华大联盟2024届高三下学期3月联考试题（全国乙卷） 数学（理） Word版含解析.docx

绝密启用前（全国卷）理科数学试卷注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，若的子集有4个，则的值为（ ）A.-3 B.-1 C.2 D.32.已知复数，则在复平面内对应点的坐标为（ ）A. B. C. D.3.已知点为平面内不同的四点，若，且，则（ ）A. B. C. D.4.近几年随着技术的发展，虚拟人的智能化水平得到极大的提升，虚拟主播逐步走向商用，如图为20142022年中国虚拟主播企业注册年增加数（较上一年增加的数量）条形图，根据该图，下列说法错误的是（ ）A.20142022年中国虚拟主播企业注册数量逐年增加B.20142022年中国虚拟主播企业注册年增加数的中位数为410C.20142022年中国虚拟主播企业注册年增加数的极差为915D.从图中9年企业注册增加数字中任取2个数字，这两个数字的平均数大于110的概率为5.如图，网格纸中小正方形的边长为，粗线画出的是某体育比赛领奖台三视图，则该领奖台除去下底面的所有面的面积之和为（ ）A. B. C. D.6.已知实数满足约束条件，则的取值范围是（ ）A. B. C. D.7.中，则的面积为（ ）A. B. C. D.8.若存在过原点的直线与函数的图象切于轴右侧，则的取值范围是（ ）A. B. C. D.9.知名数学教育家单墫曾为中学生写了一个小册子十个有趣的数学问题，其中提到了开普勒的最密的将球装箱的方法：考虑一个棱长为2的正方体，分别以该正方体的8个顶点及6个面的中心为球心作半径为的球，则这些球在正方体内的体积之和与正方体的体积之比为（ ）A. B. C. D.10.已知点为坐标原点，点为直线与椭圆的一个交点，点在上，若，则的长轴长为（ ）A. B.3 C. D.611.已知，则（ ）A. B.C. D.12.已知第一象限内的点在双曲线上，点关于原点的对称点为是的左右焦点，点是的内心（内切圆圆心），在轴上的射影为，记直线的斜率分别为，且，则的离心率为（ ）A.2 B.8 C. D.二填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.的展开式中的系数为_.14.函数是偶函数，则_.15.平面几何中有一个著名的塞尔瓦定理：三角形任意一个顶点到其垂心（三角形三条高的交点）的距离等于外心（外接圆圆心）到该顶点对边距离的2倍.若点都在圆上，直线方程为，且的垂心在内，点在线段上，则圆的标准方程为_.16.已知，给出下列命题：的图象关于点对称；的值域为；在区间上有33个零点；若方程在区间有4个不同的解，其中，则的收值范围是.其中所有正确命题的序号为_.（少选错选都不给分）三解答题：共70分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第2223题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.（12分）已知等差数列的前项和为，公差，且成等比数列.（1）求；（2）若，数列的前项和为，求.18.（12分）如图，在三棱锥中，其余各棱的长均为6，点在棱上，过点的平面与直线垂直，且与分别交于点.（1）确定的位置，并证明你的结论；（2）求直线与平面所成角的正弦值.19.（12分）某高中数学兴趣小组，在学习了统计案例后，准备利用所学知识研究成年男性的臂长与身高之间的关系，为此他们随机统计了5名成年男性的身高与臂长，得到如下数据：1591651701761806771737678（1）根据上表数据，可用线性回归模型拟合与的关系，请用相关系数加以说明；（2）建立关于的回归方程（系数精确到0.01）；（3）从5名样本成年男性中任取2人，记这2人臂长差的绝对值为，求.参考数据：参考公式：相关系数，回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为.20.（12分）已知倾斜角为的直线与抛物线只有1个公共点的焦点为，直线的倾斜角为.（1）求证：；（2）若，直线与直线交于点，直线与的另一个交点为，求证：.21.（12分）已知函数.（1）若的导数分别为，且，求的取值范围；（2）用表示中的最小值，设，若，判断的零点个数.（二）选考题：共10分.请考生在第2223题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.选修4-4：坐标系与参数方程（10分）在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求直线的极坐标方程；（2）若直线与交于点，求的周长.23.选修4-5：不等式选讲已知.（1）若，求的最小值；（2）若，证明：.绝密启用前（全国卷）理科数学参考答案1.【答案】C【解析】因为，且的子集有4个，则中有2个元素，且这两个元素为2，3，所以，故选C.2.【答案】A【解析】因为，所以，所以在复平面内对应的点的坐标为，故选A.3.【答案】D【解析】由得，即，又，所以，故选D.4.【答案】B【解析】由每年增加数均为正数，可得A正确；20142022年中国虚拟主播企业注册年增加数的中位数为121，B错误；20142022年中国虚拟主播企业注册年增加数的极差为948-33=915，C正确；当且仅当从33，48，76，84，121中任取两个数字，其平均数不大于110，所以所求概率为正确，故选B.5.【答案】B【解析】解法一：该领奖台可看作由3个长方体构成的组合体，每个长方体的底面都是边长为的正方形，冠军台高，亚军台高，季军台高，该领奖台除去下底面的所有面的面积之和为3个长方体的表面积之和减去3个边长为的正方形面积，减去2个底边长为高为的矩形面积，减去2个底边长为高为的矩形面积，即，故选B.解法二：该领奖台可看作由3个长方体构成的组合体，每个长方体的底面都是边长为的正方形，冠军台高，亚军台高，季军台高，前后两个面的面积之和为，上面3个面的面积之和为，左右4个侧面的面积之和为，所以该组合体除去下底面的所有面的面积之和为，故选B.6.【答案】C【解析】如图所示，不等式组表示的可行域是以为顶点的三角形区域，设，则，作直线，把该直线平移到点处取得最大值，平移到点处取得最小值，所以的取值范围是，故选C.7.【答案】B【解析】因为，由余弦定理得，所以，所以的面积为，故选B.8.【答案】D【解析】因为，则，设切点为，则，即，整理得，所以，故选D.9.【答案】D【解析】以8个顶点为球心的球各有在正方体内，以6个面的中心为球心的球各有在正方体内，所以这些球在正方体的体积之和为4个半径为的球的体积之和，所以这些球在正方体内的体积之和与正方体的体积之比为，故选D.10.【答案】C【解析】设，由得，由可得，所以，所以，所以的长轴长为，故选C.11.【答案】A【解析】设，则在上单调递减，所以，所以，所以，故选A.12.【答案】A【解析】设圆与分别切于点，则，且，所以，点，设，则，所以，所以，故选A.13.【答案】-1【解析】的展开式中的系数为.14.【答案】【解析】因为是偶函数，所以，所以.15.【答案】【解析】由的垂心到直线距离，设圆半径为，由塞尔瓦定理可得，由圆的几何性质可得，联立解得，因为直线方程为，所以直线方程为，设，则到直线距离，解得（舍去）或，所以圆的标准方程为.16.【答案】（少选错选都不给分）【解析】由，可得正确；由得，当，正确；，令得或，所以在上有31个零点，错误；是以为周期的周期函数，当时在上有2个实根，且；当时在上没有实根，在上有2个实根，且，所以，所以的取值范围是，正确，所以正确命题的序号为.17.【解析】（1）由得，所以，因为成等比数列，所以，即，把代入上式得，解得或，当时，不符合题意，当时，所以（2）因为，当为偶数时，所以.18.【解析】（1）取中点，连接，由已知可得，所以，因为，所以平面，因为平面，所以平面平面，过作的平行线与的交点即为，过作的平行线与的交点即为，因为，所以，所以当时，平面与直线垂直.（2）由题意可得，因为，所以，以为原点，直线分别为轴，轴，过点与平面垂直的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，所以设平面的一个法向量为，则有，得，取，得，设直线与平面所成角为，则，所以直线与平面所成角的正弦值为.19.【解析】（1）由表中的数据和附注中的参考数据得，.因为与的相关系数近似为0.997，说明与的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合与的关系.（2）由及（1）得，所以关于的回归方程为（说明：根据，得出.正确，）（3）的取值依次为，所以20.【解析】（1）方法1：设，则的方程为，与联立得，因为直线与抛物线只有1个公共点，所以，整理得，所以，又，所以，因为，所以，所以方法2：易知点在第一象限，且直线与相切于点，由，得，所以的方程为，设与交于点，则，所以由抛物线的几何性质可知，故（2）时，的方程为，把代入得的方程为，把代入得，所以，由（1）知，设，设直线方程为，与联立得，是该方程的两个根，所以，所以，所以，所以21.【解析】（1）因为，所以，由得，因为，所以，所以问题转化为时恒成立，即时恒成立，设，则时单调递减，时单调递增，所以，所以，即的取值范围是.（2）因为，设，则，（i）若，时单调递增，时单调递减，所以，所以时，没有零点，（ii）若，由（1）知在上单调递增，且，所以，当时，单调递增，且，存在唯一使得，当时，在上单调递减，且，所以存在唯一使得，综上，时没有零点，时有2个零点.22.【解析】（1）将中的参数消去，得，把代入得直线的极坐标方程为.（2）解法一：设，由方程组得，所以，即.因为点到直线的距离，所以，所以的周长为解法二：由，得的直角坐标方程为，即，曲线是以为圆心，半径为2的圆，点到直线的距离，所以，直线与直线垂直，点到直线的距离，所以，所以的周长为23.【解析】（1）因为，所以，当时等号成立，所以的最小值为2.（2）因为且，要证，即证，即证，整理得，所以即证，而，等号在时成立.所以成立.