高等数学课件--D81向量及运算.pptx

高等数学课件-d81向量及运算2023REPORTING向量及其表示向量的基本运算向量的数量积向量的向量积向量的混合积目 录CATALOGUE2023PART 01向量及其表示2023REPORTING向量的定义向量是一个有方向和大小的几何量，通常用有向线段表示。向量的表示方法：在平面或空间中，起点固定，终点可以任意移动的有向线段表示一个向量。向量的模向量的模是指向量的长度或大小，用符号表示。向量的模的计算公式：$|vecA|=sqrtA_x2+A_y2+A_z2$，其中$A_x,A_y,A_z$分别表示向量的三个分量。用坐标形式表示向量，例如$vecA=(A_x,A_y,A_z)$。代数表示法用有向线段表示向量，起点为$O$，终点为$A$，记作$vecOA$。几何表示法用矩阵形式表示向量，例如$beginbmatrix A_x A_y A_z endbmatrix$。矩阵表示法向量的表示方法PART 02向量的基本运算2023REPORTING总结词向量加法是向量的基本运算之一，通过平行四边形法则或三角形法则进行。详细描述向量加法是将两个向量首尾相接，形成一个平行四边形，则所得向量即为这两个向量的和。在三角形法则中，两个向量首尾相接，以第三个顶点为起点作向量，与前两个向量相加，结果为第三个顶点的位置。向量的加法数乘是向量的一种基本运算，通过将一个标量与一个向量相乘得到新的向量。总结词数乘是将一个标量与一个向量相乘，得到一个新的向量。标量为实数，可以是正数、负数或零。数乘的结果是原向量的长度或方向发生变化，但不会改变向量的模长。详细描述向量的数乘向量减法是通过将一个向量的起点移动到另一个向量的终点，从而得到一个新的向量。总结词向量减法是将一个向量的起点移动到另一个向量的终点，形成一个平行四边形，则所得向量即为这两个向量的差。在三角形法则中，两个向量首尾相接，以第三个顶点为起点作向量，与前两个向量相减，结果为第三个顶点的位置。详细描述向量的减法PART 03向量的数量积2023REPORTING数量积的定义两个向量的数量积定义为它们的模长之积与它们夹角的余弦值的乘积，记作ab。数学表达式ab=abcosa,b数量积的定义一个向量在另一个向量上的投影长度等于该向量与另一个向量的数量积。两个向量的夹角等于它们的数量积除以它们的模长之积。数量积的几何意义角度定理投影定理ab=ba交换律(a+b)c=ac+bc分配律(ab)c=a(bc)结合律(a+b)c=ac+bc=accosa,c+bccosb,c分配律扩展数量积的运算性质PART 04向量的向量积2023REPORTING向量积的定义向量积是一个向量运算，其结果为一个向量，记作a b，其中a和b为给定向量。定义公式a b=|a|*|b|*sin*n，其中为a与b之间的夹角，n为垂直于a与b的单位向量。几何意义向量积表示两个向量之间的旋转关系，其方向垂直于a与b，其大小等于a与b的模之积乘以它们之间的夹角的正弦值。向量积的定义面积计算向量积可以用于计算平行四边形的面积。设平行四边形相邻两边为a和b，则其面积为S=|a b|。旋转方向向量积的方向表示以原点为中心的旋转方向。当a b为正时，表示逆时针旋转；当a b为负时，表示顺时针旋转。方向判断向量积可以用于判断两向量的相对位置关系。若a b=0，则表示a与b共线；若a b 0，则表示a与b之间的夹角为锐角；若a b 0，则表示a与b之间的夹角为钝角。向量积的几何意义123a b=-(b a)。交换律对于任意向量c，有(a+b)c=a c+b c。分配律k(a b)=(ka)b=a (kb)，其中k为标量。与标量乘法结合律向量积的运算性质PART 05向量的混合积2023REPORTING混合积的定义三个向量的混合积是一个标量，记作$a cdot(b times c)$，其值等于以$a,b,c$为邻边的平行四边形的面积。混合积$a cdot(b times c)=|a|cdot|b|cdot|c|cdot sin theta$，其中$theta$为$b$和$c$之间的夹角。定义公式VS表示以$a,b,c$为邻边的平行四边形的面积。计算方法先求出向量$b$和$c$的叉积，再与向量$a$点乘，即得平行四边形的面积。混合积的几何意义混合积的几何意义交换律$a cdot(b times c)=-(b times c)cdot a$结合律$(a times b)cdot(c times d)=a cdot(b times(c times d)$分配律$(a+b)cdot(c times d)=a cdot(c times d)+b cdot(c times d)$混合积的运算性质THANKS感谢观看2023REPORTING