江苏扬州中学2024年高二下学期4月期中考试数学试题含答案.pdf
试卷第 1 页，共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 江苏省扬州中学江苏省扬州中学 2023-2024 学年第学年第二二学期期中试题学期期中试题 高二高二数学数学 2024.04 试卷满分试卷满分:150150 分，考试时间：分，考试时间：120120 分钟分钟 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.在空间四边形OABC中，化简OAABCB+=（）AOA BOB COC DAC 2.()nab+展开式中，只有第 9 项的二项式系数最大，则 n 的值为（）A14 B15 C16 D17 3.某中学为了贯彻学习“两会”精神，举办“学两会，知国事”知识竞赛高二学生代表队由 A，B，C，D，E 共 5 名成员组成，现从这 5 名成员中随机抽选 3 名参加学校决赛，则在学生 A 被抽到的条件下，学生 B 也被抽到的概率为（）A 13 B 12 C 23 D 34 4.在正方体1111ABCDABC D中，E为 BD的中点，则直线1B E与1AD所成角为（）A30 B60 C120 D150 5.将 5 名志愿者分配到 3 个不同的社区协助开展活动，每个社区至少分配 1 名志愿者，并且每位志愿者都参与该活动，则不同的分配方法数为（）A150 B180 C240 D300 6.某电视台计划在春节期间某段时间连续播放 6 个广告，其中 3 个不同的商业广告和 3 个不同的公益广告，要求第一个和最后一个播放的必须是公益广告，且商业广告不能 3 个连续播放，则不同的播放方式有（）A144 种 B72 种 C36 种 D24 种 7.定义：两个正整数a，b，若它们除以正整数m所得的余数相等，则称a，b对于模m同余，记作()modabm，比如：()3525 mod10已知：01223310101010101010CC 10C 10C 10C 10n=+，满足()mod7np，则 p可以是（）A26 B31 C32 D37 8.若函数()xxf xab=+(0,01,1)abab且，在()0,+上单调递增，则a和b的可能取值为（）试卷第 2 页，共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 Aln1.2 5ab=，Bln15 0.2ab=，C0.28 e1.ab=，D0.28 e0.ab=，二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。9.下列有关排列数、组合数的等式中，其中*,nmmnNN，正确的是（）ACCmn mnn=B()()111!A!mnnmn=(2)m C11AAAmmmnnnm+=+（2m）D333334510CCCC330+=10.下列关于空间向量的命题中，正确的有（）A若0a b，则,a b的夹角是锐角 B若OA，OB，OC是空间的一组基底，且111333ODOAOBOC=+，则 A，B，C，D四点共面 C若直线l的方向向量与平面的法向量的夹角等于130，则直线l与平面所成的 角等于50 D若向量pmxnykz=+，（x，y，z都是不共线的非零向量）则称p 在基底,x y z 下的坐标为(),m n k，若p 在单位正交基底,a b c 下的坐标为()1,2,3，则p 在基底,ab ab c+下的坐标为1 3,32 2 11.如图，在边长为 1 的正方体1111ABCDABC D中，E是11C D的中点，M是线段1AE上的一点，则下列说法正确的是（）A当M点与1A点重合时，直线1AC 平面ACM B当点M移动时，点D到平面ACM的距离为定值 C 当M点与E点重合时，平面ACM与平面11CC D D夹 角的正弦值为53 D当M点为线段1AE中点时，平面ACM截正方体 1111ABCDABC D所得截面面积为7 3332 试卷第 3 页，共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。12.若已知567117CC10Cmmm=，则7Cm的值为 （用数字作答）13.如图所示线路图，机器人从 A 地经 B 地走到 C地，最近的走法共有 种（用数字作答）14.在正三棱锥PABC中，22ABPA=，且该三棱锥的各个顶点均在以 O 为球心的球面上，设点 O到平面 PAB 的距离为 m，到平面ABC的距离为 n，则nm=四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.（13 分）已知空间三点()0,2,3A、()2,1,6B、()1,1,5C.(1)若向量m与AB 平行，且14m=，求m的坐标；(2)求以CB、CA为邻边的平行四边形的面积 16.（15 分）(1)二项式315nxx展开式中所有二项式系数和为 64，求其二项展开式中2x的系数；(2)已知()32601261(21)xxaa xa xa x+=+，求246aaa+的值 17.（15 分）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为福清人喜爱的交通工具.据预测，福清某新能源汽车 4S 店从 2023 年 1 月份起的前 x 个月，顾客对比亚迪汽车的总需量()R x（单位：辆）与 x 的关系会近似地满足()1(1)(392)2R xx xx=+（其中Nx且6x），该款汽车第 x月的进货单价()W x（单位：元）与 x的近似关系是()1500002000W xx=+.(1)由前 x 个月的总需量()R x，求出第 x月的需求量()g x（单位：辆）与 x的函数关系式；(2)该款汽车每辆的售价为 185000 元，若不计其他费用，则这个汽车 4S 店在 2023 年的第几个月的月利润()f x最大，最大月利润为多少元？试卷第 4 页，共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 18.（17 分）如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，BFDE=，BFDE，M 是AE的中点(1)求证：平面BDM 平面CEF；(2)若DE 平面ABCD，2AB=，BMCF，点 P 为线段CE上一点，求直线PM与平面AEF所成角的正弦值的最大值 19.（17 分）意大利画家达芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么?这就是著名的“悬链线问题”，通过适当建立坐标系，悬链线可为双曲余弦函数()eech2xxx+=的图象，定义双曲正弦函数()eesh2xxx=，类比三角函数的性质可得双曲正弦函数和双曲余弦函数有如下性质平方关系：()()22chsh1xx=，倍元关系：()()()sh 22shchxxx=(1)求曲线()ch x在2x=处的切线斜率；(2)（i）证明：当0 x 时，()sh xx；（ii）证明：()()()*22shshsh 2sh 1432N111tan121tantantan23nnnnnn+江苏省扬州中学江苏省扬州中学 2023-2024 学年第学年第二二学期期中试题学期期中试题答案答案 高二数学高二数学 一、单项选择题：一、单项选择题：1C 2C 3B 4A 5A 6B 7D 8C 试卷第 5 页，共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 二、二、多项选择题：多项选择题：9ACD 10BD 11ACD 三、填空题：三、填空题：1321 1420 1533 四四、解答题：解答题：15（1）解：由已知可得()2,1,3AB=，因为向量m与AB 平行，设mAB=，其中R，则4 1 91414mAB=+=，解得1=.所以，()2,1,3mAB=或()2,1,3mAB=.（2）解：71cos21414CA CBCCA CB=，因为0C，则3C=，所以，以CB、CA为邻边的平行四边形的面积()23sin147 32CA CBC=.16（1）由题意得264n=，解得6n=，6315xx的展开式通项公式为()()()1466633166C51C15rrrrrrrrrTxxx+=，令4623r=，解得3r=，故()3332246C1 52500Txx=，故其二项展开式中2x的系数为2500（2）()32601261(21)xxaa xa xa x+=+中，令0 x=得，01a=，令1x=得01260aaaa+=，令=1x得()()02635142aaaaaaa+=+，+得，()024622aaaa+=，解得02461aaaa+=+，故260412aaaa+=17（1）当1x=时，()(1)371gR=，试卷第 6 页，共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 当26x，且Nx时，()211()(1)(1)(392)(1)(41 2)34022g xR xR xx xxxxxxx=+=+，当1x=时，符合上式，故()2340g xxx=+，（Nx且16x）.（2）依题意，这个汽车 4S 店在 2023 年的第x个月的月利润()2185000(1500002000)(340)f xxxx=+3260001850001400000 xxx=+（Nx且16x），()2180003700001400000fxxx=+，令()0fx=，得：5x=或1409x=（舍去），当1,5x时，0fx，()f x单调递增，当5,6x时，()0fx所以()F x在()0,+上单调递增，所以()()()()sh0sh 000F xxxF=所以当0 x 时，()sh xx成立；（ii）下面证明：当0 x 时，21cos12xx 成立，令()21cos12H xxx=+，则()sinHxxx=+令()sing xxx=，则()1 cos0gxx=，因此()g x在()0,+上单调递增；所以()()sin00g xxxg=所以()sin0Hxxx=+所以()H x在()0,+上单调递增，所以()21cos102H xxx=+所以当0 x 时，21cos12xx 成立 令1,1xnn=且*Nn，可得211cos12nn，即222112211cos111124412121nnnnnn=+，由题意()()()sh 22shchxxx=，令1,1xnn=且*Nn，可得211sh2shchnnn=，因为()eech12xxx+=所以2111sh2shch2shnnnn=，由当0 x 时，()sh xx，所以令1,1xnn=且*Nn，可得11shnn 所以21112sh2shch2shnnnnn=，由前面解答过程得，对任意0,sinxxx成立，令1,1xnn=且*Nn，可得11sinnn，所以21112111sh2shch2sh2sin2costannnnnnnnn=，试卷第 9 页，共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 又1n 且*Nn，所以101n+所以可得()222shshshsh 211111232 1111111tan13352121tantantan23nnnn+242222121nnnnn=+=+，即可得()()*222shshshsh 24232,N111tan121tantantan23nnnnnn+.
