黑龙江省大庆市2024届高三下学期4月第三次教学质量检测试题 数学含解析.pdf
大庆市大庆市 2024 届高三年级第三次教学质量检测届高三年级第三次教学质量检测数数 学学2024.04注意事项：注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名答题前，考生先将自己的姓名班级班级考场号考场号/座位号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名座位号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上.2.选择题答案使用选择题答案使用 2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案的标号；非选择题答案使用铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案的标号；非选择题答案使用 0.5 毫米黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚毫米黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚.3.请按照题号在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效请按照题号在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效.4.保持卷面及答题卡清洁，不折叠，不破损，不准使用涂改液修正带刮纸刀保持卷面及答题卡清洁，不折叠，不破损，不准使用涂改液修正带刮纸刀.一选择题：本题共一选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合1,2,3,4,5,6,1,3,4,4,5UAB=，则UAB=（）A.3 B.1,3 C.3,4 D.1,3,42.在复平面内，复数z对应的点的坐标是2,3，则i z=（）A.23i+B.23i-C.32i+D.32i-+3.已知等差数列 na的前n项和为nS，若252,5aS=-=-，则12S=（）A.30 B.32 C.36 D.404.小明希望自己的高考数学成绩能超过 120 分，为了激励自己，他记录了近 8 次数学考试成绩，并绘制成折线统计图，如图，这 8 次成绩的第 80 百分位数是（）A.100 B.105 C.110 D.1205.已知函数 32,01,0 xxf xxx=+，若 26f afa的左右焦点分别为12,0,F F Bb，若经过1F的弦AB满足2ABAF=，则椭圆C的离心率是（）A.33 B.34 C.63 D.64二多选题：本题共二多选题：本题共 3 小题，每小题小题，每小题 6 分，共分，共 18 分分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分分.9.已知点1,2P是双曲线22:31Cxy-=上一点，过P向双曲线的两条渐近线作垂线，垂足分别为,A B，则下列说法正确的是（）A.双曲线的浙近线方程为3yx=B.双曲线的焦点到渐近线的距离为 1C.13PAPB=D.PABV的面积为31610.设正方体1111ABCDABC D-的棱长为2,P为线段1AD上的一个动点，则下列说法正确的是（）A.BPADB.BP平面11CB DC.设BP与CD所成的角为a，则a的最大值为4D.当棱锥11APAB-体积最大时，该三棱锥外接球的表面积为1211.如图，函数 sin(0)f xxwjw=+的图象与直线12y=相交，,A B C是相邻的三个交点，红3BCAB-=，则下列说法正确的是（）A.2w=B.若 2,2333g xf xfxj=-=+的最大值为 ga，则21cos27a=C.若2j.在函数 f x图象上横坐标为1x的点处作 f x的切线，切线与x轴交点的横坐标为2x；用2x代替1x重复上面的过程得到3x：一直继续下去，得到12,nx xx，其中nxc.若1ln,1nnnxbaaxc-=-，则 na前 6 项的和是_.四解答题：本题共四解答题：本题共 5 小题，共小题，共 77 分分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.15.（本小题满分 13 分）已知,a bR，函数 224lnf xaxxxb=-+，且 14f=-.（1）求 f x的单调区间；（2）若 0f x 恒成立，求b的取值范围.16.（本小题满分 15 分）面试是求职者进入职场的一个重要关口，也是机构招聘员工的重要环节.某科技企业招聘员工，首先要进行笔试，笔试达标者才能进入面试.面试环节要求应聘者回答 3 个问题，第一题考查对公司的了解，答对得 1分，答错不得分；第二题和第三题均考查专业知识，每道题答对得 2 分，答错不得分.（1）根据近几年的数据统计，应聘者的笔试得分X服从正态分布60,100N，要求满足70X 为达标.现有 1000 人参加应聘，求进入面试环节的人数.（结果四舍五入保留整数）（2）某进入面试的应聘者第一题答对的概率为23，后两题答对的概率均为45，每道题是否答对互不影响，求该应聘者的面试成绩Y的分布列与数学期望.附：若2,(0)XNm ss，则()0.683PXmsms-+，(22)0.955,(33)0.997PXPXmsmsmsms-+-+17.（本小题满分 15 分）如图，在四棱锥PABCD-中，AD,90,24,2BCBADADBCAB=o，2 2,45PAPAO=o，且O是AD的中点.（1）求证：平面POC 平面ABC；（2）若二面角PADB-的大小为120o，求直线PB与平面PAD所成角的余弦值.18.（本小题满分 17 分）已知平面内一动圆过点1,0P，且在y轴上截得弦长为 2，动圆圆心的轨迹为曲线E.（1）求曲线E的方程；（2）设点T是圆22:(2)3Cxy+=上的动点，曲线E上有四个点,A B M N，其中M是TA的中点，N是TB的中点，记AB的中点为D.求直线TD的斜率：求TABV面积的最大值.19.（本小题满分 17 分）法国数学家费马在给意大利数学家托里拆利的一封信中提到“费马点”，即平面内到三角形三个顶点距离之和最小的点，托里拆利确定费马点的方法如下：当ABCV的三个内角均小于120o时，满足120AOBBOCCOA=o的点O为费马点；当ABCV有一个内角大于或等于120o时，最大内角的顶点为费马点.请用以上知识解决下面的问题：已知ABCV的内角,A B C所对的边分别为,a b c，点M为ABCV的费马点，且cos2cos2cos21ABC+-=.（1）求C；（2）若4c=，求MAMBMBMCMCMA+的最大值；（3）若MAMBt MC+=，求实数t的最小值.大庆市高三年级第三次教学质量检测大庆市高三年级第三次教学质量检测数学答案及评分标准数学答案及评分标准一单项选择题：本大题共一单项选择题：本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.题号12345678答案BDACDBDA1.B 【解析】因为U1,2,3,6B=，所以U1,3AB=.故选：B.2.D 【解析】因为复数z对应的点的坐标是2,3，所以23iz=+，所以ii23i32iz=+=-+.故选：D.3.A 【解析】设等差数列 na的公差为d，由2525aS=-=-，得1125105adad+=-+=-，解得131ad=-=，所以1212 111231302S=-+=.故选：A.4.C 【解析】因为8 80%6.4=，由图可知 8 次成绩由小到大排序，第 7 个位置的数是 110，所以这 8 次成绩的第 80百分位数是 110.故选：C.5.D 【解析】函数 f x的图象如下，由图可知 f x在R上单调递增.因为 26f afa-，所以26aa-，解得32a-.故选：D.6.B 【解析】由已知 236 636,363 3324,6nn Bn ABA=-=则61244P A B=.故选：B.7.D 【解析】已知函数 ln2f xxkx=-有 2 个零点，所以方程ln2xkx=+有两个根，即函数lnyx=与2ykx=+的图象有两个公共点.（1）当01x时，1lnln,f xxx fxx=.若直线2ykx=+与曲线 lnf xx=相切，设切点坐标为22,lnQ xx，则曲线在点Q处的切线方程为2221lnyxxxx-=-.又因为切线过点0,2，所以22212ln0 xxx-=-，解得32xe=，即31ke=.综上，结合函数lnyx=与函数2ykx=+的图象及增长速度可知，当两个函数的图象有两公共点时31,0kee-.故选：D.8.A 【解析】法一：由题可知12BFBFa=，所以12122AFAFaAFaAF+=+=，解得12232aAFaAF=.由1212coscos0AFFBFF+=得2222223(2)(2)22022222aacacaaacc+-+-+=，整理得223ac=，所以33cea=.故选：A.法二：由题可知12BFBFa=，由已知得12122AFAFaAFaAF+=+=，解得12232aAFaAF=.记2BF中点为E，因为2ABAF=，所以2AEBF.在12FBFV和AEBV中，由12coscosFBFABE=得22224123232aaacaa+-=，解得2213ca=，所以33cea=.故选：A.二多项选择题：本大题共二多项选择题：本大题共 3 小题，每小题小题，每小题 6 分，共分，共 18 分分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分分.9.ABD 【解析】题号91011答案ABDBCDAD因为双曲线的方程为22:31Cxy-=，所以3,13ab=，所以双曲线的渐近线方程为3byxxa=.故 A 正确.双曲线的右焦点2 3,03到渐近线3yx=的距离为212d=.故 B 正确.由点到直线的距离公式可得32321224PAPB-+=.故C错误.如图，因为3OAK=，所以60AOx=o.在PADV和OBDV中，90PADOBD=o，PDAODB=，所以60APDBOD=o，所以11133sin60224216PABSPAPB=oV，故 D 正确.故选：ABD.10.BCD 【解析】如图（1），当点P与D重合时，BP与AD所成的角是45o.故A错误.如图（2），易证平面11D BC平面1ADB，所以BP平面11CB D.故 B 正确.如图（3），因为ABCD，所以BP与CD所成的角为PBA.因为AB 平面11A ADD，所以ABAP，所以tanPAPBAAB=，当点P与1A（或D重合时tanPBA最大，此时PBA最大，易得4PBA=.故 C 正确.如图（3），因为111APABP AABVV-=，所以当点P与D重合时三棱锥11APAB-体积最大，此时三棱锥的外接球即为正方体的外接球.设外接球半径为R，则2222(2)222R=+，所以23R=，所以该三棱锥外接球的表面积为12.故 D 正确.故选：BCD.11.AD 【解析】设1211,22A xB x，则121sin21sin2xxwjwj+=+=，所以122 6,52 6xkkZxkwjwj+=+=+，所以2123xxw-=，所以2121 21333ABxxTww=-=.因为ACT=，所以2113333BCABTTT-=-=，所以2Tw=，所以2w=.故 A 正确.当23j=-时，22232sin 23sin 23333g xf xfxxx=+=-+-2 7212sin23cos27sin2cos27sin 277xxxxxq=-=-=-，（其中2 721cos,sin77qq=）.因为xa=时 g x有最大值，所以22,2kkZaq-=+，所以21cos2cos2 cossin227kaqqq=+=+=-=-.故 B 错误.法一：当32 22,22kxkkZj+时，sin 2yxj=+是单调递减函数，所以sin 2yxj=+的减区间为3,4242kkkZjj-+-+.因为函数 f x在 7,3 12上单调递减，所以423,374212kkZkjj-+-+，得2 2,63kkkZj-+.因为2j，所以63j-.故C 错误.法二：因为7312x，所以27236xjjj+.又因为22j-，所以25 275,636363jj+.因为函数 f x在 7,3 12上单调递减，所以2327362jj+，解得63j-.故 C 错误.因为06f-=，所以 f x的一条对称轴方程是6412Tx=-+=，所以12q=时，g xf xq=+是偶函数.故 D 正确.故选：AD.三填空题：本大题共三填空题：本大题共 3 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 15 分分.（13 小题第小题第 1 问问 2 分，第分，第 2 问问 3 分）分）12.24；13.1-；714 14.63.12.【解析】在4312xx+的展开式中，431412 414422rrrrrrrTCxxCx-+=.令1244r-=得2r=，所以含4x项的系数是224224C=.13.【解析】法一：在ABCV中，由余弦定理得2|142 1 2 cos603BC=+-=o，所以3BC=.因为222|ACABBC=+，所以90ABC=o，建立平面直角坐标系，如图，则3 130,0,0,1,3,0,0222BACNM，所以3 131,3,112222BN CA=-=-+=-uuur uuu r，所以33 1,1,2227coscos,143311444AM BNMPNAM BNAMBN-=+uuuu r uuuruuuu r uuuruuuu ruuur.法二：211122BN CABAANACABACACAB ACAC=+-=-+-=-=-uuur uuu ruuu ruuuruuuruuu ruuuruuuruuu r uuuruuur.因为11,22AMABACBNABAC=+=-+uuuu ruuu ruuuruuuruuu ruuur，所以11722cos111422ABACABACAM BNMPNAMBNABACABAC+-+=+-+uuu ruuuruuu ruuuruuuu r uuuruuuu ruuuruuu ruuuruuu ruuur14.【解析】不妨设 f xa xbxc=-，则 2fxaxbc=-，所以2nnfxaxbc=-.所以在nxx=处的切线方程为：2nnnyf xaxbcxx-=-.令0y=，则2212222nnnnnnnnna xxbcf xaxabcxbcxaxbcaxbcxbc+-=-.因为22221222212222nnnnnnnnnnnnxbcbxbcxbxbxbxbxcxbccxbcxcxcxc+-+=-+-，所以11ln2lnnnnnxbxbxcxc+-=-，即12nnaa+=，所以 na是首项为 1，公比为 2 的等比数列，前 6 项和为61 2631 2-=-.故 na的前 6项和是61 2631 2-=-.三解答题三解答题15.（本小题满分 13 分）解：（1）f x的定义域为0,+，由已知得 422fxaxx=-，因为 14f=-，所以2244a-=-，解得1a=.令 24224220 xxfxxxx-=-=，解得11x=-（舍），22x=.当0,2x时，0fx.所以 f x的单调递减区间为0,2，单调递增区间为2,+.（2）因为 f x在0,2上单调递减，在2,+上单调递增，所以当2x=时，f x有极小值 2444ln24ln2fbb=-+=-.因为 f x在0,+上只有一个极值，所以min()4ln2f xb=-.因为 0f x 恒成立，所以min()0f x，即4ln20b-，得4ln2b.所以b的取值范围是4ln2,+.16.（本小题满分 15 分）解：（1）因为X服从正态分布60,100N，所以60,10ms=.因为70ms=+，所以1 0.683700.15852P X-=，所以1000 0.1585158.5159=.因此，进入面试的人数约为 159.（2）由题意可知，Y的可能取值为0,1,2,3,4,5则22410113575P Y=-=；224211;3575P Y=-=12244821135575P YC=-=；122441631;35575P YC=-=2241641;3575P Y=-=2243253575P Y=.所以Y的分布列为：Y012345P175275875167516753275所以 128161632290580123457575757575757515E Y=+=.17.（本小题满分 15 分）解：（1）因为2 2,2,45PAOAPAO=o，由余弦定理得2222cos4POAOAPAO APPAO=+-=，所以2PO=.因为222PAPOAO=+，所以90POA=o，所以ADPO.因为BC,AO BCAO=，所以四边形ABCO为平行四边形，所以2OCAB=.因为90BAO=o，所以90AOC=o，即ADOC.因为,POCOO PO CO=平面POC，所以AD平面POC.因为AD平面ABC，所以平面POC 平面ABC.（2）在平面POC内，过点O作OEOC，交PC于E.因为平面POC 平面ABC，平面POC 平面ABCOC=，所以OE 平面ABC.以O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则2,0,0,2,0,0,2,2,0ADB-.由（1）可知POC为二面角PADB-的平面角，即120POC=o，所以30POE=o，由2PO=，可得0,1,3P-.所以2,3,3,4,0,0,2,1,3PBDAPA=-=-uuu ruuu ruuu r.设平面PAD的一个法向量为,mx y z=r，则00m ADm PA=uuurruuu rr，即03xyz=，令3z=，则3y=，所以平面PAD的一个法向量为0,3,3m=r.设直线PB与平面PCD所成角为q，则3sincos,4m PBm PBmPBq=uuu rruuu rruuu rr所以直线PB与平面PCD所成角的余弦值为134.18.（本小题满分 17 分）解：（1）设动圆圆心,x y，当0 x 时，由已知得222|1(1)xxy+=-+，即22yx=；当0 x=时，点C的轨迹为点0,0，满足22yx=.综上可知，点C的轨迹方程为22yx=.（2）设001122,T xyA x yB xy.由题意得，TA的中点0101,22xxyyM+在抛物线E上，即20101222yyxx+=.又2112yx=，将2112yx=代入得2210100240yy yxy-+-=，同理可得2220200240yy yxy-+-=，可知12,y y为方程22000240yy yxy-+-=的两根，所以1202Dyyyy+=.所以直线TD的斜率为 0.（3）由222212120012122342442yyy yyxxxyy+-+=得200034,2yxDy-，所以2200000343222yxTDxyx-=-=-，又因为2212121200482yyyyy yyx-=+-=-，所以32120013 2222STD yyyx=-=-.又因为点T在圆上，则220023xy+=，且02323x-+.设TABV的面积为S，则33220003 23 2613822Sxxx=-=-+，当03x=-时，S有最大值 48.所以TABV面积的最大值为 48.19.（本小题满分 17 分）解：（1）因为cos2cos2cos21ABC+-=，所以2221 2sin1 2sin12sin1ABC-+-+=，即222sinsinsinABC+=，由正弦定理得：222abc+=.所以90C=o.（2）由（1）知90C=o，所以ABCV的三个角都小于120o，因为点M为ABCV的费马点，所以120AMBBMCCMA=o.由ABCAMBBMCCMASSSS=+VVVV得：1111sin120sin120sin1202222abMAMBMBMCMCMA=+ooo，整理得2 33MAMBMBMCMCMAab+=.又因为222162cabab=+=，所以8ab，当且仅当ab=时等号成立.所以2 316 333MAMBMBMCMCMAab+=，所以MAMBMBMCMCMA+的最大值为16 33.（3）由（2）知120AMBBMCCMA=o.设,(0,0,0)MCx MAmx MBnx xmn=，由MAMBt MC+=得mnt+=.由余弦定理得：2222222|2cos1201;ACxm xmxmmx=+-=+o2222222|2cos1201;BCxn xnxnnx=+-=+o222222222|2cos120;ABm xn xmnxmnmn x=+-=+o因为222|ACBCAB+=，所以222222211mmxnnxmnmn x+=+，整理得2mnmn+=.因为222mnmnmn+=，当且仅当mn=时等号成立.所以222tt+，整理得2480tt-，解得22 3t+或者22 3t-（舍去）.所以实数t的最小值为22 3+.
