2022-2023学年八年级数学下册举一反三系列三系列专题9.10 平行四边形中常见的四种思想方法专项训练（30道）（苏科版）含解析.docx

2022-2023学年八年级数学下册举一反三系列专题9.10 平行四边形中常见的四种思想方法【苏科版】考卷信息：本套训练卷共30题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可加强学生对平行四边形中常见的四种思想方法的理解！【类型1 整体思想】1.（2021秋·黑龙江佳木斯·九年级统考期中）如图，平行四边形ABCD中，点E在边AD上，若点A关于BE的对称点A落在CD上，DEA的周长为8，CBA的周长为18，则AC的长为_. 2.（2022秋·山东济宁·八年级济宁学院附属中学校考期末）如图，菱形ABCD的周长为40，面积为80，P是对角线BD上一点，分别作P点到直线AB、AD的垂线段PE、PF，则PE+PF等于_.3. （2022春·江苏无锡·八年级统考期末）如图，ABC45°，AB2，BC22，点P为BC上一动点，AQBC，CQAP，AQ 、CQ交于点Q，则四边形APCQ的形状是_，连接PQ，当PQ取得最小值时，四边形APCQ的周长为_4.（2022春·河南南阳·八年级统考期末）在ABCD中，点E为AB边的中点，连接CE，将BCE沿着CE翻折，点B落在点G处，连接AG并延长，交CD于F(1)求证：四边形AECF是平行四边形；(2)若CF5，GCE的周长为20，求四边形ABCF的周长5.（2022秋·江苏南京·九年级南京市第二十九中学校考开学考试）如图，在平行四边形ABCD中，ADAB，点E、F分别在边AD、BC上，且AECF，连接BE、DF(1)求证：四边形BEDF是平行四边形；(2)若平行四边形ABCD的周长为26，面积为183，且A60°，当BE平分ABC时，则四边形BEDF的周长为_6.（2021秋·黑龙江佳木斯·九年级统考期中）如图，AOD和COB关于点O中心对称，AOD60°，ADO90°，BD12，P是AO上一动点，Q是OC上一动点（点P，Q不与端点重合），且APOQ连接BQ，DP，则DP+BQ的最小值是_7.（2023春·全国·八年级期末）在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，A（3，0），B（0，4），D为边OB的中点.(1)若E为边OA上的一个动点，求CDE的周长最小值；(2)若E、F为边OA上的两个动点，且EF=1，当四边形CDEF的周长最小时，求点E、F的坐标.【类型2 转化思想】8. （2022秋·山东济宁·八年级济宁学院附属中学校考期末）如图，矩形ABCD中，点E、F分别是AB、CD的中点，连接DE和BF，分别取DE、BF的中点M、N，连接AM、CN、MN，若AB=4，BC=6，则图中阴影部分的面积为 (    )A. 4B. 6C. 12D. 249.如图，P为ABCD的边AD上的一点，E、F分别是PB、PC的中点，PEF、PDC、PAB的面积分别为S、S1、S2，若S=3，则S1+S2的值是 (    )A. 3B. 6C. 12D. 2410.如图，在ABCD中，E、F分别是AB、DC边上的点，AF与DE交于点P，BF与CE交于点Q，若SAPD=20cm2，SBQC=30cm2，则图中阴影部分的面积为_cm2.11.正方形ABCD、正方形BEFG和正方形RKPF的位置如图所示，点G在线段DK上，正方形BEFG的边长为4，则DEK的面积为_.12.（2022秋·山东济宁·八年级济宁学院附属中学校考期末）如图，在ABCD中，E为边BC延长线上一点，连结AE、DE若ADE的面积为2，则ABCD的面积为（）A5B4C3D213.（2023春·八年级期末）如图，平行四边形ABCD中，G在CD上，E、F是AG、BG的中点，那么四边形ABCD的面积是GEF面积的_倍14.（2020秋·重庆南岸·九年级重庆第二外国语学校校考期末）如图，在矩形ABCD中，点E、F分别是AB、CD的中点，连接DE和BF，分别取DE、BF的中点M、N，连接AM、CN、MN若AB=3，BC=25，则图中阴影部分的面积为_15.（2023春·八年级期末）如图，平行四边形ABCD中，过对角线BD上一点P作EFBC，GHAB，且CG2BG，连接AP，若SPBG2，则S四边形AEPH_【类型3 分类讨论思想】16. 在ABCD中，已知AB=6，BE平分ABC交AD边于点E，点E将AD分为1:3两部分，则AD的长为_.17.在ABCD中，AD=BD，BE是AD边上的高，EBD=20，则A的度数为_.18. 已知在ABCD中，AE为BC边上的高，且AE=12，若AB=15，AC=13，则ABCD的面积为_.19.（2023春·八年级期末）如图，在ABC中，ACB=90°，A=60°，AC=4，E为斜边AB的中点，点P是射线BC上的一个动点，连接AP、PE，将AEP沿着边PE折叠，折叠后得到EPA，当折叠后EPA与BEP的重叠部分的面积恰好为ABP面积的四分之一，则此时BP的长为_ 20.（2022春·江苏扬州·八年级校考期末）在平面直角坐标系中，A（1，1），B（2，3），C（m，2m1），D在x轴上，若以A，B，C，D四点为顶点的四边形是平行四边形，则点D的坐标为_21.（2019春·福建泉州·八年级校考期末）在直角坐标系内，将横坐标、纵坐标都是整数的点称作“整点”.设A0,0，B3,0， Cm+3,3，Dm,3（m为实数），则平行四边形ABCD内部（不含边界）的“整点”个数可能为_.22.（2019·安徽·九年级期末）如图，在RtABC中，ACB90°，B30°，AC2，E为斜边AB的中点，点P是射线BC上的一个动点，连接AP、PE，将AEP沿着边PE折叠，折叠后得到EPA，当折叠后EPA与BEP的重叠部分的面积恰好为ABP面积的四分之一，则此时BP的长为_【类型4 方程思想】23.如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，EB/DF且BE与DF之间的距离为3，则AE的长是_.24. 如图，在正方形OABC中，点B的坐标是(3,3)，点E、F分别在边BC、BA上，CE=1，若EOF=45，则F点的纵坐标是_.25.（2020春·天津·八年级统考期中）ABCD中，两个邻边的比为3：2，其中较长的一边为15cm，则ABCD的周长为_cm26（2019春·江苏南通·八年级海安市曲塘中学校考期末）如图，在四边形ABCD中，ABCD，ABCADC，DE垂直于对角线AC，垂足是E，连接BE（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；（2）若ABE是等边三角形，四边形BCDE的面积等于23，求CE的长27（2020·云南红河·统考一模）如图，在矩形ABCD中，AB16，AD12，点E、F分别在边CD、AB上（1）若DEBF，求证：四边形AFCE是平行四边形；（2）若四边形AFCE是菱形，求菱形AFCE的周长28（2022春·安徽铜陵·八年级统考期末）如图1，矩形ABCD中，AB=2，BC=3，过对角线AC中点O的直线分别交边BC、AD于点E、F（1）求证：四边形AECF是平行四边形；（2）如图2，当EFAC时，求EF的长度29（2019春·辽宁大连·八年级期末）如图，等边ABC的边长为8，动点M从点B出发，沿BACB的方向以每秒3个单位长度的速度运动，动点N从点C出发，沿CABC的方向以每秒2个单位长度的速度运动.（1）若动点M、N同时出发，经过几秒第一次相遇？（2）若动点M、N同时出发，且其中一点到达终点时，另一点即停止运动在ABC的边上是否存在一点D，使得以点A、M、N、D为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求此时运动的时间t及点D的具体位置；若不存在，请说明理由.30（2021春·江苏常州·八年级常州市第二十四中学校考期中）定义：如果四边形的一条对角线的中点到另外两个顶点的距离都等于这条对角线的长的一半，那么我们称这样的四边形为“等距四边形”（1）在下列图形中：平行四边形、矩形、菱形、正方形，是“等距四边形”的是 （填序号）（2）如图1，在菱形ABCD中，AB4，A60°，BECD于点E，在菱形ABCD的边上取点F，顺次连接B、E、D、F，使四边形BEDF为“等距四边形”，说明理由，并求线段EF的长专题9.10 平行四边形中常见的四种思想方法【苏科版】考卷信息：本套训练卷共30题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可加强学生对平行四边形中常见的四种思想方法的理解！【类型1 整体思想】1.（2021秋·黑龙江佳木斯·九年级统考期中）如图，平行四边形ABCD中，点E在边AD上，若点A关于BE的对称点A落在CD上，DEA的周长为8，CBA的周长为18，则AC的长为_. 【答案】5 【解析】由折叠的性质得，EA=AE，BA=AB.四边形ABCD是平行四边形，AD=BC，AB=DC.ADE的周长为8，即DA+DE+EA=8，DA+DE+AE=8，即DA+AD=8.ACB的周长为18，即AC+BC+BA=18，AC+AD+DC=18，即2AC+AD+DA=18.2AC+8=18，AC=52.（2022秋·山东济宁·八年级济宁学院附属中学校考期末）如图，菱形ABCD的周长为40，面积为80，P是对角线BD上一点，分别作P点到直线AB、AD的垂线段PE、PF，则PE+PF等于_.【答案】8 【解析】 解析：菱形ABCD的周长为40，面积为80，AB=AD=10，SABD=40.分别作P点到直线AB、AD的垂线段PE、PF，12×AB×PE+12×PF×AD=40，12×10(PE+PF)=40，PE+PF=8.3. （2022春·江苏无锡·八年级统考期末）如图，ABC45°，AB2，BC22，点P为BC上一动点，AQBC，CQAP，AQ 、CQ交于点Q，则四边形APCQ的形状是_，连接PQ，当PQ取得最小值时，四边形APCQ的周长为_【答案】     平行四边形     2+10#10+2【分析】根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形即可求解；当PQ是AQ和BC间距离时PQ取得最小值，计算四边形APCQ的周长即可【详解】解：如图，AQBC，CQAP，四边形APCQ是平行四边形当PQBC时，PQ取得最小值，四边形APCQ是平行四边形，AH=HC=12AC，QH=PH=12PQ，ABC=45°，AB=2，BC=22，AC=2，ACB=45°，QPBC，PHC=45°，PH=PC=22，PQ=2，QC=PC2+PQ2=222+22=102，四边形APCQ的周长为：2PC+2QC=2×22+2×102=2+10，故答案为：平行四边形；2+10【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定，垂线段最短的性质，综合性较强4.（2022春·河南南阳·八年级统考期末）在ABCD中，点E为AB边的中点，连接CE，将BCE沿着CE翻折，点B落在点G处，连接AG并延长，交CD于F(1)求证：四边形AECF是平行四边形；(2)若CF5，GCE的周长为20，求四边形ABCF的周长【答案】(1)见解析(2)30【分析】（1）根据平行四边形的性质得出AEFC，根据折叠及已知条件得出AEGE，根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质，证明FAECEB，再根据平行线的判定得出AFEC，即可证明结论；（2）由折叠的性质得：GEBE，GCBC，根据GCE的周长为20，得出GECEGC20，即可得出BECEBC20，再根据平行四边形的性质求出AFCE，AECF5，即可求出结果【详解】（1）证明：四边形ABCD是平行四边形，AEFC，点E是AB边的中点，AEBE，将BCE沿着CE翻折，点B落在点G处，BEGE，CEBCEG，AEGE，FAEAGE，CEBCEG BEG，BEGFAEAGE，FAE BEG，FAECEB，AFEC，四边形AECF是平行四边形（2）解：由折叠的性质得：GEBE，GCBC，GCE的周长为20，GECEGC20，BECEBC20，四边形AECF是平行四边形，AFCE，AECF5，四边形ABCF的周长ABBCCFAFAEBEBCCECF520530【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质和判定，三角形外角的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握平行四边形的性质和判定，是解题的关键5.（2022秋·江苏南京·九年级南京市第二十九中学校考开学考试）如图，在平行四边形ABCD中，ADAB，点E、F分别在边AD、BC上，且AECF，连接BE、DF(1)求证：四边形BEDF是平行四边形；(2)若平行四边形ABCD的周长为26，面积为183，且A60°，当BE平分ABC时，则四边形BEDF的周长为_【答案】(1)见解析(2)18【分析】（1）利用平行四边形的性质可得ADBC，AD=BC，从而可得DE=BF，然后利用平行四边形的判定方法，即可解答；（2）过点B作BMAD，垂足为M，根据平行四边形的周长和面积可得方程组，根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理得出MB=3AM= 32AB，进而可得AD+AB13ADAB36，解方程组即可求得AD,AB，然后证明ABE是等边三角形，从而求出BE的长，进行计算即可解答【详解】（1）（1）证明：四边形ABCD是平行四边形，ADBC，AD=BC，AE=CF，AD-AE=BC-CF，DE=BF，四边形BEDF是平行四边形；（2）过点B作BMAD，垂足为M，平行四边形ABCD的周长为26，面积为183，2AD+AB26ADBM183，在RtABM中，A=60°，ABM=30°2AM=ABMB=3AM= 32ABAD+AB=13AD32AB=183，化简得：AD+AB13ADAB36，解得：AD=4AB=9或AD=9AB=4，ADAB，AD=9，AB=4，BE平分ABC，ABE=EBC，ADBC，AEB=EBC，ABE=AEB，AE=AB=4，DE=AD-AE=9-4=5，A=60°，ABE是等边三角形，BE=AB=4，四边形BEDF的周长=2（BE+DE）=18，故答案为：18【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键6.（2021秋·黑龙江佳木斯·九年级统考期中）如图，AOD和COB关于点O中心对称，AOD60°，ADO90°，BD12，P是AO上一动点，Q是OC上一动点（点P，Q不与端点重合），且APOQ连接BQ，DP，则DP+BQ的最小值是_【答案】12【分析】由中心对称的性质可得BODO6，AOOC，可证四边形ABCD是平行四边形，由直角三角形的性质可得AO2DO12，当APOP时，DP+BQ的值最小，此时P为OA的中点，由直角三角形斜边上的中线性质得出DP、BQ，即可得出结果【详解】解：AOD和COB关于点O中心对称，BODO6，AOOC，四边形ABCD是平行四边形，AOD60°，ADO90°，DAO30°，AO2DO12，APOQ，PQAO12，如图，作DKAC，使得DKPQ12，连接BK，四边形DPQK为平行四边形，DP=KQ，BDK=BOC=AOD=60°，此时DP+BQKQ+BQBK的值最小，DK=PQ=BD=12，BDK是等边三角形，BK=DB=12，DP+BQ的最小值为12故答案为：12【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定和性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质是解题的关键7.（2023春·全国·八年级期末）在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，A（3，0），B（0，4），D为边OB的中点.(1)若E为边OA上的一个动点，求CDE的周长最小值；(2)若E、F为边OA上的两个动点，且EF=1，当四边形CDEF的周长最小时，求点E、F的坐标.【答案】(1)13+35(2)23,0，53,0【分析】（1）作点D关于x轴的对称点D，连接CD与x轴交于点E，连接DE，先求出直线CD的关系式，得出点E的坐标，求出AE=2，根据勾股定理求出CD=13，DE=5，CE=25，即可得出答案；（2）将点D向右平移1个单位得到D（1,2），作D关于x轴的对称点D（1,2），连接CD交x轴于点F，将点F向左平移1个单位到点E，此时点E和点F为所求作的点，用待定系数法求出CD的关系式，然后求出与x轴的交点坐标，即可得出答案【详解】（1）解：如图，作点D关于x轴的对称点D，连接CD与x轴交于点E，连接DE，由模型可知CDE的周长最小，在矩形OACB中，OA=3，OB=4，D为OB的中点，D（0，2），C（3，4），D（0，2），设直线CD为y=kxb，把C（3，4），D（0，2）代入，得3kb=4，b=2，解得k=2，b=2，直线CD为y=2x2，令y=0，得x=1，点E的坐标为（1，0）.OE=1，AE=2，利用勾股定理得CD=32+22=13，DE=12+22=5，CE=22+42=25，CDE周长的最小值为：13+5+25=13+35（2）解：如图，将点D向右平移1个单位得到D（1,2），作D关于x轴的对称点D（1,2），连接CD交x轴于点F，将点F向左平移1个单位到点E，此时点E和点F为所求作的点，连接DF，此时四边形CDEF周长最小，理由如下：四边形CDEF的周长为CDDEEFCF，CD与EF是定值，DECF最小时，四边形CDEF周长最小，DDEF，且DD=EF，四边形DDFE为平行四边形，DE=DF，根据轴对称可知，DF=DF，DECF=DFCF=FDCF=CD，设直线CD的解析式为y=kxb，把C（3，4），D（1,2）代入，得3kb=4kb=2，解得k=3b=5，直线CD的解析式为y=3x5，令y=0，得x=53，点F坐标为53,0，点E坐标为23,0【点睛】本题主要考查了轴对称的性质，将军饮马问题，根据题意作出辅助线，找出最短时动点的位置，是解题的关键【类型2 转化思想】8. （2022秋·山东济宁·八年级济宁学院附属中学校考期末）如图，矩形ABCD中，点E、F分别是AB、CD的中点，连接DE和BF，分别取DE、BF的中点M、N，连接AM、CN、MN，若AB=4，BC=6，则图中阴影部分的面积为 (    )A. 4B. 6C. 12D. 24【答案】C 【解析】解:点E、F分别是AB、CD的中点,M、N分别为DE、BF的中点,矩形绕中心旋转180°阴影部分恰好能够与空白部分重合,阴影部分的面积等于二分之一空白部分的面积,阴影部分的面积=矩形的面积,AB=4,BC=6,阴影部分的面积=12,故选:C.9.如图，P为ABCD的边AD上的一点，E、F分别是PB、PC的中点，PEF、PDC、PAB的面积分别为S、S1、S2，若S=3，则S1+S2的值是 (    )A. 3B. 6C. 12D. 24【答案】C 【解析】如图，过点P作PQ/DC交BC于点Q.由DC/AB，得PQ/AB，易证PDCCQP，ABPQPB，SPDC=SCQP，SABP=SQPB.EF为PCB的中位线，EF/BC，EF=12BC.取BC中点M，连接EM、FM，则有PEFEBMFMCMFE，SPEF=SEBM=SFMC=SEFM，SPBC=4SPEF=12，SPBC=SCQP+SQPB=SPDC+SABP=S1+S2=12.故选C.10.如图，在ABCD中，E、F分别是AB、DC边上的点，AF与DE交于点P，BF与CE交于点Q，若SAPD=20cm2，SBQC=30cm2，则图中阴影部分的面积为_cm2.【答案】50 【解析】连接E、F两点，四边形ABCD是平行四边形，AB/CD.EFC的FC边上的高与BCF的FC边上的高相等，SEFC=SBCF，SEFQ=SBCQ.同理：SEFD=SADF，SEFP=SADP.SAPD=20cm2，SBQC=30cm2，S四边形EPFQ=50cm2.11.正方形ABCD、正方形BEFG和正方形RKPF的位置如图所示，点G在线段DK上，正方形BEFG的边长为4，则DEK的面积为_.【答案】16 【解析】【分析】此题主要考查正方形的性质，三角形和正方形面积公式，平行线之间的距离，结合图形巧妙转化解决问题连接DB，GE，FK，则DB/GE/FK，再根据正方形BEFG的边长为4，可求出SDGE=SGEB，SGKE=SGFE，再由S阴影=S正方形GBEF即可求出答案【解答】解：如图，连接DB，GE，FK，则DB/GE/FK，在梯形GDBE中，SDGE=SGEB(同底等高的两三角形面积相等)，同理SGKE=SGFE.S阴影=SDGE+SGKE，=SGEB+SGEF，=S正方形GBEF，=4×4=16.故答案为：16.  12.（2022秋·山东济宁·八年级济宁学院附属中学校考期末）如图，在ABCD中，E为边BC延长线上一点，连结AE、DE若ADE的面积为2，则ABCD的面积为（）A5B4C3D2【答案】B【分析】首先根据平行四边形的性质，平行四边形ABCD和ADE的高相等，即可得出ABCD的面积.【详解】解：四边形ABCD为平行四边形，ADBC，平行四边形ABCD和ABE的高相等，设其高为，SABCD=2SADE=4，故答案为B【点睛】此题主要考查利用平行四边形的性质进行等量转换，即可求得三角形的面积13.（2023春·八年级期末）如图，平行四边形ABCD中，G在CD上，E、F是AG、BG的中点，那么四边形ABCD的面积是GEF面积的_倍【答案】8【分析】过点G作GHAB交EF于I，垂足为H，根据三角形的中位线的性质进行求解即可【详解】解：过点G作GHAB交EF于I，垂足为H，如下图：E、F是AG、BG的中点，EF=12AB，GI=12GH，EFAB，又SABCD=AB·GH，SGEF=12GI·EF，SGEF=12×12×12GH·AB=18GH·AB，SABCD=8SGEF，故答案为：8【点睛】本题考查了三角形中位线的性质，解决本题的关键是正确的作出辅助线14.（2020秋·重庆南岸·九年级重庆第二外国语学校校考期末）如图，在矩形ABCD中，点E、F分别是AB、CD的中点，连接DE和BF，分别取DE、BF的中点M、N，连接AM、CN、MN若AB=3，BC=25，则图中阴影部分的面积为_【答案】35【分析】利用三角形中线的性质以及平行线的性质得出SAEM=SAMD，SBNC=SFNC，S四边形EBNM=S四边形DMNF，即可得出答案【详解】解：点E、F分别是AB、CD的中点，连接DE和BF，分别取DE、BF的中点M、N，SAEM=SAMD，SBNC=SFNC，S四边形EBNM=S四边形DMNF，图中阴影部分的面积=12×AB×BC=12×3×25=35故答案为：35【点睛】本题主要考查了矩形的性质以及三角形中线的性质，得出图中阴影部分的面积等于矩形ABCD面积的一半是解题关键15.（2023春·八年级期末）如图，平行四边形ABCD中，过对角线BD上一点P作EFBC，GHAB，且CG2BG，连接AP，若SPBG2，则S四边形AEPH_【答案】8【分析】由题意根据平行四边形的判定和性质，进行面积的等量代换分析即可求解.【详解】解：EFBC，GHAB，四边形HPFD、四边形PGCF、四边形BGPE是平行四边形，SBEP=SPBG,SHPD=SPFD,SABD=SBCD，SPBG2，S四边形BGPE=2+2=4，CG2BG，S四边形PGCF=2S四边形BGPE=2×4=8，S四边形AEPH=SABDSBEPSHPD,S四边形PGCF=SBCDSPBGSPFD,S四边形AEPH=S四边形PGCF=8.故答案为：8.【点睛】本题考查的是平行四边形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的性质定理是解题的关键【类型3 分类讨论思想】16. 在ABCD中，已知AB=6，BE平分ABC交AD边于点E，点E将AD分为1:3两部分，则AD的长为_.【答案】8或24 【解析】【分析】本题考查了平行四边形的性质、平行线的性质、角平分线定义、等腰三角形的判定等知识；熟练掌握平行四边形的性质，证出AB=AE是解题的关键由平行四边形的性质和角平分线得出AB=AE=6，再由已知条件得出DE=18或DE=2，分别求出AD即可【解答】解：BE平分ABC，ABE=CBE，四边形ABCD是平行四边形，AD/BC，BEA=CBE，ABE=BEA，AB=AE=6.点E将AD分为1：3两部分，DE=18或DE=2，当DE=18时，AD=24；当DE=2，AD=8.  17.在ABCD中，AD=BD，BE是AD边上的高，EBD=20，则A的度数为_.【答案】55或35 【解析】【分析】此题主要考查了平行四边形的性质以及等腰三角形的性质等知识，得出ADB的度数是解题关键首先求出ADB的度数，再利用三角形内角和定理以及等腰三角形的性质，得出A的度数【解答】解：情形一：当E点在线段AD上时，如图所示，BE是AD边上的高，EBD=20，ADB=9020=70，AD=BD，A=ABD=180702=55.情形二：当E点在AD的延长线上时，如图所示，BE是AD边上的高，EBD=20，BDE=70，AD=BD，A=ABD=12BDE=12×70=35.故答案为55或35.18. 已知在ABCD中，AE为BC边上的高，且AE=12，若AB=15，AC=13，则ABCD的面积为_.【答案】48或168 【解析】解：如图，高AE在ABC内时，在RtABE中，BE=AB2AE2=152122=9，在RtAEC中，CE=AC2AE2=132122=5，BC=BE+EC=14，S平行四边形ABCD=BC×AE=14×12=168.如图，高AE在ABC外时，BC=BECE=95=4，S平行四边形ABCD=BC×AE=12×4=48，故答案为：48或168.分高AE在ABC内外两种情形，分别求解即可本题考查平行四边形的性质四边形的面积，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题19.（2023春·八年级期末）如图，在ABC中，ACB=90°，A=60°，AC=4，E为斜边AB的中点，点P是射线BC上的一个动点，连接AP、PE，将AEP沿着边PE折叠，折叠后得到EPA，当折叠后EPA与BEP的重叠部分的面积恰好为ABP面积的四分之一，则此时BP的长为_ 【答案】4或43【分析】根据30°角所对的直角边等于斜边的一半可求出AB，即可得到AE的值，进而根据勾股定理求出BC，分类两种情况讨论：若P'A与AB交于点F，连接A'B，易得SEFP=12SBEP=12SAEP=12SA'EP，即可得到EF=12BE=BF，PF=12A'P=A'F，从而得到四边形A'EPB是平行四边形，根据平行四边形的性质即可求解；若EA'与BC交于点G，连接AA'，交EP于H，同理可得GP=12BP=BG，EG=12EA'=12×4=2，根据三角形中位线定理可得AP=AC=4，此时点P与点C重合，进而可求解【详解】解：ACB=90°,A=60°,AC=4，E为斜边AB的中点，AB=8，AE=12AB=4，BC=43，若P'A与AB交于点F，连接A'B，如图1所示， 由折叠可得，SA'EP=SAEP，A'E=AE=4，点E是AB的中点，SBEP=SAEP=12SABP，由题意得，SEFP=14SABP，SEFP=12SBEP=12SAEP=12SA'EP，EF=12BE=BF，PF=12A'P=A'F，四边形A'EPB是平行四边形，BP=A'E=4，若EA'与BC交于点G，连接AA'，交EP于H，如图2所示， 同理可得GP=12BP=BG，EG=12EA'=12×4=2，BE=AE，EG=12AP=2，AP=AC=4，点P与点C重合，BP=BC=43，故答案为：4或43【点睛】本题考查了翻折变换，轴对称图形，30°角所对的直角边等于斜边的一半，勾股定理，平行四边形的判定及性质，三角形中位线定理等知识，巧妙运用分类讨论思想是解题的关键20.（2022春·江苏扬州·八年级校考期末）在平面直角坐标系中，A（1，1），B（2，3），C（m，2m1），D在x轴上，若以A，B，C，D四点为顶点的四边形是平行四边形，则点D的坐标为_【答案】（12，0）或（32，0）【分析】先确定模型，设点A坐标为（a，b），点B坐标为（c，d），则中点E坐标为(a+c2,b+d2)分四边形ABCD为平行四边形，四边形ADBC为平行四边形，四边形ABDC为平行四边形三种情况分类讨论，舍去不合题意结论，问题得解【详解】解：模型：如图，设点A坐标为（a，b），点B坐标为（c，d），点E为AB中点，作BCx轴，ACy轴，过点E作EFAC交BC于点F点A坐标为（a，b），点B坐标为（c，d）点C坐标为（a，d），BC=a-c，AC=b-d，EFAC，BEFBAC，BF=12BC=ac2,EF=12AC=bd2，中点E坐标为(a+c2,b+d2)问题解答：设D（n，0），A（1，1），B（2，3），C（m，2m+1），以A，B，C，D四点为顶点的四边形是平行四边形可得：若四边形ABCD为平行四边形，对角线中点坐标为：（1+m2，1+2m+12）或（2+n2，3+02），1+m=2+n1+2m+1=3，解得：m=12n=52，D（52，0），D，A，B三点共线，此种情况不满足；若四边形ADBC为平行四边形，对角线中点坐标为：（1+22，3+12）或（m+n2，2m+12），1+2=m+n3+1=2m+1，解得：m=32n=12，D（12，0），若四边形ABDC为平行四边形，对角线中点坐标为：（1+n2，1+02）或（2+m2，3+2m+12），1+n=2+m1=3+2m+1，解得：m=32n=32，D（32，0），故答案为：（12，0）或（32，0）【点睛】本题考查了平行四边形的性质，平面直角坐标系中线段中点的坐标公式等知识，综合性较强，熟知平行四边形的对角线互相平分，平面直角坐标系中线段中点的坐标公式是解题关键21.（2019春·福建泉州·八年级校考期末）在直角坐标系内，将横坐标、纵坐标都是整数的点称作“整点”.设A0,0，B3,0， Cm+3,3，Dm,3（m为实数），则平行四边形ABCD内部（不含边界）的“整点”个数可能为_.【答案】4或5或6.【分析】作出平行四边形，结合图像得到平行四边形中的整数点的个数【详解】解：当m=0时，ABCD为矩形，可得“整点”个数为4个；如图所示,当线段AD与BC分别经过2个格点(含端点)时,平行四边形ABCD内部(不含边界)整点的个数为5；如图所示, 综上可得：平行四边形ABCD内部（不含边界）的“整点”个数可能为5或4故答案为4或5或6.【点睛】本题考查平行四边形的性质与新定义结合，画图解题是本题关键22.（2019·安徽·九年级期末）如图，在RtABC中，ACB90°，B30°，AC2，E为斜边AB的中点，点P是射线BC上的一个动点，连接AP、PE，将AEP沿着边PE折叠，折叠后得到EPA，当折叠后EPA与BEP的重叠部分