2022-2023学年八年级数学下册举一反三系列三系列专题10.1 分式【十大题型】（举一反三）（苏科版）含解析.docx

2022-2023学年八年级数学下册举一反三系列专题10.1 分式【十大题型】【苏科版】【题型1 分式的概念辨析】1【题型2 分式有意义的条件】2【题型3 分式值为零的条件】2【题型4 分式的求值】2【题型5 求分式的值为正（负）时未知数的取值范围】3【题型6 求分式的值为整数时未知数的取值范围】3【题型7 分式的规律性问题】4【题型8 分式的基本性质】4【题型9 约分与通分】5【题型10 运用分式的基本性质求值】6【知识点1 分式的定义】 一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式。注：A、B都是整式，B中含有字母，且B0。【题型1 分式的概念辨析】【例1】（2022·山东省济南第十二中学八年级阶段练习）在x3,1x+y,23x,3y+22x1,12,2022x中，分式的个数有（    ）A2个B3个C4个D5个【变式1-1】（2022·河南洛阳·八年级期中）若1是分式，则不可以是（）A3Bx+1Cc3D2y【变式1-2】（2022·陕西渭南·八年级期末）对于代数式2x，x2来说，有下列说法，正确的是（    ）A、均是分式B是分式，不是分式C不是分式，是分式D、均不是分式【变式1-3】（2022·全国·八年级课时练习）下列各有理式，哪些是整式？哪些是分式？x+1x+2,m3m,2b5a,a+3b5,432x,1x+y,mn4,23y1,2x2x,1(x+y)，整式 _；分式_【题型2 分式有意义的条件】【例2】（2022·广西桂林·八年级期中）无论a取何值，下列分式总有意义的是（    ）Aa1a2+1Ba+1a2C1a21D1a+1【变式2-1】（2022·浙江·八年级开学考试）当x=3时，分式xbx+2b没有意义，则b的值为（    ）A3B32C32D3【变式2-2】（2022·甘肃·兰州市第五十二中学八年级期末）要使分式x3x2+6x+9有意义，那么x的取值范围是（    ）Ax3Bx3且x3Cx0且x3Dx3【变式2-3】（2022·河南·新乡市第一中学九年级期中）写出一个分式，并保证无论字母取何值分式均有意义 _【题型3 分式值为零的条件】【例3】（2022·广东茂名·八年级期末）若分式m+2(m2)(m+3)的值为零，则m=_【变式3-1】（2022·新疆·乌鲁木齐市第九中学八年级期末）若分式x211x的值为零，则x的值为_【变式3-2】（2022·江苏无锡·八年级期末）分式xyx+1的值为0，则x、y满足的条件为_【变式3-3】（2022·山东菏泽·八年级期末）若分式|x2|1x26x+9的值为0，则x的值为 _【题型4 分式的求值】【例4】（2022·辽宁大连·八年级期末）已知x2=y3=z4，则xyx2yz=_【变式4-1】（2022·山东泰安·八年级期末）已知a+b+cd=a+b+dc=a+c+db=b+c+da=m，则m的值_【变式4-2】（2022·山东济南·八年级期中）阅读下面的解题过程：已知xx2+1=13，求x2x4+1的值解：由xx2+1=13知，x0，所以x2+1x=3，即x+1x=3.所以x4+1x2=x2+1x2=x+1x22=322=7.所以x2x4+1=17.该题的解法叫做“倒数法”已知：xx23x+1=15请你利用“倒数法”求x2x4+x2+1的值求2x28x+1x2的值【变式4-3】（2022·福建·九年级专题练习）若2xy+4z=0，4x+3y2z=0则xy+yz+zxx2+y2+z2的值为_【题型5 求分式的值为正（负）时未知数的取值范围】【例5】（2022·全国·八年级专题练习）已知分式x+4x2的值是正数，那么x的取值范围是（   ）Ax0Bx-4Cx0Dx-4且x0【变式5-1】（2022·山东·东平县江河国际实验学校八年级阶段练习）使分式x2+113x的值为负的条件是（   ）Ax0Bx0Cx13Dx13【变式5-2】（2022·上海民办兰生复旦中学七年级期末）若分式x+1x12的值大于零，则 x 的取值范围是_【变式5-3】（2022·全国·八年级单元测试）若分式x23x2的值是负数，则x的取值范围是（    ）.A23<x<2Bx>23或x<2C2<x<2且x23D23<x<2或x<2【题型6 求分式的值为整数时未知数的取值范围】【例6】（2022·浙江舟山·七年级期末）若2x2x+3表示一个整数，则整数x可取的个数有_个【变式6-1】（2022·安徽·合肥市第四十五中学七年级阶段练习）若m为整数，则能使m22m+1m21的值也为整数的m是_【变式6-2】（2022·江苏盐城·七年级阶段练习）已知k=6x+42x1，则满足k为整数的所有自然数x的值 _ 【变式6-3】（2022·浙江衢州·七年级期末）阅读理解：我们知道：当a是c的因数时，ca（a、c为整数）的值是整数例如，当a=±1或±2时，2a的值是整数；又如，因为3m+5m=3+5m，所以当m=±1或±5时，3m+5m的值是整数（1）如果分式a+8a+3的值是整数，那么a的正整数值是_（2）如果分式x24x7x4的值是整数，那么x的负整数值是_【题型7 分式的规律性问题】【例7】（2022·湖南·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校八年级阶段练习）若a2，则我们把22a称为a的“友好数”，如3的“友好数”是223=2，2的“友好数”是22(2)=12，已知a1=3，a2是a1的“友好数”，a3是a2的“友好数”，a4是a3的“友好数”，依此类推，则a2021=（       ）A3B2C12D43【变式7-1】（2022·青海·海东市教育研究室八年级期末）给定一列分式：x3y，x5y2，x7y3，x9y4，根据你发现的规律，试写出第6个分式为_第n（n为正整数）个分式为_【变式7-2】（2013·江苏徐州·一模）如果记yx21+x2f（x），并且f（1）表示当x1时y的值，即f（1）121+1212；f（12）表示当x12时y的值，即f（12）(12)21+(12)215；那么f（1）f（2）f（12）f（3）f（13）f（2013）f（12013）_【变式7-3】（2022·全国·八年级专题练习）已知a>0,S1=1a,S2=S11,S3=1S2,S4=S31,S5=1S4，·，(即当n为大于1的奇数时，Sn=1Sn1；当n为大于1的偶数时，Sn=Sn11），按此规律，S2020=_【知识点2 分式的基本性质】分式的分子与分母乘(或除以)同一个不等于0的整式，分式的值不变。；（C0）。【题型8 分式的基本性质】【例8】（2022·湖南·临武县第六中学八年级阶段练习）下列运算正确的是（    ）Axyx+yxyx+yBa2b2(ab)2a+bCa2b2(ab)2abDx11x21x+1【变式8-1】（2022·全国·八年级专题练习）将x0.20.5+0.01x0.03=1的分母化为整数，得（）Ax20.5+0.01x3=1B5x50+x3=100Cx200.5+0.01x3=100D5x50+x3=1【变式8-2】（2022·山东菏泽·八年级阶段练习）若把分式xyaxy（xy0且xy）中的x和y都扩大为原来的3倍，那么分式的值（）A变为原来的3倍B变为原来的13C不变D变为原来的19【变式8-3】（2022·山东·八年级课时练习）不改变分式23x2+x5x3+2x3的值，使分子、分母最高次项的系数为正数，正确的是（）A3x2+x+25x3+2x3B3x2x+25x3+2x3C3x2+x25x32x+3D3x2x25x32x+3【题型9 约分与通分】【例9】（2022·全国·九年级专题练习）关于分式的约分或通分，下列哪个说法正确（）Ax+1x21约分的结果是1xB分式1x21与1x1的最简公分母是x1C2xx2约分的结果是1D化简x2x211x21的结果是1【变式9-1】（2022·上海市徐汇中学七年级阶段练习）分式2a2+ab ，3ab+b2 ，aa2ab2b2的最简公分母是_【变式9-2】（2022·山东·宁阳县第十一中学八年级阶段练习）化简下列分式(1)12x5y2z418x3z7(2)m23m9m2(3)a2+aba2+2ab+b2(4)(ba)22(ab)【变式9-3】（2022·全国·八年级课时练习）将下列式子进行通分（1）12ab3和25a2b2c        （2）a2xy和b3x2（3）3c2ab2和a8bc2        （4）1y1和1y+1【题型10 运用分式的基本性质求值】【例10】（2022·江苏·八年级专题练习）已知三个正数a，b，c满足abc=1，则aab+a+1+bbc+b+1+cac+c+1的值为（）A2B3C1D1【变式10-1】（2022·江苏无锡·八年级期中）已知1x1y=2，xy+xy2xy3x+3y=_【变式10-2】（2022·全国·七年级单元测试）已知a、b、c为有理数，且aba+b=1，bcb+c=12，aca+c=13，那么abcab+bc+ca的值是多少？【变式10-3】（2022·全国·八年级课时练习）已知a、b、c、d、e、f都为正数，bcdefa=12，acdefb=14，abdefc=18，abcefd=2，abcdfe=4，abcdef=8，则a2+b2+c2+d2+e2+f2=_专题10.1 分式【十大题型】【苏科版】【题型1 分式的概念辨析】1【题型2 分式有意义的条件】3【题型3 分式值为零的条件】4【题型4 分式的求值】6【题型5 求分式的值为正（负）时未知数的取值范围】8【题型6 求分式的值为整数时未知数的取值范围】10【题型7 分式的规律性问题】12【题型8 分式的基本性质】15【题型9 约分与通分】16【题型10 运用分式的基本性质求值】19【知识点1 分式的定义】 一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式。注：A、B都是整式，B中含有字母，且B0。【题型1 分式的概念辨析】【例1】（2022·山东省济南第十二中学八年级阶段练习）在x3,1x+y,23x,3y+22x1,12,2022x中，分式的个数有（    ）A2个B3个C4个D5个【答案】B【分析】根据分式的定义，即可求解【详解】解分式有1x+y,3y+22x1,2022x，共3个故选：B【点睛】本题主要考查了分式的定义，熟练掌握形如AB（其中A、B都是整式，且B0）的式子叫做分式是解题的关键【变式1-1】（2022·河南洛阳·八年级期中）若1是分式，则不可以是（）A3Bx+1Cc3D2y【答案】A【分析】根据分式的定义进行判断即可【详解】解：1是分式，分母中含字母，而3是一个常量，故选项A不满足故选：A【点睛】本题考查分式的定义，理解形如AB，B中含有字母且B0的式子称为分式是解题关键【变式1-2】（2022·陕西渭南·八年级期末）对于代数式2x，x2来说，有下列说法，正确的是（    ）A、均是分式B是分式，不是分式C不是分式，是分式D、均不是分式【答案】B【分析】根据分式的定义判定即可【详解】解：2x是分式，x2是整式不是分式，故选：B【点睛】本题考查分式的定义，一般地，形如AB，A、B为整式，且B中含有字母，叫分式【变式1-3】（2022·全国·八年级课时练习）下列各有理式，哪些是整式？哪些是分式？x+1x+2,m3m,2b5a,a+3b5,432x,1x+y,mn4,23y1,2x2x,1(x+y)，整式 _；分式_【答案】     a+3b5，mn4，1(x+y)     x+1x+2，m3m，2b5a，432x，1x+y，23y1，2x2x【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式【详解】解：a+3b5，mn4，1(x+y)的分母中均不含有字母，因此它们是整式，而不是分式x+1x+2，m3m，2b5a，432x，1x+y，23y1，2x2x的分母中含有字母，因此是分式故答案为：a+3b5，mn4，1(x+y)；x+1x+2，m3m，2b5a，432x，1x+y，23y1，2x2x【点睛】本题主要考查分式的定义，分式的分母必须含有字母，而分子可以含字母，也可以不含字母，亦即从形式上看是AB的形式，从本质上看分母必须含有字母，同时，分母不等于零，且只看初始状态，不要化简.【题型2 分式有意义的条件】【例2】（2022·广西桂林·八年级期中）无论a取何值，下列分式总有意义的是（    ）Aa1a2+1Ba+1a2C1a21D1a+1【答案】A【分析】根据分式的分母不为零，让分式的分母为零列式求a是否存在即可【详解】解：A、分母a2+11故选项正确，符合题意；B、当a=0，分母a2为零，故选项错误，不符合题意；C、当a=±1，分母a21为零故选项错误，不符合题意；D、当a=-1，分母a+1为零故选项错误，不符合题意故选：A【点睛】此题考查了分式有意义的条件，解题的关键是找出分母为零的情况【变式2-1】（2022·浙江·八年级开学考试）当x=3时，分式xbx+2b没有意义，则b的值为（    ）A3B32C32D3【答案】B【分析】先将x=3代入分式xbx+2b，再根据分母等于0时分式没有意义即可得到答案【详解】解：当x=3，xbx+2b=3b3+2b，分式3b3+2b没有意义，3+2b=0，b=32，故选：B【点睛】本题考查分式没有意义的条件，熟知当分母为零时分式没有意义是解题的关键【变式2-2】（2022·甘肃·兰州市第五十二中学八年级期末）要使分式x3x2+6x+9有意义，那么x的取值范围是（    ）Ax3Bx3且x3Cx0且x3Dx3【答案】D【分析】根据分式有意义的条件列出关于x的不等式，求解即可【详解】解：x2+6x+90，（x+3）20，x+30，x3，分式x3x2+6x+9有意义，x的取值范围x3，故选：D【点睛】本题考查了分式有意义的条件：分母不为0，掌握不等式的解法是解题的关键【变式2-3】（2022·河南·新乡市第一中学九年级期中）写出一个分式，并保证无论字母取何值分式均有意义 _【答案】1x2+1【分析】根据分式的分母不等于零，结合分式的概念解答即可【详解】无论字母x取何值，x2+10，x2+10，1x2+1是一个分式，并无论字母x取何值分式均有意义，故答案为：1x2+1（答案不唯一）【点睛】本题考查了分式有意义的条件和分式的概念，解题的关键利用偶次方的非负性列一个代数式使分母不等于零【题型3 分式值为零的条件】【例3】（2022·广东茂名·八年级期末）若分式m+2(m2)(m+3)的值为零，则m=_【答案】-2【分析】根据分式的值为零的条件(分子为零、分母不为零)可以求出m的值【详解】解：根据题意，得m+2=0，且m20、m+30；解得m=2；故答案是：2【点睛】本题考查了分式的值为零的条件若分式的值为零，需同时具备两个条件：分子为0；分母不为0.这两个条件缺一不可，熟记分式值为0的条件是解题的关键【变式3-1】（2022·新疆·乌鲁木齐市第九中学八年级期末）若分式x211x的值为零，则x的值为_【答案】x=1【分析】根据分式的值为零的条件：当分式的分母不为零，分子为零时，分式的值为零，即可得到答案【详解】解；根据分式的值为零的条件得：x21=0，且1x0，解得：x=1，故答案为：x=1【点睛】本题考查了分式的值为零的条件：当分式的分母不为零，分子为零时，分式的值为零【变式3-2】（2022·江苏无锡·八年级期末）分式xyx+1的值为0，则x、y满足的条件为_【答案】x=y且x1【分析】根据分式的值为零的条件：分子等于零且分母不等于零，即可得出答案【详解】解：xyx+1=0，x+10xy=0，解得x=y且x1故答案为：x=y且x1【点睛】本题主要考查了分式的值为零的条件，掌握分式的值为零的条件是解决本题的关键【变式3-3】（2022·山东菏泽·八年级期末）若分式|x2|1x26x+9的值为0，则x的值为 _【答案】1【分析】根据分式的值为零的条件列出方程和不等式求解，即可以求出x的值【详解】解：分式|x2|1x26x+9的值为0，|x2|10且x26x+90，解得：x21或1且x3，则x21则x1故答案为：1【点睛】本题考查分式值为0的条件下，解答本题特别注意分式分母不为0这一条件【题型4 分式的求值】【例4】（2022·辽宁大连·八年级期末）已知x2=y3=z4，则xyx2yz=_【答案】16【分析】设x2=y3=z4=k，则有x=2k，y=3k，z=4k，代入即可求解【详解】设x2=y3=z4=k，根据题意有，k0，则有x=2k，y=3k，z=4k，即xyx2yz=2k3k2k23k4k=6k24k212k2=16，故答案为：16【点睛】本题考查为了分式的求值，设x2=y3=z4=k是解答本题的关键【变式4-1】（2022·山东泰安·八年级期末）已知a+b+cd=a+b+dc=a+c+db=b+c+da=m，则m的值_【答案】为-1或3【分析】根据题设知a0，b0，c0，d0，得到a+b+c=dm，a+b+d=cm，a+c+d=bm，b+c+d=am，推出3(a+b+c+d)=m(a+b+c+d)，得到(a+b+c+d）(m-3)=0，当a+b+c+d=0时，得到a+b+c=-d，a+b+d=-c，a+c+d=-b，b+c+d=-a，推出m=-1；当a+b+c+d0时，推出m-3=0，得到m=3【详解】a+b+cd=a+b+dc=a+c+db=b+c+da=m，a0，b0，c0，d0，a+b+c=dm，a+b+d=cm，a+c+d=bm，b+c+d=am，3(a+b+c+d)=m(a+b+c+d)，(a+b+c+d）(m-3)=0，当a+b+c+d=0时，a+b+c=-d，a+b+d=-c，a+c+d=-b，b+c+d=-a，m=-1；当a+b+c+d0时，m-3=0，m=3，综上，m=-1或m=3故答案为：为-1或3【点睛】本题主要考查了分式的值，解决问题的关键是熟练掌握分式有意义的条件，等式的基本性质，分式值的意义及满足条件【变式4-2】（2022·山东济南·八年级期中）阅读下面的解题过程：已知xx2+1=13，求x2x4+1的值解：由xx2+1=13知，x0，所以x2+1x=3，即x+1x=3.所以x4+1x2=x2+1x2=x+1x22=322=7.所以x2x4+1=17.该题的解法叫做“倒数法”已知：xx23x+1=15请你利用“倒数法”求x2x4+x2+1的值求2x28x+1x2的值【答案】x2x4+x2+1=163；2x28x+1x2=61【分析】计算所求式子的倒数，再将x2x4+x2+1代入可得结论；将2x28x+1x2进行变形后代入即可.【详解】解：xx23x+1=15，且x0，x23x+1x=5，x+1x3=5，x+1x=8，x4+x2+1x2=x2+1x2+1=x+1x2-1=63，x2x4+x2+1=163x+1x=8x2-8x=-1 2x28x+1x2=x2+1x2+x28x=x+1x2-2-1=64-2-1=61【点睛】本题考查分式的求值问题，解题的关键是正确理解题目给出的解答思路，注意分式的变形，本题属于基础题型【变式4-3】（2022·福建·九年级专题练习）若2xy+4z=0，4x+3y2z=0则xy+yz+zxx2+y2+z2的值为_【答案】16【分析】先由题意2xy+4z=0 ，4x+3y2z=0，得出用含x的式子分别表示y，z，然后带入要求的式中，化简便可求出.【详解】2x-y+4z= 0，4x+3y- 2z= 0，将×2得: 8x+ 6y-4z=0+得: 10x+ 5y= 0，y= -2x，将y= - 2x代入中得:2x- (-2x)+4z=0z=-x将y= -2x，z=-x，代入上式xy+yz+zxx2+y2+z2=x·2x+2x·x+x·xx2+2x2+x2=2x2+2x2x2x2+4x2+x2=x26x2=16故答案为：16【点睛】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是根据题目，得出用含x的式子表示y，z.本题较难，要学会灵活化简.【题型5 求分式的值为正（负）时未知数的取值范围】【例5】（2022·全国·八年级专题练习）已知分式x+4x2的值是正数，那么x的取值范围是（   ）Ax0Bx-4Cx0Dx-4且x0【答案】D【分析】若x+4x2的值是正数，只有在分子分母同号下才能成立，即x40，且x0，因而能求出x的取值范围【详解】解：x+4x20，x40，x0，x4且x0故选：D【点睛】本题考查分式值的正负性问题，若对于分式ab（b0）0时，说明分子分母同号；分式ab（b0）0时，分子分母异号，也考查了解一元一次不等式【变式5-1】（2022·山东·东平县江河国际实验学校八年级阶段练习）使分式x2+113x的值为负的条件是（   ）Ax0Bx0Cx13Dx13【答案】C【分析】分子分母异号即可，而分子恒为正，因此令分母小于0，最终求得不等式的解集【详解】x2+10若使分式的值为负，则13x<0解得x13故答案为x13【点睛】本题考查了分式方程的求解，使分式的值为正即为分子分母同号，分式的值为负即为分子分母异号【变式5-2】（2022·上海民办兰生复旦中学七年级期末）若分式x+1x12的值大于零，则 x 的取值范围是_【答案】x-1【分析】根据两数相除，同号得正，异号得负，分式的分母不为0解答.【详解】x120 而x-10x120分式x+1x12的值大于零x+10x-1故答案为：x-1【点睛】本题考查的是分式的值，掌握分式有意义的条件及判定分式值的符号的方法是关键.【变式5-3】（2022·全国·八年级单元测试）若分式x23x2的值是负数，则x的取值范围是（    ）.A23<x<2Bx>23或x<2C2<x<2且x23D23<x<2或x<2【答案】D【分析】根据题意列出不等式组，解不等式组则可【详解】x23x2是负数，x2>0,3x2<0或x2<0,3x2>0,x<2或23<x<2.故选D.【点睛】此题考查分式的值，解题关键在于掌握运算法则【题型6 求分式的值为整数时未知数的取值范围】【例6】（2022·浙江舟山·七年级期末）若2x2x+3表示一个整数，则整数x可取的个数有_个【答案】4【分析】由原式为整数，x为整数确定出x可取的值个数即可【详解】解：2x2x+3=2x+332x+3=132x+3为整数，2x+3为±1，±3，当2x+3=1，即x=-1时，原式=-2；当2x+3=-1，即x=-2时，原式=4；当2x+3=3，即x=0时，原式=0；当2x+3=-3，即x=-3时，原式=2x的值可取0，-1，-2，-3故答案为：4【点睛】本题考查了分式的值，把原式化成132x+3是解题的关键【变式6-1】（2022·安徽·合肥市第四十五中学七年级阶段练习）若m为整数，则能使m22m+1m21的值也为整数的m是_【答案】0或2或3【分析】根据平方差公式和完全平方公式进行因式分解，再约分，得出答案即可【详解】解：m22m+1m21=m12m+1m1=m1m+1=12m+1，且m±1，若m为整数，12m+1的值也为整数，则m+1=±1，m+1=±2，且m±1， 解得：m=0或m=2或m=3，故答案为：0或2或3【点睛】本题考查了分式的值，掌握分式的性质，平方差公式和完全平方公式是解题的关键【变式6-2】（2022·江苏盐城·七年级阶段练习）已知k=6x+42x1，则满足k为整数的所有自然数x的值 _ 【答案】0，1，4【分析】将k变形为3+72x1，据此可得2x-1=±1或7时k取得整数，解之求得x的值可得答案【详解】解：k=6x+42x1=6x3+72x1=3(2x1)+72x1=3+72x1，当2x-1=1或2x-1=-1或2x-1=7或2x-1=-7时，k为整数，解得：x=1或x=0或x=4或x=-3，x 为自然数，x=0，1或4，故答案为：0，1，4【点睛】本题主要考查一元一次方程的解，解题的关键是将k变形为3+72x1，并根据k为整数得出关于x的方程【变式6-3】（2022·浙江衢州·七年级期末）阅读理解：我们知道：当a是c的因数时，ca（a、c为整数）的值是整数例如，当a=±1或±2时，2a的值是整数；又如，因为3m+5m=3+5m，所以当m=±1或±5时，3m+5m的值是整数（1）如果分式a+8a+3的值是整数，那么a的正整数值是_（2）如果分式x24x7x4的值是整数，那么x的负整数值是_【答案】     2     -3【分析】（1）将分式变形得a+8a+3=1+5a+3，则a+3=±1或±5，即可求解；（2）将分式变形得x24xx4=x(x4)7x4=x7x4，则x-4=±1或±7，即可求解【详解】解：(1)a+8a+3=1+5a+3，又a+8a+3的值是整数，a+3=±1或±5，a=-2或-4或2或-8，a的正整数值为2；（2）x24x7x4=x(x4)7x4=x7x4，又x24x7x4的值是整数，x-4=±1或±7，x=5或3或11或-3，x的负整数值为-3，故答案为：（1）2；（2）-3【点睛】本题考查使分式值为整数时求未知数值的问题，理解并能应用阅读材料的解题方法将分式化简是解题的关键【题型7 分式的规律性问题】【例7】（2022·湖南·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校八年级阶段练习）若a2，则我们把22a称为a的“友好数”，如3的“友好数”是223=2，2的“友好数”是22(2)=12，已知a1=3，a2是a1的“友好数”，a3是a2的“友好数”，a4是a3的“友好数”，依此类推，则a2021=（       ）A3B2C12D43【答案】A【分析】根据题目中的数据，可以写出前几个数，从而可以发现数字的变化特点，然后即可写出a2021 的值【详解】 a2，则22a称为a的“友好数”，a1=3，a2=223=2,a3=222=12,a4=2212=43,a5=2243=3, 该数列每4个数为一个循环周期，2021÷4=5051,a2021=3, 故选：A【点睛】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化特点，写出相应的数据【变式7-1】（2022·青海·海东市教育研究室八年级期末）给定一列分式：x3y，x5y2，x7y3，x9y4，根据你发现的规律，试写出第6个分式为_第n（n为正整数）个分式为_【答案】     x13y6     (1)n+1x2n+1yn【分析】根据“分式分子及分母对应的底数及其指数的数字规律以及符号的规律”即可得出第6个分式和第n个分式【详解】解：观察分式x3y，x5y2，x7y3，x9y4，可以得出分子得底数为x指数为序数的2倍加1，分母的底数为y指数等于序数，当序数为偶数时符号为负，序数为奇数时符号为正，即符号为(1)n+1，故第6个分式为x13y6，第n（n为正整数）个分式为：(1)n+1x2n+1yn故答案为：x13y6，(1)n+1x2n+1yn【点睛】本题考查了分式的定义，探索与表达规律注意观察每一个分式的分子、分母以及符号的变化，然后找出的规律【变式7-2】（2013·江苏徐州·一模）如果记yx21+x2f（x），并且f（1）表示当x1时y的值，即f（1）121+1212；f（12）表示当x12时y的值，即f（12）(12)21+(12)215；那么f（1）f（2）f（12）f（3）f（13）f（2013）f（12013）_【答案】2012.5【详解】试题分析：由题意f（2）f（）1，f（3）f（）1，f（2013）f（）1，根据这个规律即可求得结果.由题意得f（1）f（2）f（）f（3）f（）f（2013）f（）+1+1+112012.5考点：找规律-式子的变化点评：解答此类找规律的问题的关键是仔细分析所给式子的特征得到规律，再把这个规律应用于解题.【变式7-3】（2022·全国·八年级专题练习）已知a>0,S1=1a,S2=S11,S3=1S2,S4=S31,S5=1S4，·，(即当n为大于1的奇数时，Sn=1Sn1；当n为大于1的偶数时，Sn=Sn11），按此规律，S2020=_【答案】1a+1【分析】根据Sn数的变化找出Sn的值每6个一循环，结合2020336×6+4，即可得出S2020S4，此题得解【详解】解：S11a，S2S111a11+aa，S31S2aa+1，S4S31aa+111a+1，S51S4（a+1），S6S51（a+1）1a，S71S61a，Sn的值每6个一循环2020336×6+4，S2020S41a+1故答案为：1a+1【点睛】本题考查了规律型中数字的变化类，根据数值的变化找出Sn的值，每6个一循环是解题的关键【知识点2 分式的基本性质】分式的分子与分母乘(或除以)同一个不等于0的整式，分式的值不变。；（C0）。【题型8 分式的基本性质】【例8】（2022·湖南·临武县第六中学八年级阶段练习）下列运算正确的是（    ）Axyx+yxyx+yBa2b2(ab)2a+bCa2b2(ab)2abDx11x21x+1【答案】D【分析】根据分式的性质，因式分解，约分化简判断即可【详解】因为xyx+y=(x+y)(xy)=x+yxy，所以A错误；因为a2b2(ab)2=(a+b)(ab)(ab)2=a+bab，所以B、C都错误；因为x11x2=x1(1x)(1+x)=(1x)(1x)(1+x)=11+x，所以D正确；故选D【点睛】本题考查了分式的基本性质，约分化简，因式分解，熟练掌握分式的基本性质，约分的技能，因式分解的能力是解题的关键【变式8-1】（2022·全国·八年级专题练习）将x0.20.5+0.01x0.03=1的分母化为整数，得（）Ax20.5+0.01x3=1B5x50+x3=100Cx200.5+0.01x3=100D5x50+x3=1【答案】D【分析】根据分式的基本性质求解【详解】解：将x0.20.5+0.01x0.03=1的分母化为整数，可得5x50+x3=1故选：D【点睛】本题考查一元一次方程的化简，熟练掌握分式的基本性质解题关键【变式8-2】（2022·山东菏泽·八年级阶段练习）若把分式xyaxy（xy0且xy）中的x和y都扩大为原来的3倍，那么分式的值（）A变为原来的3倍B变为原来的13C不变D变为原来的19【答案】B【分析】根据分式的基本性质进行计算即可解答【详解】解：由题