2023-2024学年九年级数学下册常考点微专题提分精练（苏科版）专题26 解直角三角形的实际应用三年中考真题（解析版）.docx

专题26 解直角三角形的实际应用三年中考真题1（2022·江苏南通·中考真题）如图，B为地面上一点，测得B到树底部C的距离为，在B处放置高的测角仪，测得树顶A的仰角为，则树高为_m（结果保留根号）【答案】#【分析】在中，利用，求出，再加上1m即为AC的长【详解】解：过点D作交于点E，如图：则四边形BCED是矩形，BC=DE，BD=CE，由题意可知：，在中，故答案为：【点睛】本题考查了解直角三角形，解直角三角形的应用仰角俯角问题，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形二、解答题2（2022·江苏淮安·中考真题）如图，湖边、两点由两段笔直的观景栈道和相连.为了计算、两点之间的距离，经测量得：，米，求、两点之间的距离（参考数据：，）【答案】、两点之间的距离约为94米【分析】过点作，垂足为点，分别解，求得的长，进而根据即可求解【详解】如图，过点作，垂足为点，在中，米，（米），（米），在中，米，（米），（米）.答：、两点之间的距离约为94米.【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，构造直角三角形是解题的关键3（2022·江苏徐州·中考真题）如图，公园内有一个垂直于地面的立柱AB，其旁边有一个坡面，坡角在阳光下，小明观察到在地面上的影长为，在坡面上的影长为同一时刻，小明测得直立于地面长60cm的木杆的影长为90cm（其影子完全落在地面上）求立柱AB的高度【答案】(170+60)cm【分析】延长AD交BN于点E，过点D作DFBN于点F，根据直角三角形的性质求出DF，根据余弦的定义求出CF，根据题意求出EF，再根据题意列出比例式，计算即可【详解】解：延长AD交BN于点E，过点D作DFBN于点F，在RtCDF中，CFD=90°，DCF=30°，则DF=CD=90（cm），CF=CDcosDCF=180×=90（cm），由题意得：=，即=，解得：EF=135，BE=BC+CF+EF=120+90+135=(255+90)cm，则=，解得：AB=170+60，答：立柱AB的高度为(170+60)cm【点睛】此题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题、平行投影的应用，解题的关键是数形结合，正确作出辅助线，利用锐角三角函数和成比例线段计算4（2022·江苏镇江·中考真题）如图1是一张圆凳的造型，已知这张圆凳的上、下底面圆的直径都是，高为它被平行于上、下底面的平面所截得的横截面都是圆小明画出了它的主视图，是由上、下底面圆的直径、以及、组成的轴对称图形，直线为对称轴，点、分别是、的中点，如图2，他又画出了所在的扇形并度量出扇形的圆心角，发现并证明了点在上请你继续完成长的计算参考数据：，【答案】42cm【分析】连接，交于点设直线交于点，根据圆周角定理可得，解，得出，进而求得的长，即可求解【详解】解：连接，交于点设直线交于点是的中点，点在上，在中，直线是对称轴，在中，即，则，即，则该图形为轴对称图形，张圆凳的上、下底面圆的直径都是，,【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，解直角三角形的实际应用，构造直角三角形是解题的关键5（2022·江苏盐城·中考真题）2022年6月5日，“神舟十四号”载人航天飞船搭载“明星”机械臂成功发射如图是处于工作状态的某型号手臂机器人示意图，是垂直于工作台的移动基座，、为机械臂，m，m，m，机械臂端点到工作台的距离m(1)求、两点之间的距离；(2)求长（结果精确到0.1m，参考数据：，）【答案】(1)6.7m(2)4.5m【分析】（1）连接，过点作，交的延长线于，根据锐角三角函数定义和勾股定理即可解决问题（2）过点作，垂足为，根据锐角三角函数定义和勾股定理即可解决问题（1）解：如图2，连接，过点作，交的延长线于在中，所以，所以，在中，m，m，根据勾股定理得m，答：、两点之间的距离约6.7m（2）如图2，过点作，垂足为，则四边形为矩形，m，所以m，在中，m，m，根据勾股定理得mm答：的长为4.5m【点睛】求角的三角画数值或者求线段的长时，我们经常通过观察图形将所求的角成者线段转化到直角三角形中（如果没有直角三角形，设法构造直角三角形），再利用锐角三角画数求解6（2022·江苏泰州·中考真题）小强在物理课上学过平面镜成像知识后，在老师的带领下到某厂房做验证实验.如图，老师在该厂房顶部安装一平面镜MN，MN与墙面AB所成的角MNB=118°，厂房高AB= 8 m，房顶AM与水平地面平行，小强在点M的正下方C处从平面镜观察，能看到的水平地面上最远处D到他的距离CD是多少?（结果精确到0.1 m，参考数据：sin34°0.56， tan34°0.68，tan56°1.48）【答案】【分析】过M点作MEMN交CD于E点，证明四边形ABCM为矩形得到CM=AB=8，NMC=180°-BNM=62°，利用物理学入射光线与反射光线之间的关系得到EMD=EMC，且CME=90°-CMN=28°，进而求出CMD=56°，最后在RtCMD中由tanCMD即可求解【详解】解：过M点作MEMN交CD于E点，如下图所示：C点在M点正下方，CMCD，即MCD=90°，房顶AM与水平地面平行，AB为墙面，四边形AMCB为矩形，MC=AB=8m，ABCM，NMC=180°-BNM=180°-118°=62°，地面上的点D经过平面镜MN反射后落在点C，结合物理学知识可知：NME=90°，EMD=EMC=90°-NMC=90°-62°=28°，CMD=56°，在RtCMD中，代入数据：，即水平地面上最远处D到小强的距离CD是【点睛】本题借助平面镜入射光线与反射光线相关的物理学知识考查了解直角三角形，解题的关键是读懂题意，利用数形结合的思想解答7（2022·江苏宿迁·中考真题）如图，某学习小组在教学楼的顶部观测信号塔底部的俯角为30°，信号塔顶部的仰角为45°已知教学楼的高度为20m，求信号塔的高度（计算结果保冒根号）【答案】（2020）m【分析】过点A作AECD于点E，则四边形ABDE是矩形，DEAB20m，在RtADE中，求出AE的长，在RtACE中，AEC90°，求出CE的长，即可得到CD的长，得到信号塔的高度【详解】解：过点A作AECD于点E，由题意可知，BBDEAED90°，四边形ABDE是矩形，DEAB20m， 在RtADE中，AED90°，DAE30°，DE20m，tanDAE，m，在RtACE中，AEC90°，CAE45°，ACE是等腰直角三角形， m，CDCEDE（2020）m，信号塔的高度为（2020）m【点睛】此题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题、矩形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、特殊角的锐角三角函数等知识，借助仰角俯角构造直角三角形与矩形是解题的关键8（2022·江苏连云港·中考真题）我市的花果山景区大圣湖畔屹立着一座古塔阿育王塔，是苏北地区现存最高和最古老的宝塔小明与小亮要测量阿育王塔的高度，如图所示，小明在点处测得阿育王塔最高点的仰角，再沿正对阿育王塔方向前进至处测得最高点的仰角，；小亮在点处竖立标杆，小亮的所在位置点、标杆顶、最高点在一条直线上，（注：结果精确到，参考数据：，）(1)求阿育王塔的高度；(2)求小亮与阿育王塔之间的距离【答案】(1)(2)【分析】（1）在中，由，解方程即可求解（2）证明，根据相似三角形的性质即可求解（1）在中，在中，由，得，解得经检验是方程的解答：阿育王塔的高度约为（2）由题意知，即，经检验是方程的解答：小亮与阿育王塔之间的距离约为【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，相似三角形的应用，掌握以上知识是解题的关键9（2021·江苏淮安·中考真题）如图，平地上一幢建筑物AB与铁塔CD相距50m，在建筑物的顶部A处测得铁塔顶部C的仰角为28°、铁塔底部D的俯角为40°，求铁塔CD的高度（参考数据：sin28°0.47，cos28°0.8，tan28°0.53，sin40°0.64，cos40°0.77，tan40°0.84）【答案】68.5m【分析】过A作AECD，垂足为E分别在RtAEC和RtAED中，由锐角三角函数定义求出CE和DE的长，然后相加即可【详解】解：如图，过A作AECD，垂足为E则AE50m，在RtAEC中，CEAEtan28°50×0.5326.5（m），在RtAED中，DEAEtan40°50×0.8442（m），CDCEDE26.54268.5（m）答：铁塔CD的高度约为68.5m【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，求出CE、DE的长是解题的关键10（2021·江苏泰州·中考真题）如图，游客从旅游景区山脚下的地面A处出发，沿坡角30°的斜坡AB步行50m至山坡B处，乘直立电梯上升30m至C处，再乘缆车沿长为180m的索道CD至山顶D处，此时观测C处的俯角为19°30，索道CD看作在一条直线上求山顶D的高度（精确到1m，sin19°300.33，cos19°300.94，tan19°300.35）【答案】114m【分析】过点C作CEDG于E，CB的延长线交AG于F，在RtBAF中可求得BF的长，从而可得CF的长；在RtDCE中，利用锐角三角函数可求得DE的长，从而由DG=DE+CF即可求得山顶D的高度【详解】过点C作CEDG于E，CB的延长线交AG于F，设山顶的所在线段为DG，如图所示在RtBAF中，30°，AB=50m则BF=(m)CF=BC+BF=30+25=55(m)在RtDCE中，DCE，CD=180m(m)四边形CFGE是矩形EG=CFDG=DE+EG=DE+CF=59+55=114(m)即山顶D的高度为114m【点睛】本题考查了解直角三角形在实际测量中的应用，题目较简单，但这里出现了坡角、俯角等概念，要理解其含义，另外通过作适当的辅助线，把问题转化为在直角三角形中解决11（2021·江苏徐州·中考真题）如图，斜坡的坡角，计划在该坡面上安装两排平行的光伏板前排光伏板的一端位于点，过其另一端安装支架，所在的直线垂直于水平线，垂足为点为与的交点已知，前排光伏板的坡角（1）求的长（结果取整数）；（2）冬至日正午，经过点的太阳光线与所成的角后排光伏板的前端在上此时，若要后排光伏板的采光不受前排光伏板的影响，则的最小值为多少（结果取整数）？参考数据：三角函数锐角13°28°32°0.220.470.530.970.880.850.230.530.62【答案】（1）；（2）【分析】（1）解RtADF求出AF，再解RtAEF求出AE即可；（2）设DG交AB一直在点M，作ANGD延长线于点N，解RtADF求出DF，RtDFG求出FG，得到AG，解RtAMN求出AM，根据AM-AE可求出结论【详解】解：（1）在RtADF中， = = =88cm在RtAEF中，（2）设DG交AB一直在点M，作ANGD延长线于点N，如图，则 在RtADF中， 在RtDFG中， AG=AF+FG=88+75.8= ANGDANG=90°在RtANM中， 的最小值为【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是构造直角三角形12（2021·江苏宿迁·中考真题）一架无人机沿水平直线飞行进行测绘工作，在点P处测得正前方水平地面上某建筑物AB的顶端A的俯角为30°，面向AB方向继续飞行5米，测得该建筑物底端B的俯角为45°，已知建筑物AB的高为3米，求无人机飞行的高度(结果精确到1米，参考数据：1.414， =1.732)【答案】无人机飞行的高度约为14米【分析】延长PQ，BA，相交于点E，根据BQE45°可设BEQEx，进而可分别表示出PEx5，AEx3，再根据sinAPE，APE30°即可列出方程，由此求解即可【详解】解：如图，延长PQ，BA，相交于点E，由题意可得：ABPQ，E90°，又BQE45°，BEQE，设BEQEx，PQ5，AB3，PEx5，AEx3，E90°，sinAPE，APE30°，sin30°，解得：x14，答：无人机飞行的高度约为14米【点睛】本题考查解直角三角形的应用-俯角仰角问题，难度适中，要求学生能借助其关系构造直角三角形并解直角三角形13（2021·江苏南京·中考真题）如图，为了测量河对岸两点A，B之间的距离，在河岸这边取点C，D测得，设A，B，C，D在同一平面内，求A，B两点之间的距离（参考数据：）【答案】52m【分析】作BECD于E，作BFCA交CA延长线于F先证明四边形CEBF是正方形，设CE=BE=xm，根据三角函数表示出DE，根据列方程求出CE=BE=48m，进而求出CF=BF=48m，解直角三角形ACD求出AC，得到AF，根据勾股定理即可求出AB，问题得解【详解】解：如图，作BECD于E，作BFCA交CA延长线于FFCD=90°，四边形CEBF是矩形，BECD，BCE=CBE=45°，CE=BE，矩形CEBF是正方形设CE=BE=xm，在RtBDE中，m，解得x=48，CE=BE=48m，四边形CEBF是正方形，CF=BF=48m，在RtACD中，m，AF=CF-AC=20m，在RtABF中，m，A，B两点之间的距离是52m【点睛】本题考查了解直角三角形应用，理解题意，添加辅助线构造正方形和直角三角形是解题关键14（2020·江苏镇江·中考真题）如图，点E与树AB的根部点A、建筑物CD的底部点C在一条直线上，AC10m小明站在点E处观测树顶B的仰角为30°，他从点E出发沿EC方向前进6m到点G时，观测树顶B的仰角为45°，此时恰好看不到建筑物CD的顶部D（H、B、D三点在一条直线上）已知小明的眼睛离地面1.6m，求建筑物CD的高度（结果精确到0.1m）（参考数据：1.41，1.73）【答案】19.8m【分析】延长FH，交CD于点M，交AB于点N，求CD，只需求出DM即可，即只要求出HN就可以，在RtBNF中，设BNNHx，则根据tanBFN就可以求出x的值，再根据等腰直角三角形的性质和线段的和可求得CD的长【详解】解：如图，延长FH，交CD于点M，交AB于点N， BHN45°，BAMH，则BNNH，设BNNHx， HF6，BFN30°，且tanBFN，tan30°，解得x8.22，根据题意可知：DMMHMN+NH， MNAC10，则DM10+8.2218.22， CDDM+MCDM+EF18.22+1.619.8219.8（m）答：建筑物CD的高度约为19.8m【点睛】本题考查解直角三角形应用-仰角俯角问题，理解仰角俯角的概念，根据题意构造直角三角形，利用锐角三角函数解直角三角形是解答的关键15（2020·江苏宿迁·中考真题）如图，在一笔直的海岸线上有A，B两个观测站，A在B的正西方向，AB=2km，从观测站A测得船C在北偏东45°的方向，从观测站B测得船C在北偏西30°的方向求船C离观测站A的距离【答案】【分析】如图，过点C作CDAB于点D，从而把斜三角形转化为两个直角三角形，然后在两个直角三角形中利用直角三角形的边角关系列出方程求解即可【详解】解：如图，过点C作CDAB于点D，则CAD=ACD=45°，AD=CD，设AD=，则AC=，BD=AB-AD=，CBD=60°，在RtBCD中，tanCBD=，解得，经检验，是原方程的根，AC=()=(-)km答：船C离观测站A的距离为(-)km【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，解决本题的关键是掌握方向角定义16（2020·江苏徐州·中考真题）小红和爸爸绕着小区广场锻炼如图在矩形广场边的中点处有一座雕塑在某一时刻，小红到达点处，爸爸到达点处，此时雕塑在小红的南偏东方向，爸爸在小红的北偏东方向，若小红到雕塑的距离，求小红与爸爸的距离（结果精确到，参考数据：，）【答案】【分析】过点P作PEBC，则四边形ABEP是矩形，由解直角三角形求出，则，然后求出PQ即可【详解】解：过点P作PEBC，如图：根据题意，则四边形ABEP是矩形，在RtAPM中，PM=30，APM=45°，点M是AB的中点，在RtPEQ中，PQE=60°，；小红与爸爸的距离【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的性质，方位角问题，等腰直角三角形的性质，解题的关键是利用解直角三角形正确求出各边的长度17（2020·江苏南京·中考真题）如图，在港口A处的正东方向有两个相距的观测点B、C，一艘轮船从A处出发， 北偏东方向航行至D处， 在B、C处分别测得，求轮船航行的距离AD (参考数据：，）【答案】20km【分析】过点作，垂足为，通过解和得和，根据求得DH，再解求得AD即可【详解】解：如图，过点作，垂足为在中，在中，在中，（km）因此，轮船航行的距离约为【点睛】此题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，锐角三角函数，勾股定理作出辅助线构造直角三角形是解题的关键18（2020·江苏泰州·中考真题）我市在凤城河风景区举办了端午节赛龙舟活动，小亮在河畔的一幢楼上看到一艘龙舟迎面驶来，他在高出水面的处测得在处的龙舟俯角为；他登高到正上方的处测得驶至处的龙舟俯角为，问两次观测期间龙舟前进了多少？（结果精确到，参考数据：，）【答案】两次观测期间龙舟前进了18米【分析】设BA与CD的延长线交于点O，由题意得出BDO=50°，ACO=23°，OA=15m，AB=6m，在RtBOD中，解直角三角形求得OD的长度，在RtAOC中，解直角三角形求出DC的长度即可【详解】解：设BA与CD的延长线交于点O，根据题意易得：BDO=50°，ACO=23°，OA=15m，AB=6m，在RtBOD中，解得：，在RtAOC中，答：两次观测期间龙舟前进了18米【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，要理解俯角概念，并且熟练掌握解直角三角形的方法