2023-2024学年九年级数学下册常考点微专题提分精练（人教版）专题04 反比例函数中的等腰三角形含解析.docx

2023-2024学年九年级数学下册常考点微专题提分精练（人教版）专题04 反比例函数中的等腰三角形1如图，点是反比例函数图像上的一动点，连接并延长交图像的另一支于点在点的运动过程中，若存在点，使得，则，满足（    ）ABCD2已知，在平面直角坐标系中，A的坐标为，点B是中点，点在的图像上，点D从点C出发沿着的图像向右运动，在形状的变化过程中，依次出现的特殊三角形是（    ）A直角三角形等边三角形等腰三角形直角三角形B直角三角形直用三角形等腰三角形等腰三角形C直角三角形等边三角形直角三角形等腰三角形D等腰三角形等边三角形直角三角形等腰三角形3如图，是分别以，为直角项点，一条直角边在轴正半轴上的等腰直角三角形，其斜边的中点，均在反比例函数的图象上，则的值为（    ）ABCD4如图，和都是等腰直角三角形，反比例函数在第一象限的图象经过点B，则与的面积之差为（    ）A9B12C6D35如图，点为函数图象上一点，连结，交函数的图象于点，点是轴上一点，且，则三角形的面积为（    ）A9B12C20D366如图，OA1B1，A1A2B2，A2A3B3是分别以A1，A2，A3为直角顶点，一条直角边在x轴正半轴上的等腰直角三角形，其斜边的中点C1，C2，C3均在反比例函数y（x0）的图象上，则点A2021的坐标为 _7如图，A是双曲线上一点，B是x轴正半轴上一点，以AB为直角边向右构造等腰直角三角形ABC，过点A作轴于点D，以AD为斜边向上构造等腰直角三角形ADE，若点C，点E恰好都落在该双曲线上，与的面积之和为28，则_8如图，在方格纸中（小正方形的边长为，反比例函数的图象与直线的交点、在图中的格点上，点是反比例函数图象上的一点，且与点、组成以为底的等腰，则点的坐标为_9如图，在中，且点在双曲线上，交双曲线于点，则点的坐标为_三、解答题10如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=x+1的图象与反比例函数y=（k0）的图象交于A，B两点，直线AB与x轴交于点C，点B的坐标为（-2，n），点A的坐标为（m，2）(1)求反比例函数的解析式；(2)求AOB的面积；(3)在x轴上是否存在一点P，使AOP是等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由11如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知ACB=90°，A(0，2)，C(6，2)D为等腰直角三角形ABC的边BC上一点，且SABC=3SADC反比例函数y1=(k0)的图象经过点D(1)求反比例函数的解析式；(2)若AB所在直线解析式为，当时，求x的取值范围12如图，等腰的直角顶点与平面直角坐标系的原点重合，反比例函数的图象经过点，反比例函数的图象经过点(1)试猜想与的数量关系，并说明理由；(2)若，求当点的纵坐标分别为1和2时，等腰的面积；(3)请直接写出当时，等腰的面积的最小值_13如图，一次函数与反比例函数的图象交于点A、(1)求点A、B的坐标；(2)观察图象写出不等式的解集；(3)若位于第三象限的点在反比例函数的图象上，且是以为底的等腰三角形，请直接写出点的坐标和的面积；14如图所示，在平面直角坐标系中，一次函数y1kx+b（k0）与反比例函数y2（m0）的图象交于A、B两点，过点A作ADx轴于D，AO5，tanAOD，且点B的坐标为（n，2）(1)求反比例函数与一次函数的解析式；(2)请直接写出y1y2时，x的取值范围；(3)在x轴上是否存在一点E，使AOE是等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的E点坐标；若不存在，请说明理由15如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点B，与y轴交于点，且与反比例函数在第一象限内的图象交于点A，作轴于点(1)求直线的函数解析式；(2)设点P是y轴上的点，若的面积等于4，求点P的坐标；(3)设E点是x轴上的点，且为等腰三角形，直接写出点E的坐标16如图所示，的顶点在反比例函数的图象上，直线交轴于点，且点的纵坐标为5，过点、分别作轴的垂线、，垂足分别为点、，且，（1）求的值；（2）若为等腰直角三角形，求证：；（3）把称为，两点间的“距离”，记为在（2）条件下，求的值17设A（a，n）为双曲线（k>0，x>0）上一点，过点A作ABx轴于B点，AB的垂直平分线交y轴于点C，交双曲线于点P定义：P为A点的中垂点；特别的，当ABP为等腰直角三角形时，又称P为A点的完美中垂点（1）若k=8，且A点存在完美中垂点， 则A的坐标是_（2）四边形ACBP一定为 （填字母）A 平行四边形     B  菱形        C 矩形         D正方形（3）若AOP的面积为6时，则k=     （4）设P为A的中垂点，Q又为P的中垂点，且APQ是等腰三角形，试求k关于a的函数表达式18点的坐标为，轴于点，连接，将绕点顺时针旋转，得到（1）求经过中点的反比例函数图象与线段的交点的坐标（2）点是轴上的一个动点，若为等腰三角形时，写出点的坐标19如图，已知点A（1，-2）在反比例函数y的图象上，直线y-x1与反比例函数y的图象的交点为点B、D（1）求反比例函数和直线AB的表达式；（2）求SAOB；（3）动点P（x，0）在x轴上运动，若OAP是等腰三角形时，直接写出点P的坐标20如图，一次函数ykx+b(k0)和反比例函数y(x0)经过点A(4，m)(1)求点A的坐标；(2)用等式表示k，b之间的关系(用含k的代数式表示b)；(3)连接OA，一次函数ykx+b(k0)与x轴交于点B，当OAB是等腰三角形时，直接写出点B的坐标专题04 反比例函数中的等腰三角形1如图，点是反比例函数图像上的一动点，连接并延长交图像的另一支于点在点的运动过程中，若存在点，使得，则，满足（    ）ABCD【答案】B【分析】连接，过点作轴于点，过点作轴于点，根据等腰直角三角形的性质得出，通过角的计算找出，结合“，”可得出，根据全等三角形的性质，可得出，进而得到，进一步得到【详解】解：连接，过点作轴于点，过点作轴于点，如图所示：由直线与反比例函数的对称性可知、点关于点对称，又，又，点，点是反比例函数图像上，即，故选：B【点睛】本题考查了反比例函数图像上点的坐标特征、反比例函数的性质，等腰直角三角形的性质以及全等三角形的判定及性质，解题的关键是求出点的坐标2已知，在平面直角坐标系中，A的坐标为，点B是中点，点在的图像上，点D从点C出发沿着的图像向右运动，在形状的变化过程中，依次出现的特殊三角形是（    ）A直角三角形等边三角形等腰三角形直角三角形B直角三角形直用三角形等腰三角形等腰三角形C直角三角形等边三角形直角三角形等腰三角形D等腰三角形等边三角形直角三角形等腰三角形【答案】C【分析】画出图形，然后把D依次从点C出发向右运动，即可得到形状的变化，从而得解【详解】解：由题意可知B（2，0）、C（2，），D在C点时，BDx轴，为直角三角形，当D点运动到（3，）即（3，）时，可以得到：BD=，AD=，即BD=AD=AB=2，此时为等边三角形，当D点运动到（4，）时，可以得到ADx轴，即为直角三角形，综上所述，只有C符合题意，故选C【点睛】本题考查反比例函数的综合应用，熟练掌握反比例函数的性质、直角三角形、等边三角形、等腰三角形的意义是解题关键3如图，是分别以，为直角项点，一条直角边在轴正半轴上的等腰直角三角形，其斜边的中点，均在反比例函数的图象上，则的值为（    ）ABCD【答案】B【分析】根据点C1的坐标，确定y1，可求反比例函数关系式，由点C1是等腰直角三角形的斜边中点，可以得到OA1的长，然后再设未知数，表示点C2的坐标，确定y2，代入反比例函数的关系式，建立方程解出未知数，表示点C3的坐标，确定y3，然后再求和【详解】解：如图，过C1、C2、C3分别作x轴的垂线，垂足分别为D1、D2、D3则是等腰直角三角形其斜边的中点在反比例函数中即设则此时将代入得解得即同理故选：B【点睛】考查反比例函数的图象和性质、反比例函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的性质等知识，通过计算有一定的规律，推断出一般性的结论，得出答案4如图，和都是等腰直角三角形，反比例函数在第一象限的图象经过点B，则与的面积之差为（    ）A9B12C6D3【答案】D【分析】已知反比例函数的解析式为y=，根据系数k的代数意义，设函数图象上点B的坐标为(m，)再结合已知条件求解即可；【详解】解：如图，设点C(n，0)，点B在反比例函数y=的图象上，设点B(m，)OAC和BAD都是等腰直角三角形，点A的坐标为(n，n)，点D的坐标为(n，)，AD=BD，n=mn，化简整理得m22mn=6SOACSBAD=n2(mn)2=m2+mn=(m22mn)，SOACSBAD=3故选D【点睛】本题主要考查了反比例函数与几何综合，三角形面积，等腰直角三角形的性质，解题的关键在于能够熟练掌握反比例函数图像上点的坐标特征5如图，点为函数图象上一点，连结，交函数的图象于点，点是轴上一点，且，则三角形的面积为（    ）A9B12C20D36【答案】B【分析】根据题意可以分别设出点A、点B的坐标，根据点O、A、B在同一条直线上可以得到A、B的坐标之间的关系，由AO=AC可知点C的横坐标是点A的横坐标的2倍，从而可以得到ABC的面积【详解】解：设点A的坐标为（a，），点B的坐标为（b，），点C是x轴上一点，且AO=AC，点C的坐标是（2a，0），设过点O（0，0），A（a，）的直线的解析式为：y=kx，=ak，解得，k=，又点B（b，）在y=x上，=b，解得，或（舍去），SABC=SAOC-SOBC=18-6=12故选：B.【点睛】本题考查反比例函数的图象、三角形的面积、等腰三角形的性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明二、填空题6如图，OA1B1，A1A2B2，A2A3B3是分别以A1，A2，A3为直角顶点，一条直角边在x轴正半轴上的等腰直角三角形，其斜边的中点C1，C2，C3均在反比例函数y（x0）的图象上，则点A2021的坐标为 _【答案】（2，0）【分析】先设点的坐标为，然后由点是的中点得到点的坐标为，进而得到的坐标为，即可得到，然后由是等腰直角三角形得到，解方程得到的值，即可得到点的坐标；然后设点的坐标为，进而得到点和的坐标，从而由等腰直角三角形的性质得到，求得的值即可得到的坐标，用同样的方法求得点坐标，结合点、点、的坐标猜测规律，得到点的坐标【详解】解：设点的坐标为，点是的中点，点的坐标为，的坐标为，是等腰直角三角形，即，解得：或（舍，点的坐标为；设点的坐标为，点是的中点，点的坐标为，点的坐标为，是等腰直角三角形，即，解得：或（舍，点的坐标为，设点的坐标为，点是的中点，点的坐标为，点的坐标为，是等腰直角三角形，即，解得：或（舍，点的坐标为，点的坐标为，故答案为：，【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的性质，一元二次方程的解法，解题的关键是设中点的坐标得到点和点的坐标7如图，A是双曲线上一点，B是x轴正半轴上一点，以AB为直角边向右构造等腰直角三角形ABC，过点A作轴于点D，以AD为斜边向上构造等腰直角三角形ADE，若点C，点E恰好都落在该双曲线上，与的面积之和为28，则_【答案】36【分析】分别过点E作EFx轴于点F，交AD于点M，BGAD，CHAD，垂足分别为G、H，由题意易得EM=DM=AM，ABGCAH，进而可得EM=MF，BG=AH，则设，则点，然后根据与的面积之和为28可构建方程进行求解【详解】解：分别过点E作EFx轴于点F，交AD于点M，BGAD，CHAD，垂足分别为G、H，如图所示：ADE是等腰直角三角形，EM=DM=AM，根据反比例函数的性质可知点A、E的横坐标之比为21，则它们的纵坐标之比为12，即EM=MF，ABC是等腰直角三角形，ABGCAH（AAS），BG=AH，设，点，与的面积之和为28，；故答案为36【点睛】本题主要考查反比例函数与几何的综合，熟练掌握反比例函数与等腰直角三角形的性质是解题的关键8如图，在方格纸中（小正方形的边长为，反比例函数的图象与直线的交点、在图中的格点上，点是反比例函数图象上的一点，且与点、组成以为底的等腰，则点的坐标为_【答案】（2，2）或（-2，-2）【分析】先求得反比例函数的解析式为，设C点的坐标为(，)，根据AC=BC得出方程，求出即可【详解】由图象可知：点A的坐标为（-1，-4），代入得：，所以这个反比例函数的解析式是，设C点的坐标为(，)，A（-1，-4），B（-4，-1），AC=BC，即，解得：，当时，当时，所以点C的坐标为（2，2）或（-2，-2）故答案为：（2，2）或（-2，-2）【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、用待定系数法求反比例函数的解析式、反比例函数图象上点的坐标特征等知识点，能求出反比例函数的解析式是解此题的关键9如图，在中，且点在双曲线上，交双曲线于点，则点的坐标为_【答案】（，）【分析】根据等腰直角三角形求得B得坐标，联立方程即可求得C得坐标【详解】解：将A点代入得，k=8，双曲线y（x0），设点B（m，n）m0ABO为等腰直角三角形 则AOBOOB，且m0 ，解得， 即B（6，2），直线OB得解析式为 yx ，联立方程，且x0 解得，C点的坐标为：（，）故答案为：（，）【点睛】本题主要考查双曲线与一次函数的交点问题，掌握等腰直角三角形的性质是解答本题的关键三、解答题10如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=x+1的图象与反比例函数y=（k0）的图象交于A，B两点，直线AB与x轴交于点C，点B的坐标为（-2，n），点A的坐标为（m，2）(1)求反比例函数的解析式；(2)求AOB的面积；(3)在x轴上是否存在一点P，使AOP是等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由【答案】(1)反比例函数的解析式为y=；(2)SAOB=；(3)点P的坐标为（，0）或（2，0）或（，0）或（-，0）【分析】（1）将点B坐标代入直线y=x+1中，求出点B的坐标，再将点B的坐标代入反比例函数解析式中，求解即可求出答案；（2）先求出点C的坐标，再求出点A的坐标，即可求出答案；（3）设点P的坐标，再用等腰三角形的两腰相等，分三种情况，建立方程求解，即可求出答案（1）解：点B（-2，n）在直线y=x+1上，n=-1，B（-2，-1），点B（-2，-1）在反比例函数y=的图象上，k=-2×（-1）=2，反比例函数的解析式为y=；（2）解：直线AB：y=x+1与x轴交于点C，C（-1，0），OC=1，由反比例函数的解析式为y=，联立解得，或，A（1，2），SAOB=SAOC+SBOC=OC（yA-yB）=×1×（2+1）=；（3）解：设P（m，0），A（1，2），OP=|m|，AP=，OA=，AOP是等腰三角形，当OP=AP时，|m|=，m=，P（，0）；当OP=OA时，|m|=，m=±，P（，0）或（-，0）；当OA=AP时，=，m=0或m=2，P（2，0）；即点P的坐标为（，0）或（2，0）或（，0）或（-，0）【点睛】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，三角形的面积公式，等腰三角形的性质，用分类讨论和方程思想解决问题是解本题的关键11如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知ACB=90°，A(0，2)，C(6，2)D为等腰直角三角形ABC的边BC上一点，且SABC=3SADC反比例函数y1=(k0)的图象经过点D(1)求反比例函数的解析式；(2)若AB所在直线解析式为，当时，求x的取值范围【答案】(1)反比例函数的解析式为y1=；(2)当时，0<x<4或x<-6【分析】（1）利用等腰直角三角形的性质以及SABC=3SADC，求得DC=2，得到D (6，4)，利用待定系数法即可求解；（2）利用待定系数法求得直线AB的解析式，解方程x+2=，求得直线y2= x+2与反比例函数y1=的图象的两个交点，再利用数形结合思想即可求解（1）解：A(0，2)，C(6，2)，AC=6，ABC是等腰直角三角形，AC=BC=6，SABC=3SADC，BC=3DC，DC=2，D (6，4)，反比例函数y1=(k0)的图象经过点D， k=6×4=24，反比例函数的解析式为y1=；（2）C(6，2)，BC=6，B (6，8)，把点B、A的坐标分别代入中，得，解得：，直线AB的解析式为，解方程x+2=，整理得：x2+2x-24=0，解得：x=4或x=-6，直线y2= x+2与反比例函数y1=的图象的交点为(4，6)和(-6，-4)，当时，0<x<4或x<-6【点睛】本题考查了反比例函数与几何的综合，反比例函数与一次函数的综合，等腰直角三角形的性质等，求得点D的坐标是解题的关键12如图，等腰的直角顶点与平面直角坐标系的原点重合，反比例函数的图象经过点，反比例函数的图象经过点(1)试猜想与的数量关系，并说明理由；(2)若，求当点的纵坐标分别为1和2时，等腰的面积；(3)请直接写出当时，等腰的面积的最小值_【答案】(1)，理由见解析(2)，(3)2【分析】（1）分别过点，向轴作垂线，垂足为，由已知可证得有，由反比例函数的性质可知，从而有由点位于第二象限，点位于第一象限，可得其关系（2）当，点的纵坐标为1时，得点的横坐标为2点的纵坐标为2时，得点的横坐标为1勾股定理可得从而求得等腰的面积；（3）过点作轴，轴，垂足分别是，有四边形是矩形，且面积为定值2当四边形为正方形时，的值最小，且最小值为2由此可求得的面积的最小值(1)解：理由如下：如图，分别过点，向轴作垂线，垂足为，在与中，由反比例函数的性质可知，又点位于第二象限，点位于第一象限，(2)解：当，点的纵坐标为1时，得点的横坐标为2如图，在中，由勾股定理可得当，点的纵坐标为2时，得点的横坐标为1在中，由勾股定理可得(3)解：过点作轴，轴，垂足分别是，则四边形是矩形，且面积为定值2所以，又，所以当时，OB取得最小值，则当四边形为正方形时，的值最小，且最小值为2的面积的最小值为【点睛】本题考查反比例函数的性质和几何意义，关键在于利用反比例函数的性质和几何意义求得三角形的边长以及其面积与反比例函数的k的关系.13如图，一次函数与反比例函数的图象交于点A、(1)求点A、B的坐标；(2)观察图象写出不等式的解集；(3)若位于第三象限的点在反比例函数的图象上，且是以为底的等腰三角形，请直接写出点的坐标和的面积；【答案】(1)A（1，4），B（4，1）；(2)1<x<4；(3)13.5【分析】（1）解函数解析式组成的方程组即可；（2）不等式即一次函数图象在反比例函数图象的上方，根据图象可得解集；（3）由A、B的坐标得到AB中点C的坐标为（2.5，2.5），得到直线OCAB，且直线OC的解析式为y=x，求出点M的坐标，过点M作MFy轴，交直线AB于点F，利用的面积=SAMF-SBMF求出面积（1）解：一次函数与反比例函数的图象交于点A、，解方程组，解得，A（1，4），B（4，1）；（2）由图象得，当1<x<4时，；（3）A（1，4），B（4，1），AB的中点C的坐标为（2.5，2.5），直线AB交x轴、y轴于点E、D，点E（5，0），点D(0,5),OE=OD，直线OCAB，且直线OC的解析式为y=x，当时，解得x=2（舍去）或x=-2，y=-2，M（-2，-2），过点M作MFy轴，交直线AB于点F，-x+5=-2，得x=7，点F（7，-2），的面积=SAMF-SBMF=13.5【点睛】此题考查了一次函数与反比例函数的综合题，求函数解析式，利用图象得到不等式的解集，等腰三角形的性质，求图形的面积，正确掌握一次函数与反比例函数的知识是解题的关键14如图所示，在平面直角坐标系中，一次函数y1kx+b（k0）与反比例函数y2（m0）的图象交于A、B两点，过点A作ADx轴于D，AO5，tanAOD，且点B的坐标为（n，2）(1)求反比例函数与一次函数的解析式；(2)请直接写出y1y2时，x的取值范围；(3)在x轴上是否存在一点E，使AOE是等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的E点坐标；若不存在，请说明理由【答案】(1)y2， y1x+2(2)x3或0x6(3)（6，0），（5，0），（5，0）或（，0）【分析】（1）先解直角三角形求出OD=3，AD=4，得到点A的坐标为（-3，4），求出反比例函数解析式，从而求出B点坐标，即可利用待定系数法求出一次函数解析式；（2）观察图象可知y1y2时，即为一次函数图象在反比例函数图象上方，由此求解即可；（3）分三种情况当AE=AO时，当OA=OE时，当AE=OE时，三种情况讨论求解即可(1)解：ADOD，tanAOD，即，OD=3，AD=4，点A的坐标为（-3，4），即，反比例函数的解析式为y2，B的坐标为（n，2），且B在反比例函数图像上，n=6，即点B的坐标为（6，-2），一次函数的解析式为y1x+2；(2)解：观察函数图象，可知；当x3或0x6时，一次函数图象在反比例函数图象上方，当y1y2时，x3或0x6(3)解：如图3-1所示，当AE=AO时，ADOE，OE=2OD=6，点E的坐标为（-6，0）；如图3-2所示，当OA=OE=5时，则E点坐标为（5，0）或（-5，0）；如图3-3所示，当EA=EO时，设点E坐标为（m，0），解得，点E的坐标为（，0）；综上所述，点E的坐标为（6，0），（5，0），（5，0）或（，0）【点睛】本题主要考查了解直角三角形，反比例函数与几何综合，待定系数法求函数解析式，等腰三角形的性质与定义，两点距离公式等等，熟知相关知识是解题的关键15如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点B，与y轴交于点，且与反比例函数在第一象限内的图象交于点A，作轴于点(1)求直线的函数解析式；(2)设点P是y轴上的点，若的面积等于4，求点P的坐标；(3)设E点是x轴上的点，且为等腰三角形，直接写出点E的坐标【答案】(1)(2)P（0，6）或P（0，2）(3)（-4，0）或（-4，0）或（4，0）或（-1.5，0）【分析】（1）由ADx轴，OD2，即可求得点A的坐标，然后利用待定系数法即可求得此一次函数的解析式；（2）由点P是y轴上的点，若ACP的面积等于4，可求得CP的长，继而求得点P的坐标；（3）先求出B坐标，由勾股定理求出BC值，分三种情况：当BEBC时，当CBCE时，当EBEC时，分别讨论即可.（1）解：ADx轴，OD2，点D的横坐标为2，将x2代入y，得y3，A（2，3），设直线AB的函数解析式为ykx+b（k0）将点C（0，2）、A（2，3）代入ykx+b得 直线AB的函数解析式为；（2）解：点P是y轴上的点，ACP的面积等于4，A（2，3），SACPCP×=CP×24，CP4，C（0，2），点P是y轴上的点，P（0，6）或P（0，2）；（3）解：直线AB的函数解析式为，令y=0，得x=-4，B（-4，0），C（0，2），OB=4，OC=2，BC，如图：当BEBC时，E1（-4，0），或E2（-4，0）；当CBCE时，OB=OE3，则E3（4，0）； 当EBEC时，点E在线段BC的垂直平分线上，设点E4（m，0），连接CE4，则（m+4）2=22+m2，解得m=-1.5，故E4（-1.5，0）；综上：E的坐标为（-4，0）或（-4，0）或（4，0）或（-1.5，0）【点睛】此题考查了反比例函数综合题，涉及到了待定系数法求一次函数的解析式以及反比例函数与一次函数的交点问题此题难度适中，注意掌握方程思想与数形结合思想的应用16如图所示，的顶点在反比例函数的图象上，直线交轴于点，且点的纵坐标为5，过点、分别作轴的垂线、，垂足分别为点、，且，（1）求的值；（2）若为等腰直角三角形，求证：；（3）把称为，两点间的“距离”，记为在（2）条件下，求的值【答案】（1）2；（2）见解析；（3）8.【分析】（1）先根据、求出OE的长度，确定E的坐标，再结合轴、确定A的坐标，最后代入反比例函数解析式即可求得k;（2）由OAB为等腰直角三角形，可得OA=OB、，再根据同角的余角相等可证，然后根据AAS证明即可；（3）由“ZJ距离"的定义可知d（M，N）为MN两点的水平距离与垂直距离之和，由可得、，即可确定B点坐标，再结合C点坐标解答即可.【详解】解：（1），即：点坐标为又轴，（2）在为等腰直角三角形中，又轴，在和中，（3）解：点坐标为，又，【点睛】本题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式、一次函数的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形性质等知识，掌握三角形全等的性质和判定以及数形结合的思想是解本题的关键.17设A（a，n）为双曲线（k>0，x>0）上一点，过点A作ABx轴于B点，AB的垂直平分线交y轴于点C，交双曲线于点P定义：P为A点的中垂点；特别的，当ABP为等腰直角三角形时，又称P为A点的完美中垂点（1）若k=8，且A点存在完美中垂点， 则A的坐标是_（2）四边形ACBP一定为 （填字母）A 平行四边形     B  菱形        C 矩形         D正方形（3）若AOP的面积为6时，则k=     （4）设P为A的中垂点，Q又为P的中垂点，且APQ是等腰三角形，试求k关于a的函数表达式【答案】（1）；（2）B；（3）8；（4）【分析】（1）利用等腰直角三角形和垂直平分线的性质求解即可；（2）根据垂直平分线的性质得出，从而可判断四边形的形状；（3）用含有k的式子表示出AOP的面积，进而建立方程即可求解；（4）根据A，P，Q的坐标，表示出，然后利用等腰三角形的定义分三种情况：；，分别进行讨论即可【详解】解：（1）k=8， A（a，n）为双曲线上一点， 设AB，CP交于点D，A点存在完美中垂点，ABP为等腰直角三角形， CP垂直平分AB， ，P为A点的完美中垂点， ， 经检验：它们都是原方程的根，但不符合题意，舍去， ；（2）CP垂直平分AB， ， ， ， ，四边形ACBP一定为菱形；（3）， ， ；（4）P为A的中垂点，Q又为P的中垂点， ，APQ是等腰三角形，； ，无解；，无解；综上所述，【点睛】本题主要考查反比例函数与等腰三角形的定义，垂直平分线的性质，分情况讨论是关键18点的坐标为，轴于点，连接，将绕点顺时针旋转，得到（1）求经过中点的反比例函数图象与线段的交点的坐标（2）点是轴上的一个动点，若为等腰三角形时，写出点的坐标【答案】（1）F 的坐标为；（2）满足条件的点P的坐标为（4，0）或（5，0）或 或【分析】（1）先求出点C（1，2），进而求出反比例函数解析式为y=，再由旋转求出AD=OA=2，AE=AB=4继而求出OE=6，再判断出FMEDAE，得出点F（6-2a，a），即可得出结论；（2）分三种情况，利用等腰三角形的性质，建立方程求解即可得出结论【详解】解：（1）点C是OB的中点，B（2，4），C（1，2），设反比例函数解析式为y=，k=1×2=2，反比例函数解析式为y=，BAx轴于点A，OA=2，AB=4，由旋转知，ADEAOB，DAE=OAB=90°，AD=OA=2，AE=AB=4，OE=OA+AE=6，如图，过点F作FMx轴于M，FMAB，FMEDAE，FM：ADEM：AE，设FM=a（a2），EM=2a，OM=OE-EM=6-2a，F（6-2a，a），点F在反比例函数y=图象上，a（6-2a）=2，a=（舍）或a=，F（3+，）；（2）设点P（m，0），O（0，0），B（2，4），OBP为等腰三角形，当OB=OP时，20=，m=±2，P（，0）或（-，0）；当OB=BP时，20=+16，m=4或m=0（舍），P（4，0），当OP=BP时，m=5，P（5，0），即：满足条件的点P坐标为（，0）或（-2，0）或（4，0）或（5，0）【点睛】本题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，相似三角形的判定和性质，旋转的性质，等腰三角形的性质，用方程的思想解决问题是解本题的关键19如图，已知点A（1，-2）在反比例函数y的图象上，直线y-x1与反比例函数y的图象的交点为点B、D（1）求反比例函数和直线AB的表达式；（2）求SAOB；（3）动点P（x，0）在x轴上运动，若OAP是等腰三角形时，直接写出点P的坐标【答案】（1）y= ,  y=x-3；（2）SAOB=；（3），【分析】（1）运用待定系数法先求出反比例函数解析式，再求出B的坐标，从而求出直线AB的解析式；（2）利用反比例函数k的几何意义进行面积转化求解即可；（3）列出各边长的表达式，根据不同情况进行分类讨论即可【详解】（1）将代入，得，故反比例函数解析式为，联立，解得或，即：，设直线的解析式为：，将，代入得：，解得： ，则直线的解析式为：反比例函数解析式为，直线的解析式为：；（2）作轴，轴，轴，则，根据反比例函数的几何意义可知：，；（3）由题：，若，则，解得，故：，；若，则，解得或（舍去），故：；若，则，解得，故：；综上，所有的坐标为：，【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数综合问题，以及等腰三角形的判定与性质，熟练掌握反比例函数的几何意义，以及分类讨论的思想是解题的关键20如图，一次函数ykx+b(k0)和反比例函数y(x0)经过点A(4，m)(1)求点A的坐标；(2)用等式表示k，b之间的关系(用含k的代数式表示b)；(3)连接OA，一次函数ykx+b(k0)与x轴交于点B，当OAB是等腰三角形时，直接写出点B的坐标【答案】(1)A(4，3)；(2)b4k+3；(3)B点的坐标为(5，0)，(5，0)，(8，0)，(，0)【分析】(1)将点A(4，m)代入y，求得m的值即可；(2)把(4，3)代入一次函数ykx+b即可得到b4k+3；(3)求得OA5，画出图形，根据等腰三角形的性质即可求得【详解】(1)反比例函数y(x0)经过点A(4，m)，m3，A(4，3)；(2)一次函数ykx+b(k0)经过点A(4，3)，34k+b，b4k+3；(3)A(4，3)，OA5，AOB是等腰三角形，如图，过点A作ADx轴，垂足为D，则有OD=4，AD=3，当OA是腰时，若OA=A