2023-2024学年九年级数学上册举一反三系列专题24.5 圆内接四边形【六大题型】（举一反三）（人教版）含解析.docx

2023-2024学年九年级数学上册举一反三系列专题24.5 圆内接四边形【六大题型】【人教版】【题型1 利用圆内接四边形的性质求角度】1【题型2 利用圆内接四边形的性质求线段长度】2【题型3 利用圆内接四边形的性质求面积】3【题型4 利用圆内接四边形判的性质断结论的正误】4【题型5 利用圆内接四边形的性质进行证明】5【题型6 利用圆内接四边形的性质探究角或线段间的关系】7【知识点1 圆内接四边形】圆的内接四边形对角互补四边形是的内接四边形 【题型1 利用圆内接四边形的性质求角度】【例1】（2022自贡）如图，四边形ABCD内接于O，AB是O的直径，ABD20°，则BCD的度数是（）A90°B100°C110°D120°【变式1-1】（2022云州区一模）如图，四边形ABCD内接于O，连接OB，OD当四边形OBCD是菱形时，则OBA+ODA的度数是（）A65°B60°C55°D50°【变式1-2】（2022蜀山区校级三模）如图，四边形ABCD是O的内接四边形，BE是O的直径，连接AE若BCD2BAD，若连接OD，则DOE的度数是 【变式1-3】（2022秋包河区期末）如图，四边形ABCD内接于O，1+264°，3+4 °【题型2 利用圆内接四边形的性质求线段长度】【例2】（2022碑林区校级四模）如图所示，四边形ABCD是圆O的内接四边形，A45°，BC4，CD22，则弦BD的长为（）A25B35C10D210【变式2-1】（2022延边州二模）如图，四边形ABCD内接于O，过B点作BHAD于点H，若BCD135°，AB4，则BH的长度为（）A2B22C32D不能确定【变式2-2】（2022宁津县模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴负半轴上，点B在y轴正半轴上，D经过A，B，O，C四点，ACO120°，AB4，则圆心点D的坐标是（）A(3，1)B(-3，1)C(-1，3)D(-2，23)【变式2-3】（2022秋汉川市期中）已知M是弧CAB的中点，MP垂直于弦AB于P，若弦AC的长度为x，线段AP的长度是x+1，那么线段PB的长度是 （用含有x的代数式表示）【题型3 利用圆内接四边形的性质求面积】【例3】（2022贺州模拟）如图，四边形ABCD内接于O，ABC：ADC2：1，AB2，点C为BD的中点，延长AB、DC交于点E，且E60°，则O的面积是（）AB2C3D4【变式3-1】（2022秋青山区期中）如图，四边形ABCD为O的内接四边形，AOD+BOC180°若AD2，BC6，则BOC的面积为（）A3B6C9D12【变式3-2】（2022鹿城区模拟）如图，圆内接四边形ABCD中，BCD90°，ABAD，点E在CD的延长线上，且DEBC，连接AE，若AE4，则四边形ABCD的面积为 【变式3-3】（2022碑林区校级一模）如图，已知AC22，以AC为弦的O上有B、D两点，且BACDAC，则四边形ABCD的面积最大值为 【题型4 利用圆内接四边形判的性质断结论的正误】【例4】（2022银川模拟）如图，圆内接四边形ABCD的对角线AC，BD把它的4个内分角成8个角，用下列关于角的等量关系不一定成立的是（）A14B1+2+3+5180°C47DADC2+5【变式4-1】（2022秋西湖区校级期中）若四边形ABCD为圆内接四边形，则下列哪个选项可能成立（）AA：B：C：D1：2：3：4BA：B：C：D2：3：1：4CA：B：C：D3：1：2：4DA：B：C：D4：3：2：1【变式4-2】（2022南皮县模拟）如图，已知四边形ABEC内接于O，点D在AC的延长线上，CE平分BCD交O于点E，则下列结论中一定正确的是（）AABAEBABBECAEBEDABAC【变式4-3】（2022碑林区校级模拟）如图，A，P，B，C是O上的四个点，APCCPB60°，CP交AB于点E（1）判断ABC的形状，证明你的结论；（2）若P是AB的中点，求证：PCPA+PB；若点P在AB上移动，判断PCPA+PB是否成立，证明你的结论【题型5 利用圆内接四边形的性质进行证明】【例5】（2022思明区校级一模）已知四边形ABCD内接于O，D90°，P为CD上一动点（不与点C，D重合）（1）若BPC30°，BC3，求O的半径；（2）若A90°，AD=AB，求证：PBPD=2PC【变式5-1】（2022秋陵城区期末）定义：三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角如图1，E是ABC中A的遥望角，如图2，四边形ABCD内接于O，AD=BD，四边形ABCD的外角平分线DF交O于点F，连接BF并延长交CD的延长线于点E求证：BEC是ABC中BAC的遥望角【变式5-2】（2022龙岩模拟）如图，四边形ABCD内接于O，AC平分BAD，延长DC交AB的延长线于点E（1）若ADC86°，求CBE的度数；（2）若ACEC，求证：ADBE【变式5-3】（2022天津）如图，O和O都经过A、B两点，过B作直线交O于C，交O于D，G为圆外一点，GC交O于E，GD交O于F求证：EAF+G180°【题型6 利用圆内接四边形的性质探究角或线段间的关系】【例6】（2022春涟水县校级期末）如图1，已知ABC，ABAC，以边AB为直径的O交BC于点D，交AC于点E，连接DE（1）求证：DEDC（2）如图2，连接OE，将EDC绕点D逆时针旋转，使EDC的两边分别交OE的延长线于点F，AC的延长线于点G试探究线段DF、DG的数量关系【变式6-1】（2022赤峰）如图，四边形ABCD为O的内接四边形，ABAC（1）若BAC40°，求ADC的度数；（2）若BDAC交AC于点E，请判断BAC 和DAC之间的数量关系，并证明【变式6-2】（2022秋香洲区校级期中）画A，在A的两边分别取点B，点C，在A的内部取一点P，连接PB，PC探索BPC与A，B，C之间的数量关系，并证明你的结论【变式6-3】（2022阜宁县二模）我们学过圆内接四边形，学会了它的性质；圆内接四边形对角互补下面我们进一步研究（1）在图（1）中ECD是圆内接四边形ABCD的一个外角请你探究DCE与A的关系并说明理由（2）请你应用上述结论解答下题：如图（2）已知ABCD是圆内接四边形，F、E分别为BD，AD 延长线上的点如果DE平分FDC求证：ABAC专题24.6 直线与圆的位置关系及切线的判定与性质【十大题型】【人教版】【题型1 已知距离及半径判断直线与圆的位置关系】2【题型2 已知直线与圆的位置关系确定取值范围】4【题型3 根据直线与圆的位置关系确定交点个数】6【题型4 利用直线与圆的位置关系求最值】9【题型5 定义法判断切线】13【题型6 切线的判定（连半径证垂直）】15【题型7 切线的判定（作垂直证半径）】19【题型8 利用切线的性质求线段长度】23【题型9 利用切线的性质求角度】27【题型10 利用切线的判定与性质的综合运用】30【知识点1 直线与圆的位置关系】直线与圆的位置关系设的半径为，圆心到直线的距离为则有：相交：直线和圆有两个公共点直线和相交相切：直线和圆只有一个公共点直线和相切相离：直线和圆没有公共点直线和相离【题型1 已知距离及半径判断直线与圆的位置关系】【例1】（2022春金山区校级月考）已知同一平面内有O和点A与点B，如果O的半径为6cm，线段OA10cm，线段OB6cm，那么直线AB与O的位置关系为（）A相离B相交C相切D相交或相切【分析】根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断【解答】解：O的半径为6cm，线段OA10cm，线段OB6cm，即点A到圆心O的距离大于圆的半径，点B到圆心O的距离等于圆的半径，点A在O外点B在O上，直线AB与O的位置关系为相交或相切，故选：D【变式1-1】（2022秋韶关期末）已知O的半径等于3，圆心O到直线l的距离为5，那么直线l与O的位置关系是（）A直线l与O相交B直线l与O相切C直线l与O相离D无法确定【分析】根据“若dr，则直线与圆相交；若dr，则直线于圆相切；若dr，则直线与圆相离”即可得到结论【解答】解：O的半径等于3，圆心O到直线l的距离为5，35，直线l与O相离故选：C【变式1-2】（2022秋川汇区期末）在平面直角坐标系中，原点为O，点P在函数y=14x2-1的图象上，以点P为圆心，以OP为半径的圆与直线y2的位置关系是（）A相离B相切C相交D三种情况均有可能【分析】设P（t，14t21），利用两点间的距离公式计算出OP=14t2+1，再计算出P点到直线y2的距离为14t2+1，然后根据直线与圆的位置关系的判定方法可得到圆与直线y2相切【解答】解：设P（t，14t21），OP=t2+(14t2-1)2=(14t2+1)2=14t2+1，抛物线的顶点坐标为（0，1），P点在直线y2的上方，P点到直线y2的距离为14t21（2）=14t2+1，P点到直线y2的距离等于圆的半径，以点P为圆心，以OP为半径的圆与直线y2的位置关系是相切故选：B【变式1-3】（2022秋自贡期末）如图，O的半径为5，圆心O到一条直线的距离为2，则这条直线可能是（）Al1Bl2Cl3Dl4【分析】利用直线与圆的位置的判定方法进行判断【解答】解：直线l1与O相切，圆心O到一条直线l1的距离为5，直线l2与O相离，圆心O到一条直线l2的距离大于5，直线l3与l4与O相交，圆心O到一条直线l3和直线l4的距离都小于5，而圆心O到直线l3的距离较小，圆心O到一条直线的距离为2，这条直线可能是直线l3故选：C【题型2 已知直线与圆的位置关系确定取值范围】【例2】（2022秋北仑区期末）O的半径为5，若直线l与该圆相交，则圆心O到直线l的距离可能是（）A3B5C6D10【分析】根据直线l和O相交dr，即可判断【解答】解：O的半径为5，直线l与O相交，圆心D到直线l的距离d的取值范围是0d5，故选：A【变式2-1】（2022松江区校级模拟）如图，已知RtABC中，C90°，AC3，BC4，如果以点C为圆心的圆与斜边AB有公共点，那么C的半径r的取值范围是（）A0r125B125r3C125r4D3r4【分析】根据直线与圆的位置关系得出相切时有一交点，再结合图形得出另一种有一个交点的情况，即可得出答案【解答】解：过点C作CDAB于点D，AC3，BC4如果以点C为圆心，r为半径的圆与斜边AB只有一个公共点，AB5，当直线与圆相切时，dr，圆与斜边AB只有一个公共点，圆与斜边AB只有一个公共点，CD×ABAC×BC，CDr=125，当直线与圆如图所示也可以有交点，125r4故选：C【变式2-2】（2022秋丛台区校级期中）已知矩形ABCD中，AB4，BC3，以点B为圆心r为半径作圆，且B与边CD有唯一公共点，则r的取值范围为（）A3r4B3r5C3r4D3r5【分析】由于BDABBC，根据点与圆的位置关系得到3r5【解答】解：矩形ABCD中，AB4，BC3，BDAC=AB2+BC2=5，ADBC3，CDAB4，以点B为圆心作圆，B与边CD有唯一公共点，B的半径r的取值范围是：3r5；故选：D【变式2-3】（2022秋丛台区校级期中）以坐标原点O为圆心，作半径为4的圆，若直线yx+b与O相交，则b的取值范围是（）A0b22B42b42C22b22D42b42【分析】求出直线yx+b与圆相切，且函数经过一、二、四象限，和当直线yx+b与圆相切，且函数经过二、三、四象限时b的值，则相交时b的值在相切时的两个b的值之间【解答】解：当直线yx+b与圆相切，且函数经过一、二、四象限时，如图在yx+b中，令x0时，yb，则与y轴的交点是B（0，b），当y0时，xb，则与y轴的交点是A（b，0），则OAOBb，即OAB是等腰直角三角形，在RtABC中，AB=OA2+OB2=b2+b2=2b，连接圆心O和切点C，则OC4，OCAB，SAOB=12OAOB=12ABOC，4=OAOBAB=bb2b，则b42；同理，当直线yx+b与圆相切，且函数经过二、三、四象限时，b42；则若直线yx+b与O相交，则b的取值范围是42b42故选：D【题型3 根据直线与圆的位置关系确定交点个数】【例3】（2022秋武汉期末）已知O的半径等于5，圆心O到直线l的距离为6，那么直线l与O的公共点的个数是（）A0B1C2D无法确定【分析】利用直线与圆的位置关系的判断方法得到直线l和O相离，然后根据相离的定义对各选项进行判断【解答】解：O的半径等于5，圆心O到直线l的距离为6，即圆心O到直线l的距离大于圆的半径，直线l和O相离，直线l与O没有公共点故选：A【变式3-1】（2022秋武汉期末）直角ABC，BAC90°，AB8，AC6，以A为圆心，4.8长度为半径的圆与直线BC的公共点的个数为（）A0B1C2D不能确定【分析】根据直线和圆的位置关系与数量之间的联系进行判断若dr，则直线与圆相交；若dr，则直线于圆相切；若dr，则直线与圆相离【解答】解：BAC90°，AB8，AC6，BC10，斜边上的高为：ABACBC=4.8，d4.8cmrcm4.8cm，圆与该直线BC的位置关系是相切，交点个数为1，故选：B【变式3-2】（2022武汉模拟）一个圆的半径是5cm，如果圆心到直线距离是4cm，那么这条直线和这个圆的公共点的个数是（）个A0B1C2D0或1或2【分析】根据当圆的半径r圆心到直线的距离d时，直线与圆相交，即可得出直线l和这个圆的公共点的个数【解答】解：圆的半径是5cm，如果圆心到直线距离是4cm，rd，直线与圆相交，这条直线和这个圆的公共点的个数为2故选：C【变式3-3】（2022秋沭阳县期中）如图，在ABC中，C90°，AC4，BC3，以点C为圆心，r为半径画圆（1）当r2.4时，C与边AB相切；（2）当r满足3r4或r2.4时，C与边AB只有一个交点；（3）随着r的变化，C与边AB的交点个数还有哪些变化？写出相应的r的值或取值范围【分析】（1）当C与边AB相切时，则dr，由此求出r的值即可；（2）根据直线与圆的位置关系得出相切时有一交点，再结合图形得出另一种有一个交点的情况，即可得出答案；（3）随着r的变化，C与边AB的交点个数由0个、1个、2个三种情况【解答】解：（1）过点C作CDAB于点D，AC3，BC4如果以点C为圆心，r为半径的圆与斜边AB只有一个公共点，AB5，当直线与圆相切时，dr，圆与斜边AB只有一个公共点，圆与斜边AB只有一个公共点，如图1，CD×ABAC×BC，CDr2.4，故答案为：r2.4（2）当直线与圆相切时，即dr2.4，圆与斜边AB只有一个公共点，圆与斜边AB只有一个公共点，当直线与圆如图所示也可以有一个交点，如图2，3r4，故答案为：3r4或r2.4；（3）如图3，当0r2.4时，圆C与边AB有0个交点；如图1，当r2.4时，圆C与边AB有1个交点；如图4，当2.4r3时，圆C与边AB有2个交点；如图2，当3r4时，圆C与边AB有1个交点；如图5，当r4时，圆C与边AB有0个交点；综上所述，当0r2.4或r4时，圆C与边AB有0个交点；当3r4或r2.4时，圆C与边AB有1个交点；当2.4r3时，圆C与边AB有2个交点【题型4 利用直线与圆的位置关系求最值】【例4】（2022秋常熟市期中）如图，直线y=34x+3与x轴、y轴分别交于A，B两点，点P是以C（1，0）为圆心，1为半径的圆上任意一点，连接PA，PB，则PAB面积的最小值是（）A5B10C15D20【分析】作CHAB于H交O于E、F当点P与E重合时，PAB的面积最小，求出EH、AB的长即可解决问题【解答】解：作CHAB于H交O于E、FC（1，0），直线AB的解析式为y=34x+3，直线CH的解析式为y=-43x+43，由 y=-43x+43y=34x+3解得x=-45y=125，H（-45，125），CH=(1+45)2+(125)2=3，A（4，0），B（0，3），OA4，OB3，AB5，EH312，当点P与E重合时，PAB的面积最小，最小值=12×5×25，故选：A【变式4-1】（2022秋凉山州期末）点A是半径为2的O上一动点，点O到直线MN的距离为3点P是MN上一个动点在运动过程中若POA90°，则线段PA的最小值是 13【分析】根据勾股定理用OP表示出PA，根据垂线段最短解答即可【解答】解：POA90°，PA=OA2+OP2=4+OP2，当OP最小时，PA取最小值，由题意得：当OPMN时，OP最小，最小值为3，PA的最小值为：4+32=13，故答案为：13【变式4-2】（2022乐亭县一模）如图，O的半径是5，点A在O上P是O所在平面内一点，且AP2，过点P作直线l，使lPA（1）点O到直线l距离的最大值为7；（2）若M，N是直线l与O的公共点，则当线段MN的长度最大时，OP的长为21【分析】（1）如图1，当点P在圆外且O，A，P三点共线时，点O到直线l距离的最大，于是得到结论；（2）如图2，根据已知条件得到线段MN是O的直径，根据勾股定理即可得到结论【解答】解：（1）如图1，lPA，当点P在圆外且O，A，P三点共线时，点O到直线l的距离最大，最大值为AO+AP5+27；（2）如图2，M，N是直线l与O的公共点，当线段MN的长度最大时，线段MN是O的直径，lPA，APO90°，AP2，OA5，OP=OA2-PA2=21，故答案为：7，21【变式4-3】（2022广汉市模拟）在RtABC中，C90°，AC10，BC12，点D为线段BC上一动点以CD为O直径，作AD交O于点E，连BE，则BE的最小值为（）A6B8C10D12【分析】连接CE，可得CEDCEA90°，从而知点E在以AC为直径的Q上，继而知点Q、E、B共线时BE最小，根据勾股定理求得QB的长，即可得答案【解答】解：如图，连接CE，CEDCEA90°，点E在以AC为直径的Q上，AC10，QCQE5，当点Q、E、B共线时BE最小，BC12，QB=BC2+QC2=13，BEQBQE8，故选：B【知识点2 切线的判定】（1）切线判定：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 和圆只有一个公共点的直线是圆的切线（定义法） 如果圆心到一条直线的距离等于圆的半径，那么这条直线是圆的切线（2）切线判定常用的证明方法：知道直线和圆有公共点时，连半径，证垂直；不知道直线与圆有没有公共点时，作垂直，证垂线段等于半径【题型5 定义法判断切线】【例5】（2022淮安模拟）下列直线中，一定是圆的切线的是（）A过半径外端的直线B与圆心的距离等于该圆半径的直线C垂直于圆的半径的直线D与圆有公共点的直线【分析】根据选项举出反例图形即可判断A、C、D；根据切线的判定即可判断B【解答】解：切线的判定定理有：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，与圆心的距离等于该圆的半径的直线是圆的切线，A、如图EF不是O的切线，故本选项错误；B、与圆心的距离等于该圆的半径的直线是圆的切线，故本选项正确；C、如图，EF半径OA，但EF不是O的切线，故本选项错误；D、如上图，EFO有公共点，但EF不是O的切线，故本选项错误；故选：B【变式5-1】（2022秋嘉定区期末）下列四个选项中的表述，正确的是（）A经过半径上一点且垂直于这条半径的直线是圆的切线B经过半径的端点且垂直于这条半径的直线是圆的切线C经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线D经过一条弦的外端且垂直于这条弦的直线是圆的切线【分析】根据切线的判定对各个选项进行分析，从而得到答案【解答】解：由切线的判定定理可知：经过半径外端点且与这条半径垂直的直线是圆的切线，故A，B，D选项不正确，C选项正确，故选：C【变式5-2】（2022秋东台市校级月考）下列命题：（1）垂直于半径的直线是圆的切线（2）与圆只有一个公共点的直线是圆的切线（3）到圆心距离等于半径的直线是圆的切线（4）和三角形三边所在直线都相切的圆有且只有一个其中不正确的有（）A2个B3个C4个D1个【分析】利用切线的性质进行判断后即可得到答案【解答】解：（1）过半径的外端且垂直于半径的直线是圆的切线，原命题错误（2）与圆只有一个公共点的直线是圆的切线，原命题正确（3）到圆心距离等于半径的直线是圆的切线，正确（4）和三角形三边所在直线都相切的圆有且只有四个，原命题错误故选：A【变式5-3】（2022秋慈溪市期末）已知O的半径为5，直线EF经过O上一点P（点E，F在点P的两旁），下列条件能判定直线EF与O相切的是（）AOP5BOEOFCO到直线EF的距离是4DOPEF【分析】根据切线的判定定理可求得需要满足和条件，即可求得答案【解答】解：点P在O上，只需要OPEF即可，故选：D【题型6 切线的判定（连半径证垂直）】【例6】（2022顺德区一模）如图，A，B，C，D是O上的四个点，ADBBDC60°，过点A作AEBC交CD延长线于点E（1）求ABC的大小；（2）证明：AE是O的切线【分析】（1）根据圆周角定理得到CABBDC60°，ACBADB60°，根据等边三角形的性质解答即可；（2）连接AO并延长交BC于F，根据垂径定理的推论得到AFBC，根据平行线的性质得到AFAE，根据切线的判定定理证明结论【解答】（1）解：由圆周角定理得：CABBDC60°，ACBADB60°，ABC为等边三角形，ABC60°；（2）证明：连接AO并延长交BC于F，ABAC，AB=AC，AFBC，AFAE，OA是O的半径，AE是O的切线【变式6-1】（2022昭平县一模）如图，AB是O的弦，OPAB交O于C，OC2，ABC30°（1）求AB的长；（2）若C是OP的中点，求证：PB是O的切线【分析】（1）连接OA、OB，根据圆周角定理得到AOC2ABC60°，则OAD30°，所以OD=12OA1，AD=3OD=3，再根据垂径定理得ADBD，所以AB23；（2）由（1）BOC60°，则OCB为等边三角形，所以BCOBOC，OBCOCB60°，而CPCOCB，则CBPP，可计算出CBP30°，所以OBPOBC+CBP90°，于是根据切线的判定定理得PB是O的切线【解答】（1）解：连接OA、OB，如图，ABC30°，OPAB，AOC60°，OAD30°，OD=12OA=12×21，AD=3OD=3，又OPAB，ADBD，AB23；（2）证明：由（1）BOC60°，而OCOB，OCB为等边三角形，BCOBOC，OBCOCB60°，C是OP的中点，CPCOCB，CBPP，而OCBCBP+P，CBP30°OBPOBC+CBP90°，OBBP，PB是O的切线【变式6-2】（2022春朝阳区校级月考）如图，在RtABC中，C90°，AD平分BAC交BC于点D，O为AB上一点，经过点A，D的圆O分别交AB，AC于点E，F，连接EF求证：BC是圆O的切线【分析】连接OD，根据等腰三角形的性质和角平分线的定义得出CADODA，根据平行线的判定得出ODAC，求出ODBC，再根据切线的判定推出即可【解答】证明：连接OD，ODOA，OADODA，AD平分BAC，CADOAD，CADODA，ODAC，C90°，ACBC，ODBC，OD过圆心O，BC是圆O的切线【变式6-3】（2022秋武夷山市期末）如图，点P是O的直径AB延长线上的一点（PBOB），点E是线段OP的中点在直径AB上方的圆上作一点C，使得ECEP求证：PC是O的切线【分析】连接OC，根据线段中点的定义得到OEEP，求得OEECEP，得到COEECO，ECPP，根据切线的判定定理即可得到结论【解答】证明：连接OC，点E是线段OP的中点，OEEP，ECEP，OEECEP，COEECO，ECPP，COE+ECO+ECP+P180°，ECO+ECP90°，OCPC，OC是O的半径，PC是O的切线【题型7 切线的判定（作垂直证半径）】【例7】（2022武汉模拟）如图，在RtABC中，B90°，BAC的平分线交BC于点D，E为AB上的一点，DEDC，以D为圆心，DB长为半径作D，AB5，EB3（1）求证：AC是D的切线；（2）求线段AC的长【分析】（1）过点D作DFAC于F，求出BDDF等于半径，得出AC是D的切线（2）先证明BDEDCF（HL），根据全等三角形对应边相等及切线的性质的ABAF，得出AB+EBAC【解答】证明：（1）过点D作DFAC于F；AB为D的切线，B90°ABBCAD平分BAC，DFACBDDFAC与D相切；（2）在BDE和DCF中；BDDF，DEDC，RtBDERtDCF（HL），EBFCABAF，AB+EBAF+FC，即AB+EBAC，AC5+38【变式7-1】（2022秋滨海县期末）如图，以点O为圆心作圆，所得的圆与直线a相切的是（）A以OA为半径的圆B以OB为半径的圆C以OC为半径的圆D以OD为半径的圆【分析】根据直线与圆的位置关系的判定方法进行判断【解答】解：ODa于D，以点O为圆心，OD为半径的圆与直线a相切故选：D【变式7-2】（2022椒江区一模）如图，ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与O相切于点D求证：AC是O的切线【分析】过点O作OEAC于点E，连接OD，OA，根据切线的性质得出ABOD，根据等腰三角形三线合一的性质得出AO是BAC的平分线，根据角平分线的性质得出OEOD，从而证得结论【解答】证明：过点O作OEAC于点E，连接OD，OA，AB与O相切于点D，ABOD，ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，AO是BAC的平分线，OEOD，即OE是O的半径，圆心到直线的距离等于半径，AC是O的切线【变式7-3】（2022秋丹江口市期中）如图，O为正方形ABCD对角线上一点，以点O为圆心，OA长为半径的O与BC相切于点E（1）求证：CD是O的切线；（2）若正方形ABCD的边长为10，求O的半径【分析】（1）首先连接OE，并过点O作OFCD，由OA长为半径的O与BC相切于点E，可得OEOA，OEBC，然后由AC为正方形ABCD的对角线，根据角平分线的性质，可证得OFOEOA，即可判定CD是O的切线；（2）由正方形ABCD的边长为10，可求得其对角线的长，然后由设OAr，可得OEECr，由勾股定理求得OC=2r，则可得方程r+2r102，继而求得答案【解答】（1）证明：连接OE，并过点O作OFCDBC切O于点E，OEBC，OEOA，又AC为正方形ABCD的对角线，ACBACD，OFOEOA，即：CD是O的切线（2）解：正方形ABCD的边长为10，ABBC10，B90°，ACB45°，AC=AB2+BC2=102，OEBC，OEEC，设OAr，则OEECr，OC=OE2+EC2=2r，OA+OCAC，r+2r102，解得：r20102O的半径为：20102【知识点3 切线的性质】（1）切线性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径（2）切线性质的推论：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心【题型8 利用切线的性质求线段长度】【例8】（2022新平县模拟）如图，已知AB是O的直径，CD是O的切线，点C是切点，弦CFAB于点E，连接AC（1）求证：AC平分DCF；（2）若ADCD，BE2，CF8，求AD的长【分析】（1）连接OC，根据切线的性质得到OCD90°，根据等腰三角形的性质得到ACOCAE，根据等角的余角相等可得出结论；（2）根据垂径定理得到CE=12CF4，根据勾股定理求出O的半径，根据角平分线的性质定理解答即可【解答】（1）证明：连接OC，CD切O于点C，OCD90°，ACD+ACO90°CFAB，AEC90°，ACF+CAE90°OAOC，ACOCAE，ACDACF；（2）解：由（1）可知，ACDACFCFAB，CF8，CE=12CF4，设O的半径为r，则OEr3，在RtOEC中，OC2OE2+CE2，即r2（r2）2+42，解得：r5，AEABBE1028，ACDACF，ADCD，CFAB，ADAE8【变式8-1】（2022泸县一模）如图，AB是O的切线，A为切点，AC是O的弦，过O作OHAC于点H若OH3，AB12，BO13，求：O的半径和AC的长【分析】利用切线的性质得OAB90°，则根据勾股定理可计算出OA5，再根据垂径定理得到AHCH，接着利用勾股定理计算出AH，从而得到AC的长【解答】解：AB为切线，OAAB，OAB90°，在RtOAB中，OA=OB2-AB2=132-122=5，OHAC，AHCH，在RtOAH中，AH=OA2-OH2=52-32=4，AC2AH8，答：O的半径为5，AC的长为8【变式8-2】（2022建邺区一模）如图，AB、CD是O的切线，B、D为切点，AB2，CD4，AC10若A+C90°，则O的半径是4【分析】连接OB，OD，根据切线的性质得到OBEODE90°，延长AB，CD交于E，求得AEC90°，根据正方形的性质得到BEDEOB，设O的半径是r，根据勾股定理即可得到结论【解答】解：连接OB，OD，AB、CD是O的切线，B、D为切点，OBEODE90°，延长AB，CD交于E，A+C90°，AEC90°，AECOBEODE90°，四边形ODEB是矩形，OBOD，四边形ODEB是正方形，BEDEOB，设O的半径是r，AE