2023-2024学年九年级数学下册常考点微专题提分精练（苏科版）专题14 圆中相似含解析.docx

2023-2024学年九年级数学下册常考点微专题提分精练（苏科版）专题14 圆中相似1如图，是的直径，是上一点，连接、，是的切线，切点为，、的延长线相交于点（1）求证：是的切线；（2）若，记的半径，求证：2如图，在半径为的中，是的直径，是过上一点的直线，且于点，平分，是的中点，（1）求证：是的切线；（2）求的长3如图，已知是的直径，弦交于点，作，交延长线于点（1）求证：为的切线；（2）如果，求的长度4如图1，以的边为直径作，交边于点，平分交于，交于点，且（1）求证：是的切线；（2）延长交直线于点，如图2，若，求的值及的长5如图，是的直径，弦交于点，点为延长线上一点，（1）求证：是的切线；（2）若的半径为5，是的中线，且，求的长6已知，四点在上弦与直径相交于点，点为射线上一点，使得（1）求证：为的切线；（2）若，求7如图，在中，以为直径作交于，平分交于，若（1）求证：是的切线（2）若，求的长8如图，在中，为边上一点，以为直径的分别交、边于点、，连接，已知平分，的延长线交的延长线于点（1）求证：是的切线；（2）若，求线段的长9如图，已知是以为直径的圆，为上一点，为延长线上一点，的延长线交于，（1）求证：直线为的切线；（2）求证：10如图，在中，以为直径的交于点，交的延长线于点，过点作于点，且，连接交于点，连接（1）求证：是的切线；（2）若，求的长11如图，在等腰中，底边的高与腰上的高相交于点，且，是的外接圆，连接（1）求证：是的切线；（2）求证：12如图，是的直径，点是上一点，连接，点在的延长线上，交的延长线于点（1）求证：是的切线；（2）若，求的长13如图，在中，以为直径的交于点，点在上，且，连接交于点，已知（1）求证：是的切线；（2）若，求的直径14如图，以为直径作，交于点，过点作于点，交的延长线于点（1）求证：是的切线；（2）若，求的半径15如图，是的直径，点是上异于、的点，连接、，点在的延长线上，且，过点作交的延长线于点（1）求证：是的切线；（2）若，求线段的长16如图，在中，以为直径的半圆交斜边于点，为的中点，连结，过点作于点（1）求证：是的切线；（2）若，求的半径17如图，是的直径，点是圆上异于，的点，连接线段和，点在的延长线上，且，过点作于点（1）求证是的切线；（2）若，求的长18如图，在中，以为直径的分别与，交于点，过点作，垂足为点（1）求证：直线是的切线；（2）求证：19如图，在中，以为直径的交于点，过点的直线交于点，交的延长线于点，且（1）求证：是的切线；（2）当，时，求的长20如图，内接于，且为的直径，交于点，在的延长线上取点，使得（1）求证：是的切线；（2）若，求的长专题14 圆中相似1如图，是的直径，是上一点，连接、，是的切线，切点为，、的延长线相交于点（1）求证：是的切线；（2）若，记的半径，求证：【解答】证明：（1）连接，是的切线，是的半径，是的切线；（2）是圆的切线，是的直径，2如图，在半径为的中，是的直径，是过上一点的直线，且于点，平分，是的中点，（1）求证：是的切线；（2）求的长【解答】（1）证明：连接，如图：平分，是的切线；（2）是的中点，且，是的中位线，是的直径，又，即，3如图，已知是的直径，弦交于点，作，交延长线于点（1）求证：为的切线；（2）如果，求的长度【解答】解：连接，和都是对应的圆周角，是直径，即，为的切线；连接设，则，为的直径，为的切线，又为的斜边的中点，在中，由勾股定理得，即设，由相交弦定理得，即，又，又，从而在中，由勾股定理得，即，联立，解得，4如图1，以的边为直径作，交边于点，平分交于，交于点，且（1）求证：是的切线；（2）延长交直线于点，如图2，若，求的值及的长【解答】（1）证明：如图1中，连接是直径，是的切线（2）如图2中，连接、平分， 是的中点，5如图，是的直径，弦交于点，点为延长线上一点，（1）求证：是的切线；（2）若的半径为5，是的中线，且，求的长【解答】（1）证明：是直径，是半径，是的切线；（2）解：作于点，的半径为5，是的中线，6已知，四点在上弦与直径相交于点，点为射线上一点，使得（1）求证：为的切线；（2）若，求【解答】（1）证明：是直径，即，又是直径，是的切线；（2）解：如图，过点作于，设，7如图，在中，以为直径作交于，平分交于，若（1）求证：是的切线（2）若，求的长【解答】（1）证明：为直径，平分，是的切线；（2）解：设，则，由（1）可知为直角三角形，由勾股定理可得：，即，解得：，再设，则，在和中，由勾股定理可得：，即，即，解得：，8如图，在中，为边上一点，以为直径的分别交、边于点、，连接，已知平分，的延长线交的延长线于点（1）求证：是的切线；（2）若，求线段的长【解答】（1）证明：连接，如图，平分，为半径，是的切线；（2）连接交于点，如图，设的半径为，在中，是直径，四边形是矩形，即，即，解得，经检验，是分式方程的根，点和点分别是和边的中点，9如图，已知是以为直径的圆，为上一点，为延长线上一点，的延长线交于，（1）求证：直线为的切线；（2）求证：【解答】证明：（1）是的直径，是的半径，直线为的切线；（2），10如图，在中，以为直径的交于点，交的延长线于点，过点作于点，且，连接交于点，连接（1）求证：是的切线；（2）若，求的长【解答】（1）证明：连接，如图，是直径，是的半径，是圆的切线；（2）由（1）可知：，为的直径，的长为11如图，在等腰中，底边的高与腰上的高相交于点，且，是的外接圆，连接（1）求证：是的切线；（2）求证：【解答】（1）证明：，是的半径，是的切线；（2）证明：，12如图，是的直径，点是上一点，连接，点在的延长线上，交的延长线于点（1）求证：是的切线；（2）若，求的长【解答】（1）证明：如图1，连接，为直径，为半径，是的切线；（2）解：如图2，连接，设，则，13如图，在中，以为直径的交于点，点在上，且，连接交于点，已知（1）求证：是的切线；（2）若，求的直径【解答】（1）证明：，是直径，又是直径，是的切线；（2），14如图，以为直径作，交于点，过点作于点，交的延长线于点（1）求证：是的切线；（2）若，求的半径【解答】（1）证明：连接，是的半径，是的切线；（2）在中，的半径为815如图，是的直径，点是上异于、的点，连接、，点在的延长线上，且，过点作交的延长线于点（1）求证：是的切线；（2）若，求线段的长【解答】（1）证明：连接，又是的直径，即，是半径，是的切线；（2）解：，设，又，16如图，在中，以为直径的半圆交斜边于点，为的中点，连结，过点作于点（1）求证：是的切线；（2）若，求的半径【解答】（1）证明：连结，为的直径，在中，为的中点，为的半径，是的切线；（2）解：在中，由勾股定理得：，即，解得：，的半径为17如图，是的直径，点是圆上异于，的点，连接线段和，点在的延长线上，且，过点作于点（1）求证是的切线；（2）若，求的长【解答】（1）证明：连接，是直径，即，是半径，是的切线；（2）解：，设，18如图，在中，以为直径的分别与，交于点，过点作，垂足为点（1）求证：直线是的切线；（2）求证：【解答】证明：（1）如图，连接，又是半径，直线是的切线；（2）如图，连接，是的直径，19如图，在中，以为直径的交于点，过点的直线交于点，交的延长线于点，且（1）求证：是的切线；（2）当，时，求的长【解答】（1）证明：连接，是直径，即，是的半径，是的切线（2）解：，设，解得，经检验，是分式方程的解，答：的长为2020如图，内接于，且为的直径，交于点，在的延长线上取点，使得（1）求证：是的切线；（2）若，求的长【解答】（1）证明：连接，如图1，是的切线；（2）如图2，过点作于点，为的直径，又，又，专题15 一线三等角证相似1如图，正方形的边长为4，是上一点，过点作，交于点，连接，则的最小值是A5BCD32如图，平面直角坐标系中，点为轴上一点，连接，点，为，的中点，点为射线上一个动点当为直角三角形时，点的坐标为A或，B或，C或，D或，3如图，在矩形中，分别在，上，则的长是A4BCD54如图，在中，分别是，上的动点（点与，不重合），且，若，则的长为 5如图，点是矩形边上一点，沿折叠，点恰好落在边上的点处设，（1）若点恰为边的中点，则（2）设，则关于的函数表达式是 6如图1，在矩形中，第一步，如图2，在边上找一点，将矩形沿折叠，点落在边上点处；第二步，如图3，在上找一点，将沿折叠，得到，点落在上，则的长为 7如图，的半径为3，两点在上，点在内，如果，那么的长为 8如图，正方形的边长为3，线段长度为3，图所示为线段的初始位置，点与点重合，点与点重合过点作，交于点，过点作于点如图，在保证线段长度不变的前提下，点沿向下滑动，当点移动至线段的三等分点时，线段的长度为 9如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴，轴于，两点，已知点（1）当直线经过点时，；（2）设点为线段的中点，连接，若，则的值是10如图，在正方形中有一个面积为的小正方形，其中点、分别在、上，若，则正方形的边长为 11如图，已知正方形的边长为1，为边上的一个动点，作交于点（1）求证：（2）设，求与之间的函数表达式12已知，在中，在、上分别取点、，若，且能在上找到点使，求的取值范围13如图，点是的中点，连接，求的值14如图，等边的边长为6，点、分别是边、上一点，将射线绕点顺时针旋转，点的对应点为，射线交于点（1）当，时，；（2）若，当时，求线段的长；若点刚好落在上，求的长；（3）若，当时，直接写出点到直线的距离的取值范围 15（1）如图1，点在线段上，点、在线段上方，连接、，当时，（填“”或“” ；（2）如图2，点在线段上，点、在线段上方，连接、，当锐角时，（1）中的结论是否依然成立？请说明理由；（3）如图3，在中，点为边中点点是边上一个动点，由点出发，以每秒的速度，沿边向点运动，点在边上，且点的运动时间为（秒，当为等腰三角形时，请直接写出的值16阅读材料：小胖同学遇到这样一个问题，如图1，在中，求的长；小胖经过思考后，在上取点使得（如图，进而得到，试图构建“一线三等角”图形解决问题，于是他继续分析，又意外发现（1）请按照小胖的思路完成这个题目的解答过程（2）参考小胖的解题思路解决下面的问题：如图3，在中，求17【发现】如图，已知等边，将直角三角板的角顶点任意放在边上（点不与点、重合），使两边分别交线段、于点、（1）若，则；（2）求证：【思考】若将图中的三角板的顶点在边上移动，保持三角板与边、的两个交点、都存在，连接，如图所示，问：点是否存在某一位置，使平分且平分？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由【探索】如图，在等腰中，点为边的中点，将三角形透明纸板的一个顶点放在点处（其中，使两条边分别交边、于点、（点、均不与的顶点重合），连接设，则与的周长之比为（用含的表达式表示）专题15 一线三等角证相似1如图，正方形的边长为4，是上一点，过点作，交于点，连接，则的最小值是A5BCD3【解答】解：四边形是正方形，设，则，当时，此时，在中，当时，取最小值，的最小值是5，故选：2如图，平面直角坐标系中，点为轴上一点，连接，点，为，的中点，点为射线上一个动点当为直角三角形时，点的坐标为A或，B或，C或，D或，【解答】解：，在中，点，为，的中点，分两种情况：当，点为的中点，当时，过点作轴，垂足为，综上所述：当为直角三角形时，点的坐标为，或，故选：3如图，在矩形中，分别在，上，则的长是A4BCD5【解答】解：，四边形为矩形，同理可得，故选：二填空题（共7小题）4如图，在中，分别是，上的动点（点与，不重合），且，若，则的长为 6【解答】解：，又，又，即，解得故答案为：65如图，点是矩形边上一点，沿折叠，点恰好落在边上的点处设，（1）若点恰为边的中点，则2（2）设，则关于的函数表达式是 【解答】解：（1）点为边的中点，四边形是矩形，由折叠得：，故答案为：2；（2）由（1）可得，故答案为：6如图1，在矩形中，第一步，如图2，在边上找一点，将矩形沿折叠，点落在边上点处；第二步，如图3，在上找一点，将沿折叠，得到，点落在上，则的长为 【解答】解：如图，过点作于点，交于点，由第一步折叠可得：，四边形是正方形，由第二步折叠可得：，四边形是矩形，设，可得：，解得：或，舍去，故答案为：7如图，的半径为3，两点在上，点在内，如果，那么的长为 1【解答】解：如图，连接，作交的延长线于，作交的延长线于则四边形是矩形，、四点共圆，设，在中，解得（负根已经舍弃），故答案为18如图，正方形的边长为3，线段长度为3，图所示为线段的初始位置，点与点重合，点与点重合过点作，交于点，过点作于点如图，在保证线段长度不变的前提下，点沿向下滑动，当点移动至线段的三等分点时，线段的长度为 或【解答】解：在正方形中，又四边形为矩形正方形的边长为3，线段长度为3，当点移动至线段的三等分点时，有两种情况：，则在中，在中，则在中，在中，综上所述线段的长度为或故答案为：或9如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴，轴于，两点，已知点（1）当直线经过点时，2；（2）设点为线段的中点，连接，若，则的值是【解答】解：（1）当直线经过点时，点与点重合，当时，即，故答案为2（2）作，连接则，如图，由可得，当时，理由：，所以，即，解得故答案是：1210如图，在正方形中有一个面积为的小正方形，其中点、分别在、上，若，则正方形的边长为 4【解答】解：小正方形的面积为的边长为在中，由勾股定理得：在正方形和小正方形中，即正方形的边长为4故答案为：4三解答题（共7小题）11如图，已知正方形的边长为1，为边上的一个动点，作交于点（1）求证：（2）设，求与之间的函数表达式【解答】解：（1）证明：四边形是正方形，在和中，（2）正方形的边长为1，12已知，在中，在、上分别取点、，若，且能在上找到点使，求的取值范围【解答】解：在中，又设，则，整理得：当时，取最小值；当点与点重合，即时，的值最大，当时，的取值范围为：13如图，点是的中点，连接，求的值【解答】解：，点是的中点，14如图，等边的边长为6，点、分别是边、上一点，将射线绕点顺时针旋转，点的对应点为，射线交于点（1）当，时，；（2）若，当时，求线段的长；若点刚好落在上，求的长；（3）若，当时，直接写出点到直线的距离的取值范围 【解答】解：（1）是等边三角形，故答案为：；（2）如图，过点作于点，在中，在中，；如图，当点落在上时，点与点重合，过点作于点，过点作于点，又，由得：，；（3）若，即点，的位置固定，当时，点的运动路径即为以点为圆心，为半径的圆，如图，过点作于点，延长交于点，则即为点到直线距离的最大值，在中，故答案为：15（1）如图1，点在线段上，点、在线段上方，连接、，当时，（填“”或“” ；（2）如图2，点在线段上，点、在线段上方，连接、，当锐角时，（1）中的结论是否依然成立？请说明理由；（3）如图3，在中，点为边中点点是边上一个动点，由点出发，以每秒的速度，沿边向点运动，点在边上，且点的运动时间为（秒，当为等腰三角形时，请直接写出的值【解答】解：（1）如图1中，故答案为：；（2）成立，满足理由：如图2中，（3）如图3，连接，当时，由（1）（2）知，经检验：是分式方程的解，当时，同法可得，解得，经检验，是分式方程的解，当时，同法可得，解得，经检验，或7是分式方程的解，当是等腰三角形时，的值为或或或或1或716阅读材料：小胖同学遇到这样一个问题，如图1，在中，求的长；小胖经过思考后，在上取点使得（如图，进而得到，试图构建“一线三等角”图形解决问题，于是他继续分析，又意外发现（1）请按照小胖的思路完成这个题目的解答过程（2）参考小胖的解题思路解决下面的问题：如图3，在中，求【解答】解：（1）在上取点，使，且，又，又，或（舍去），；（2）如图3，作，作，且，且，且，且，17【发现】如图，已知等边，将直角三角板的角顶点任意放在边上（点不与点、重合），使两边分别交线段、于点、（1）若，则4；（2）求证：【思考】若将图中的三角板的顶点在边上移动，保持三角板与边、的两个交点、都存在，连接，如图所示，问：点是否存在某一位置，使平分且平分？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由【探索】如图，在等腰中，点为边的中点，将三角形透明纸板的一个顶点放在点处（其中，使两条边分别交边、于点、（点、均不与的顶点重合），连接设，则与的周长之比为（用含的表达式表示）【解答】（1）解：是等边三角形，则，是等边三角形，又，则，是等边三角形，故答案是：4；（2）证明：如图，又，；【思考】存在，如图，过作，垂足分别是、，平分且平分又，即点是的中点，；【探索】如图，连接，作，垂足分别是、则，是的中点，则，由（2）题可猜想应用（可通过半角旋转证明），则，设，则，故答案是：