高等数学》教学课件第9章.多元函数微分法及其应用.pptx

$number01高等数学(同济六版)教学课件第9章.多元函数微分法及其应用目目录录引言多元函数微分法的基本概念多元函数微分法的计算多元函数微分法的应用多元函数微分法的扩展习题解答与解析01引言多元函数微分法的意义多元函数微分法是高等数学中的重要内容，是研究多元函数性质和变化规律的基础工具。通过多元函数微分法的学习，可以深入理解函数的局部行为，为解决实际问题提供数学模型和理论支持。多元函数微分法的应用场景在物理学、工程学、经济学等领域中，多元函数微分法被广泛应用于解决各种实际问题，如物体运动轨迹、电路电流、市场供需关系等。在机器学习和数据科学中，多元函数微分法也是优化算法和损失函数的重要基础，对于模型训练和预测具有关键作用。02多元函数微分法的基本概念123偏导数偏导数的计算方法通过求导法则和链式法则进行计算。偏导数的定义对于一个多元函数，如果一个变量变化时，其余变量保持不变，那么这个变量对其他变量的偏导数就是该函数在相应点上的斜率。偏导数的几何意义在二维空间中，偏导数表示曲线在某一点的切线的斜率；在三维空间中，偏导数表示曲面在某一点的切平面的法线斜率。全微分的计算方法全微分的定义全微分的几何意义全微分通过偏导数计算全微分。全微分是指函数在某一点附近的小增量，它等于各个偏导数在该点的值与自变量增量乘积的和。全微分表示函数图像在某一点附近的小面积，即函数值在该点附近的小变化量。方向导数的定义方向导数是函数在某一点处沿某一方向的变化率，它等于该点处各个偏导数的几何平均值。方向导数的几何意义方向导数表示函数图像在某一点处沿某一方向的变化率。方向导数的计算方法通过偏导数和方向余弦进行计算。方向导数03多元函数微分法的计算理解复合函数的偏导数计算方法，掌握链式法则。总结词复合函数的偏导数是多元函数微分学中的重要概念，其计算方法基于链式法则。对于复合函数 f(u(x,y)，其偏导数可以通过对内层函数 u 的偏导数乘以外层函数 f 的导数来计算。链式法则在计算复合函数的偏导数时非常有用，能够简化计算过程。详细描述复合函数的偏导数总结词理解高阶偏导数的概念，掌握高阶偏导数的计算方法。详细描述高阶偏导数是多元函数微分学中的重要概念，表示函数对某一自变量的二阶及以上的偏导数。高阶偏导数的计算方法与一阶偏导数类似，但需要注意符号的正确使用和计算顺序。高阶偏导数的计算在解决一些实际问题时非常有用，如求极值、判断函数的凸凹性等。高阶偏导数隐函数的偏导数理解隐函数的偏导数计算方法，掌握隐函数求导法则。总结词隐函数的偏导数是多元函数微分学中的重要概念，其计算方法基于隐函数求导法则。对于一个由方程 F(x,y)=0 定义的隐函数 y，可以通过对方程两边同时关于 x 求导来求得 y 关于 x 的偏导数。隐函数求导法则是计算隐函数偏导数的关键，能够简化计算过程，提高解题效率。详细描述04多元函数微分法的应用切线在多元函数中，函数在某一点的导数表示该点处函数的斜率。因此，切线是连接函数图像上某一点和该点处的导数所形成的直线。切线的斜率等于该点的导数值。法线法线是与切线垂直的直线。在二维空间中，法线的斜率是切线斜率的负倒数。在三维空间中，需要使用向量叉乘来定义法线。几何应用：切线和法线极值条件无约束极值有约束极值极值问题一元函数极值的必要条件是导数为零的点，但对于多元函数，极值条件包括一阶导数为零的点以及二阶导数矩阵的符号变化。无约束极值问题是在给定函数定义域内寻找极值点的问题，可以通过梯度下降法、牛顿法等求解。有约束极值问题是在给定函数定义域和约束条件下寻找极值点的问题，可以通过拉格朗日乘数法、库恩-塔克条件等方法求解。VS条件极值问题是在给定附加条件下的极值问题，可以通过拉格朗日乘数法转化为无约束极值问题求解。无条件极值无条件极值问题是在无任何附加条件下的极值问题，可以通过梯度下降法、牛顿法等求解。条件极值条件极值和无条件极值05多元函数微分法的扩展对于向量函数，偏导数是函数在某一自变量方向上的变化率。偏导数的定义根据多元函数的导数定义，对向量函数中的各个分量分别求导，得到偏导数。偏导数的计算在二维空间中，偏导数表示切线斜率；在三维空间中，偏导数表示切平面法线的方向。偏导数的几何意义向量函数的偏导数123梯度是向量函数的导数在各点的方向导数的最大值。梯度的定义根据向量函数的偏导数，计算梯度向量。梯度的计算在二维空间中，梯度表示函数值增长最快的方向；在三维空间中，梯度表示函数值增长最快的方向场。梯度的几何意义向量函数的梯度散度的定义散度表示向量场中某点附近的点源或汇的强度。旋度的定义旋度表示向量场中某点附近的旋转源或汇的强度。散度的计算根据向量函数的偏导数，计算散度。旋度的计算根据向量函数的偏导数，计算旋度。散度的几何意义在二维空间中，散度表示向量场中某点附近的点源或汇的个数；在三维空间中，散度表示向量场中某点附近的点源或汇的分布情况。旋度的几何意义在二维空间中，旋度表示向量场中某点附近的旋转源或汇的方向和速度；在三维空间中，旋度表示向量场中某点附近的旋转源或汇的分布情况。向量场的散度与旋度06习题解答与解析2.$lim_x to 0 fractan x-xx3$题目：求下列函数的极限1.$lim_x to 0 fracsin x-xx3$第1节习题解答VS3.$lim_x to 0 fracsin x-cos xx3$4.$lim_x to 0 fractan x-sin xx3$第1节习题解答0302答案01第1节习题解答2.$-frac12$1.$-frac16$3.$frac12$4.$-frac12$题目：求下列函数的导数010203第1节习题解答1.$y=(x+2)(x+3)$3.$y=sqrtx$2.$y=(x+1)2$第1节习题解答$y=frac1sqrtx$第1节习题解答第1节习题解答0102031.$y=2x+5$2.$y=2(x+1)$答案3.$y=frac12sqrtx$4.$y=-frac12sqrtx3$第1节习题解答第2节习题解答01题目：求下列函数的极值021.$f(x)=x3-3x2$2.$f(x)=x4-4x2$03$f(x)=x3-3x+2$第2节习题解答010203答案1.$f(x)$在$x=0$处取得极大值$f(0)=0$，在$x=2$处取得极小值$f(2)=-4$。2.$f(x)$在$x=0$处取得极小值$f(0)=0$，在$x=pm 2$处取得极大值$f(pm 2)=0$。第2节习题解答第2节习题解答$f(x)$在$x=-1$处取得极大值$f(-1)=2$，在$x=1$处取得极小值$f(1)=-2$。第2节习题解答题目：求下列函数的拐点1.$y=x3-6x2+9x+1$2.$y=x4-4x2+1$第2节习题解答01答案021.$(0,1)$和$(3,6)$是函数的拐点。032.$(0,1)$和$(2,1)$是函数的拐点。THANKS