2023-2024学年九年级数学上册举一反三系列专题24.3 垂径定理【十大题型】（举一反三）（人教版）含解析.docx

2023-2024学年九年级数学上册举一反三系列专题24.3 垂径定理【十大题型】【人教版】【题型1 利用垂径定理求线段长度】1【题型2 利用垂径定理求角度】5【题型3 利用垂径定理求最值】9【题型4 利用垂径定理求取值范围】13【题型5 利用垂径定理求整点】18【题型6 利用垂径定理求面积】22【题型7 垂径定理在格点中的运用】26【题型9 垂径定理与分类讨论中的综合运用】33【题型10 垂径定理的应用】37【知识点1 垂径定理及其推论】（1）垂径定理     垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧（2）垂径定理的推论     推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧     推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧     推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧【题型1 利用垂径定理求线段长度】【例1】（2022雨花区校级开学）如图，O的半径OD弦AB交AB于点C，连接AO并延长交O于点E，连接EC若AB8，EC213，则CD的长为（）A1B3C2D4【变式1-1】（2022宁津县二模）如图，已知圆O的半径为10，ABCD，垂足为P，且ABCD16，则OP的长为（）A6B62C8D82【变式1-2】（2022建华区二模）如图，O的直径AB与弦CD相交于点E，若AE5，EB1，AEC30°，则CD的长为（）A5B23C42D22+3+1【变式1-3】（2022春徐汇区校级期中）如图，AB是O的弦，D为半径OA的中点，过D作CDOA交弦AB于点E，且CECB，若BE2AE，CD5，那么O的半径为 【题型2 利用垂径定理求角度】【例2】（2022泰安模拟）如图，O的半径OA，OB，且OAOB，连接AB现在O上找一点C，使OA2+AB2BC2，则OAC的度数为（）A15°或75°B20°或70°C20°D30°【变式2-1】（2022秋天心区期中）如图，已知O半径OA4，点B为圆上的一点，点C为劣弧AB上的一动点，CDOA，CEOB，连接DE，要使DE取得最大值，则AOB等于（）A60°B90°C120°D135°【变式2-2】（2022秋青田县期末）如图，在O中，半径OC过弦AB的中点E，OC2，OE=2（1）求弦AB的长；（2）求CAB的度数【变式2-3】（2022秋开州区期末）如图，在O中，弦BC与半径OA垂直于点D，连接AB、AC点E为AC的中点，连接DE（1）若AB6，求DE的长；（2）若BAC100°，求CDE的度数【题型3 利用垂径定理求最值】【例3】（2022威海模拟）O中，点C为弦AB上一点，AB1，CDOC交O于点D，则线段CD的最大值是（）A12B1C32D2【变式3-1】（2022河北模拟）如图所示，在O中，AB为弦，OCAB交AB于点D且ODDCP为O上任意一点，连接PA，PB，若O的半径为1，则 SPAB的最大值为（）A1B233C334D332【变式3-2】（2022秋龙凤区校级期末）如图，矩形ABCD中，AB20，AD15，P，Q分别是AB，AD边上的动点，PQ16，以PQ为直径的O与BD交于点M，N，则MN的最大值为 【变式3-3】（2022秋延平区校级期末）在RtABC中，C90°，BC3，AC4，D、E分别是AC、BC上的一点，且DE3，若以DE为直径的圆与斜边AB相交于M、N，则MN的最大值为（）A910B65C85D125【题型4 利用垂径定理求取值范围】【例4】（2022包河区校级二模）如图，在O中，直径AB10，CDAB于点E，CD8点F是弧BC上动点，且与点B、C不重合，P是直径AB上的动点，设mPC+PF，则m的取值范围是（）A8m45B45m10C8m10D6m10【变式4-1】（2022佛山）如图，O的直径为10cm，弦AB8cm，P是弦AB上的一个动点，求OP的长度范围【变式4-2】（2022秋盐都区校级月考）如图，点P是O内一定点（1）过点P作弦AB，使点P是AB的中点（不写作法，保留作图痕迹）；（2）若O的半径为13，OP5，求过点P的弦的长度m范围；过点P的弦中，长度为整数的弦有 条【变式4-3】（2022秋天河区校级期中）已知O的半径为5，点O到弦AB的距离OH3，点P是圆上一动点，设过点P且与AB平行的直线为l，记直线AB到直线l的距离为d（1）求AB的长；（2）如果点P只有两个时，求d的取值范围；（3）如果点P有且只有三个时，求连接这三个点所得到的三角形的面积【题型5 利用垂径定理求整点】【例5】（2022山海关区一模）已知O的直径CD10，CD与O的弦AB垂直，垂足为M，且AM4.8，则直径CD上的点（包含端点）与A点的距离为整数的点有（）A1个B3个C6个D7个【变式5-1】（2022秋新昌县期末）如图，AB是O的弦，OCAB于点C，连接OB，点P是半径OB上任意一点，连接AP，若OB5，OC3，则AP的长不可能是（）A6B7C8D9【变式5-2】（2022桥西区校级模拟）如图，AB是C的弦，直径MNAB于点O，MN10，AB8，如图以O为原点建立坐标系我们把横纵坐标都是整数的点叫做整数点，则线段OC长是 3，C上的整数点有 个【变式5-3】（2022秋肇东市期末）已知O的半径为5，点O到弦AB的距离为3，则O上到弦AB所在直线的距离为2的点有（）A4个B3个C2个D1个【题型6 利用垂径定理求面积】【例6】（2022武汉模拟）如图，在半径为1的O中有三条弦，它们所对的圆心角分别为60°，90°，120°，那么以这三条弦长为边长的三角形的面积是（）A2B1C32D22【变式6-1】（2022秋黄州区校级月考）如图，矩形MNGH的四个顶点都在O上，顺次连接矩形各边的中点，得到菱形ABCD，若BD12，DF4，则菱形ABCD的面积为 【变式6-2】（2022秋西城区校级期中）如图，AB为O直径，过点O作ODBC于点E，交O于点D，CDAB（1）求证：E为OD的中点；（2）若CB6，求四边形CAOD的面积【变式6-3】（2022新洲区模拟）如图，点A，C，D均在O上，点B在O内，且ABBC于点B，BCCD于点C，若AB4，BC8，CD2，则O的面积为（）A1254B2754C1259D2759【题型7 垂径定理在格点中的运用】【例7】（2022秋襄都区校级期末）如图所示，一圆弧过方格的格点AB，试在方格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为（0，4），则该圆弧所在圆的圆心坐标是（）A（1，2）B（1，1）C（1，1）D（2，1）【变式7-1】（2022春海门市期中）如图所示，P过B、C两点，写出P上的格点坐标【变式7-2】（2022商城县三模）如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A、B、C均在小正方形的顶点上，点C同时也在AB上，若点P是BC的一个动点，则ABP面积的最大值是 【变式7-3】（2017秋靖江市校级月考）如图，在单位长度为1的正方形网格中建立一直角坐标系，一条圆弧经过网格点A、B、C，请在网格图中进行下列操作（以下结果保留根号）：（1）利用网格作出该圆弧所在圆的圆心D点的位置，并写出D点的坐标为 ；（2）连接AD、CD，则D的半径为 ，ADC的度数 【题型8 垂径定理在坐标系中的运用】【例8】（2022博山区一模）如图，在平面直角坐标系中，半径为5的E与y轴交于点A（0，2），B（0，4），与x轴交于C，D，则点D的坐标为（）A(4-26，0)B(-4+26，0)C(-4+26，0)D(4-26，0)【变式8-1】（2022秋西林县期末）如图，P与y轴交于点M（0，4），N（0，10），圆心P的横坐标为4则P的半径为（）A3B4C5D6【变式8-2】（2022印江县三模）如图，直线l为yx，过点A1（1，0）作A1B1x轴，与直线l交于点B1，以原点O为圆心，OB1长为半径画圆弧交x轴于点A2；再作A2B2x轴，交直线l于点B2，以原点O为圆心，OB2长为半径画圆弧交x轴于点A3；，按此作法进行下去，则点A2022的坐标为 【变式8-3】（2015宜春模拟）如图，半径为5的P与y轴交于点M（0，4），N（0，10），函数y2x+m图象过点P，则m 【题型9 垂径定理与分类讨论中的综合运用】【例9】（2022秋化德县校级期末）O的半径为10cm，弦ABCD，且AB12cm，CD16cm，则AB和CD的距离为（）A2cmB14cmC2cm或14cmD10cm或20cm【变式9-1】（2022包河区二模）已知圆O的半径为5，弦AB8，D为弦AB上一点，且AD1，过点D作CDAB，交圆O于C，则CD长为（）A1B7C8或1D7或1【变式9-2】（2022秋方正县期末）如图，O的弦AB与半径OC垂直，点D为垂足，ODDC，AB23，点E在O上，EOA30°，则EOC的面积为 【变式9-3】（2022秋淮南月考）如图，已知O的半径为2弦AB的长度为2，点C是O上一动点，若ABC为等腰三角形，则BC2的长为 【题型10 垂径定理的应用】【例10】（2022秋武昌区校级期末）某地有一座圆弧形拱桥，它的跨度（弧所对的弦的长）24m，拱高（弧的中点到弦的距离）4米，则求拱桥的半径为（）A16mB20mC24mD28m【变式10-1】（2022望城区模拟）九章算术是我国古代著名数学经典，其中对勾股定理的论述比西方早一千多年，其中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小以锯锯之，深一寸，锯道长一尺问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深1寸，锯道长1尺如图，已知弦AB1尺，弓形高CD1寸，（注：1尺10寸）问这块圆柱形木材的直径是（）A13寸B6.5寸C26寸D20寸【变式10-2】（2022秋西城区校级期中）京西某游乐园的摩天轮采用了国内首创的横梁结构，风格更加简约如图，摩天轮直径88米，最高点A距离地面100米，匀速运行一圈的时间是18分钟由于受到周边建筑物的影响，乘客与地面的距离超过34米时，可视为最佳观赏位置，在运行的一圈里最佳观赏时长为 分钟【变式10-3】（2022浙江）如图，公园内有一个半径为20米的圆形草坪，A，B是圆上的点，O为圆心，AOB120°，从A到B只有路AB，一部分市民为走“捷径”，踩坏了花草，走出了一条小路AB通过计算可知，这些市民其实仅仅少走了 步（假设1步为0.5米，结果保留整数）（参考数据：31.732，取3.142）专题24.3 垂径定理【十大题型】【人教版】【题型1 利用垂径定理求线段长度】1【题型2 利用垂径定理求角度】5【题型3 利用垂径定理求最值】9【题型4 利用垂径定理求取值范围】13【题型5 利用垂径定理求整点】18【题型6 利用垂径定理求面积】22【题型7 垂径定理在格点中的运用】26【题型9 垂径定理与分类讨论中的综合运用】33【题型10 垂径定理的应用】37【知识点1 垂径定理及其推论】（1）垂径定理     垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧（2）垂径定理的推论     推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧     推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧     推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧【题型1 利用垂径定理求线段长度】【例1】（2022雨花区校级开学）如图，O的半径OD弦AB交AB于点C，连接AO并延长交O于点E，连接EC若AB8，EC213，则CD的长为（）A1B3C2D4【分析】由垂径定理得出ACBC4，连接BE，由CBE90°及CE长度求出BE6，在RtABE中求出AE10，从而得出半径OAOD5，再在RtAOC中求出OC，从而得出答案【解答】解：ODAB，AB8，ACBC4，如图，连接BE，AE是O的直径，ABE90°，CE213，BE=CE2-BC2=(213)2-42=6，则AE=AB2+BE2=82+62=10，AOOD5，在RtAOC中，OC=AO2-AC2=52-42=3，则CDODOC2，故选：C【变式1-1】（2022宁津县二模）如图，已知圆O的半径为10，ABCD，垂足为P，且ABCD16，则OP的长为（）A6B62C8D82【分析】根据题意作出合适的辅助线，然后根据垂径定理、勾股定理即可求得OP的长，本题得以解决【解答】解：作OEAB交AB与点E，作OFCD交CD于点F，如右图所示，则AEBE，CFDF，OFPOEP90°，又圆O的半径为10，ABCD，垂足为P，且ABCD16，FPE90°，OB10，BE8，四边形OEPF是矩形，OE6，同理可得，OF6，EP6，OP=62+62=62，故选：B【变式1-2】（2022建华区二模）如图，O的直径AB与弦CD相交于点E，若AE5，EB1，AEC30°，则CD的长为（）A5B23C42D22+3+1【分析】因为AED30°，可过点O作OFCD于F，构成直角三角形，先求得O的半径为3，进而求得OE312，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半，得出OF=12OE1，再根据勾股定理求得DF的长，然后由垂径定理求出CD的长【解答】解：过点O作OFCD于F，连接DO，AE5，BE1，AB6，O的半径为3，OE312AEC30°，OF1，CF22，CD2CF42，故选：C【变式1-3】（2022春徐汇区校级期中）如图，AB是O的弦，D为半径OA的中点，过D作CDOA交弦AB于点E，且CECB，若BE2AE，CD5，那么O的半径为 23【分析】先证明AFO和BCE是等边三角形，设DEx，根据CD5列方程，求出x得到AD=3，从而得解【解答】解：如图，记DC与O交于点F，连接AF、OF、OB，过点C作CTAB于点T，连接OE，OTD为半径OA的中点，CDOA，FD垂直平分AO，FAFO，又OAOF，AOF是等边三角形，OAFAOFAFO60°，CECB，CTEB，ETTB，BE2AE，AEETBT，ADOD，DEOT，AOTADE90°，OEAEET，OAOB，OAEOBT，AOBO，AEBT，AOEBOT（SAS），OEOT，OEOTET，ETO60°，OABOBA30°，AEDCEB60°，CEB是等边三角形，CECBBE，设DEx，AE2x，BECE4x，CD5x5，x1，AD=3，AO23故答案为：23【题型2 利用垂径定理求角度】【例2】（2022泰安模拟）如图，O的半径OA，OB，且OAOB，连接AB现在O上找一点C，使OA2+AB2BC2，则OAC的度数为（）A15°或75°B20°或70°C20°D30°【分析】设圆的半径是r，作直径BD，作BC关于直径BD的对称线段BE，连接EC，BE，ED，AC，再由直角三角形的性质即可解答【解答】解：如图，设圆的半径是r，则AOr，BOr，作直径BD，作BCO的弦BC，使DBC30°，作BC关于直径BD的对称线段BE，连接EC，BE，ED，AC，直角BED中，可以得EBD30°，线段BE与线段BC关于直线BD对称，BCBE，BD垂直平分线段CE，DE=CD，CBD30°而BCA=12AOB45°在ABC中，OAC180°ABOCBDACBBAO15°同理，当E为C时，OAC75°故OAC的度数为15°或75°故选：A【变式2-1】（2022秋天心区期中）如图，已知O半径OA4，点B为圆上的一点，点C为劣弧AB上的一动点，CDOA，CEOB，连接DE，要使DE取得最大值，则AOB等于（）A60°B90°C120°D135°【分析】如图，延长CD交O 于P，延长CE交O于T，连接PT根据垂径定理以及三角形的中位线定理，可得DE=12PT，当PT是直径时，DE的长最大，再证明AOB90°，即可解决问题【解答】解：如图，延长CD交O 于P，延长CE交O于T，连接PTOAPC，OBCT，CDDP，CETE，DE=12PT，当PT是直径时，DE的长最大，连接OC，OPOCOT，ODPC，OECT，CODPOA，COBBOT，AOBCOA+COB=12POT90°，故选：B【变式2-2】（2022秋青田县期末）如图，在O中，半径OC过弦AB的中点E，OC2，OE=2（1）求弦AB的长；（2）求CAB的度数【分析】（1）连接OB，先由垂径定理得OCAB，AEBE，OBOC2，再由勾股定理求出BE=2，即可求解；（2）先证BOE是等腰直角三角形，得BOC45°，再由圆周角定理即可求解【解答】解：（1）连接OB，如图所示：半径OC过弦AB的中点E，OCAB，AEBE，OBOC2，BE=OB2-OE2=22-(2)2=2，AB2BE22；（2）由（1）得：BEOE，OCAB，BOE是等腰直角三角形，BOC45°，CAB=12BOC22.5°【变式2-3】（2022秋开州区期末）如图，在O中，弦BC与半径OA垂直于点D，连接AB、AC点E为AC的中点，连接DE（1）若AB6，求DE的长；（2）若BAC100°，求CDE的度数【分析】（1）根据垂径定理得到AB=AC，则ACAB6，然后根据直角三角形斜边上的中线性质得到DE的长；（2）利用等腰三角形的性质和三角形的内角和计算出C40°，然后利用EDEC得到CDEC40°【解答】解：（1）BCOA，AB=AC，ADC90°，ACAB6，点E为AC的中点，DE=12AC3；（2）ABAC，BC，BAC100°，C=12（180°100°）40°，点E为AC的中点，EDEC，CDEC40°【题型3 利用垂径定理求最值】【例3】（2022威海模拟）O中，点C为弦AB上一点，AB1，CDOC交O于点D，则线段CD的最大值是（）A12B1C32D2【分析】因为CDOC交O于点D，连接OD，OCD是直角三角形，则CD=OD2-OC2，因为半径OD是定值，当OC取得最小值时线段CD取得最大值【解答】解：连接OD，CDOC交O于点D，OCD是直角三角形，根据勾股定理得CD=OD2-OC2，半径OD是定值，当OCAB时，线段OC最小，此时D与B重合，CD=OB2-OC2，OCAB，ACBC=12AB=12，CD=OB2-OC2=BC=12故选：A【变式3-1】（2022河北模拟）如图所示，在O中，AB为弦，OCAB交AB于点D且ODDCP为O上任意一点，连接PA，PB，若O的半径为1，则 SPAB的最大值为（）A1B233C334D332【分析】连接OA，如图，利用垂径定理得到ADBD，AC=BC，再根据ODDC可得到OD=12OA=12，所以AD=32，由勾股定理，则AB=3PAB底AB不变，当高越大时面积越大，即P点到AB距离最大时，APB的面积最大则当点P为AB所在优弧的中点时，此时PDPO+OD1+12=32，APB的面积最大，然后根据三角形的面积公式计算即可【解答】解：连接OA，如图，OCAB，ADBD，ODDC，OD=12OA=12，AD=OA2-OD2=32，AB2AD=3当点P为AB所对的优弧的中点时，APB的面积最大，此时PDPO+OD1+12=32APB的面积的最大值为=12ABPD=12×3×32=334故选：C【变式3-2】（2022秋龙凤区校级期末）如图，矩形ABCD中，AB20，AD15，P，Q分别是AB，AD边上的动点，PQ16，以PQ为直径的O与BD交于点M，N，则MN的最大值为 83【分析】过A点作AHBD于H，连接OM，如图，先利用勾股定理计算出BD25，则利用面积法可计算出AH36，再证明点O在AH上时，OH最短，此时HM有最大值，最大值为43，然后根据垂径定理可判断MN的最大值【解答】解：过A点作AHBD于H，连接OM，如图：四边形ABCD是矩形，BAD90°，在RtABD中，BD=AB2+AD2=202+152=25，12×AH×BD=12×AD×AB，AH=20×1525=12，O的直径为16，O的半径为8，点O在AH上时，OH最短，HM=OM2-OH2，此时HM有最大值，OHAHOA4，则最大值为82-42=43，OHMN，MN2MH，MN的最大值为2×43=83故答案为：83【变式3-3】（2022秋延平区校级期末）在RtABC中，C90°，BC3，AC4，D、E分别是AC、BC上的一点，且DE3，若以DE为直径的圆与斜边AB相交于M、N，则MN的最大值为（）A910B65C85D125【分析】由题意可知，C、O、G三点在一条直线上OG最小，MN最大，再由勾股定理求得AB，然后由三角形面积求得CF，最后由垂径定理和勾股定理即可求得MN的最大值【解答】解：过O作OGAB于G，连接OC、OM，DE3，ACB90°，ODOE，OC=12DE=32，只有C、O、G三点在一条直线上OG最小，OM=32，只有OG最小，GM才能最大，从而MN有最大值，过C作CFAB于F，G和F重合时，MN有最大值，ACB90°，BC3，AC4，AB=BC2+AC2=32+42=5，12ACBC=12ABCF，CF=AC×BCAB=4×35=125，OGCFOC=125-32=910，MG=OM2-OG2=(32)2-(910)2=65，MN2MG=125，故选：D【题型4 利用垂径定理求取值范围】【例4】（2022包河区校级二模）如图，在O中，直径AB10，CDAB于点E，CD8点F是弧BC上动点，且与点B、C不重合，P是直径AB上的动点，设mPC+PF，则m的取值范围是（）A8m45B45m10C8m10D6m10【分析】连接PD，DF，OC，BD，利用垂径定理可得AB是CD的垂直平分线，则PCPD；利用三角形的任意两边之和大于第三边，可得不等式PD+PFDF（当D，P，F在一条直线上时取等号），结合图形即可得出结论【解答】解：连接PD，DF，OC，BD，如图，CDAB，BA为O的直径，CEED=12CD4，OC=12AB5，OE=OC2-CE2=3，BEOE+OB8BD=BE2+DE2=45P是直径AB上的动点，CDAB，AB是CD的垂直平分线，PCPDmPC+PF，mPD+PF，由图形可知：PD+PFDF（当D，P，F在一条直线上时取等号），点F是弧BC上动点，且与点B、C不重合，DCDF直径，8m10故选：C【变式4-1】（2022佛山）如图，O的直径为10cm，弦AB8cm，P是弦AB上的一个动点，求OP的长度范围【分析】过点O作OEAB于点E，连接OB，由垂径定理可知AEBE=12AB，再根据勾股定理求出OE的长，由此可得出结论【解答】解：过点O作OEAB于点E，连接OB，AB8cm，AEBE=12AB=12×84cm，O的直径为10cm，OB=12×105cm，OE=OB2-BE2=52-42=3cm，垂线段最短，半径最长，3cmOP5cm【变式4-2】（2022秋盐都区校级月考）如图，点P是O内一定点（1）过点P作弦AB，使点P是AB的中点（不写作法，保留作图痕迹）；（2）若O的半径为13，OP5，求过点P的弦的长度m范围；过点P的弦中，长度为整数的弦有 4条【分析】（1）连接OP并延长，过点P作ABOP即可；（2）过点P的所有弦中，直径最长为26，与OP垂直的弦最短，由垂径定理和勾股定理求出AB24，即可得出答案；过P点最长的弦为直径26，最短的弦24，长度为25的弦有2条，即可得出结论【解答】解：（1）如图1，连接OP并延长，过点P作ABOP，则弦AB即为所求；（2）过点P的所有弦中，直径最长为26，与OP垂直的弦最短，连接OA，如图2所示：OPAB，APBP=OA2-OP2=132-52=12，AB2AP24，过点P的弦的长度m范围为24m26；过P点最长的弦为直径26，最短的弦24，长度为25的弦有两条，过点P的弦中，长度为整数的弦共有4条，故答案为：4【变式4-3】（2022秋天河区校级期中）已知O的半径为5，点O到弦AB的距离OH3，点P是圆上一动点，设过点P且与AB平行的直线为l，记直线AB到直线l的距离为d（1）求AB的长；（2）如果点P只有两个时，求d的取值范围；（3）如果点P有且只有三个时，求连接这三个点所得到的三角形的面积【分析】（1）连接OA，根据勾股定理求出AH，根据垂径定理得出即可；（2）求出HC和HD的值，结合图形得出即可；（3）先找出符合条件时的位置，求出三角形的高和底边，根据三角形的面积公式求出即可【解答】解：（1）连接OA，如图1，点O到弦AB的距离OH3，ABOC，OHA90°，AB2AH，在RtAHO中，OA5，OH3，由勾股定理得：AH4，AB2AH8；（2）延长CO交O于D，如图2，CH532，HD5+38，点P只有两个时d的取值范围是2d8；（3）如图3，CH532，HD5+38，点P有且只有三个时，d2，如图，P在C、E、F处，连接OE，OCAB，ABEF，OCEF，EF2EM，OE5，OM5221，CM2+24，由勾股定理得：EM=52-12=26；EF2EM46，SCEF=12×EF×CM=12×46×486即点P有且只有三个时，连接这三个点所得到的三角形的面积是86【题型5 利用垂径定理求整点】【例5】（2022山海关区一模）已知O的直径CD10，CD与O的弦AB垂直，垂足为M，且AM4.8，则直径CD上的点（包含端点）与A点的距离为整数的点有（）A1个B3个C6个D7个【分析】利用勾股定理得出线段AD和AC的长，根据垂线段的性质结合图形判断即可【解答】解：CD是直径，OCOD=12CD=12×105，ABCD，AMCAMD90°，AM4.8，OM=52-482=1.4，CM5+1.46.4，MD51.43.6，AC=482+642=8，AD=482+362=6，AM4.8，A点到线段MD的最小距离为4.8，最大距离为6，则A点到线段MD的整数距离有5，6，A点到线段MC的最小距离为4.8，最大距离为8，则A点到线段MC的整数距离有5，6，7，8，直径CD上的点（包含端点）与A点的距离为整数的点有6个，故选：C【变式5-1】（2022秋新昌县期末）如图，AB是O的弦，OCAB于点C，连接OB，点P是半径OB上任意一点，连接AP，若OB5，OC3，则AP的长不可能是（）A6B7C8D9【分析】首先利用勾股定理得出AC的长，求出AB长，再利用三角形边之间的关系进而得出AOAPAB，即可得出答案【解答】解：连接OA，OCAB于点C，OB5，OC3，BC=52-32=4，AB2×48，AOAPAB，5AP8，AP的长度不可能是：9（答案不唯一）故选：D【变式5-2】（2022桥西区校级模拟）如图，AB是C的弦，直径MNAB于点O，MN10，AB8，如图以O为原点建立坐标系我们把横纵坐标都是整数的点叫做整数点，则线段OC长是 3，C上的整数点有 12个【分析】过C作直径ULx轴，连接AC，根据垂径定理求出AOBO4，根据勾股定理求出OC，再得出答案即可【解答】解：过C作直径ULx轴，连接CA，则AC=12×105，MN过圆心C，MNAB，AB8，AOBO4，AOC90°，由勾股定理得：CO=AC2-OC2=52-42=3，ON532，OM5+38，即A（4，0），B（4，0），M（0，8），N（0，2），同理还有弦QRAB8，弦WETS6，且WE、TS、QR都平行于x轴，Q（4，6），R（4，6），W（3，7），E（3，7），T（3，1），S（3，1），U（5，3），L（5，3），即共12个点，故答案为：3；12【变式5-3】（2022秋肇东市期末）已知O的半径为5，点O到弦AB的距离为3，则O上到弦AB所在直线的距离为2的点有（）A4个B3个C2个D1个【分析】过O点作OCAB，交O于P，由OC3，OA5，得到PC2，即点P到直线AB的距离为2；在直线的另一边，圆上的点到直线的最远距离为8，而圆为对称图形，则还有两个点M，N到直线AB的距离为3【解答】解：过O点作OCAB，交O于P，如图，OC3，而OA5，PC2，即点P到直线AB的距离为2；在直线的另一边，圆上的点到直线的最远距离为8，而圆为对称图形，在直线AB的这边，还有两个点M，N到直线AB的距离为2故选：B【题型6 利用垂径定理求面积】【例6】（2022武汉模拟）如图，在半径为1的O中有三条弦，它们所对的圆心角分别为60°，90°，120°，那么以这三条弦长为边长的三角形的面积是（）A2B1C32D22【分析】连接OA、OB、OC、OD、OE、OF，则AOB、COD分别为等边三角形，等腰直角三角形，进而可得到AB、CD长；再过点O作OHEF于点H，根据垂径定理可得EF2EH，EOHFOH60°，根据锐角三角形函数可求出FH，进而可得EF；再根据AB2+CD2EF2可判断以AB、CD、EF为边的三角形为直角三角形，即可求出其面积【解答】解：如图，连接OA、OB、OC、OD、OE、OF，则AOB60°，COD90°，EOF120°，在RtCOD中，CD=12+12=2OAOB，AOB是等边三角形，ABOA1，过点O作OHEF于点H，则EF2EH，EOHFOH60°，FH1×32=32EF2FH=312+(2)2=(3)2，即AB2+CD2EF2，以AB、CD、EF为边的三角形为直角三角形，其面积为：12×2×1=22故选：D【变式6-1】（2022秋黄州区校级月考）如图，矩形MNGH的四个顶点都在O上，顺次连接矩形各边的中点，得到菱形ABCD，若BD12，DF4，则菱形ABCD的面积为96【分析】先连接OH，根据BD12得出OD长，那么可得到圆的半径为OD+DF，利用三角形全等可得菱形边长等于圆的半径，再根据勾股定理求出OA的长，由S菱形ABCD4SAOD即可得出结论【解答】解：如图