数学：312《用二分法求方程的近似解3》课件新人教A版必修.pptx

数学312用二分法求方程的近似解3新人教A版必修目录CONTENTS二分法的基本概念二分法的计算过程二分法的误差分析二分法的实际应用练习与思考01CHAPTER二分法的基本概念0102二分法的定义它是一种迭代算法，每次迭代将搜索区间缩小一半，直到达到所需的近似精度。二分法，也称为二分搜索或二分逼近法，是一种通过不断将搜索区间一分为二来逼近目标值的方法。二分法的原理二分法基于函数的单调性原理，即函数在其定义域内某区间内单调增加或单调减少。在每次迭代中，通过比较目标值与区间中点的函数值，确定目标值所在的子区间，从而缩小搜索区间。二分法广泛应用于求解方程的近似根，特别是那些难以直接求解的方程。它也可以用于求解函数的零点、极值点或最优解等问题，只要函数在所关心的区间内单调或有明显的拐点。二分法的应用场景02CHAPTER二分法的计算过程选择一个初始区间，其端点为方程的根的可能取值范围。根据实际情况和精度要求，确定初始区间的长度。确定初始区间确定初始区间的长度确定初始区间的端点计算初始区间的中点中点是区间两个端点的平均值。计算中点处的函数值将中点代入方程，求出对应的函数值。计算中点比较中点处的函数值与零的大小关系如果函数值为零，则中点即为方程的根；如果函数值异号，则说明根在初始区间的某一侧。确定新的区间根据函数值的正负情况，将初始区间缩小为较小的区间。判断中点处的函数值在新的区间上重复上述步骤，不断缩小区间长度，直到满足精度要求。重复计算当区间长度小于预设的精度要求时，认为找到了方程的近似解。判断是否达到精度要求重复计算03CHAPTER二分法的误差分析 误差的来源初始近似值的选取初始近似值的选择对二分法的收敛速度和最终结果精度有重要影响。如果初始近似值选择不当，可能导致算法收敛速度变慢或无法收敛。迭代过程中的舍入误差在每次迭代过程中，需要对函数值进行近似计算，这可能导致舍入误差的积累，影响最终结果的精度。分段线性逼近的误差二分法通过分段线性逼近来逼近函数，每一段都是线性函数，这可能导致在函数值变化剧烈的地方产生较大的误差。表示实际值与近似值之间的差值，衡量了结果的精度。绝对误差表示绝对误差与实际值的比值，衡量了结果的相对精度。相对误差由于计算机的浮点数表示方式，存在一定的精度限制，称为机器精度。机器精度决定了舍入误差的上限。机器精度误差的表示方法使用高精度的计算方法在迭代过程中，可以使用更高精度的计算方法来减小舍入误差的积累，例如使用多项式逼近代替分段线性逼近。增加迭代次数增加迭代次数可以减小舍入误差的积累，但同时也会增加计算时间。因此需要在精度和计算时间之间进行权衡。选择合适的初始近似值选择一个接近真实解的初始近似值，可以加快算法的收敛速度，并提高最终结果的精度。减小误差的策略04CHAPTER二分法的实际应用二分法常用于求解实数方程的根，通过不断将区间缩小，逼近方程的解。求解实根求解非线性方程多重根求解对于非线性方程，二分法同样适用，通过迭代过程找到满足方程的近似解。对于具有多重根的方程，二分法可以用来找到所有根所在的区间，然后进一步细化求解。030201在求解方程中的应用二分法可以用于求解某些函数的最大值或最小值，通过迭代过程找到满足最优解的区间。函数优化在组合优化问题中，二分法可以用来解决一些具有二分特征的问题，如背包问题、图着色问题等。组合优化对于一些整数规划问题，二分法可以用来找到满足条件的整数解的区间，然后进一步细化求解。整数规划在优化问题中的应用风险管理通过二分法，金融机构可以对风险进行量化和管理，确定风险控制区间。金融计算在金融领域中，二分法可以用于计算一些复杂的金融衍生品的价格，如期权、期货等。投资组合优化利用二分法，投资者可以找到最优的投资组合方案，实现风险和收益的平衡。在金融领域中的应用05CHAPTER练习与思考用二分法求方程$x2-=0$在区间$1,2$内的近似解。基础练习题1用二分法求方程$x3-x-=0$在区间$0,1$内的近似解。基础练习题2用二分法求方程$ex-x-=0$在区间$0,1$内的近似解。基础练习题3基础练习题进阶练习题1用二分法求方程$lnx-x+1=0$在区间$(0,1)$内的近似解。进阶练习题2用二分法求方程$sinx-x=0$在区间$(0,pi)$内的近似解。进阶练习题3用二分法求方程$cosx-x+1=0$在区间$(0,pi)$内的近似解。进阶练习题123如何根据函数的变化情况判断二分法求解的收敛速度？思考题1对于一些特殊的方程，如$f(x)=xn$，如何利用二分法求解？思考题2如何将二分法与其他数值方法结合使用，以提高求解效率？思考题3思考题THANKS感谢您的观看。