2024年初中升学考试真题模拟卷湖南省郴州市中考数学试卷 (2).doc

2023年湖南省郴州市中考数学试卷一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分）1（3分）2的倒数是（）A2BC2D2（3分）下列图形中，能由图形a通过平移得到的是（）ABCD3（3分）下列运算正确的是（）Aa4a3a7B（a2）3a5C3a2a22D（ab）2a2b24（3分）下列几何体中，各自的三视图完全一样的是（）ABCD5（3分）下列问题适合全面调查的是（）A调查市场上某品牌灯泡的使用寿命B了解全市人民对湖南省第二届旅发大会的关注情况C了解郴江河的水质情况D神舟十六号飞船发射前对飞船仪器设备的检查6（3分）一元一次不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）ABCD7（3分）小王从A地开车去B地，两地相距240km原计划平均速度为xkm/h，实际平均速度提高了50%，结果提前1小时到达由此可建立方程为（）ABCDx+1.5x2408（3分）第11届中国（湖南）矿物宝石国际博览会在我市举行，小方一家上午9：00开车前往会展中心参观途中汽车发生故障，原地修车花了一段时间车修好后，他们继续开车赶往会展中心以下是他们家出发后离家的距离s与时间的函数图象分析图中信息，下列说法正确的是（）A途中修车花了30minB修车之前的平均速度是500m/ninC车修好后的平均速度是80m/minD车修好后的平均速度是修车之前的平均速度的1.5倍二、填空题（共8小题，每小题3分，共24分）9（3分）计算 10（3分）在一次函数y（k2）x+3中，y随x的增大而增大，则k的值可以是 （任写一个符合条件的数即可）11（3分）在一个不透明的袋子中装有3个白球和7个红球，它们除颜色外，大小、质地都相同从袋子中随机取出一个球，是红球的概率是 12（3分）已知抛物线yx26x+m与x轴有且只有一个交点，则m 13（3分）为积极响应“助力旅发大会，唱响美丽郴州”的号召，某校在各年级开展合唱比赛，规定每支参赛队伍的最终成绩按歌曲内容占30%，演唱技巧占50%，精神面貌占20%考评某参赛队歌曲内容获得90分，演唱技巧获得94分，精神面貌获得95分则该参赛队的最终成绩是 分14（3分）如图，在RtABC中，ACB90°，AC6，BC8，点M是AB的中点，求CM 15（3分）如图，某博览会上有一圆形展示区，在其圆形边缘的点P处安装了一台监视器，它的监控角度是55°，为了监控整个展区，最少需要在圆形边缘上共安装这样的监视器 台16（3分）如图，在RtABC中，BAC90°，AB3cm，B60°将ABC绕点A逆时针旋转，得到AB'C'，若点B的对应点B'恰好落在线段BC上，则点C的运动路径长是 cm（结果用含的式子表示）三、解答题（1719题每题6分，2023题每题8分，2425题每题10分，26题12分，共82分）17（6分）计算：（）1tan30°+（2023）0+|2|18（6分）先化简，再求值：+，其中x1+19（6分）某校计划组织学生外出开展研学活动，在选择研学活动地点时，随机抽取了部分学生进行调查，要求被调查的学生从A、B、C、D、E五个研学活动地点中选择自己最喜欢的一个根据调查结果，编制了如下两幅不完整的统计图（1）请把图1中缺失的数据，图形补充完整；（2）请计算图2中研学活动地点C所在扇形的圆心角的度数；（3）若该校共有1200名学生，请估计最喜欢去D地研学的学生人数20（8分）如图，四边形ABCD是平行四边形（1）尺规作图；作对角线AC的垂直平分线MN（保留作图痕迹）；（2）若直线MN分别交AD，BC于E，F两点，求证：四边形AFCE是菱形21（8分）某次军事演习中，一艘船以40km/h的速度向正东航行，在出发地A测得小岛C在它的北偏东60°方向，2小时后到达B处，浏得小岛C在它的北偏西45°方向，求该船在航行过程中与小岛C的最近距离（参考数据：1.41，1.73结果精确到0.1km）22（8分）随旅游旺季的到来，某景区游客人数逐月增加，2月份游客人数为1.6万人，4月份游客人数为2.5万人（1）求这两个月中该景区游客人数的月平均增长率；（2）预计5月份该景区游客人数会继续增长，但增长率不会超过前两个月的月平均增长率已知该景区5月1日至5月21日已接待游客2.125万人，则5月份后10天日均接待游客人数最多是多少万人？23（8分）如图，在O中，AB是直径，点C是圆上一点在AB的延长线上取一点D，连接CD，使BCDA（1）求证：直线CD是O的切线；（2）若ACD120°，CD2，求图中阴影部分的面积（结果用含的式子表示）24（10分）在实验课上，小明做了一个试验如图，在仪器左边托盘A（固定）中放置一个物体，在右边托盘B（可左右移动）中放置一个可以装水的容器，容器的质量为5g在容器中加入一定质量的水，可以使仪器左右平衡改变托盘B与点C的距离x（cm）（0x60），记录容器中加入的水的质量，得到下表：托盘B与点C的距离x/cm3025201510容器与水的总质量y1/g1012152030加入的水的质量y2/g57101525把上表中的x与y1各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出这些点，并用光滑的曲线连接起来，得到如图所示的y1关于x的函数图象（1）请在该平面直角坐标系中作出y2关于x的函数图象；（2）观察函数图象，并结合表中的数据：猜测y1与x之间的函数关系，并求y1关于x的函数表达式；求y2关于x的函数表达式；当0x60时，y1随x的增大而 （填“增大”或“减小”），y2随x的增大而 （填“增大”或“减小”），y2的图象可以由y1的图象向 （以“上”或“下”或“左”或“右”）平移得到（3）若在容器中加入的水的质量y2（g）满足19y245，求托盘B与点C的距离x（cm）的取值范围25（10分）已知ABC是等边三角形，点D是射线AB上的一个动点，延长BC至点E，使CEAD，连接DE交射线AC于点F（1）如图1，当点D在线段AB上时，猜测线段CF与BD的数量关系并说明理由；（2）如图2，当点D在线段AB的延长线上时，线段CF与BD的数量关系是否仍然成立？请说明理由；如图3，连接AE设AB4，若AEBDEB，求四边形BDFC的面积26（12分）已知抛物线yax2+bx+4与x轴相交于点A（1，0），B（4，0），与y轴相交于点C（1）求抛物线的表达式；（2）如图1，点P是抛物线的对称轴l上的一个动点，当PAC的周长最小时，求的值；（3）如图2，取线段OC的中点D，在抛物线上是否存在点Q，使tanQDB？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由2023年湖南省郴州市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分）1（3分）2的倒数是（）A2BC2D【分析】根据倒数：乘积是1的两数互为倒数，进而得出答案【解答】解：2的倒数是故选：B【点评】此题主要考查了倒数，正确掌握倒数的定义是解题关键2（3分）下列图形中，能由图形a通过平移得到的是（）ABCD【分析】根据平移的定义逐个判断即可【解答】解：由平移定义得，平移只改变图形的位置，观察图形可知，选项B中图形是由图形a通过平移得到，A，C，D均不能由图形a通过平移得到，故选：B【点评】本题考查了平移的性质的应用，熟练掌握平移的性质是解题关键3（3分）下列运算正确的是（）Aa4a3a7B（a2）3a5C3a2a22D（ab）2a2b2【分析】根据完全平方公式及多项式的计算得出结论即可【解答】解：A选项中，a4a3a7，结论正确；B选项中，（a2）3a6，故B选项结论错误；C选项中，3a2a22a2，故C选项结论错误；D选项中，（ab）2a22ab+b2，故D选项结论错误；故选：A【点评】本题主要考查完全平方公式及多项式的运算，熟练掌握完全平方公式及多项式的运算方法是解题的关键4（3分）下列几何体中，各自的三视图完全一样的是（）ABCD【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、侧面和上面看，所得到的图形【解答】解：A三棱柱的主视图和左视图是矩形，俯视图是三角形，故本选项不合题意；B圆锥的主视图和左视图是等腰三角形，俯视图是带圆心的圆，故本选项不合题意；C圆柱的主视图和左视图是矩形，俯视图是圆，故本选项不合题意；D球的主视图、左视图、俯视图分别为三个全等的圆，故本选项符合题意故选：D【点评】本题考查三视图的有关知识，注意三视图都相同的常见的几何体有球和正方体5（3分）下列问题适合全面调查的是（）A调查市场上某品牌灯泡的使用寿命B了解全市人民对湖南省第二届旅发大会的关注情况C了解郴江河的水质情况D神舟十六号飞船发射前对飞船仪器设备的检查【分析】由全面调查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似【解答】解：A调查市场上某品牌灯泡的使用寿命，适合抽样调查，故选项不符合题意；B了解全市人民对湖南省第二届旅发大会的关注情况，适合抽样调查，故选项不符合题意；C了解郴江河的水质情况，适合抽样调查，故选项不符合题意；D神舟十六号飞船发射前对飞船仪器设备的检查，适合全面调查，故选项符合题意；故选：D【点评】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查6（3分）一元一次不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）ABCD【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集【解答】解：解不等式3x0，得：x3，解不等式x+10，得：x1，则不等式组的解集为1x3，故选：C【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键7（3分）小王从A地开车去B地，两地相距240km原计划平均速度为xkm/h，实际平均速度提高了50%，结果提前1小时到达由此可建立方程为（）ABCDx+1.5x240【分析】设原计划平均速度为xkm/h，实际平均速度为（1+50%）x1.5xkm/h，根据走过相同的距离时间缩短了1小时，列方程即可【解答】解：设原计划平均速度为xkm/h，由题意得，1，故选：B【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程8（3分）第11届中国（湖南）矿物宝石国际博览会在我市举行，小方一家上午9：00开车前往会展中心参观途中汽车发生故障，原地修车花了一段时间车修好后，他们继续开车赶往会展中心以下是他们家出发后离家的距离s与时间的函数图象分析图中信息，下列说法正确的是（）A途中修车花了30minB修车之前的平均速度是500m/ninC车修好后的平均速度是80m/minD车修好后的平均速度是修车之前的平均速度的1.5倍【分析】根据图象即可判断A选项，根据“路程÷时间速度”即可判断B和C选项，进一步可判断D选项【解答】解：由图象可知，途中修车时间是9：10到9：30共花了20min，故A不符合题意；修车之前的平均速度是6000÷10600（m/min），故B不符合题意；车修好后的平均速度是（132006000）÷8900（m/min），故C不符合题意；900÷6001.5，车修好后的平均速度是修车之前的平均速度的1.5倍，故D符合题意，故选：D【点评】本题考查了一次函数的应用，理解一次函数图象上各点的含义是解题的关键二、填空题（共8小题，每小题3分，共24分）9（3分）计算3【分析】如果x3a，那么x叫做a的立方根记作：，由此即可得到答案【解答】解：3故答案为：3【点评】本题考查立方根，关键是掌握立方根的定义10（3分）在一次函数y（k2）x+3中，y随x的增大而增大，则k的值可以是 3（答案不唯一）（任写一个符合条件的数即可）【分析】由y随x的增大而增大，利用一次函数的性质可得出k20，解之即可得出k的值，再取其内的任意一值即可得出结论【解答】解：在一次函数y（k2）x+3的图象中，y随x的增大而增大，k20，解得：k2k值可以为3故答案为：3（答案不唯一）【点评】本题考查了一次函数的性质，牢记“k0，y随x的增大而增大；k0，y随x的增大而减小”是解题的关键11（3分）在一个不透明的袋子中装有3个白球和7个红球，它们除颜色外，大小、质地都相同从袋子中随机取出一个球，是红球的概率是 【分析】从袋子中随机摸出1个球共有10种等可能结果，其中是红球的有7种结果，再根据概率公式求解即可【解答】解：从袋子中随机摸出1个球共有10种等可能结果，其中是红球的有7种结果，从袋子中随机取出一个球，是红球的概率为故选：【点评】本题主要考查概率公式，随机事件A的概率P（A）事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数12（3分）已知抛物线yx26x+m与x轴有且只有一个交点，则m9【分析】利用判别式b24ac0即可得出结论【解答】解：抛物线yx26x+m与x轴有且只有一个交点，方程x26x+m0有唯一解即b24ac364m0，解得：m9故答案为：9【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点知识，明确b24ac决定抛物线与x轴的交点个数是解题的关键13（3分）为积极响应“助力旅发大会，唱响美丽郴州”的号召，某校在各年级开展合唱比赛，规定每支参赛队伍的最终成绩按歌曲内容占30%，演唱技巧占50%，精神面貌占20%考评某参赛队歌曲内容获得90分，演唱技巧获得94分，精神面貌获得95分则该参赛队的最终成绩是 93分【分析】根据加权平均数的计算公式列式计算可得【解答】解：根据题意，该参赛队的最终成绩是：30%×90+20%×95+50%×9493（分）故答案为：93【点评】本题考查了加权平均数的计算方法，在进行计算时候注意权的分配，另外还应细心，否则很容易出错14（3分）如图，在RtABC中，ACB90°，AC6，BC8，点M是AB的中点，求CM5【分析】由勾股定理可求解AB的长，再利用直角三角形斜边上的中线可求解【解答】解：连接CM，在RtABC中，ACB90°，AC6，BC8，AB，点M是AB的中点，CMAB5故答案为：5【点评】本题主要考查由勾股定理，直角三角形斜边上的中线，求解AB的长是解题的关键15（3分）如图，某博览会上有一圆形展示区，在其圆形边缘的点P处安装了一台监视器，它的监控角度是55°，为了监控整个展区，最少需要在圆形边缘上共安装这样的监视器 4台【分析】根据一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，得该圆周角所对的弧所对的圆心角是110°，则共需安装360°÷110°34台【解答】解：P55°，P所对弧所对的圆心角是110°，360°÷110°3，最少需要在圆形边缘上共安装这样的监视器4台故答案为：4【点评】此题考查了要圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半注意把实际问题转化为数学问题，能够把数学和生活联系起来16（3分）如图，在RtABC中，BAC90°，AB3cm，B60°将ABC绕点A逆时针旋转，得到AB'C'，若点B的对应点B'恰好落在线段BC上，则点C的运动路径长是 cm（结果用含的式子表示）【分析】根据旋转的性质得到点C的运动路径是CC圆弧的长度，根据弧长公式计算即可【解答】解：以A为圆心作圆弧CC，如图所示，在RtABC中，B60°，ACB30°，BC2AB2×36（cm），AB3（cm），将ABC绕点A逆时针旋转，得到AB'C'，ABAB，B60°，ABB是等边三角形，BAB60°，将ABC绕点A逆时针旋转，得到AB'C'，CACBAB60°，点C的运动路径长为（cm）故答案为：【点评】解：本题考查了轨迹，含30°角的直角三角形的性质，勾股定理，旋转的性质，弧长的计算，解题的关键是明确点C的运动轨迹三、解答题（1719题每题6分，2023题每题8分，2425题每题10分，26题12分，共82分）17（6分）计算：（）1tan30°+（2023）0+|2|【分析】直接利用特殊角的三角函数值、零指数幂的性质、绝对值的性质、负整数指数幂的性质分别化简，进而得出答案【解答】解：原式2×+1+221+1+24【点评】此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键18（6分）先化简，再求值：+，其中x1+【分析】根据分式的乘法法则、加法法则把原式化简，把x的值代入计算即可【解答】解：原式+，当x1+时，原式【点评】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键19（6分）某校计划组织学生外出开展研学活动，在选择研学活动地点时，随机抽取了部分学生进行调查，要求被调查的学生从A、B、C、D、E五个研学活动地点中选择自己最喜欢的一个根据调查结果，编制了如下两幅不完整的统计图（1）请把图1中缺失的数据，图形补充完整；（2）请计算图2中研学活动地点C所在扇形的圆心角的度数；（3）若该校共有1200名学生，请估计最喜欢去D地研学的学生人数【分析】（1）用B的人数除以20%求得本次调查的学生总数，进而得出最喜欢去A地的人数；（2）用360°乘“C”所占比例可以求得“C”部分所占圆心角的度数；（3）用1200乘样本中D所占比例即可【解答】解：（1）本次调查的学生人数为：20÷20%100（人），最喜欢去A地的人数为：100204025510（人），补全条形统计图如下：（2）研学活动地点C所在扇形的圆心角的度数为：360°×144°；（3）1200×300（名），答：估计最喜欢去D地研学的学生人数约300名【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答20（8分）如图，四边形ABCD是平行四边形（1）尺规作图；作对角线AC的垂直平分线MN（保留作图痕迹）；（2）若直线MN分别交AD，BC于E，F两点，求证：四边形AFCE是菱形【分析】（1）根据要求作出图形；（2）根据对角线垂直的平行四边形是菱形证明即可【解答】（1）解：如图，直线MN即为所求；（2）证明：设AC与EF交于点O由作图可知，EF垂直平分线段AC，OAOC，四边形ABCD是平行四边形，AECF，OAEOCF，AOECOF，AOECOF（ASA），AECF，四边形AFCE是平行四边形，ACEF，四边形AFCE是平行四边形【点评】本题考查作图基本作图，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，正确寻找全等三角形解决问题21（8分）某次军事演习中，一艘船以40km/h的速度向正东航行，在出发地A测得小岛C在它的北偏东60°方向，2小时后到达B处，浏得小岛C在它的北偏西45°方向，求该船在航行过程中与小岛C的最近距离（参考数据：1.41，1.73结果精确到0.1km）【分析】由题意得，AB40×280（海里），CAB30°，ABC45°，过C作CDAB于D，解直角三角形即可得到结论【解答】解：由题意得，AB40×280（海里），CAB30°，ABC45°，过C作CDAB于D，ADCBDC90°，AB80海里，CD+CD80，解得CD404029.2，答：该船在航行过程中与小岛C的最近距离为29.2海里【点评】本题考查解直角三角形应用方向角问题、勾股定理的应用等知识，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线22（8分）随旅游旺季的到来，某景区游客人数逐月增加，2月份游客人数为1.6万人，4月份游客人数为2.5万人（1）求这两个月中该景区游客人数的月平均增长率；（2）预计5月份该景区游客人数会继续增长，但增长率不会超过前两个月的月平均增长率已知该景区5月1日至5月21日已接待游客2.125万人，则5月份后10天日均接待游客人数最多是多少万人？【分析】（1）设这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为x，由2月份游客人数为1.6万人，4月份游客人数为2.5万人，列出方程可求解；（2）设5月份后10天日均接待游客人数是a万人，由增长率不会超过前两个月的月平均增长率，列出不等式，即可求解【解答】解：（1）设这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为x，由题意可得：1.6（1+x）22.5，解得：x25%，x（不合题意舍去），答：这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为25%；（2）设5月份后10天日均接待游客人数是a万人，由题意可得：2.125+a2.5（1+25%），解得：a1，答：5月份后10天日均接待游客人数最多是1万人【点评】本题考查了一元二次方程的应用，一元一次不等式的应用，找到正确的数量关系是解题的关键23（8分）如图，在O中，AB是直径，点C是圆上一点在AB的延长线上取一点D，连接CD，使BCDA（1）求证：直线CD是O的切线；（2）若ACD120°，CD2，求图中阴影部分的面积（结果用含的式子表示）【分析】（1）连接OC，由AB是直径，可得ACBOCA+OCB90°，再证OCAABCD，从而有BCD+OCBOCD90°，即可证明（2）由圆周角定理求得AOC2A60°，在RtOCD中，解直角三角形得OC2，然后利用三角形的面积公式和扇形的面积公式即可解答【解答】（1）证明：连接OC，AB是直径，ACBOCA+OCB90°，OAOC，BCDA，OCAABCD，BCD+OCBOCD90°，OCCD，OC是O的半径，直线CD是O的切线（2）解：ACD120°，ACB90°，ABCD120°90°30°，AOC2A60°，在RtOCD中，tanAOCtan60°，CD2，解得OC2，阴影部分的面积SACDS扇形BOC2【点评】本题主要考查圆周角定理，切线的判定，扇形的面积公式及解直角三角形，熟练掌握性质是解题关键24（10分）在实验课上，小明做了一个试验如图，在仪器左边托盘A（固定）中放置一个物体，在右边托盘B（可左右移动）中放置一个可以装水的容器，容器的质量为5g在容器中加入一定质量的水，可以使仪器左右平衡改变托盘B与点C的距离x（cm）（0x60），记录容器中加入的水的质量，得到下表：托盘B与点C的距离x/cm3025201510容器与水的总质量y1/g1012152030加入的水的质量y2/g57101525把上表中的x与y1各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出这些点，并用光滑的曲线连接起来，得到如图所示的y1关于x的函数图象（1）请在该平面直角坐标系中作出y2关于x的函数图象；（2）观察函数图象，并结合表中的数据：猜测y1与x之间的函数关系，并求y1关于x的函数表达式；求y2关于x的函数表达式；当0x60时，y1随x的增大而 减小（填“增大”或“减小”），y2随x的增大而 减小（填“增大”或“减小”），y2的图象可以由y1的图象向 下（以“上”或“下”或“左”或“右”）平移得到（3）若在容器中加入的水的质量y2（g）满足19y245，求托盘B与点C的距离x（cm）的取值范围【分析】（1）描点作出图象即可；（2）用待定系数法可得y1关于x的函数表达式；由y2与y1关系，结合可得答案；观察图象可得答案；（3）根据19y245可得关于x的不等式，可解得x的范围【解答】解：（1）作出y2关于x的函数图象如下：（2）观察表格可知，y1是x的反比例函数，设y1，把（30，10）代入得：10，k300，y1关于x的函数表达式是y1；y1y2+5，y2+5；y25；观察图象可得，当0x60时，y1随x的增大而减小，y2随x的增大而减小，y2的图象可以由y1的图象向下平移得到；故答案为：减小，减小，下；（3）y25，19y245，19545，2450，6x12.5【点评】本题考查反比例函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式25（10分）已知ABC是等边三角形，点D是射线AB上的一个动点，延长BC至点E，使CEAD，连接DE交射线AC于点F（1）如图1，当点D在线段AB上时，猜测线段CF与BD的数量关系并说明理由；（2）如图2，当点D在线段AB的延长线上时，线段CF与BD的数量关系是否仍然成立？请说明理由；如图3，连接AE设AB4，若AEBDEB，求四边形BDFC的面积【分析】（1）由“AAS”可证DGFECF，得到CFGFCGBD；（2）由“AAS”可证DGFECF，得到CFFGCGBD；根据已知条件推出tanAEHtanMDN，得到 ，证明ABCADG，得到 ，可以DG的长，由面积的和差关系可求解【解答】解：（1），理由如下：如图，过点D作DGBC，交AC于点G，ABC是等边三角形，ABACBC，ABCACBBAC60°，DGBC，ADGABC60°，AGDACB60°，GDFCEF，ADG为等边三角形，ADAGDG，ADCE，ABADACAG，DGCE，BDCG，又DFGCFE，DGFECF（AAS），CFGFCGBD；（2）成立，理由如下：如图2，过点D作DGBC，交AC的延长线于点G，ABC是等边三角形，ABACBC，ABCACBBAC60°，DGBC，ADGABC60°，AGDACB60°，GDFCEF，ADG是等边三角形，ADAGDG，ADCE，ADABAGAC，DGCE，BDCG，又DFGCFE，DGFECF（AAS），CFFGCGBD；如图，过点D作DGBC，交AC的延长线于点G，过点A作 ANDG，交BC于点H，交DE于点N，则：ANBC，由知：ADG为等边三角形，DGFECF（AAS），ABC为等边三角形，AEBDEB，EHEH，AHEMEE90°，AEHMEH（ASA），DGFECF，CEFMDN，DGCE，AEHMDN，tanAEHtanMDN，设MNy，DGCEx，则：EHCE+CH2+x，DGBC，ABCADG，即：， 联立可得： （负值已舍去），经检验 是原方程的根，SACECEAH×（4+4）×24+4，SCEF（4）4+2，四边形BDFC的面积为SADGSABCSDFGSADGSABCSCEF【点评】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角 形本题的综合性强，难度大，属于中考压轴题，解题的关键是添加辅助线构造特殊三角形，全等和相似 三角形26（12分）已知抛物线yax2+bx+4与x轴相交于点A（1，0），B（4，0），与y轴相交于点C（1）求抛物线的表达式；（2）如图1，点P是抛物线的对称轴l上的一个动点，当PAC的周长最小时，求的值；（3）如图2，取线段OC的中点D，在抛物线上是否存在点Q，使tanQDB？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由【分析】（1）由待定系数法求出函数解析式即可；（2）根据PAC的周长等于PA+PC+AC，以及AC为定长，得到当PA+PC的值最小时，PAC的周长最小，根据抛物线的对称性，得到A，B关于对称轴对称，则：PA+PCPB+PCBC，得到当P，B，C三点共线时，PA+PCBC，进而求出P点坐标，即可得解；（3）求出D点坐标为（0，2），进而得到，得到QDBOBD，分点Q在D点上方和下方，两种情况进行讨论求解即可【解答】解：（1）抛物线yax2+bx+4与x轴相交于点A（1，0），B（4，0），解得：，抛物线的表达式为yx25x+4；（2）由（1）知yx25x+4，当x0时，y4，C（0，4），抛物线的对称轴为直线，PAC的周长等于PA+PC+AC，AC为定长，当PA+PC的值最小时，PAC的周长最小，A，B关于抛物线的对称轴对称，PA+PCPB+PCBC，当P，B，C三点共线时，PA+PC的值最小，为BC的长，此时点P为直线BC与对称轴的交点，设直线BC的解析式为：ymx+n，则：，解得：，直线BC的解析式为yx+4，当 时，A（1，0），C（0，4），PA，PC，；（2）存在，D为OC的中点，D（0，2），OD2，B（4，0），OB4，在RtBOD中，QDBOBD；当Q点在D点上方时：过点D作DQOB，交抛物线于点Q，则：QDBOBD，此时Q点纵坐标为2，设Q点横坐标为t，则：t25t+42，解得：，Q（，2）或（，2）；当点Q在D点下方时：设DQ与x轴交于点E，则：DEBE，设E（p，0），则：DE2OE2+OD2p2+4，BE2（4p）2，p2+4（4p）2，解得：，设DE的解析式为：ykx+q，则：，解得：，联立，解得：或，Q（3，2）或；综上所述， 或 或Q（3，2）或【点评】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法，二次函数的性质，勾股定理，轴对称的性质，正确的求出二次函数解析式，利用数形结合，分类讨论的思想进行求解是解题的关键声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2023/6/28 10:48:56；用户：柯瑞；邮箱：ainixiaoke00；学号：500557第38页（共38页）