2022-2023学年九年级数学上册举一反三系列专题2.10 圆中的计算与证明的综合大题专项训练（50道）（举一反三）（苏科版）含解析.docx

2022-2023学年九年级数学上册举一反三系列专题2.10 圆中的计算与证明的综合大题专项训练（50道）【苏科版】考卷信息：本套训练卷共50题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，涵盖了圆中的计算与证明的综合问题的所有类型！一解答题（共50小题）1（2022秋柯桥区月考）如图，D是O弦BC的中点，A是O上的一点，OA与BC交于点E，已知AO8，BC12（1）求线段OD的长；（2）当EO=2BE时，求DE的长2（2022市中区校级一模）如图，AB是O的直径，C是BD的中点，CEAB于点E，BD交CE于点F（1）求证：CFBF；（2）若CD6，AC8，求O的半径及CE的长3（2022秋岱岳区期末）已知O的直径为10，点A、点B、点C在O上，CAB的平分线交O于点D（1）如图，若BC为O的直径，AB6，求AC、BD、CD的长；（2）如图，若CAB60°，求BD的长4（2022济宁）如图，AD为ABC外接圆的直径，ADBC，垂足为点F，ABC的平分线交AD于点E，连接BD，CD（1）求证：BDCD；（2）请判断B，E，C三点是否在以D为圆心，以DB为半径的圆上？并说明理由5（2022秋辛集市期末）如图1，在ABC中，ABAC，O是ABC的外接圆，过点C作CDAB交O于点D，连接AD，延长CD至点F，使BFBC（1）求证：BFAD；（2）如图2，当CD为直径，半径为1时，求弧BD，线段BF，线段DF所围成图形的面积6（2022凤翔县一模）如图，O的直径为AB，点C在O上，点D，E分别在AB，AC的延长线上，DEAE，垂足为E，CD与O相切于点C（1）求证：ACDE；（2）若AB4，BD3，求CD的长7（2022秋湛江校级月考）已知PA、PB分别切O于A、B，E为劣弧AB上一点，过E点的切线交PA于C、交PB于D（1）若PA6，求PCD的周长（2）若P50°求DOC8（2022秋仪征市校级月考）如图，O是正方形ABCD与正六边形AEFCGH的外接圆（1）正方形ABCD与正六边形AEFCGH的边长之比为 ；（2）连接BE，BE是否为O的内接正n边形的一边？如果是，求出n的值；如果不是，请说明理由9（2022高唐县二模）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，BAO30°，AC8过点O作OHAB于点H，以点O为圆心，OH为半径的半圆交AC于点M（1）求图中阴影部分的面积；（2）点P是BD上的一个动点（点P不与点B，D重合），当PH+PM的值最小时，求PD的长度10（2022黔东南州模拟）如图，已知AB是O的直径，点C、D在O上，D60°且AB6，过O点作OEAC，垂足为E（1）求OE的长；（2）若OE的延长线交O于点F，求弦AF、AC和弧CF围成的图形（阴影部分）的面积S11（2022秋如东县期末）如图，CD是O的直径，弦ABCD于点E，DAB30°，AB43（1）求CD的长；（2）求阴影部分的面积12（2022秋松滋市期末）如图，AB是O的直径，弦DE垂直平分半径OA，C为垂足，弦DF与半径OB相交于点P，连接EO、FO，若DE43，DPA45°（1）求O的半径（2）若图中扇形OEF围成一个圆锥侧面，试求这个圆锥的底面圆的半径13（2022沈阳）如图，O是ABC的外接圆，AB是O的直径，D为O上一点，ODAC，垂足为E，连接BD（1）求证：BD平分ABC；（2）当ODB30°时，求证：BCOD14（2022本溪）如图，ABC中，ABAC，点E是线段BC延长线上一点，EDAB，垂足为D，ED交线段AC于点F，点O在线段EF上，O经过C、E两点，交ED于点G（1）求证：AC是O的切线；（2）若E30°，AD1，BD5，求O的半径15（2022崇左）如图，正方形ABCD的边长为1，其中弧DE、弧EF、弧FG的圆心依次为点A、B、C（1）求点D沿三条弧运动到点G所经过的路线长；（2）判断直线GB与DF的位置关系，并说明理由16（2022凉山州二模）如图，AB是半圆的直径，C、D是半圆上的两点，且BAC20°，AD=CD，求：BCD的度数17（2022白云区一模）如图，O的半径OAOC，点D在AC上，且AD=2CD，OA4（1）COD °；（2）求弦AD的长；（3）P是半径OC上一动点，连接AP、PD，请求出AP+PD的最小值，并说明理由（解答上面各题时，请按题意，自行补足图形）18（2022西湖区校级一模）如图，AB是O的直径，C是BD的中点，CEAB于E，BD交CE于F（1）求证：CFBF；（2）若CD6，AC8，求BE、CF的长19（2022武昌区校级自主招生）如图，已知O的直径为10，点A、B、C在O上，CAB的平分线交O于点D （1）图，当BC为O的直径时，求BD的长（2）图，当BD5时，求CDB的度数20（2022东莞市校级模拟）如图，O的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别交于点E、F（1）当EF时，则ADC °；（2）当A55°，E30°时，求F的度数；（3）若E，F，且请你用含有、的代数式表示A的大小21（2022鹿城区校级模拟）如图，ABC中，ABAC，AE是其外接圆的切线，D为AB上的点，且ADACAE求证：直线DE过ABC的内心22（2022鼓楼区校级模拟）如图，图1、图2、图3、图n分别是O的内接正三角形ABC，正四边形ABCD、正五边形ABCDE、正n边形ABCD，点M、N分别从点B、C开始以相同的速度在O上逆时针运动（1）求图1中APN的度数是 ；图2中，APN的度数是 ，图3中APN的度数是 （2）试探索APN的度数与正多边形边数n的关系（直接写答案） 23（2022温州一模）如图，在O上依次有A、B、C三点，BO的延长线交O于E，AE=CE，过点C作CDAB交BE的延长线于D，AD交O于点F（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）连接OA、OF，若AOF3FOE，且AF3，求劣弧CF的长24（2022岳麓区校级一模）如图，O中，直径CD弦AB于E，AMBC于M，交CD于N，连AD（1）求证：ADAN；（2）若AB42，ON1，求O的半径25（2022普陀区模拟）如图，在O中，AD、BC相交于点E，OE平分AEC（1）求证：ABCD；（2）如果O的半径为5，ADCB，DE1，求AD的长26（2022乌鲁木齐一模）如图，四边形ABCD内接于O，AB是O的直径，点P在CA的延长线上，CAD45°（1）若AB4，求弧CD的长；（2）若弧BC弧AD，ADAP，求证：PD是O的切线27（2022饶平县校级模拟）如图，O中，弦CD与直径AB交于点H（1）当B+D90°时，求证：H是CD的中点；（2）若H为CD的中点，且CD22，BD=3，求AB的长28（2022苏州模拟）如图，点A和动点P在直线l上，点P关于点A的对称点为Q，以AQ为边作RtABQ，使BAQ90°，AQ：AB3：4，作ABQ的外接圆O点C在点P右侧，PC4，过点C作直线ml，过点O作ODm于点D，交AB右侧的圆弧于点E在射线CD上取点F，使DF=32CD，以DE，DF为邻边作矩形DEGF设AQ3x（1）用关于x的代数式表示BQ ，DF （2）当点P在点A右侧时，若矩形DEGF的面积等于90，求AP的长（3）当点P在点A右侧时，作直线BG交O于点N，若BN的弦心距为1，求AP的长29（2022福建模拟）如图1，ABC中，ABAC，O是ABC的外接圆，过点B作BEAC，交O于点D，垂足为E，连接AD（1）求证：BAC2CAD；（2）如图2，连接CD，点F在线段BD上，且DF2DC，G是BC的中点，连接FG，若FG2，CD22，求O的半径30（2022苏州模拟）如图，已知点D是ABC外接圆O上的一点，ACBD于G，连接AD，过点B作直线BFAD交AC于E，交O于F，若点F是弧CD的中点，连接OG，OD，CD（1）求证：DBFACB；（2）若AG=62GE，试探究GOD与ADC之间的数量关系，并证明31（2022莱芜）如图，ABC是O的内接三角形，ACBC，D为O中AB上一点，延长DA至点E，使CECD（1）求证：AEBD；（2）若ACBC，求证：AD+BD=2CD32（2022三明）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（4，0），以点A为圆心，4为半径的圆与x轴交于O，B两点，OC为弦，AOC60°，P是x轴上的一动点，连接CP（1）求OAC的度数；（2）如图，当CP与A相切时，求PO的长；（3）如图，当点P在直径OB上时，CP的延长线与A相交于点Q，问PO为何值时，OCQ是等腰三角形？33（2022昆明）（1）如图（1），OA、OB是O的两条半径，且OAOB，点C是OB延长线上任意一点，过点C作CD切O于点D，连接AD交OC于点E求证：CDCE；（2）若将图（2）中的半径OB所在直线向上平行移动交OA于F，交O于B，其他条件不变，那么上述结论CDCE还成立吗？为什么？（3）若将图（3）中的半径OB所在直线向上平行移动到O外的CF，点E是DA的延长线与CF的交点，其他条件不变，那么上述结论CDCE还成立吗？为什么？34（2022襄城区模拟）如图，O中，直径CD弦AB于E，AMBC于M，交CD于N，连接AD（1）求证：ADAN；（2）若AB8，ON1，求O的半径35（2022台州校级模拟）某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径，下图是水平放置的破裂管道有水部分的截面（1）请你补全这个输水管道的圆形截面（2）若这个输水管道有水部分的水面宽AB16cm，水面最深地方的高度为4cm，求这个圆形截面的半径（3）在（2）的条件下，小明把一只宽12cm的方形小木船放在修好后的圆柱形水管里，已知船高出水面13cm，问此小船能顺利通过这个管道吗？36（2022泰州模拟）如图，BC是O的直径，弦ADBC，垂足为H，已知AD8，OH3（1）求O的半径；（2）若E是弦AD上的一点，且EBAEAB，求线段BE的长37（2022河北）图1是某学校存放学生自行车的车棚的示意图（尺寸如图所示），车棚顶部是圆柱侧面的一部分，其展开图是矩形图2是车棚顶部截面的示意图，AB所在圆的圆心为O车棚顶部是用一种帆布覆盖的，求覆盖棚顶的帆布的面积（不考虑接缝等因素，计算结果保留）38（2022咸宁模拟）小明学习了垂径定理，做了下面的探究，请根据题目要求帮小明完成探究（1）更换定理的题设和结论可以得到许多真命题如图1，在O中，C是劣弧AB的中点，直线CDAB于点E，则AEBE请证明此结论；（2）从圆上任意一点出发的两条弦所组成的折线，成为该圆的一条折弦如图2，PA，PB组成O的一条折弦C是劣弧AB的中点，直线CDPA于点E，则AEPE+PB可以通过延长DB、AP相交于点F，再连接AD证明结论成立请写出证明过程；（3）如图3，PAPB组成O的一条折弦，若C是优弧AB的中点，直线CDPA于点E，则AE，PE与PB之间存在怎样的数量关系？写出结论，不必证明39（2022南开区一模）已知：如图1，在O中，直径AB4，CD2，直线AD，BC相交于点E（1）E的度数为 ；（2）如图2，AB与CD交于点F，请补全图形并求E的度数；（3）如图3，弦AB与弦CD不相交，求AEC的度数40（2022安徽一模）如图，A，P，B，C是O上的四个点，APCCPB60°（1）判断ABC的形状，并证明你的结论（2）证明：PA+PBPC41（2022和平区一模）RtABC中，ABC90°，以AB为直径作O交AC边于点D，E是边BC的中点，连接DE，OD（）如图，求ODE的大小；（）如图，连接OC交DE于点F，若OFCF，求A的大小42（2022和平区二模）已知AB是O的直径，AB2，点C，点D在O上，CD1，直线AD，BC交于点E（）如图1，若点E在O外，求AEB的度数（）如图2，若点E在O内，求AEB的度数43（2022南开区二模）如图，O的直径AB的长为2，点C在圆周上，CAB30°，点D是圆上一动点，DEAB交CA的延长线于点E，连接CD，交AB于点F（）如图1，当ACD45°时，请你判断DE与O的位置关系并加以证明；（）如图2，当点F是CD的中点时，求CDE的面积44（2022红桥区二模）已知O是ABC的外接圆，过点A作O的切线，与CO的延长线于点P，CP与O交于点D（1）如图，若APAC，求B的大小；（2）如图，若APBC，P42°，求BAC的大小45（2022秋镇海区期末）如图，在ABC中，D在边AC上，圆O为锐角BCD的外接圆，连结CO并延长交AB于点E（1）若DBC，请用含的代数式表示DCE；（2）如图2，作BFAC，垂足为F，BF与CE交于点G，已知ABDCBF求证：EBEG；若CE5，AC8，求FG+FB的值46（2022秋虹口区校级期末）如图，等边ABC内接于O，P是AB上任一点（点P与点A、B重合），连接AP、BP，过点C作CMBP交PA的延长线于点M（1）求APC和BPC的度数；（2）求证：ACMBCP；（3）若PA1，PB2，求四边形PBCM的面积；（4）在（3）的条件下，求AB的长度47（2022秋赣榆区期中）铁匠王老五要制作一个圆锥体模型，操作规则是：在一块边长为16cm的正方形纸片上剪出一个扇形和一个圆，使得扇形围成圆锥的侧面时，圆恰好是该圆锥的底面他们首先设计了如图所示的方案一，发现这种方案不可行，于是他们调整了扇形和圆的半径，设计了如图所示的方案二（两个方案的图中，圆与正方形相邻两边及扇形的弧均相切方案一中扇形的弧与正方形的两边相切）请你帮助他算一算（1）请说明方案一不可行的理由；（2）判断方案二是否可行？若可行，请确定圆锥的母线长l及其底面圆半径r；若不可行，请说明理由48（2022浙江校级自主招生）如图，已知圆O的圆心为O，半径为3，点M为圆O内的一个定点，OM=5，AB、CD是圆O的两条相互垂直的弦，垂足为M（1）当AB4时，求四边形ADBC的面积；（2）当AB变化时，求四边形ADBC的面积的最大值49（2022浙江校级自主招生）如图，O为等边ABC 的外接圆，半径为2，点D在劣弧AB上运动（不与点A，B重合），连接DA，DB，DC若点M，N分别在线段CA，CB上运动（不含端点），经过探究发现，点D运动到每一个确定的 位置，DMN 的周长有最小值t，随着点D的运动，t 的值会发生变化，求所有t值中的最大值50（2022枣庄校级模拟）如图，在ABC中，以AB为直径的O分别交AC、BC于点D、E，点F在AC的延长线上，且ACCF，CBFCFB（1）求证：直线BF是O的切线；（2）若点D，点E分别是弧AB的三等分点，当AD5时，求BF的长和扇形DOE的面积；（3）填空：在（2）的条件下，如果以点C为圆心，r为半径的圆上总存在不同的两点到点O的距离为5，则r的取值范围为 专题2.10 圆中的计算与证明的综合大题专项训练（50道）【苏科版】考卷信息：本套训练卷共50题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，涵盖了圆中的计算与证明的综合问题的所有类型！一解答题（共50小题）1（2022秋柯桥区月考）如图，D是O弦BC的中点，A是O上的一点，OA与BC交于点E，已知AO8，BC12（1）求线段OD的长；（2）当EO=2BE时，求DE的长【分析】（1）连接OB，先根据垂径定理得出ODBC，BD=12BC，在RtBOD中，根据勾股定理即可得出结论；（2）在RtEOD中，设BEx，则OE=2x，DE6x，再根据勾股定理即可得出结论【解答】解：（1）连接OBOD过圆心，且D是弦BC中点，ODBC，BD=12BC，在RtBOD中，OD2+BD2BO2BOAO8，BD6OD27；（2）在RtEOD中，OD2+ED2EO2设BEx，则OE=2x，DE6x（27）2+（6x）2（2x）2，解得x116（舍），x24则DE22（2022市中区校级一模）如图，AB是O的直径，C是BD的中点，CEAB于点E，BD交CE于点F（1）求证：CFBF；（2）若CD6，AC8，求O的半径及CE的长【分析】（1）要证明CFBF，可以证明ECBDBC；AB是O的直径，则ACB90°，又知CEAB，则CEB90°，则DBC90°ACEA，ECBA，则ECBDBC；（2）在直角三角形ACB中，AB2AC2+BC2，又知，BCCD，所以可以求得AB的长，即可求得圆的半径；再利用面积法求得CE的长【解答】（1）证明：AB是O的直径，ACB90°，A90°ABCCEAB，CEB90°，ECB90°ABC，ECBA又C是BD的中点，CD=CB，DBCA，ECBDBC，CFBF；（2）解：BC=CD，BCCD6，ACB90°，AB=BC2+AC2=62+82=10，O的半径为5，SABC=12ABCE=12BCAC，CE=BCACAB=6×810=2453（2022秋岱岳区期末）已知O的直径为10，点A、点B、点C在O上，CAB的平分线交O于点D（1）如图，若BC为O的直径，AB6，求AC、BD、CD的长；（2）如图，若CAB60°，求BD的长【分析】（1）利用圆周角定理可以判定CAB和DCB是直角三角形，利用勾股定理可以求得AC的长度；利用圆心角、弧、弦的关系推知DCB也是等腰三角形，所以利用勾股定理同样得到BDCD52；（2）如图，连接OB，OD由圆周角定理、角平分线的性质以及等边三角形的判定推知OBD是等边三角形，则BDOBOD5【解答】解：（1）如图，BC是O的直径，CABBDC90°在直角CAB中，BC10，AB6，由勾股定理得到：AC=BC2-AB2=102-62=8AD平分CAB，CD=BD，CDBD在直角BDC中，BC10，CD2+BD2BC2，易求BDCD52；（2）如图，连接OB，OD，AD平分CAB，且CAB60°，DAB=12CAB30°，DOB2DAB60°又OBOD，OBD是等边三角形，BDOBODO的直径为10，则OB5，BD54（2022济宁）如图，AD为ABC外接圆的直径，ADBC，垂足为点F，ABC的平分线交AD于点E，连接BD，CD（1）求证：BDCD；（2）请判断B，E，C三点是否在以D为圆心，以DB为半径的圆上？并说明理由【分析】（1）利用等弧对等弦即可证明（2）利用等弧所对的圆周角相等，BADCBD再等量代换得出DBEDEB，从而证明DBDEDC，所以B，E，C三点在以D为圆心，以DB为半径的圆上【解答】（1）证明：AD为直径，ADBC，由垂径定理得：BD=CD根据圆心角、弧、弦之间的关系得：BDCD（2）解：B，E，C三点在以D为圆心，以DB为半径的圆上理由：由（1）知：BD=CD，12，又23，13，DBE3+4，DEB1+5，BE是ABC的平分线，45，DBEDEB，DBDE由（1）知：BDCDDBDEDCB，E，C三点在以D为圆心，以DB为半径的圆上5（2022秋辛集市期末）如图1，在ABC中，ABAC，O是ABC的外接圆，过点C作CDAB交O于点D，连接AD，延长CD至点F，使BFBC（1）求证：BFAD；（2）如图2，当CD为直径，半径为1时，求弧BD，线段BF，线段DF所围成图形的面积【分析】（1）根据等腰三角形的性质和平行线的性质可得ADCDCB，进而可以解决问题；（2）连接OA，OB，由（1）得ACBBCDADC，所以AC=AB=BD，可得AOC和AOB是等边三角形，可以求出BF的长，进而可得SOBF和S扇形OBD，即可解决问题【解答】（1）证明：ABAC，ABCACB，CDAB，ABCDCB，ACBDCB，ABCADC，ADCDCB，BFBCFBCD，FADC，BFAD；（2）解：连接OA，OB，CD为直径，半径为1，CD2，ODOBOAOC1，由（1）知：ACBBCDADC，AC=AB=BD，AOCAOBBOD60°，AOC和AOB是等边三角形，ACD60°，ADC30°，F30°，FBO90°，OB1，BF=3，弧BD，线段BF，线段DF所围成图形的面积为：SOBFS扇形OBD=12×OBBF-60×12360=32-66（2022凤翔县一模）如图，O的直径为AB，点C在O上，点D，E分别在AB，AC的延长线上，DEAE，垂足为E，CD与O相切于点C（1）求证：ACDE；（2）若AB4，BD3，求CD的长【分析】（1）连接OC，根据三角形的内角和得到EDC+ECD90°，根据等腰三角形的性质得到AACO，得到OCD90°，于是得到结论；（2）根据已知条件得到OCOB=12AB2，根据勾股定理即可得到结论【解答】（1）证明：连接OC，CD与O相切于点C，OCD90°，ACO+DCE90°，DEAE，E90°，EDC+ECD90°，EDCACO，OCOA，AACO，ACDE（2）解：AB4，BD3，OC=OB=12AB=2，OD2+35，CD=OD2-OC2=52-22=217（2022秋湛江校级月考）已知PA、PB分别切O于A、B，E为劣弧AB上一点，过E点的切线交PA于C、交PB于D（1）若PA6，求PCD的周长（2）若P50°求DOC【分析】（1）根据切线长定理得到PAPB，ACCE，BDDE，根据三角形的周长公式计算即可；（2）证明RtAOCRtEOC，得到AOCCOE和DOEBOD，计算即可【解答】解：（1）连接OE，PA、PB与圆O相切，PAPB6，同理可得：ACCE，BDDE，PCD的周长PC+PD+CDPC+PD+CE+DEPA+PB12；（2）PA PB与圆O相切，OAPOBP90°P50°，AOB360°90°90°50°130°，在RtAOC和RtEOC中，OA=OEOC=OC，RtAOCRtEOC（HL），AOCCOE，同理：DOEBOD，COD=12AOB65°8（2022秋仪征市校级月考）如图，O是正方形ABCD与正六边形AEFCGH的外接圆（1）正方形ABCD与正六边形AEFCGH的边长之比为2：1；（2）连接BE，BE是否为O的内接正n边形的一边？如果是，求出n的值；如果不是，请说明理由【分析】（1）计算出在半径为R的圆中，内接正方形和内接正六边形的边长即可求出；（2）首先求得EOB的度数，然后利用360°除以EOB度数，若所得的结果是整数的即可【解答】解：（1）设此圆的半径为R，则它的内接正方形的边长为2R，它的内接正六边形的边长为R，内接正方形和内接正六边形的边长比为2R：R=2：1故答案为：2：1；（2）BE是O的内接正十二边形的一边，理由：连接OA，OB，OE，在正方形ABCD中，AOB90°，在正六边形AEFCGH中，AOE60°，BOE30°，n=360°30°=12，BE是正十二边形的边9（2022高唐县二模）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，BAO30°，AC8过点O作OHAB于点H，以点O为圆心，OH为半径的半圆交AC于点M（1）求图中阴影部分的面积；（2）点P是BD上的一个动点（点P不与点B，D重合），当PH+PM的值最小时，求PD的长度【分析】（1）解直角三角形求出AH，OH，根据S阴SAOHS扇形OMH，求解即可（2）作点M关于BD的对称点M，连接HM交BD于P，连接PM，连接PM，此时PH+PM的值最小，解直角三角形求出OP，OD即可【解答】解：（1）四边形ABCD是菱形，ACBD，OAOC4，OHAB，AHO90°，OAH30°，AOH60°，OH=12OA2，AH=3OH23，S阴SAOHS扇形OMH=12×2×23-6022360=23-23（2）作点M关于BD的对称点M，连接HM交BD于P，连接PM，此时PH+PM的值最小OHOM，OHMOMH，AOHOHM+OMH60°，设OPm，则PM2m，PM2OM2+OP2，4m2m2+22，m=233，PDOD+OP=433+233=2310（2022黔东南州模拟）如图，已知AB是O的直径，点C、D在O上，D60°且AB6，过O点作OEAC，垂足为E（1）求OE的长；（2）若OE的延长线交O于点F，求弦AF、AC和弧CF围成的图形（阴影部分）的面积S【分析】（1）根据D60°，可得出B60°，继而求出BC，判断出OE是ABC的中位线，就可得出OE的长；（2）连接OC，将阴影部分的面积转化为扇形FOC的面积【解答】解：（1）D60°，B60°（圆周角定理），又AB6，BC3，AB是O的直径，ACB90°，OEAC，OEBC，又点O是AB中点，OE是ABC的中位线，OE=12BC=32；（2）连接OC，则易得COEAFE，故阴影部分的面积扇形FOC的面积，S扇形FOC=60×32360=32即可得阴影部分的面积为3211（2022秋如东县期末）如图，CD是O的直径，弦ABCD于点E，DAB30°，AB43（1）求CD的长；（2）求阴影部分的面积【分析】（1）根据垂径定理和题意，可以求得AD和DE的长，再根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形即可得到OD的长，从而可以求得CD的长；（2）根据图形可知OBE和OAE全等，阴影部分的面积等于扇形AOD的面积，本题得以解决【解答】解：（1）连接OA，CD是O的直径，弦ABCD于点E，DAB30°，AB43，AE23，AED90°，ED2，AD4，ODA60°，OAOD，OAD是等边三角形，ODAD4，CD2OD8；（2）CD是O的直径，弦ABCD于点E，DAB30°，AB43，OAOB，AEBE，OEOE，OEAOEB，阴影部分的面积是：60××42360=8312（2022秋松滋市期末）如图，AB是O的直径，弦DE垂直平分半径OA，C为垂足，弦DF与半径OB相交于点P，连接EO、FO，若DE43，DPA45°（1）求O的半径（2）若图中扇形OEF围成一个圆锥侧面，试求这个圆锥的底面圆的半径【分析】（1）利用垂径定理得到CEDC=12DE23，OC=12OE，则OEC30°，然后利用含30度的直角三角形三边的关系求出OE即可；（2）利用圆周角定理得到EOF2D90°，设这个圆锥的底面圆的半径为r，利用弧长公式得到2r=904180，然后解关于r的方程即可【解答】解：（1）弦DE垂直平分半径OA，CEDC=12DE23，OC=12OE，OEC30°，OC=CE3=2，OE2OC4，即O的半径为4；（2）DPA45°，D45°，EOF2D90°，设这个圆锥的底面圆的半径为r，2r=904180，解得r1，即这个圆锥的底面圆的半径为113（2022沈阳）如图，O是ABC的外接圆，AB是O的直径，D为O上一点，ODAC，垂足为E，连接BD（1）求证：BD平分ABC；（2）当ODB30°时，求证：BCOD【分析】（1）由ODACOD为半径，根据垂径定理，即可得CD=AD，又由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可证得BD平分ABC；（2）首先由OBOD，易求得AOD的度数，又由ODAC于E，可求得A的度数，然后由AB是O的直径，根据圆周角定理，可得ACB90°，继而可证得BCOD【解答】证明：（1）ODAC OD为半径，CD=AD，CBDABD，BD平分ABC；（2）OBOD，OBD0DB30°，AODOBD+ODB30°+30°60°，又ODAC于E，OEA90°，A180°OEAAOD180°90°60°30°，又AB为O的直径，ACB90°，在RtACB中，BC=12AB，OD=12AB，BCOD14（2022本溪）如图，ABC中，ABAC，点E是线段BC延长线上一点，EDAB，垂足为D，ED交线段AC于点F，点O在线段EF上，O经过C、E两点，交ED于点G（1）求证：AC是O的切线；（2）若E30°，AD1，BD5，求O的半径【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到BACB，OCEE，推出ACO90°，根据切线的判定定理即可得到结论；（2）根据已知条件得到CFO30°，解直角三角形得到DF=3AD=3，EF3OE43，即可得到结论【解答】（1）证明：连接CO，如图：ABAC，BACB，OCOE，OCEE，DEAB，BDE90°，B+E90°，ACB+OCE90°，ACO90°，ACOC，AC是O的切线；（2）解：E30°，OCE30°，FCE120°，CFO30°，AFDCFO30°，DF=3AD=3，BD5，DE53，OF2OC，EF3OE43，OE=433，即O的半径=43315（2022崇左）如图，正方形ABCD的边长为1，其中弧DE、弧EF、弧FG的圆心依次为点A、B、C（1）求点D沿三条弧运动到点G所经过的路线长；（2）判断直线GB与DF的位置关系，并说明理由【分析】（1）根据弧长的计算公式，代入运算即可（2）先证明FCDGCB，得出GF，从而利用等量代换可得出GHD90°，即GBDF【解答】解：（1）根据弧长公式得所求路线长为：90×1180+90×2180+90×3180=3（2）GBDF理由如下：在FCD和GCB中，CF=CGFCD=GCBCD=CB，FCDGCB（SAS），GF，F+FDC90°，G+FDC90°，GHD90°，GBDF16（2022凉山州二模）如图，AB是半圆的直径，C、D是半圆上的两点，且BAC20°，AD=CD，求：BCD的度数【分析】连接BC，如图，根据圆周角定理得ACB90°，则利用互余可计算出B70°，再根据圆内接四边形的性质计算出D180°B110°，接着根据圆周角定理和三角形内角和定理，由弧AD弧CD得到DACDCA35°，然后得到DCBDCA+ACB125°【解答】解：AB是半