大一高数课件ch2-7函数的连续性.pptx

大一高数课件ch2-7函数的连续性CATALOGUE目录函数连续性的定义连续函数的判定连续函数的性质连续函数的运算常见函数的连续性连续函数的应用函数连续性的定义01如果一个函数在某一点的极限值等于该点的函数值，则称该函数在该点连续。如果一个函数在某个区间内的每一点都连续，则称该函数在该区间上连续。函数连续性的基本概念函数在区间上连续函数在某一点连续函数在某一点连续的数学表达$f(x_0)=f(x_0+Deltax)-Deltaxcdotf(x_0)$函数在区间上连续的数学表达$forallxina,b,f(x)=f(a)+int_axf(t)dt$函数连续性的数学表达连续函数的和、差、积运算性质连续函数的基本性质如果两个函数在某点连续，则它们的和、差、积也在该点连续。连续函数的复合运算性质如果一个函数在某点连续，另一个函数在该点的值存在，则它们的复合函数在该点也连续。如果一个函数在某点连续，则该函数的极限在该点也连续。连续函数的极限运算性质连续函数的判定02函数在某点连续的判定函数在某点连续的定义如果函数在某点的左右极限相等且等于该点的函数值，则函数在该点连续。判断方法通过计算函数在某点的左右极限，并比较它们是否相等，以及是否等于该点的函数值来判断函数在该点是否连续。如果函数在区间的每一点都连续，则函数在该区间上连续。函数在区间上连续的定义通过检查区间内每一点的连续性来判断函数在该区间上是否连续。判断方法函数在区间上连续的判定函数在某点连续的等价条件如果函数在某点的极限值等于该点的函数值，则函数在该点连续。函数在区间上连续的等价条件如果函数在区间内的每一点的极限值都等于该点的函数值，则函数在该区间上连续。连续函数的等价条件连续函数的性质03局部保号性在连续函数的变化趋势中，如果函数值从正变为负或从负变为正，那么在变化点附近，函数值必然为零。局部单调性连续函数在其定义域的任意子区间上都是单调的。局部有界性对于连续函数，在其定义域的任意点附近，函数值都是有界的。连续函数的局部性质整体保号性如果连续函数在某区间上的函数值始终大于或小于零，那么在整个区间上，函数值也必然大于或小于零。整体单调性连续函数在其定义域内可以单调增加或单调减少。整体有界性连续函数在整个定义域上都是有界的，即存在一个正数M，使得对于定义域内的任意x，都有|f(x)|M。连续函数的整体性质连续函数的极限值等于函数值对于连续函数，如果在某点的极限存在，那么这个极限值就等于该点的函数值。极限的连续性如果一个函数在某点的极限存在，那么这个极限值在该点也是连续的。连续函数与极限的关系连续函数的运算04函数的加减运算对于两个连续函数$f(x)$和$g(x)$，其和函数$F(x)=f(x)+g(x)$以及差函数$G(x)=f(x)-g(x)$也都是连续函数。证明根据连续函数的定义，我们知道$f(x)$和$g(x)$在某点$x_0$处连续，即$lim_xtox_0f(x)=f(x_0)$和$lim_xtox_0g(x)=g(x_0)$。因此，$lim_xtox_0F(x)=lim_xtox_0f(x)+g(x)=f(x_0)+g(x_0)=F(x_0)$，同理$lim_xtox_0G(x)=G(x_0)$，所以$F(x)$和$G(x)$在点$x_0$处也是连续的。函数的加减运算对于两个连续函数$f(x)$和$g(x)$，其积函数$P(x)=f(x)timesg(x)$以及商函数$Q(x)=fracf(x)g(x)$也都是连续函数。函数的乘除运算根据连续函数的定义，我们知道$f(x)$和$g(x)$在某点$x_0$处连续，即$lim_xtox_0f(x)=f(x_0)$和$lim_xtox_0g(x)=g(x_0)$。因此，$lim_xtox_0P(x)=lim_xtox_0f(x)timesg(x)=f(x_0)timesg(x_0)=P(x_0)$，同理$lim_xtox_0Q(x)=Q(x_0)$，所以$P(x)$和$Q(x)$在点$x_0$处也是连续的。证明函数的乘除运算复合函数的连续性如果函数$u=h(t)$和$y=f(u)$都在点$t_0$处连续，则复合函数$y=fh(t)$在点$t_0$处也连续。复合函数的连续性假设$u=h(t)$在点$t_0$处连续，即$lim_ttot_0h(t)=h(t_0)$。由于$y=f(u)$在点$u_0=h(t_0)$处连续，我们有$lim_utou_0f(u)=f(u_0)$。因此，$lim_ttot_0fh(t)=lim_utou_0f(u)=f(u_0)=fh(t_0)$，所以复合函数$y=fh(t)$在点$t_0$处也是连续的。证明常见函数的连续性05VS一次函数$f(x)=ax+b$在定义域内是连续的。二次函数二次函数$f(x)=ax2+bx+c$在定义域内是连续的。一次函数一次函数、二次函数的连续性分段函数在各段定义域内分别连续，但在分段点可能不连续。$f(x)=begincasesx2,&xleq0 x,&x0endcases$分段函数举例分段函数的连续性无穷大无穷大不是连续的，因为其导数不存在。要点一要点二无穷小无穷小是连续的，但其导数可能不存在。无穷大与无穷小的连续性连续函数的应用06利用连续函数求极限在数学分析中，连续函数在求极限的过程中扮演着重要的角色。通过利用连续函数的性质，可以简化极限的求解过程。单调有界原理单调有界原理是利用连续函数求极限的一个重要工具。如果一个连续函数在某个区间内单调有界，那么该函数在该区间内的极限存在。零点定理与介值定理零点定理和介值定理也是利用连续函数求极限的常用方法。通过这些定理，可以在函数的连续性和函数的取值之间建立联系，从而解决一些极限问题。连续函数在求极限中的应用连续函数形态的分类根据连续函数的性质，可以将连续函数分为不同的类型，如单调递增、单调递减、凸函数、凹函数等。这些分类有助于更好地理解函数的形态和性质。连续函数的图像通过绘制连续函数的图像，可以直观地了解函数的形态和变化趋势。此外，通过分析图像的拐点、极值点和渐近线等特征，可以进一步研究函数的性质和形态。利用连续函数研究函数的形态利用连续函数解决实际问题最优化问题连续函数在解决最优化问题中具有广泛应用。例如，在生产、运输和分配等实际问题中，常常需要通过求解连续函数的极值或最优解来获得最优方案。积分学应用积分学是利用连续函数解决实际问题的重要工具之一。通过计算定积分和不定积分，可以解决面积、体积、长度和平均值等实际问题。THANKS感谢观看