平面AEPDBAEABCDPABCDPA ABCD1,2.PAABBCPCPADBCGDPAG2BGPABCD/ADBCADPDPAD PCD更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君(1)证明：平面；(2)已知，且，求点 D 到平面的距离8如图，在三棱柱中，点 E，F 分别为BC，的中点(1)求证：平面；(2)若底面是边长为 2 的正三角形，且平面平面，求点到平面的距离线面夹角问题（两大法）线面夹角问题（两大法）BCPCD122ADPDDCBC30DPCPAB111ABCABC-160CAAABBC1ACCC11AC/EF11ABB AABC11ACC A ABC1C11ABB A更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君结论结论 1：异面直线所成角：异面直线所成角2,0cosqqbaba能建空间直角坐标系时，写出相关各点的坐标，然后利用结论求解不能建空间直角坐标系时，取基底的思想，在由公式bababa,cos求出关键是求出ba及a与b结论结论 2：线面角：线面角20sincosqqa，nABnAB结论：结论：ldasind点面距离（d往往用等体积法计算），l线自身长度如图，在四棱锥PABCD中，四边形ABCD是菱形，ACBDO，PACV为正三角形，2AC.求直线PA与平面PBD所成角的大小；四棱锥PABCD中，PA 平面ABCD，四边形ABCD为菱形，ADC60o，更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君2PAAD，E为AD的中点求PC与平面PAD所成的角的正切值；如图，在直三棱柱111ABCABC中，1ACABAA，90CAB，M是11BC的中点，N是AC的中点.求直线1AB与平面11BCC B所成的角的大小.在长方体1111ABCDABC D中，2AB，11BCAA，则11DC与平面11ABC所成角的正弦值为_更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君1如图，在几何体ABCDEF中，ADEF为等腰梯形，ABCD为矩形，/ADEF，1AB，3AD，平面平面.(1)证明：；(2)求直线与平面所成角的余弦值.2 如图，三棱柱中，四边形均为正方形，分别是棱的中点，为上一点.(1)证明：平面；(2)若，求直线与平面所成角的正弦值.3如图，在四棱锥中，四边形为直角梯形，平面2DE 1EF ADEF ABCDBFCFAFCEF111ABCABC-1111,ACC A BCC B,D E11,AB ABN1C EBN/1ADC11,3ABAC C EC Nuuuu uuuu DN1ADCQABCDABCD/CD ABBCAB更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君平面，点是的中点.(1)证明：.(2)点是的中点，当直线与平面所成角的正弦值为时，求四棱锥的体积.4如图，四边形是圆柱的轴截面，点在底面圆上，圆的半径为 1，点是线段的中点.(1)证明：平面；(2)若直线与圆柱底面所成角为，求点到平面的距离.5如图，在三棱柱中，在底面 ABC 上的射影为线段 BC 的中点，M 为线段的中点，且，.QAD ABCDQAQDMADQMBDNCQ22ADABCDMNQBC427QABCDABCDOEFOO3AF GBF/EGDAFDF45GDEF111ABCABC-1A11BC1224AAABAC90BACo更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君(1)求三棱锥的体积；(2)求 MC 与平面所成角的正弦值.6如图，已知三棱锥平面，点是点在平面内的射影，点在棱上，且满足.(1)求证：；(2)求与平面所成角的正弦值.7如图，在三棱台中，平面，.1MABC1MAB,PABC PB,PAC PAPC PAPBPCOPABCQPA3AQPQBCOQOQBCQ111ABCABC-1AA ABC90ABC111111AAABBC2AB 更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君(1)求证：平面平面；(2)求与平面所成角正弦值.8如图，在多面体中，四边形为平行四边形，且平面，且.点分别为线段上的动点，满足.(1)证明：直线平面；(2)是否存在，使得直线与平面所成角的正弦值为？请说明理由.面面夹角问题（两大法）面面夹角问题（两大法）11ABB A11BCC BAC11BCC BABCDEFABCD11,.2BDCDBDCD DEABCD13,2DEBFDEPBF,H G,DC EF(02)DHEGllGHPBCFlGHAEF4214更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君结论：二面角的平面角结论：二面角的平面角qq，0cos2121nnnn提示：提示：a是二面角的夹角，具体qcos取正取负完全用眼神法眼神法观察，若为锐角则取正，若为钝角则取负.结论：结论：任意二面角的平面角a满足ABABSS_cosa如（NABMNABABSS_cosa）注意：注意：N为原图上的点，而分子为原图上的点，而分子_则是则是N点在面点在面MAB的投影点的投影点在如图所示的几何体中，四边形ABCD是等腰梯形，ABCD，60,DABFCo平面,ABCD AEBD CBCDCF.求二面角FBDC的余弦值.如图，在三棱柱111ABCABC-中，90BACo，2ABAC，14A A，1A在底面ABC的射影为BC的中点，D为11BC的中点.更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君求二面角1A-BD-1B的平面角的余弦值.四棱锥 P-ABCD 中，PA平面 ABCD，四边形 ABCD 为菱形，ADC=60，PA=AD=2，E为 AD 的中点.求二面角 A-PD-C 的正弦值.1如图，三棱台111ABCABC-中，ABCV是边长为 2 的等边三角形，四边形11ACC A是等腰梯形，且1111,ACAAD为11AC的中点.更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君(1)证明：ACBD；(2)若直线1AA与平面11BBC C所成角的正弦值为3 1313，求二面角1AACB的大小.2如图，在三棱锥中，(1)证明：平面平面；(2)若是线段上的点，且，求二面角的正切值3如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，平面为侧棱的中点.(1)求点到平面的距离；(2)求二面角的正切值.DABC3 2,7,5ABADBDACBCCDACD ABCECD4CDCEuuu uuu EABCPABCDABCD90,ABCBCDPAo,4,3,ABCD PAABBCCDMPCDPBCMADB更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君4如图，在正四面体中，是棱的两个三等分点(1)证明：；(2)求出二面角的平面角中最大角的余弦值5如图，已知平面与底面所成角为，且(1)求证：平面；(2)求二面角的大小PABC,E FPCABPC,PABE EABF FABCPD,222,/,ABCD CDABADAB CD ADCD PCABCDq6tan2qCB PBDPBCD更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君6如图，在四棱锥中，四边形为梯形，其中，平面平面 (1)证明：；(2)若，且与平面所成角的正切值为 2，求平面与平面所成二面角的正弦值7如图，在三棱柱中，平面是线段上的一个动点，分别是线段的中点，记平面与平面的交线为.(1)求证：；(2)当二面角的大小为时，求.PABCDABCDABCDP60BCD 224ABBCCDPBD ABCDADPDABPDPCABCDPBCPAD111ABCABC-1AA 1,2,4,ABC ABAC ABACAAD1BB,E F,BC ACDEF111ABClEF/lDEFC120oBD更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君8如图，在梯形中，.将沿对角线折到的位置，点 P 在平面内的射影 H 恰好落在直线上.(1)求二面角的正切值；(2)点 F 为棱上一点，满足，在棱上是否存在一点 Q，使得直线与平面所成的角为?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.ABCD/AB CD223ABBCCD3ABCADCACAPCABCABPACBPC2PFFCBCFQABF3BQQC更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君专题 03 五大类立体几何题型-2024 年高考数学大题秒杀技巧及专项训练（解析版）专题 03 五大类立体几何题型-2024 年高考数学大题秒杀技巧及专项训练（解析版）【题型题型 1 线面平行问题（刻度尺平移大法）】线面平行问题（刻度尺平移大法）】【题型【题型 2 线面垂直问题（勾股定理妙解）】线面垂直问题（勾股定理妙解）】【题型【题型 3 点面距离（体积求算）问题】点面距离（体积求算）问题】【题型【题型 4 线面夹角问题（两大法）】线面夹角问题（两大法）】【题型【题型 5 面面夹角问题（两大法）】面面夹角问题（两大法）】基础工具：法向量的求算基础工具：法向量的求算待定系数法：待定系数法：步骤如下：设出平面的法向量为zyxn,找出(求出)平面内的两个不共线的向量111,cbaa，222,cbab 根据法向量的定义建立关于zyx,的方程组00bnan解方程组，取其中的一个解，即得法向量注意：注意：在利用上述步骤求解平面的法向量时，方程组00bnan有无数多个解，只需给zyx,中的一个变量赋于一个值，即可确定平面的一个法向量；赋的值不同，所求平面的法向量就不同，但它们是共线向量秒杀大法：口诀：求谁不看谁，积差很崩溃（求外用外减，求内用内减）秒杀大法：口诀：求谁不看谁，积差很崩溃（求外用外减，求内用内减）向量111=ax,y,z，222=bx,y,z是平面a内的两个不共线向量，则向量122121121221,yxyxzxzxzyzyn是平面a的一个法向量.更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君特别注意：空间点不容易表示出来时直接设空间点的坐标，然后利用距离列三个方程求解.特别注意：空间点不容易表示出来时直接设空间点的坐标，然后利用距离列三个方程求解.：线面平行问题：线面平行问题线面平行：关键点线面平行：关键点必须将刻度尺与所证线重合，然后平移落在所证平面且留下痕迹眼神法：观察采用哪一种技巧（五种方法）（记住六大图像）必须将刻度尺与所证线重合，然后平移落在所证平面且留下痕迹眼神法：观察采用哪一种技巧（五种方法）（记住六大图像）：中位线型中位线型如图，在底面为平行四边形的四棱锥PABCD中，点E是PD的中点.求证：/PB平面AEC.分析：构造平行四边形：构造平行四边形如图,平行四边形ABCD和梯形BEFC所在平面相交，BE/CF，求证：AE/平面DCF.分析：过点E作EG/AD交FC于G，DG就是平面AEGD与平面DCF的交线，那么只要证明AE/DG即可。：作辅助面使两个平面是平行：作辅助面使两个平面是平行更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君如图，在四棱锥OABCD中，底面ABCD为菱形，M为OA的中点，N为BC的中点，证明：直线MNOCD平面分析：取OB中点E，连接NEME,，只需证平面MEN平面OCD。：利用平行线分线段成比例定理的逆定理证线线平行。：利用平行线分线段成比例定理的逆定理证线线平行。已知公共边为AB的两个全等的矩形ABCD和ABEF不在同一平面内，P，Q分别是对角线AE，BD上的点，且APDQ（如图）求证：PQ平面CBE已知公共边为AB的两个全等的矩形ABCD和ABEF不在同一平面内，P，Q分别是对角线AE，BD上的点，且APDQ（如图）求证：PQ平面CBE 如图，已知三棱锥ABCP，CBA、是PBC,PCA,PAB的重心.(1)求证：BA面ABC；（向量法）所证直线与已知平面的法向量垂直，关键：建立空间坐标系（或找空间一组基底）及平面的法向量。（向量法）所证直线与已知平面的法向量垂直，关键：建立空间坐标系（或找空间一组基底）及平面的法向量。如图，在四棱锥SABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱SD底面ABCDEF，分别为ABSC，的中点证明EF平面SAD；更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君分析：因为侧棱SD底面ABCD，底面ABCD是正方形，所以很容易建立空间直角坐标系及相应的点的坐标。证明：如图，建立空间直角坐标系Dxyz设(0 0)(0 0)A aSb，则(0)(00)B aaCa，0022 2aa bE aF，02bEFa uuu，因为y轴垂直与平面SAD，故可设平面的法向量为n=（0，1，0）则：02bEF na uuu，（0，1，0）=0 因此EFnuuu，所以EF平面SAD如图，三棱柱111ABCABC-中，O为底面111ABC的重心，11,:1:2DCC CD DC(1)求证：OD平面11ABC；(2)若1AA 底面111ABC，且三棱柱111ABCABC-的各棱长均为 6，设直线1AB与平面11ABC所成的角为q，求sinq的值破解：破解：（1）连接1C O交11AB于E点，连接CE更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君因为O为底面111ABC的重心，则1:1:2EO OC，又因为11,:1:2DCC CD DC，则11:EO OCCD DC，可知ODEC，因为OD 平面11,ABC EC 平面11ABC，所以OD平面11ABC（2）取AB的中点F，连接EF因为1AA 底面111ABC，且三棱柱111ABCABC-的各棱长均为 6，可知射线11,EB EC EF两两垂直，以11,EB EC EF所在直线分别为,x y z轴建立空间直角坐标系，则13,0,0,3,0,6,0,3 3,60,0,0BACE，所以116,0,6,3,0,0,0,3 3,6ABEBECuuuuuuuuu，设平面11ABC的法向量为,nx y z，则1303 360n EBxn ECyz+uuuuuu，令=2y，可得0,3xz，可得0,2,3n，所以1116 342sincos,1476 2n ABn ABn ABquuuuuuuuu如图，平行六面体如图，平行六面体1111ABCDABC D中，中，E F分别为分别为1AB CC的中点，的中点，N在在1B B上上.更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君(1)求证：求证：EFP平面平面1ADC；(2)若若11224,3DCDDADD DCAD平面平面111,5DCC D B NNBuuuu uuu，求平面，求平面EFN与平面与平面11DCC D的夹角的余弦值的夹角的余弦值.破解：（破解：（1）证明：如图，设1C D的中点为O，连接OF AO.F为1CC的中点，OFPCD且12OFCD.又EQ为AB的中点，且四边形ABCD是平行四边形，AEPOF且.AEOF四边形AOFE为平行四边形.AOPEF.又AO平面1,ADC EF 平面1ADC，EFP平面1ADC.（2）解：在平面11DCC D中，作DHDC交11C D于H.AD 平面11DCC D，DH 平面11DCC D，DC 平面11DCC D，,ADDH ADDC.AD DC DH两两互相垂直.分别以射线DA DC DH为x轴y轴z轴的非负半轴建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君 在平行六面体1111ABCDABC D中，由AD 平面11DCC D得平行四边形ABCD是矩形.11224,3DCDDADD DCQ111sin4sin2,6D HDDD DCHDC113cos4cos42 362DHDDD DCHDC11112C HC DD H根据已知可得10,0,0,2,0,0,2,4,0,0,4,0,0,2,2 3DABCC，10,2,2 3,2,2,0,0,3,3.DEF12,0,0,2,1,3,0,4,0,0,2,2 3ADEFABDD uuuuuu uuu uuuu.1111111535,0,262633B NNBENEBBNABBBABDD+uuuu uuu uuuuuu uuuuuu uuuuuu Quuuu.由AD 平面11DCC D得ADuuu是平面11DCC D的法向量.设,nx y zr是平面EFN的法向量，则53033230n ENyzn EFxyz+uuuuuu 取3y ，得5,2 3zx.2 3,3,5n 是平面EFN的法向量2 3(2)(3)05 030cos,.10|2 102n ADn ADnAD+uuuuuuuuu.更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君设平面EFN与平面11DCC D的夹角为q，则30coscos,10n ADquuu.平面EFN与平面11DCC D的夹角的余弦值为3010.如图，已知四棱台如图，已知四棱台1111ABCDABC D的上、下底面分别是边长为的上、下底面分别是边长为 2 和和 4 的正方形，平面的正方形，平面11AAD D平面平面 ABCD，1117A AD D，点，点 P 是棱是棱1DD的中点，点的中点，点 Q 在棱在棱 BC 上上 (1)若若3BQQC，证明：，证明：PQ平面平面11ABB A；(2)若二面角PQDC的正弦值为5 2626，求 BQ 的长破解：破解：（1）证明：取的中点 M，连接 MP，MB在四棱台中，四边形是梯形，又点 M，P 分别是棱，的中点，所以，且在正方形 ABCD 中，又，所以从而且，所以四边形 BMPQ 是平行四边形，所以又因为平面，平面，所以平面；1AA1111ABCDABC D11A ADD112AD 4AD1A A1DDMPAD1132ADADMP+BCAD4BC 3BQQC3BQ MPBQMPBQPQMBMB 11ABB APQ 11ABB APQ11ABB A更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君（2）在平面中，作于 O因为平面平面，平面平面，平面，所以平面在正方形 ABCD 中，过 O 作 AB 的平行线交 BC 于点 N，则以为正交基底，建立空间直角坐标系因为四边形是等腰梯形，所以，又，所以易得，所以，：设，所以设平面 PDQ 的法向量为，由，得，取，11AAD D1AOAD11AAD D ABCD11AAD DABCDAD1AOAD1AO 11AAD D1AO ABCDONOD1,ON OD OAuuu uuu uuuOxyz11AAD D112AD 4AD1AO 1117A AD D14AO 4,1,0B0,3,0D4,3,0C10,2,4D50,22P4,0,0DC uuu10,22DPuuu 0,4,0CB uuu 0,4,001CQCBllluuu uuu 4,4,0DQDCCQl+uuuuuuuuu,mx y z00m DPm DOuuu uuu1202440yzxyl+4,4,1ml更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君另取平面 DCQ 的一个法向量为设二面角的平面角为，由题意得又，所以，解得（舍负），因此，所以当二面角的正弦值为时，BQ 的长为 1：设，所以设平面 PDQ 的法向量为，由，得，取，另取平面 DCQ 的一个法向量为设二面角的平面角为，由题意得又，所以，解得或 6（舍），因此所以当二面角的正弦值为时，BQ 的长为 1 0,0,1n PQDC21cos1 sin26qq21coscos,417m nm nmnql+21126417l+34l 3434CQ 1BQ PQDC5 26264,013Qtt 4,3,0DQtuuu,mx y z00m DPm DQuuu uuu12024(3)0yzxty+3,4,1mt0,0,1n PQDC21cos1 sin26qq21coscos,317m nm nmntq+21126317t+0t1BQ PQDC5 2626更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君：在平面中，作，垂足为 H因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以在平面 ABCD 中，作，垂足为 G，连接 PG因为，PH，平面，所以平面，又平面，所以因为，所以是二面角的平面角在四棱台中，四边形是梯形，点 P 是棱的中点，所以，设，则，在中，从而因为二面角的平面角与二面角的平面角互补，且二面角的正弦值为，所以，从而所以在中，解得或（舍）所以当二面角的正弦值为时，BQ 的长为 11如图，在直三棱柱111ABCABC-中，ABBC，12ABBCBB，M，N，P 分别为11A ADDPHAD11A ADD ABCD11IA ADDABCDADPHADPH 11A ADDPH ABCDDQ ABCDPHDQHGDQPHDQHGDQPHHGHIHG PHGDQ PHGPG PHGDQPGHGDQPGDQPGHPQDA1111ABCDABC D11A ADD112AD 4AD1117A AD D1DD2PH 12DH 04BQxx4CQx22244832DQxxx+QHD21114832222xxHG+22832HGxx+PQDCPQDAPQDC5 26265 26sin26PGHtan5PGHRtPHG28325PHxxHG+1x 7x PQDC5 2626更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君11AB，AC，BC 的中点求证：/MN平面11BCC B；【详解】直三棱柱111ABCABC-中，M为的中点，所以，且，因为，分别，的中点，四边形为平行四边形，又平面，平面，故平面.2如图，在四棱锥中，平面，为棱的中点11AB1111122B MABAB1/B M ABQPNBCAC/PN AB12PNAB1/PN B M1PNB M=1B MNP1/MNB PMN11BCCB1BP11BCCB/MN11BCCBPABCDPA,/ABCDABAD ADBC，12BCAD2PAABE，PD更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君求证：/平面；【详解】取中点为，连接，如下所示：在中，因为分别为的中点，故/；又，故/，则四边形为平行四边形，/；又面面，故/面.3如图，在四棱锥中，平面，(1)求证：平面；(2)再从条件、条件这两个条件中选择一个作为已知，求平面与平面所成锐二面角的大小条件：；ECPABPAM,ME MBPAD,M E,PA PDME1,2AD MEAD1/,2ADBC BCADME,BC MEBCMBCEECMBMB,PAB EC PABECPABPABCDPA ABCD2PAADCD3BC 2 3PC CD PADPBCPAD5AB 更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君条件：平面注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得 0 分；如果选择多个符合要求的条件分别解
