2024届江苏决胜新高考高三4月大联考数学试题含答案.pdf
学科网（北京）股份有限公司决胜新高考决胜新高考2024 届高三年级大联考届高三年级大联考 数学数学注意事项注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1.本试卷共本试卷共 4 页，包含单选题（页，包含单选题（18）多选题）多选题 912，填空题（第，填空题（第 13 题题第第 16 题，共题，共 80分）、解答题（第分）、解答题（第 1722 题，共题，共 70 分）分）.本次考试时间本次考试时间 120 分钟，满分分钟，满分 150 分、考试结束分、考试结束后，请将答题卡交回后，请将答题卡交回.2.答题前，请考生务必将自己的姓名、学校、班级、座位号、考试证号用答题前，请考生务必将自己的姓名、学校、班级、座位号、考试证号用 0.5 毫米的黑色签毫米的黑色签字笔写在答题卡上相应的位置，并将考试证号用字笔写在答题卡上相应的位置，并将考试证号用 2B 铅笔正确填涂在答题卡的相应位置铅笔正确填涂在答题卡的相应位置.3.答题时请用答题时请用 0.5 毫米的黑色签字笔在答题卡指定区域作答毫米的黑色签字笔在答题卡指定区域作答.在试卷或草稿纸上作答一律无在试卷或草稿纸上作答一律无效效.4.如有作图需要，可用如有作图需要，可用 2B 铅笔作图，并请加黑加粗，描写清楚铅笔作图，并请加黑加粗，描写清楚.一、单选题：本大题共一、单选题：本大题共 8 小题，每题小题，每题 5 分，共分，共 40 分分.在每小题提供的四个选项中，只有一项在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的是符合题目要求的.1.已知向量a，b满足1a=，2 3b=，()218bab=，则a与b的夹角等于（）A.30B.60C.120D.1502.若复数cosisinz=+，则22iz+的最大值是（）A.2 21B.2 21+C.21+D.2 23+3.已知甲、乙两支篮球队各 6 名队员某场比赛的得分数据（单位：分）从小到大排列如下：甲队：7，12，12，20，20 x+，31；乙队：8，9，10y+，19，25，28.这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则xy+的值为（）A.3B.4C.5D.64.已知1124xx+=，222log4xx+=，则12xx+的值为（）A.2B.3C.4D.55.若3sin4cos5+=，则tan4+=（）A.7B.7C.17D.176.经过抛物线2:4C yx=焦点F的直线与C交于A，B两点，与抛物线C的准线交于点P，若AF，AP，BF成等差数列，则AB=（）A.2 3B.2 6C.83D.1632024届江苏决胜新高考高三4月大联考数学试题含答案2024届江苏决胜新高考高三4月大联考数学试题含答案 学科网（北京）股份有限公司 7.贝塞尔曲线（Bezier curve）是应用于二维图形应用程序的数学曲线，一般的矢量图形软件通过它来精确画出曲线.三次函数()f x的图象是可由A，B，C，D四点确定的贝塞尔曲线，其中A，D在()f x的图象上，()f x在点A，D处的切线分别过点B，C.若()0,0A，()1,1B ，()2,2C，()1,0D，则()f x=（）A.3254xxx B.333xx C.3234xxx+D.3232xxx 8.已知函数()28f xxx=，且点(),P x y满足()()32f xfy+，()0fy，若记点P构成的图形为，则的面积是（）A.6416 33 B.6416 33+C.6416 3 D.6416 3+二、选择题：本题共二、选择题：本题共 3 小题，每小题小题，每小题 6 分，共分，共 18 分分.在每小题给出的选项中，有多项符合题在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求目要求.全部选对的得全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分分.9.若()10223200123202xxaa xa xa xa x+=+，则（）A.01024a=B.11a=C.1910a=D.13519512aaaa+=10.某企业使用新技术对某款芯片制造工艺进行改进.部分芯片由智能检测系统进行筛选，其中部分次品芯片会被淘汰，筛选后的芯片及未经筛选的芯片进入流水线由工人进行抽样检验.记A表示事件“某芯片通过智能检测系统筛选”，B表示事件“某芯片经人工抽检后合格”.改进生产工艺后，该款芯片的某项质量指标服从正态分布()25.40,0.05N，现从中随机抽取M个，这M个芯片中恰有m个的质量指标位于区间()5.35,5.55，则下列说法正确的是（）（若()2,N，则()0.6826P+，()330.9974P B.()()P A BP A B C.()5.355.550.84P B.有序数对(),a b（*,a bN）有 6 个 C.ab+的最小值是124 3+D.222241210abab+三、填空题：本大题共三、填空题：本大题共 3 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 15 分分.不需写出解答过程，请把答案直接填不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上写在答题卡相应位置上.学科网（北京）股份有限公司 12.将函数()()sin 2f xx=+图象上的每个点的横坐标变为原来的12倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移6个单位长度，所得的图象关于y轴对称，写出一个符合条件的的值_.13.已知定义在R上的()f x满足102f，且()()()4f xyf x fyxy+=，则()0f=_.14.已知一个顶点为P，底面中心为O的圆锥的体积为9，该圆锥的顶点P和底面圆周均在球1O上.若圆锥的高为 3，则球1O的半径为_；球1O的体积的最小值是_.四、解答题：本题共四、解答题：本题共 5 小题，共小题，共 77 分分.解答应写出文字说明、证明过程戓演算步骤解答应写出文字说明、证明过程戓演算步骤.15.（13 分）如图所示，已知正方体1111ABCDABC D的棱长为 3，E，F分别是BD，1DD的中点，M是11AB上一点，且BM 平面1EFA.（1）求1MA；（2）求直线1EC与平面1EFA所成角的正弦值.16.（15 分）已知函数()2ln3f xaxx=+在1x=处的切线经过原点.（1）判断函数()f x的单调性；（2）求证：函数()f x的图像与直线5yx=有且只有一个交点.17.（15 分）在ABC中，点D在AB边上，且满足ACADBCBD=.（1）求证：ACDBCD=；（2）若tantan3tantan30ABAB+=，2CD=，求ABC的面积的最小值.学科网（北京）股份有限公司 18.（17 分）如图，已知正方体1111ABCDABC D顶点处有一质点Q，点Q每次会随机地沿一条棱向相邻的某个顶点移动，且向每个顶点移动的概率相同，从一个顶点沿一条棱移动到相邻顶点称为移动一次，若质点Q的初始位置位于点A处，记点Q移动n次后仍在底面ABCD上的概率为nP.（1）求2P；（2）求证：数列12nP是等比数列；求()1niiiP=.19.（17 分）已知椭圆2222:1xyCab+=（0ab）的左右顶点分别为A，B，且31,2，31,2，()1,1，()2,0四个点中恰有三个点在椭圆C上.若点P是椭圆C内（包括边界）的一个动点，点M是线段PB的中点.（1）若134OM=，且PB与OM的斜率的乘积为34，求PAB的面积；（2）若动点D满足0DB DP=，求DO的最大值.学科网（北京）股份有限公司 决胜新高考决胜新高考2024 届高三年级大联考届高三年级大联考 数学参考答案与评分标准数学参考答案与评分标准 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的是符合题目要求的.1.D 2.B 3.A 4.C 5.B 6.D 7.C 8.A 二、选择题：本题共二、选择题：本题共 3 小题，每小题小题，每小题 6 分，共分，共 18 分分.在每小题给出的选项中，有多项符合题在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求目要求.全部选对的得全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分分.9.ACD 10.ACD 11.AB 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 3 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 15 分分.12.6k，kZ 13.1 14.3；2438 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 5 小题，共小题，共 77 分分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.解：（1）如图，以点A为原点，分别以直线AB，AD，1AA为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则()0,0,0A，()3,0,0B，()10,0,3A，3 3,02 2E，30,3,2F，()13,0,3B，()13,3,3C，所以3 3 3,2 2 2EF=，133,322EA=.设平面1EFA的一个法向量为(),nx y z=，由100EA nEF n=得3330223330222xyzxyz+=+=，取1y=，则32xz=，故()3,1,2n=.学科网（北京）股份有限公司 设(),0,3M t，则()3,0,3BMt=.因为BM 平面1EFA，所以()332 30n BMt=+=，所以1t=，所以11MA=.（2）因为13 3,32 2EC=，平面1EFA的一个法向量为()3,1,2n=，设直线1EC与平面1EFA所成角为，故()1113 3,33,1,22 24 21sincos,219999 1444EC nEC nECn=+，所以直线1EC与平面1EFA所成角的正弦值为4 2121.16.（15 分）解：（1）因为()1ln1 1 34fa=+=，所以切点为()1,4.因为()2afxxx=+，所以()12fa=+，所以切线方程为()()421yax=+.因为切线经过原点，所以()()0420 1a=+，所以2a=.故()220fxxx=+，所以()f x在()0,+上单调递增.（2）设()()252ln35g xf xxxxx=+（0 x），则()()()2212252xxxxgxxx+=.因为当10,2x时，()0gx，()g x单调递增，当1,22x时，()0gx，()g x单调递减，学科网（北京）股份有限公司 且32eln111533 8ln22562ln32ln202222444g=+=+=，因为102g，且当1,22x时，()g x单调递减，所以()1202gg 所以当()0,2x时，()0g x，()g x单调递增，又因为()52ln530g=+，且函数()g x的图像是不间断的，所以当()2,x+时，函数()g x有且只有一个零点，函数()f x的图像与直线5yx=有且只有一个交点.综上所述，函数()f x的图像与直线5yx=有且只有一个交点.17.（15 分）解：（1）在ACD中，由正弦定理sinsinACADADCACD=，得sinsinACADCADACD=.在BCD中，由正弦定理sinsinBCBDBDCBCD=，得sinsinBCBDCBDBCD=.因为ACADBCBD=，所以ACBCADBD=，所以sinsinsinsinADCBDCACDBCD=.因为ADCBDC+=，所以ADCBDC=，所以()sinsinsinADCBDCBDC=，所以sinsinACDBCD=.又因为ACD，()0,BCD，且ACDBCD+，所以ACDBCD=.（2）因为tantan3tantan30ABAB+=，所以()tantan3 1tantanABAB+=，所以()tantantan31tantanABABAB+=，学科网（北京）股份有限公司 因为0AB+时，设(),P x y，点P在以A，B为焦点的椭圆222214xymm+=上.若7m，则()()()22222222222247043434mxmyxyxymmmm+=+，所以2222221434xyxymm+=，所以点P在椭圆C外，不成立，故舍去.若7m=，设(),P x y，则22173xy+=，所以22137yx=，因为2222104347xyxx+=+，所以0 x=，3y=，学科网（北京）股份有限公司 所以()172ODAPPB+=.所以DO的最大值是7，当且仅当O，M，P三点共线时等号成立.另解：设()2cos,4sinP mm，因为点P是椭圆C内（包括边界）的一个动点，所以()22224 sincos143mm+，所以()22216 sin312mm+，所以()2216312mm+，所以27m，所以7m.当()0,3P时，DO取得最大值是7.
