2023-2024学年九年级数学下册常考点微专题提分精练（人教版）专题16 二次函数中的相似三角形含解析.docx

2023-2024学年九年级数学下册常考点微专题提分精练专题16 二次函数中的相似三角形1已知，如图二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，点，抛物线的对称轴为，直线交抛物线于点（1）求二次函数的解析式并写出点坐标；（2）点是中点，点是线段上一动点，当和相似时，求点的坐标2如图，平面直角坐标系中，点、在轴上，点、在 轴上，直线与经过、三点的抛物线交于、两点，与其对称轴交于点为线段上一个动点（与、不重合），轴与抛物线交于点（1）求经过、三点的抛物线的解析式；（2）是否存在点，使得以、为顶点的三角形与相似？若存在，求出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由3如图，抛物线与轴相交于、，与轴相交于点，过点作轴，交抛物线点（1）求梯形的面积；（2）若梯形的对角线、交于点，求点的坐标，并求经过、三点的抛物线的解析式；（3）点是直线上一点，且与相似，求符合条件的点坐标4已知二次函数的图象与轴分别交于、两点（点在点的左边），以为直径作，与轴正半轴交于，点为劣弧上一动点，连接、两弦相交于点，连接，（1）求点的坐标；（2）若的半径为3时，求的值；（3）请探索当点运动到什么位置时，使得与相似，并给予证明5如图，直线分别交轴、轴于、两点，绕点按逆时针方向旋转后得到，抛物线经过、三点（1）填空： ， 、 ， 、 ， ；（2）求抛物线的函数关系式；（3）为抛物线的顶点，在线段上是否存在点，使得以、为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由6已知：二次函数的图象与轴交于，与轴交于点，（1）求该二次函数的关系式；（2）求点的坐标，并判断的形状，说明理由；（3）点是该抛物线轴上方的一点，过点作轴于点，是否存在，使得与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由7如图，抛物线经过，三点（1）求出抛物线的解析式；（2）是抛物线上一动点，过作轴，垂足为，是否存在点，使得以，为顶点的三角形与相似？若存在，请求出符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在直线上方的抛物线上有一点，使得的面积最大，求出点的坐标8如图，抛物线与直线交于，两点，交轴于，两点，连接，已知，（）求抛物线的解析式和的值；（）在（）条件下：（1）为轴右侧抛物线上一动点，连接，过点作交轴于点，问：是否存在点使得以，为顶点的三角形与相似？若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由（2）设为线段上一点（不含端点），连接，一动点从点出发，沿线段以每秒一个单位速度运动到点，再沿线段以每秒个单位的速度运动到后停止，当点的坐标是多少时，点在整个运动中用时最少？9如图，已知抛物线（且与轴分别交于、两点，点在点左边，与轴交于点，连接，过点作交抛物线于点，0为坐标原点（1）用表示点的坐标， ；（2）若，连接，求出点的坐标；在轴上找点，使以、为顶点的三角形与相似，求出点坐标；（3）若在直线上存在唯一的一点，连接、，使，求的值10如图，设抛物线与轴交于两个不同的点、，对称轴为直线，顶点记为点且（1）求的值和抛物线的解析式；（2）已知过点的直线交抛物线于另一点若点在轴上，以点、为顶点的三角形与相似，求点的坐标；（3）在（2）的条件下，的外接圆半径等于（直接写答案）11如图，已知矩形，点，分别在，轴上，抛物线经过，两点，且与轴交于点动点从点出发，以每秒1个单位的速度沿射线方向运动，设运动的时间为（秒，射线交抛物线于（1）求抛物线的解析式；（2）连接，是否存在这样的时刻，使得？若存在请求出的值；若不存在，请说明理由（3）连接和，若，求的取值范围12如图，抛物线经过、，点在抛物线上，轴，且平分（1）求抛物线的解析式；（2）线段上有一动点，过点作轴的平行线，交抛物线于点，求线段的最大值；（3）抛物线的对称轴上是否存在点，使是以为直角边的直角三角形？如果存在，求出点的坐标；如果不存在，说明理由13如图已知点和点都在抛物线上（1）求、；（2）向右平移上述抛物线，记平移后点的对应点为，点的对应点为，若四边形为菱形，求平移后抛物线的表达式；（3）记平移后抛物线的对称轴与直线的交点为点，试在轴上找点，使得以点、为顶点的三角形与相似14已知抛物线与轴交于，两点，在的左侧），与轴交于，若，且求抛物线的解析式；设抛物线的顶点为，点在抛物线的对称轴上，且，求点的坐标；在抛物线上是否存在一点，过作轴于，以、为顶点的三角形与相似，若存在，求出所有符合条件的点坐标，若不存在，请说明理由15如图，一次函数的图象与二次函数图象的对称轴交于点（1）写出点的坐标 ；（2）将直线沿轴向上平移，分别交轴于点、交轴于点，点是该抛物线与该动直线的一个公共点，试求当的面积取最大值时，点的坐标；（3）已知点是二次函数图象在轴右侧部分上的一个动点，若的外接圆直径为，试问：以、为顶点的三角形与能否相似？若能，请求出点的坐标；若不能，请说明理由16如图，已知抛物线的顶点坐标是，且经过点，又与轴交于点、（点在点左边），与轴交于点（1）抛物线的表达式是 ；（2）四边形的面积等于 ；（3）问：与相似吗？并说明你的理由；（4）设抛物线的对称轴与轴交于点另一条抛物线经过点与不重合），且顶点为，对称轴与轴交于点，并且以、为顶点的三角形与以点、为顶点的三角形全等，求、的值（只需写出结果，不必写解答过程）17如图，已知抛物线交轴于点和点，交轴于点（1）求此抛物线的解析式（2）过点作交抛物线于点，求四边形的面积（3）在轴上方的抛物线上是否存在一点，过作轴于点，使以、三点为顶点的三角形与相似若存在，请求出点的坐标；否则，请说明理由18如图，抛物线与轴交于， 两点，与轴交点（1）求抛物线的解析式以及顶点的坐标；（2）若是线段的中点，连接，猜想线段与线段之间有怎样的数量关系，并证明你的猜想；（3）在坐标轴上是否存在点，使得以、为顶点的三角形与相似？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由19已知：如图，抛物线的顶点坐标是，与轴的交点为（1）求抛物线的解析式；（2）若，是（1）中抛物线上的点，垂足为，求点的坐标；试判定以为直径的圆与轴有怎样的位置关系，并说明理由20已知：如图，点的坐标为，抛物线过、三点（1）求抛物线的解析式；（2）过点作交抛物线于点，求四边形的面积；（3）在轴上方轴左侧的抛物线上是否存在一点，过作轴于点，使以、三点为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由专题16 二次函数中的相似三角形1已知，如图二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，点，抛物线的对称轴为，直线交抛物线于点（1）求二次函数的解析式并写出点坐标；（2）点是中点，点是线段上一动点，当和相似时，求点的坐标【解答】解：（1）由题可得：，解得：，二次函数的解析式为点在抛物线上，点的坐标为（2）过点作于点，如图，点，点，点为的中点，令得，解得：，点为，若，则，解得：，点的坐标为；若，则，点的坐标为，综上所述：点的坐标为或，2如图，平面直角坐标系中，点、在轴上，点、在 轴上，直线与经过、三点的抛物线交于、两点，与其对称轴交于点为线段上一个动点（与、不重合），轴与抛物线交于点（1）求经过、三点的抛物线的解析式；（2）是否存在点，使得以、为顶点的三角形与相似？若存在，求出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由【解答】解：（1），设函数解析式为，解得，经过、三点的抛物线的解析式为：（2），；所以直线；联立，解得，；设点坐标为，则；由条件容易求得，若以、为顶点的三角形与相似，则为等腰直角三角形；以为直角顶点，为斜边；，即：，解得，（不合题意舍去），；以为直角顶点，为斜边；，即：，解得，（不合题意舍去），故存在符合条件的点，且点坐标为，或，3如图，抛物线与轴相交于、，与轴相交于点，过点作轴，交抛物线点（1）求梯形的面积；（2）若梯形的对角线、交于点，求点的坐标，并求经过、三点的抛物线的解析式；（3）点是直线上一点，且与相似，求符合条件的点坐标【解答】解：（1），当时，解得：，当时，轴，点的纵坐标也是，把代入得：，解得：，点的坐标是：，所以梯形的面积是8（2）由抛物线的对称性有，过作于，设：经过、三点的抛物线的解析式为：，把代入解得：，所以经过、三点的抛物线的解析式是：，即（3）当点在的右侧，当时，设，由勾股定理得：，（此时舍去），；当时，四边形是平行四边形，当点在的左侧，由题意有钝角钝角，此时不存在所以符合条件的点坐标是和，4已知二次函数的图象与轴分别交于、两点（点在点的左边），以为直径作，与轴正半轴交于，点为劣弧上一动点，连接、两弦相交于点，连接，（1）求点的坐标；（2）若的半径为3时，求的值；（3）请探索当点运动到什么位置时，使得与相似，并给予证明【解答】解：（1）由抛物线的解析式可得对称轴为：；由于、是抛物线与轴的交点，且是的直径，由抛物线和圆的对称性知：（2）若的半径为3，则，；则抛物线的解析式为：；故（3）当点运动到劣弧的中点时，与相似；证明：如图；是劣弧的中点，；又是的直径，5如图，直线分别交轴、轴于、两点，绕点按逆时针方向旋转后得到，抛物线经过、三点（1）填空：， 、 ， 、 ， ；（2）求抛物线的函数关系式；（3）为抛物线的顶点，在线段上是否存在点，使得以、为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由【解答】解：（1）直线中，则；，则；，；根据旋转的性质知：，即；，；（3分）（2）抛物线经过点，；又抛物线经过，两点，解得；（5分）；（6分）（3）过点作轴垂足为点；由（2）得，；（7分），；，；（8分）当时，则，（9分）过点作轴，垂足为点；，设，则在中，（不合题意，舍去）（10分）又，；（11分）当时，则，；，（不合题意，舍去）（13分）综上所述，存在点，使得以、为顶点的三角形与相似，此时点的坐标为，（14分）6已知：二次函数的图象与轴交于，与轴交于点，（1）求该二次函数的关系式；（2）求点的坐标，并判断的形状，说明理由；（3）点是该抛物线轴上方的一点，过点作轴于点，是否存在，使得与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由【解答】解：（1）二次函数的图象经过点、点，解得：，二次函数的关系式为（2）令，得，解得：，点的坐标为是直角三角形理由：，是直角三角形（3）点在第一象限，如图1若，则有设，则，点的坐标为把点代入，得：，解得：（舍去），点的坐标为即；若，则有设，则，点的坐标为把点代入，得：，解得：（舍去），点的坐标为即；点在第二象限，如图2若，则有设，则，点的坐标为把点代入，得：，解得：（舍去），（舍去）；若，则有设，则，点的坐标为把点代入，得：，解得：（舍去），（舍去）综上所述：符合题意的点的坐标为或7如图，抛物线经过，三点（1）求出抛物线的解析式；（2）是抛物线上一动点，过作轴，垂足为，是否存在点，使得以，为顶点的三角形与相似？若存在，请求出符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在直线上方的抛物线上有一点，使得的面积最大，求出点的坐标【解答】解：（1）该抛物线过点，可设该抛物线的解析式为将，代入，得，解得，此抛物线的解析式为；（2）存在如图，设点的横坐标为，则点的纵坐标为，当时，又，当，在抛物线上，即解得，（舍去），当时，即解得，（均不合题意，舍去）当时，当时，或，把代入得：，解得：第一个方程的解是（舍去）（舍去），第二个方程的解是，（舍去）求出，则，当时，或，则：，解得：第一个方程的解是（舍去），（舍去），第二个方程的解是（舍去），时，则，综上所述，符合条件的点为或或，（3）如图，设点的横坐标为，则点的纵坐标为过作轴的平行线交于由题意可求得直线的解析式为点的坐标为，当时，面积最大，8如图，抛物线与直线交于，两点，交轴于，两点，连接，已知，（）求抛物线的解析式和的值；（）在（）条件下：（1）为轴右侧抛物线上一动点，连接，过点作交轴于点，问：是否存在点使得以，为顶点的三角形与相似？若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由（2）设为线段上一点（不含端点），连接，一动点从点出发，沿线段以每秒一个单位速度运动到点，再沿线段以每秒个单位的速度运动到后停止，当点的坐标是多少时，点在整个运动中用时最少？【解答】解：（）把，代入，得，解得：抛物线的解析式为联立，解得：或，点的坐标为如图1，是直角三角形，；（）方法一：（1）存在点，使得以，为顶点的三角形与相似过点作轴于，则设点的横坐标为，由在轴右侧可得，则，若点在点的下方，如图2，当时，则，则把代入，得，整理得：解得：（舍去），（舍去）如图2，当时，则同理可得：，则，把代入，得，整理得：解得：（舍去），；若点在点的上方，当时，则，同理可得：点的坐标为当时，则同理可得：点的坐标为，综上所述：满足条件的点的坐标为、，、，；方法二：作的“外接矩形” ，易证，以，为顶点的三角形与相似，或，设，（舍，满足题意的点的坐标为、，、，；（2）方法一：过点作轴于，如图3在中，即，点在整个运动中所用的时间为作点关于的对称点，连接，则有，根据两点之间线段最短可得：当、三点共线时，最小此时，四边形是矩形，对于，当时，有，解得：，点的坐标为方法二：作点关于的对称点，交于点，显然，作轴，垂足为，交直线于点，如图4，在中，即，当、三点共线时，最小，为的中点，方法三：如图，5，过作射线轴，过作射线轴，与交于点，当且仅当时，取得最小值，点在整个运动中用时最少为：，抛物线的解析式为，且，可求得点坐标为则点横坐标为2，将代入，得所以9如图，已知抛物线（且与轴分别交于、两点，点在点左边，与轴交于点，连接，过点作交抛物线于点，0为坐标原点（1）用表示点的坐标，；（2）若，连接，求出点的坐标；在轴上找点，使以、为顶点的三角形与相似，求出点坐标；（3）若在直线上存在唯一的一点，连接、，使，求的值【解答】解：（1）当时，点的坐标为故答案为：；（2），抛物线的解析式为当时，则点，；当时，则点，点，即设直线的解析式为，则，解得：，直线的解析式为，联立，解得：或，点的坐标为；过点作轴于，如图1，则，若，则，点的坐标为，即，；若，则，点的坐标为，即，；综上所述：满足条件的点坐标为，或，；（3）直线上存在唯一的一点，使得，以为直径的圆与直线相切于点，圆心记为，连接，如图2，则有，当时，则点，当时，解得，则点，解得：10如图，设抛物线与轴交于两个不同的点、，对称轴为直线，顶点记为点且（1）求的值和抛物线的解析式；（2）已知过点的直线交抛物线于另一点若点在轴上，以点、为顶点的三角形与相似，求点的坐标；（3）在（2）的条件下，的外接圆半径等于或（直接写答案）【解答】解：（1）抛物线与轴交于两个不同的点、，对称轴为直线，点的坐标为，即，点的坐标为，设抛物线的解析式为，将点代入，则，抛物线的解析式为；（2）联立直线与二次函数解析式得：解得：，与相似分为以下两种情况：当时得：，当时得：，综上所述：或，（3）当点时线段的垂直平分线为线段的垂直平分线为联立方程组：解得圆心坐标为外接圆半径为同理：当点坐标为，线段的垂直平分线为线段的垂直平分线为联立方程组：解得圆心坐标为，外接圆半径为综上所述：外接圆半径为或11如图，已知矩形，点，分别在，轴上，抛物线经过，两点，且与轴交于点动点从点出发，以每秒1个单位的速度沿射线方向运动，设运动的时间为（秒，射线交抛物线于（1）求抛物线的解析式；（2）连接，是否存在这样的时刻，使得？若存在请求出的值；若不存在，请说明理由（3）连接和，若，求的取值范围【解答】解：（1）抛物线经过，两点，且与轴交于点，解得，所以抛物线解析式为；（2），四边形为矩形，如图1，当时，即，（秒，当秒时，使得；（3）设所在直线的解析式为，由过点和，解得，由，解得或，点的坐标为，当点在线段上，且时，如图2，即，解得，；当点在点的上方，且时，如图3，过点作于，由（1）知，则，过点作，交的延长线与，设，则，即，解得，若，的取值范围为12如图，抛物线经过、，点在抛物线上，轴，且平分（1）求抛物线的解析式；（2）线段上有一动点，过点作轴的平行线，交抛物线于点，求线段的最大值；（3）抛物线的对称轴上是否存在点，使是以为直角边的直角三角形？如果存在，求出点的坐标；如果不存在，说明理由【解答】解：（1）如图1，平分，点的坐标为、在抛物线上，解得：抛物线的解析式为（2）如图2，设直线的解析式为，、在直线上，解得：直线的解析式为设点的横坐标为，则点的横坐标也为，当时，取到最大值，最大值为线段的最大值为（3）当时，如图3所示抛物线的对称轴为，解得：点的坐标为，当时，如图4所示，同理：，解得：点的坐标为，综上所述：符合要求的点的坐标为，和，13如图已知点和点都在抛物线上（1）求、；（2）向右平移上述抛物线，记平移后点的对应点为，点的对应点为，若四边形为菱形，求平移后抛物线的表达式；（3）记平移后抛物线的对称轴与直线的交点为点，试在轴上找点，使得以点、为顶点的三角形与相似【解答】解：（1）由于抛物线经过点和点，则有：，解得；故，（2）由（1）得：；由、，可得；若四边形为菱形，则，即；故抛物线需向右平移5个单位，即：（3）由（2）得：平移后抛物线的对称轴为：；，直线；当时，故；又，点，；由（2）知：，即；若以点、为顶点的三角形与相似，则：，则，可得：，即，此时；，则，可得：，即，此时，；综上所述，存在符合条件的点，且坐标为：或，14已知抛物线与轴交于，两点，在的左侧），与轴交于，若，且求抛物线的解析式；设抛物线的顶点为，点在抛物线的对称轴上，且，求点的坐标；在抛物线上是否存在一点，过作轴于，以、为顶点的三角形与相似，若存在，求出所有符合条件的点坐标，若不存在，请说明理由【解答】解：（1）易知，代入抛物线的解析式中，得：，解得；（2）如图；，；易知，则，；当点在轴上方时，已知，则，得：，即，故，；当点在轴下方时，此时、关于轴对称，故；因此有两个符合条件的点，且坐标为或（3），；又，若以、为顶点的三角形与相似，则或；设，则；当时，；若，解得，；若，解得，；由于，且，故上述四个解都不符合题意；当时，；若，解得（舍去），；若，解得（舍去），（舍去）；故，；当时，；若，解得（舍去），；若，解得（舍去），；故，或；综上所述，存在符合条件的点，且坐标为：，15如图，一次函数的图象与二次函数图象的对称轴交于点（1）写出点的坐标，；（2）将直线沿轴向上平移，分别交轴于点、交轴于点，点是该抛物线与该动直线的一个公共点，试求当的面积取最大值时，点的坐标；（3）已知点是二次函数图象在轴右侧部分上的一个动点，若的外接圆直径为，试问：以、为顶点的三角形与能否相似？若能，请求出点的坐标；若不能，请说明理由【解答】解：（1）抛物线的对称轴为，当时，则点的坐标为，故答案为，；（2）如图1，设直线的解析式为，联立，消去并整理得，当直线与抛物线相切时，解得，此时直线的解析式为，令，可得，的面积最大时，点的坐标为，；（3）过点作轴，如图2设直线的解析式为，则有，从而可得，的外接圆直径为，若，则有，点的坐标为点在抛物线上，解得：（舍去），点的坐标为；若，则有，点的坐标为，点在抛物线上，解得：（舍去），点的坐标为，综上所述：点的坐标为或，16如图，已知抛物线的顶点坐标是，且经过点，又与轴交于点、（点在点左边），与轴交于点（1）抛物线的表达式是；（2）四边形的面积等于 ；（3）问：与相似吗？并说明你的理由；（4）设抛物线的对称轴与轴交于点另一条抛物线经过点与不重合），且顶点为，对称轴与轴交于点，并且以、为顶点的三角形与以点、为顶点的三角形全等，求、的值（只需写出结果，不必写解答过程）【解答】解：（1）设的解析式为，由图象可知：过，三点解得：抛物线的解析式为（2）抛物线的顶点的坐标为；过作轴于，由图象可知：，；令，则，解得，则；（平方单位）（3）如图，过作于，则，又；，；在和中，；，（4）当，此时点的坐标可能为，当，此时点的坐标可能是，综上所述可得出、的值，17如图，已知抛物线交轴于点和点，交轴于点（1）求此抛物线的解析式（2）过点作交抛物线于点，求四边形的面积（3）在轴上方的抛物线上是否存在一点，过作轴于点，使以、三点为顶点的三角形与相似若存在，请求出点的坐标；否则，请说明理由【解答】解：（1）抛物线过和，解得（2）令，解得，过点作轴于，则为等腰直角三角形令，则，点在抛物线上，解得，（不符合题意）四边形的面积；（3）假设存在，轴于点，在中，在中，设点的横坐标为，则点在轴左侧时，则（）当时，有，即解得（舍去）（舍去）（）当时有即解得：（舍去），点在轴右侧时，则（）当时有，解得（舍去），（）当时有即解得：（舍去），存在点，使以、三点为顶点的三角形与相似点的坐标为，18如图，抛物线与轴交于， 两点，与轴交点（1）求抛物线的解析式以及顶点的坐标；（2）若是线段的中点，连接，猜想线段与线段之间有怎样的数量关系，并证明你的猜想；（3）在坐标轴上是否存在点，使得以、为顶点的三角形与相似？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由【解答】解：（1）设抛物线的解析式是：，把代入得：，解得：，答：抛物线的解析式是，顶点的坐标是（2）线段与线段之间的数量关系是证明：过作轴于，过作轴于，为的中点，由勾股定理得：，过作轴于，则，由勾股定理得：，（已求出），（3）坐标轴上存在点，使得以、为顶点的三角形与相似，点的坐标是，19已知：如图，抛物线的顶点坐标是，与轴的交点为（1）求抛物线的解析式；（2）若，是（1）中抛物线上的点，垂足为，求点的坐标；试判定以为直径的圆与轴有怎样的位置关系，并说明理由【解答】解：（1）设抛物线的解析式为，抛物线经过，抛物线的解析式为，即，答：抛物线的解析式为（2）解：在抛物线上，设，即，即，解得，答：的坐标是答：以为直径的圆与轴的位置关系是相切理由是：，即是直角三角形，连接，是的中点，轴，即圆与轴相切20已知：如图，点的坐标为，抛物线过、三点（1）求抛物线的解析式；（2）过点作交抛物线于点，求四边形的面积；（3）在轴上方轴左侧的抛物线上是否存在一点，过作轴于点，使以、三点为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由【解答】解：（1），为等腰直角三角形；点，点，点，（1分）设抛物线的解析式为，（1分），；抛物线的解析式为（1分）（2），；（1分）过点作轴于点，则为等腰直角三角形；令，则，；（1分）点在抛物线上，解得，（不合题意，舍去），；（1分）四边形的面积（1分）（3）假设存在符合条件的点，轴于点，在中，（1分）在中，（1分）设点的横坐标为，则，点在轴上方轴左侧，；（1）当时，有，即，解得（舍去），（舍去）；（1分）当时，有，即，解得（舍去），；（1分）综上可知，存在点，使与相似（1分）专题17 圆中相似1如图，中，点在边上，以为直径画与交于点（1）求证：是的切线；（2）若，求的长度2如图，是的直径，是上一点，连接，过外点作于点，交于点，连接，且（1）求证：是的切线；（2）若，的半径为6，求的长3如图，是的直径，点是劣弧中点，与相交于点连接，与的延长线相交于点（1）求证：是的切线；（2）求证：；（3）若，求的长4如图，在中，是边上一点，作的外接圆，是的直径，且与交于点，交于点（1）求证：为的切线；（2）若，求的半径长5如图，点在的平分线上，与相切于点（1）求证：是的切线；（2）与相交于点，直线交于点，若，求的半径6如图，是外一点，是的切线，是切点，是上一点，且，延长分别与、切线相交于、两点（1）求证：是的切线；（2）为的中点，交于点，若，求的值7如图，为的直径，交于点，于（1）求证：直线是的切线；（2）若，求的长8如图，半圆与的边相切于点，与，边分别交于点，是半圆的直径（1）求证：是半圆的切线；（2）若，求和的长9如图，已知是的直径，是上一点，的平分线交于点，交的切线于点，过点作，交的延长线于点（1）求证：是的切线；（2）若，求的值10如图，在内接于，将斜边绕点顺时针旋转一定的角度得到，过点作于点，连接交于点（1）求证：是的切线；（2）连接交于点，连接求证：11如图，是的内接三角形，连接并延长，交于点，连接过点作，使与的延长线相交于点（1）求证：是的切线；（2）若，求线段的长12如图，点在以为直径的上，平分交于点，过作的垂线，垂足为（1）求证：与相切；（2）若，求的长13如图，是的内接三角形，交的延长线于点（1）求证：为的切线；（2）若，求证：点是的黄金分割点；（3）若，求的直径14如图，是的外接圆，点是的中点，过点作分别交、的延长线于点和点，连接、，的平分线交于点（1）求证：是的切线；（2）若，求线段的长15如图，是的直径，点在线段上，过点作交于点，延长到，是上一动点（不与、重合），连接、，给出下列信息：点为中点；是的切线（1）请在上述3条信息中选择其中两条作为条件，其余的一条信息作为结论组成一个命题，试判断这个命题是否正确，并说明理由你选择的条件是 、，结论是 （只要填写序号）（2）在（1）的情况下，若，求的长16如图1，为的直径，为上一点，连接，过作于点，过点作，使，其中交的延长线于点（1）求证：是的切线（2）如图2，点在上，且满足，连接并延长交的延长线于点若，求线段的长17如图所示，、是上的点，是外一点，且，连接并延长，与延长线相交于点（1）求证：是的切线；（2）求证：18如图，在中，为直径，点为圆上一点，延长到点，使，且（1）求证：是的切线（2）分别过、两点作直线的垂线，垂足分别为、两点，过点作的垂线，垂足为点求证：19如图，是的直径，是的切线，交于点（1）若为的中点，证明：是的切线；（2）若，求的半径的长20如图，以为直径的经过的顶点，过点作交于点，交于点，连接交于点，连接，在的延长线上取一点，连接，使（1）求证：是的切线；（2）若的半径是3，求的长专题17 圆中相似1如图，中，点在边上，以为直径画与交于点（1）求证：是的切线；（2）若，求的长度【解答】（1）证明：连接，则，是的直径，经过的半径的外端，且，是的切线（2）解：，是的半径，且，是的切线，的长度是32如图，是的直径，是上一点，连接，过外点作于点，交于点，连接，且（1）求证：是的切线；（2）若，的半径为6，求的长【解答】（1）证明：，即是的半径，是的切线；（2）解：是的直径，是的直径，设，则，解得：，由（1）知：，3如图，是的直径，点是劣弧中点，与相交于点连接，与的延长线相交于点（1）求证：是的切线；（2）求证：；（3）若，求的长【解答】解：（1）连接，是直径，是的切线（2）点是中点，（3）如图：，于点，设为，则为，根据勾股定理，解得：，是中位线，4如图，在中，是边上一点，作的外接圆，是的直径，且与交于点，交于点（1）求证：为的切线；（2）若，求的半径长【解答】（1）证明：连接，为的切线；（2）解：由（1）知，即，的半径长为5如图，点在的平分线上，与相切于点（1）求证：是的切线；（2）与相交于点，直线交于点，若，求的半径【解答】（1）证明：连接，过点作于是的切线，平分，是的切线（2），是的切线，在和中，