2023-2024学年九年级数学下册举一反三系列专题27.3 相似三角形的判定【十大题型】（举一反三）（人教版）含解析.docx

2023-2024学年九年级数学下册举一反三系列专题27.3 相似三角形的判定【十大题型】【人教版】【题型1 相似三角形的判定条件】2【题型2 格点中的相似三角形】3【题型3 相似三角形的证明】4【题型4 利用相似三角形的判定探究线段之间的关系】5【题型5 相似三角形在坐标系中的运用】6【题型6 确定相似三角形的对数】7【题型7 相似三角形中的多结论问题】8【题型8 相似三角形与动点的综合】10【题型9 相似与最值】11【题型10 旋转型相似】12【知识点1 相似三角形的判定】判定定理判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似 简称为两角对应相等，两个三角形相似如图，如果，则判定定理2：如果两个三角形的三组对应边成比例，那么这两个三角形相似 简称为三边对应成比例，两个三角形相似如图，如果，则判定定理3：如果两个三角形的两组对应边成比例，并且对应的夹角相等，那么这两个三角形相似 简称为两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似如图，如果，则【题型1 相似三角形的判定条件】【例1】（2022秋汉寿县期末）如图，若点P为ABC的边AB上一点（ABAC），下列条件不能判定ABCACP的是（）ABACPBACBAPCCACAB=APACDPCCB=ACAB【变式1-1】（2022春泰安期末）如图，ABC，AB12，AC15，D为AB上一点，且AD8，在AC上取一点E，使以A、D、E为顶点的三角形与ABC相似，则AE等于（）A325或152B10或152C325或10D以上答案都不对【变式1-2】（2022秋合肥期末）如图，CD是RtABC斜边AB上的中线，过点C作CECD交AB的延长线于点E，添加下列条件仍不能判断CEB与CAD相似的是（）ACBA2AB点B是DE的中点CCECDCACBDCECA=BEAD【变式1-3】（2022秋通州区期末）王华在学习相似三角形时，在北京市义务教育教科书九年级上册第31页遇到这样一道题，如图1，在ABC中，P是边AB上的一点，连接CP，要使ACPABC，还需要补充的一个条件是 ，或 请回答：（1）王华补充的条件是 ，或 【题型2 格点中的相似三角形】【例2】（2022春文登区期末）如图，在正方形网格中有5个格点三角形，分别是：ABC，ACD，ADE，AEF，AGH，其中与相似的三角形是（）ABCD【变式2-1】（2022秋雄县期末）如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与ABC相似的是（）ABCD【变式2-2】（2022秋青田县期末）如图，四个三角形的顶点都在方格子的格点上，下列两个三角形中相似的是（）ABCD【变式2-3】（2022秋法库县期末）如图，在5×6的方格纸中，画有格点EFG，下列选项中的格点，与E，G两点构成的三角形中和EFG相似的是（）A点AB点BC点CD点D【题型3 相似三角形的证明】【例3】（2022淳安县一模）如图，在ABC中，D、E分别是边AC、BC的中点，F是BC延长线上一点，FB（1）若AB10，求FD的长；（2）若ACBC，求证：CDEDFE【变式3-1】（2022秋临安区期末）如图，点B、D、E在一条直线上，BE交AC于点F，ABAD=ACAE，且BADCAE（1）求证：ABCADE；（2）求证：AEFBCF【变式3-2】（2022秋下城区期末）已知：如图，O为ABC内一点，A'，B'，C'分别是OA，OB，OC上的点，且OA'：AA'OB'：BB'1：2，OC'：CC'2：1，且OB6（1）求证：OA'B'OAB；（2）以O，B'，C'为顶点的三角形是否可能与OBC相似？如果可能，求OC的长；如果不可能，请说明理由【变式3-3】（2022春仪征市校级期末）如图，ABC、DEP是两个全等的等腰直角三角形，BACPDE90°（1）若将DEP的顶点P放在BC上（如图1），PD、PE分别与AC、AB相交于点F、G求证：PBGFCP；（2）若使DEP的顶点P与顶点A重合（如图2），PD、PE与BC相交于点F、G试问PBG与FCP还相似吗？为什么？【题型4 利用相似三角形的判定探究线段之间的关系】【例4】（2022秋上城区期末）四边形ABCD中，点E在边AB上，连接DE，CE（1）若ABDEC50°，找出图中的相似三角形，并说明理由；（2）若四边形ABCD为矩形，AB5，BC2，且图中的三个三角形都相似，求AE的长（3）若AB90°，ADBC，图中的三个三角形都相似，请判断AE和BE的数量关系并说明理由【变式4-1】（2022秋德清县期末）如图，将矩形ABCD沿CM折叠，使点D落在AB边上的点E处，若AEM与ECM相似，则AB和BC的数量关系为 【变式4-2】（2022秋淮安期末）（1）填空：如图1，在正ABC中，M、N分别在BC、AC上，且BMCN，连AM、BN交于点O，则AON °（2）填空：如图2，在正方形PQRS中，已知点M、N分别在边QR、RS上，且QMRN，连接PN、SM相交于点O，则POM °（3）如图3，在等腰梯形ABCD中，已知ABCD，BCCD，ABC60°以此为部分条件，构造一个与上述命题类似的正确命题并加以证明（4）在（1）的条件下，把直线AM平移到图4的直线EOF位置，写出所有与BOF相似的三角形： 若点N是AC中点，（其它条件不变）试探索线段EO与FO的数量关系，并说明理由【变式4-3】（2022秋城关区期末）如图，ABBC，DCBC，E是BC上一点，使得AEDE；（1）求证：ABEECD；（2）若AB4，AEBC5，求CD的长；（3）当AEDECD时，请写出线段AD、AB、CD之间数量关系，并说明理由【题型5 相似三角形在坐标系中的运用】【例5】（2022秋上城区期末）已知：RtOAB在直角坐标系中的位置如图所示，点B的坐标为（4，2），P为OB的中点，点C为折线OAB上的动点，线段PC把RtOAB分割成两部分，问：点C在什么位置时，分割得到的三角形与RtOAB相似？要求在图上画出所有符合要求的线段PC，并求出相应的点C的坐标【变式5-1】（2022秋汝南县期末）如图，在直角坐标系中，已知点A（2，0），B（0，4），在x轴上找到点C（1，0）和y轴的正半轴上找到点D，使AOB与DOC相似，则D点的坐标是 【变式5-2】（2022盘锦）如图，在平面直角坐标系中，A（0，4），B（2，0），点C在第一象限，若以A、B、C为顶点的三角形与AOB相似（不包括全等），则点C的个数是（）A1B2C3D4【变式5-3】（2022淮安）如（a）图，在平面直角坐标系中，点A坐标为（12，0），点B坐标为（6，8），点C为OB的中点，点D从点O出发，沿OAB的三边按逆时针方向以2个单位长度/秒的速度运动一周（1）点C坐标是 ，当点D运动8.5秒时所在位置的坐标是 ；（2）设点D运动的时间为t秒，试用含t的代数式表示OCD的面积S，并指出t为何值时，S最大；（3）点E在线段AB上以同样速度由点A向点B运动，如（b）图，若点E与点D同时出发，问在运动5秒钟内，以点D，A，E为顶点的三角形何时与OCD相似？（只考虑以点A、O为对应顶点的情况）【题型6 确定相似三角形的对数】【例6】（2022秋余姚市期末）如图，在ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，AE4，AB6，AD：AC2：3，ABC的角平分线AF交DE于点G，交BC于点F（1）请你直接写出图中所有的相似三角形；（2）求AG与GF的比【变式6-1】（2022秋金山区期末）如图，M是平行四边形ABCD的对角线BD上一点，AM的延长线交BC于点E，交DC的延长线于点F，图中相似三角形有（）A6对B5对C4对D3对【变式6-2】（2007春常州期末）如图，已知ABC、DEF均为正三角形，D、E分别在AB、BC上（1）图中有几组相似三角形并把它们表示出来；（2）请找一个与DBE相似的三角形并说明理由【变式6-3】（2022春宁波校级期末）如图，四边形ABCD和ACED都是平行四边形，B，C，E在一条直线上，点R为DE的中点，BR分别交AC，CD于点P，Q（1）则图中相似三角形（相似比为1除外）共有 对；（2）求线段BP：PQ：QR，并说明理由【题型7 相似三角形中的多结论问题】【例7】（2022秋常宁市期末）如图，ABC中，A60°，BMAC于点M，CNAB于点N，BM，CN交于点O，连接MN下列结论：AMNABC；图中共有8对相似三角形；BC2MN其中正确的个数是（）A1个B2个C3个D0个【变式7-1】（2022越秀区校级二模）如图，F是ABC的AB边上一点，下列结论正确的个数是（）若AFCACB，则ACFABC若AFCB，则ACFABC若AC2AFAB，则ACFABC若AC：CFAB：BC，则ACFABCA4个B3个C2个D1个【变式7-2】（2022秋浦东新区校级月考）如图，在ABC中，ADBC于点D，BEAC于点E，AD与BE交于点F，连接CF，DE，交点为G以下结论正确的个数是（）CADCBE，AFFDBFFE，CDECAB，FGEDGCA1个B2个C3个D4个【变式7-3】（2022秋商河县校级期中）如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、DC上，AE、AF分别交BD于点M、N，连接CN、EN，且CNEN下列结论：ANEN，ANEN；BE+DFEF；MNEF=22；图中只有4对相似三角形，其中正确结论的个数是（）A4B3C2D1【题型8 相似三角形与动点的综合】【例8】（2022春成华区期末）如图，正方形ABCD的边长为4，AEEB，MN2，线段MN的两端在CB、CD上滑动，当CM 时，ADE与CMN相似【变式8-1】（2022秋金台区期末）如图，在ABC中，AB10cm，BC20cm，点P从点A开始沿边AB向点B以2cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿边BC以2cm/s的速度移动如果点P，Q分别从点A，B同时出发，经过几秒钟后，以点P、B、Q三点为顶点的三角形与ABC相似？【变式8-2】（2022秋砀山县期末）如图所示，已知ABBC于B，CDBC于C，AB4，CD6，BC14，P为BC上一点，试问BP为何值时，ABP与PCD相似？【变式8-3】（2022秋正定县期末）在矩形ABCD中，AB12cm，BC6cm，点P沿AB边从点A开始向点B以2cm/秒的速度移动，点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/秒的速度移动，如果P、Q同时出发，用t（秒）表示运动时间（0t6），那么当t为何值时，APQ与ABD相似？说明理由【题型9 相似与最值】【例9】（2022秋余姚市校级月考）如图，等腰ABC中，BABC，AO3CO6动点F在BA上以每分钟5个单位长度的速度从B点出发向A点移动，过F作FEBC交AC边于E点，连接FO、EO（1）求A、B两点的坐标；（2）证明：当EFO面积最大时，EFOCBA【变式9-1】（2022扬州）如图，在直角梯形ABCD中，ABC90°，ADBC，AD4，AB5，BC6，点P是AB上一个动点，当PC+PD的和最小时，PB的长为 【变式9-2】（2022兖州区一模）如图，正方形ABCD的对角线上的两个动点M、N，满足AB=2MN，点P是BC的中点，连接AN、PM，若AB6，则当AN+PM的值最小时，线段AN的长度为 【变式9-3】（2022锦江区模拟）如图，在RtABC中，BAC90°，AB3，BC5，点D是线段BC上一动点，连接AD，以AD为边作ADE，使ADEABC，则ADE的最小面积与最大面积之比等于 【题型10 旋转型相似】【例10】（2022秋襄汾县期末）ABC中，ABAC，BAC90°，P为BC上的动点，小慧拿含45°角的透明三角板，使45°角的顶点落在点P，三角板可绕P点旋转（1）如图a，当三角板的两边分别交AB、AC于点E、F时求证：BPECFP；（2）将三角板绕点P旋转到图b情形时，三角板的两边分别交BA的延长线、边AC于点E、FBPE与CFP还相似吗？（只需写出结论）（3）在（2）的条件下，连接EF，BPE与PFE是否相似？若不相似，则动点P运动到什么位置时，BPE与PFE相似？说明理由【变式10-1】（2022炎陵县一模）如图，在ABC中，ACDB，将ACD绕A点旋转，点D落在点E处，点C落在点F处，CD，EF交于O点，连接DE，FC，找出其中相似三角形【变式10-2】（2022春龙泉驿区期末）如图，RtABC中，C90°，AB15，BC9，点P，Q分别在BC，AC上，CP3x，CQ4x（0x3），把PCQ绕点P旋转，得到PDE，点D落在线段PQ上（1）求证：PQAB；（2）若点D在BAC的平分线上，求CP的长；（3）在（2）的情况下，求PDE与ABC重叠部分图形的面积【变式10-3】（2022大庆模拟）已知，如图所示，在ABC和ADE中，ABAC，ADAE，BACDAE，且点B、A、D在一条直线上，连接BE、CD（1）求证：BECD；（2）若M、N分别是BE和CD的中点，将ADE绕点A按顺时针旋转，如图所示，试证明在旋转过程中，AMN是等腰三角形；（3）试证明AMN与ABC和ADE都相似专题27.3 相似三角形的判定【十大题型】【人教版】【题型1 相似三角形的判定条件】2【题型2 格点中的相似三角形】5【题型3 相似三角形的证明】7【题型4 利用相似三角形的判定探究线段之间的关系】12【题型5 相似三角形在坐标系中的运用】18【题型6 确定相似三角形的对数】23【题型7 相似三角形中的多结论问题】27【题型8 相似三角形与动点的综合】31【题型9 相似与最值】34【题型10 旋转型相似】39【知识点1 相似三角形的判定】判定定理判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似 简称为两角对应相等，两个三角形相似如图，如果，则判定定理2：如果两个三角形的三组对应边成比例，那么这两个三角形相似 简称为三边对应成比例，两个三角形相似如图，如果，则判定定理3：如果两个三角形的两组对应边成比例，并且对应的夹角相等，那么这两个三角形相似 简称为两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似如图，如果，则【题型1 相似三角形的判定条件】【例1】（2022秋汉寿县期末）如图，若点P为ABC的边AB上一点（ABAC），下列条件不能判定ABCACP的是（）ABACPBACBAPCCACAB=APACDPCCB=ACAB【分析】欲证ACPABC，通过观察发现两个三角形已经具备一组角对应相等，即AA，此时，再求夹此对应角的两边对应成比例或另一组对应角相等即可【解答】解：A、BACP，因为AA，所以ABCACP，不符合题意；B、ACBAPC，因为AA，所以ABCACP，不符合题意；C、ACAB=APAC，因为AA，所以ABCACP，不符合题意；D、PCCB=ACAB，因为AA，而PC和BC的夹角为C，所以不能判定ABCACP，符合题意故选：D【变式1-1】（2022春泰安期末）如图，ABC，AB12，AC15，D为AB上一点，且AD8，在AC上取一点E，使以A、D、E为顶点的三角形与ABC相似，则AE等于（）A325或152B10或152C325或10D以上答案都不对【分析】分情况讨论.【解答】解：ABC与ADE相似，ADAB=AEAC或ADAC=AEAB，AD8，AB12，AC15，812=AE15或815=AE12，解得：AE10或6.4故选：C【变式1-2】（2022秋合肥期末）如图，CD是RtABC斜边AB上的中线，过点C作CECD交AB的延长线于点E，添加下列条件仍不能判断CEB与CAD相似的是（）ACBA2AB点B是DE的中点CCECDCACBDCECA=BEAD【分析】根据相似三角形的判定方法一一判断即可【解答】解：CECD，EDC90°，BCA90°，BCEDCA90°BCD，CD是RtABC斜边AB上的中线，DCDBDA，DACA，BCEDCAA，CBA2A，CBA+A90°，ABCEDCA30°，CBA60°，ECBABCE30°，BCEDCAEA，CEBCAD，A不符合题意，点B是DE的中点，BEBC，BCEE，BCEEDCAA，CEBCAD，B不符合题意，CECDCACB，CECA=CBCD，BCEDCA，CEBCAD，C不符合题意由CECA=BEAD，由于E和A不能判断相等，故不能判断CEB与CAD相似，D符合题意，故选：D【变式1-3】（2022秋通州区期末）王华在学习相似三角形时，在北京市义务教育教科书九年级上册第31页遇到这样一道题，如图1，在ABC中，P是边AB上的一点，连接CP，要使ACPABC，还需要补充的一个条件是ACPB（或APCACB），或AC2APAB请回答：（1）王华补充的条件是ACPB（或APCACB），或AC2APAB（2）请你参考上面的图形和结论，探究，解答下面的问题：如图2，在ABC中，A30°，AC2AB2+ABBC求C的度数【分析】（1）由AA，当ACPB，或APCACB；或ACAB=APAC时，ACPABC；（2）延长AB到点D，使BDBC，连接CD，由已知条件得出证出ACAD=ABAC，由AA，证出ACBADC，得出对应角相等ACBD，再由等腰三角形的性质和三角形内角和定理得出ACB+BCD+D+A180°，得出ACB50°即可【解答】解：AA，当ACPB，或APCACB；或ACAB=APAC，即AC2APAB时，ACPABC；故答案为：ACPB（或APCACB），或AC2APAB；（1）王华补充的条件是：ACPB（或APCACB）；或AC2APAB；理由如下：AA，当ACPB，或APCACB；或ACAB=APAC，即AC2APAB时，ACPABC；故答案为：ACPB（或APCACB），或AC2APAB；（2）延长AB到点D，使BDBC，连接CD，如图所示：AC2AB2+ABBCAB（AB+BC）AB（AB+BD）ABAD，ACAD=ABAC，又AA，ACBADC，ACBD，BCBD，BCDD，在ACD中，ACB+BCD+D+A180°，3ACB+30°180°，ACB50°【题型2 格点中的相似三角形】【例2】（2022春文登区期末）如图，在正方形网格中有5个格点三角形，分别是：ABC，ACD，ADE，AEF，AGH，其中与相似的三角形是（）ABCD【分析】根据相似三角形的旋转可知，相似三角形的对应角相等即可判断【解答】解：由图形知，中AHG135°，而中，只有BAC135°和ADE135°，再根据两边成比例可判断，与相似的三角形是，故选：A【变式2-1】（2022秋雄县期末）如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与ABC相似的是（）ABCD【分析】利用ABC中，ACB135°，AC=2，BC2，然后根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可对各选项进行判定即可【解答】解：在ABC中，ACB135°，AC=2，BC2，在B、C、D选项中的三角形都没有135°，而在A选项中，三角形的钝角为135°，它的两边分别为1和2，因为22=21，所以A选项中的三角形与ABC相似故选：A【变式2-2】（2022秋青田县期末）如图，四个三角形的顶点都在方格子的格点上，下列两个三角形中相似的是（）ABCD【分析】可分别求出三角形的边长，根据对应边成比例三角形相似，进行判断即可【解答】解：第一个三角形的边长分别为：10，5，5；第二个三角形的边长分别为：5，22，17；第三个三角形的边长分别为：2，2，10；第四个三角形的边长分别为：3，2，5；对应边成比例的是和故选：B【变式2-3】（2022秋法库县期末）如图，在5×6的方格纸中，画有格点EFG，下列选项中的格点，与E，G两点构成的三角形中和EFG相似的是（）A点AB点BC点CD点D【分析】根据网格图形可得所给EFG是两直角边分别为1，2的直角三角形，然后利用相似三角形的判定方法选择答案即可【解答】解：观察图形可得EFG中，直角边的比为FGEF=12，观察各选项，EGDG=525=12，只有D选项三角形符合，与所给图形的三角形相似故选：D【题型3 相似三角形的证明】【例3】（2022淳安县一模）如图，在ABC中，D、E分别是边AC、BC的中点，F是BC延长线上一点，FB（1）若AB10，求FD的长；（2）若ACBC，求证：CDEDFE【分析】（1）首先利用中位线定理得到DEAB以及DE的长，再证明DECF即可；（2）根据等腰三角形的性质得到AB，进而求出CDEF并结合CEDDEF即可证明CDEDFE【解答】解：（1）D、E分别是AC、BC的中点，DEAB，DE=12AB5，DEAB，DECB，而FB，DECF，DFDE5；（2）ACBC，AB，CDEA，CEDB，CDEB，BF，CDEF，CEDDEF，CDEDFE【变式3-1】（2022秋临安区期末）如图，点B、D、E在一条直线上，BE交AC于点F，ABAD=ACAE，且BADCAE（1）求证：ABCADE；（2）求证：AEFBCF【分析】（1）根据相似三角形的判定定理证明；（2）根据相似三角形的性质定理得到CE，结合图形，证明即可【解答】（1）BADCAEBAD+CADCAE+CAD即BACDAE在ABC和ADE中ABAD=ACAE，BACDAE，ABCADE；（2）ABCADE，CE、在AEF和BFC中，CE，AFEBFC，AEFBCF【变式3-2】（2022秋下城区期末）已知：如图，O为ABC内一点，A'，B'，C'分别是OA，OB，OC上的点，且OA'：AA'OB'：BB'1：2，OC'：CC'2：1，且OB6（1）求证：OA'B'OAB；（2）以O，B'，C'为顶点的三角形是否可能与OBC相似？如果可能，求OC的长；如果不可能，请说明理由【分析】（1）根据两边成比例夹角相等即可证明；（2）要使以O，B'，C'为顶点的三角形与OBC相似，只要满足OB'OC=OC'OB，想办法构建方程即可解决问题；【解答】（1）证明：OA：AAOB：BB1：2，OA：OAOB：OB1：3，AOBAOB，OA'B'OAB；（2）解：可能相似理由如下：OA'：AA'OB'：BB'1：2，OB6，OB2，OC'：CC'2：1，COBCOB，设CCx，OC2x，OC3x，要使以O，B'，C'为顶点的三角形与OBC相似，只要满足OB'OC=OC'OB，23x=2x6，x±2x0，x=2OC32【变式3-3】（2022春仪征市校级期末）如图，ABC、DEP是两个全等的等腰直角三角形，BACPDE90°（1）若将DEP的顶点P放在BC上（如图1），PD、PE分别与AC、AB相交于点F、G求证：PBGFCP；（2）若使DEP的顶点P与顶点A重合（如图2），PD、PE与BC相交于点F、G试问PBG与FCP还相似吗？为什么？【分析】（1）如图1，先根据等腰直角三角形的性质得BCDPE45°，再利用平角定义得到BPG+CPF135°，利用三角形内角和定理得到BPG+BGP135°，根据等量代换得BGPCPF，加上BC，于是根据有两组角对应相等的两个三角形相似即可得到结论；（2）如图2，由于BCDPE45°，利用三角形外角性质得BGPC+CPG45°+CAG，而CPF45°+CAG，所以AGBCPF，加上BC，于是可判断PBGFCP【解答】（1）证明：如图1，ABC、DEP是两个全等的等腰直角三角形，BCDPE45°，BPG+CPF135°，在BPG中，B45°，BPG+BGP135°，BGPCPF，BC，PBGFCP；（2）解：PBG与FCP相似理由如下：如图2，ABC、DEP是两个全等的等腰直角三角形，BCDPE45°，BGPC+CPG45°+CAG，CPFFPG+CAG45°+CAG，AGBCPF，BC，PBGFCP【题型4 利用相似三角形的判定探究线段之间的关系】【例4】（2022秋上城区期末）四边形ABCD中，点E在边AB上，连接DE，CE（1）若ABDEC50°，找出图中的相似三角形，并说明理由；（2）若四边形ABCD为矩形，AB5，BC2，且图中的三个三角形都相似，求AE的长（3）若AB90°，ADBC，图中的三个三角形都相似，请判断AE和BE的数量关系并说明理由【分析】（1）根据相似三角形的判定定理推出即可；（2）根据相似得出比例式，代入求出即可；（3）分为两种情况，化成图形，再根据相似三角形的性质求出即可【解答】解：（1）DAEEBC，理由是：ADEC50°，ADE+DEA180°A130°，DEA+CEB180°DEC130°，ADECEB，AB，DAEEBC；（2）设AEx，则BE5x，ADE90°，ECB90°，DEC90°，DAEEBC，ADAE=BEBC，即2x=5-x2，解得：x1或4，即AE1或4；（3）AEBE或BE2AE，理由是：当ABDEC90°时，DCECEB，可得DCEBCE，所以DECDAEEBC，DEEC=ADAE，DEEC=AEBC=ADBE，ADEB=ADAE，即BEAE；当DEC90°时，ADEBCE，DEACEB，DEEC=AEBE=ADBC1，DECE，则CDEECD，CDE90°，DCECEB，DEADECCEB60°，AEDE=DEEC=BECE=12，BE2AE【变式4-1】（2022秋德清县期末）如图，将矩形ABCD沿CM折叠，使点D落在AB边上的点E处，若AEM与ECM相似，则AB和BC的数量关系为BC=32AB【分析】利用折叠的性质MECD90°，DMCEMC，MEMD，则AMEC，根据三角形相似的判定方法，当AEMEMC时，AEM与ECM相似，则AEMC，不合题意舍去；当AEMMCE时，AEM与ECM相似，AMEEMC，此时DMCEMCAME60°，利用含30度的直角三角形三边的关系得到MD=33CDEM，AM=36CD，则AD=32CD，从而得到AB和BC的数量关系【解答】解：矩形ABCD沿CM折叠，使点D落在AB边上的点E处，MECD90°，DMCEMC，MEMD，AMEC，当AEMEMC时，AEM与ECM相似，则AEMC，不合题意舍去；当AEMMCE时，AEM与ECM相似，AMEEMC，此时DMCEMCAME60°，在RtCDM中，MD=33CD，EM=33CD，在RtAEM中，AM=12EM=36CD，ADAM+DM=36CD+33CD=32CD，四边形ABCD为矩形，ABCD，BCAD，BC=32AB故答案为BC=32AB【变式4-2】（2022秋淮安期末）（1）填空：如图1，在正ABC中，M、N分别在BC、AC上，且BMCN，连AM、BN交于点O，则AON60°（2）填空：如图2，在正方形PQRS中，已知点M、N分别在边QR、RS上，且QMRN，连接PN、SM相交于点O，则POM90°（3）如图3，在等腰梯形ABCD中，已知ABCD，BCCD，ABC60°以此为部分条件，构造一个与上述命题类似的正确命题并加以证明（4）在（1）的条件下，把直线AM平移到图4的直线EOF位置，写出所有与BOF相似的三角形：BCD、EBF若点N是AC中点，（其它条件不变）试探索线段EO与FO的数量关系，并说明理由【分析】（1）易证ABMBCN，可得AONBAM+ABNCBN+ABN60°；（2）易证PSNSRM，可得POMMSR+SNPMSR+SMR90°；（3）命题：在等腰梯形ABCD中，已知ABCD，BCCD，ABC60°M、N分别在CD、CB上，且DMCN，连AM、DN交于点O，则AON120°（4）由勾股定理得BF=3OF，由BOFEBF得BF2OFEF，即可求证EO2FO【解答】解：（1）在ABM和BCN中，AB=BCABC=CBM=CN，ABMBCN，BAMCBN，AONBAM+ABNCBN+ABN60°；（2）QMRN，RMSN，PSSR，PSRSRM90°PSNSRM，PNSSMR，POMMSR+SNPMSR+SMR90°；（3）命题：在等腰梯形ABCD中，已知ABCD，BCCD，ABC60°M、N分别在CD、CB上，且DMCN，连AM、DN交于点O，则AON120°通过证MDANCD得MADNDC，AONMAD+ADONDC+ADOADC120°；（4）BCD、EBF，EO2FO，BN平分ABC，NBF30°，BOF60°，BFO90°，由勾股定理得BF=3OF，由BOFEBF得BF2OFEF，（3OF）2OFEF，3OFEF，EO2FO【变式4-3】（2022秋城关区期末）如图，ABBC，DCBC，E是BC上一点，使得AEDE；（1）求证：ABEECD；（2）若AB4，AEBC5，求CD的长；（3）当AEDECD时，请写出线段AD、AB、CD之间数量关系，并说明理由【分析】（1）先根据同角的余角相等可得：D