湖北省鄂北六校2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷含答案.pdf
数学试题第页共页宜城一中枣阳一中曾都一中襄阳六中南漳一中老河口一中 学年下学期高二期中考试数学试题主命题学校:命题老师:试卷满分:分考试用时:分钟注意事项:答题前,先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上,并认真核准准考证号条形码上的信息,将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答,写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.选择题用 B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑;非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答;字体工整,笔迹清楚.一、选择题:本题共小题,每小题分,共 分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的函数f(x)x,当自变量x由增加到x时,函数的平均变化率为()A B x(x)C xD x下列导数运算正确的是()A(s i n)c o sB(l o gx)xl nC(ex)exD(x)x 名同学合影,站成前排人后排人,现摄影师要从后排人中抽人调整到前排,若其他人的相对顺序不变,则不同调整方法的总数是()A CAB CAC CAD CA(xx)n的展开式中奇数项的二项式系数之和为,则展开式的一次项为()A xB xC xD x已知f(x)x(xc)在x处取极小值,则c()A 或B C D 或已知圆锥的母线长为定值R,当圆锥的体积最大时,圆锥的底面半径为()ARBRCRDR#QQABJQYQggioAJAAARgCAQUgCEOQkAGCAAoOhEAIMAAByBNABAA=#数学试题第页共页对于数列an,把它连续两项an与an的差记为bnanan,得到一个新数列bn,称数列bn 为原数列an 的一阶差数列若cnbnbn,则数列cn 是an 的二阶差数列,以此类推,可得数列an 的p阶差数列如果某数列的p阶差数列是一个非零的常数列,则称此数列为p阶等差数列,如数列,它的前后两项之差组成新数列,新数列,的前后两项之差再组成新数列,新数列,为非零常数列,则数列,称为二阶等差数列已知数列an 满足a,且Snan(n),则下列结论中错误的有()Aan 为二阶等差数列Ban 为三阶等差数列Canannn(n)Dann(n)(n)已知f(x)是函数f(x)的导函数,对于任意实数x都有f(x)ex(x)f(x),f(),则不等式f(x)ex的解集为()A(,)(,)B(,)(,)C(,)D(,)二、选择题:本题共小题,每小题分,共 分在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求全部选对的得分,部分选对的得部分分,有选错的得分如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的 详解九章算法商功 中,后人称为“三角垛”“三角垛”最上层有个球,第二层有个球,第三层有个球,设第n层有an个球,从上往下n层球的总数为Sn,则()Aanann(n)BS CSnSnn(n)(n)Daaaa 过抛物线E:yp x上一点M(,)作两条直线l,l,l与E的另一个交点为A,l与E的另一个交点为B,抛物线的焦点为F,则()AE的准线方程为xB过点M与E相切的直线方程为yxC以MF为直径的圆与y轴相切D若kMAkMB,则kA B 已知函数f(x)exa x(a为常数),则下列结论正确的有()Aa时,f(x)恒成立B若f(x)有个零点,则a的取值范围为(e,)Ca时f(x)有唯一零点x且xDae时,x是f(x)的极值点#QQABJQYQggioAJAAARgCAQUgCEOQkAGCAAoOhEAIMAAByBNABAA=#数学试题第页共页三、填空题:本题共小题,每小题分,共 分 f(x)xx,则f(x)在x处的切线方程为 暑假期间,有名教师对名学生进行家访活动,若这名教师每位至少到一名学生家中,又这名学生都能且只能得到一名教师的家访,则不同的家访方案种数是 已知当x(,e,不等式aex l nxa恒成立,则实数a的取值范围是四、解答题:本题共小题,共 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(本小题满分 分)()求(x)(x)的展开式中含x的项;()若(xx)aaxaxa x,求:aaaa;aaa a (本小题满分 分)如图,在三棱柱A B C ABC中,底面A B C侧面A C CA,A CA A,B C,A C B ()证明:ACAB;()若三棱锥A A B C的体积为,AA C为锐角,求平面A BC与平面BCC的夹角#QQABJQYQggioAJAAARgCAQUgCEOQkAGCAAoOhEAIMAAByBNABAA=#数学试题第页共页(本小题满分 分)已知数列an 满足ananan(nN),a()证明:数列an为等差数列,并求数列an 的通项公式;()若记bn为满足不等式()nak()n,nN的正整数k的个数,求数列bnan 的前n项和Sn(本小题满分 分)已知动点M到点F(,)的距离与到直线l:x的距离之比为()求动点M的轨迹C的方程;()过点A(,)的直线与轨迹C交于P,Q两点,点P关于x轴对称的点为R,求A Q R面积的取值范围(本小题满分 分)已知函数f(x)ex s i nx,g(x)al n(x)()记k(x)xg(x),讨论k(x)的单调性;()当x,时,f(x)g(x)恒成立,求a的取值范围#QQABJQYQggioAJAAARgCAQUgCEOQkAGCAAoOhEAIMAAByBNABAA=#数学试题参考答案第页共页20232024 学年下学期高二期中考试数学试题参考答案及评分标准题号 答案CBDACBAAA C DB C DB C D xy e,)解:()展开式中含x的项为:C(x)CxC(x)C(x)C(x)C(x)x分()令x得:aaaaa 分令x得:aaaaa 分得:(aaa)分得:aaa 分等式两边分别求导得:(xx)(x)aaxax a x 分令x得:aaa a 分即:aaa a 分 解:()平面A B C平面A C CA,B C平面A B C,平面A B C平面A C CAA C,A C B,B C平面A C CA,分AC平面A C CA,B CAC,B CBC,BCAC,分A CA A,四边形A C CA为菱形,A CAC,分BCA CC,BC,A C平面A BC,AC平面A BC分又AB平面ABCACAB分()VAA B CVBA ACSA C Ah由()知hB CSA C ASA C A A CA As i nAA C s i nAA C#QQABJQYQggioAJAAARgCAQUgCEOQkAGCAAoOhEAIMAAByBNABAA=#数学试题参考答案第页共页AA C为锐角AA C 分取AC中点D,则C DAC以C为原点,以C A、C B、C D分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系.如图所示:分则A(,),C,(),B(,)A,()BCB C(,)C CA A,(),设平面BCC的法向量为m(x,y,z)则x zy取x yz m,()分由()知,AC为平面A BC的法向量AC,()分c o sm,AC 分所以,平面A BC与平面BCC的夹角为 分()证明:anananananan即anananan分an为等差数列,其首项为,公差为分ana(n)nn分ann分()由nkn得nkn,nN分n(n)n满足不等式的正整数k的个数为nbnn分bnannn(n)n 分Sn(n)nSn(n)n 分得:Snn(n)n 分(n)(n)n(n)n 分Sn(n)n 分()设M(x,y),由题意得:(x)y|x|分#QQABJQYQggioAJAAARgCAQUgCEOQkAGCAAoOhEAIMAAByBNABAA=#数学试题参考答案第页共页两边平方得:xxyxx,化简得xy分()由题意直线P Q的斜率存在且不为,设直线P Q的方程为yk(x),P(x,y),Q(x,y)联立xyyk(x)(k)x kx kxx kk,xx kk分则(k)(k)(k)化简得:k且k分若Q在直线P R的右侧,则SA Q RSA P RSP Q R|P R|(x)若Q在直线P R的左侧,则SA Q RSA P RSQ P R|P R|(xxx)|P R|(x)SA Q R|P R|(x)|y|(x)|k(x)|(x)分xSA Q R|k(x)(x)|k(xx)xx k(kk kk)|k|k|k|k|分|k|k|k|SA Q R 分所以A Q R面积的取值范围(,)分()k(x)xal n(x)其定义域为(,)k(x)axxax分当a即a时,k(x)xak(x)xa增区间为(a,)减区间为(,a)分当a即a时k(x)为增函数分当a即a时k(x)为增函数分综上a时,k(x)的增区间(a,)减区间(,a)a时,k(x)的增区间(,)分#QQABJQYQggioAJAAARgCAQUgCEOQkAGCAAoOhEAIMAAByBNABAA=#数学试题参考答案第页共页()f(x)g(x)exal n(x)s i nx恒成立,x,令m(x)exal n(x)s i nx,则m(),所以当x,时,f(x)g(x)等价于m(x)m()恒成立由于m(x)exax c o sx,x,分()当a时,m(x)ex,函数ym(x)在,上单调递增,所以m(x)m(),在区间,上恒成立,符合题意;分()当a时,m(x)exax c o sx在,上单调递增,m()aa当a,即a时,m(x)m()a,函数ym(x)在,上单调递增,所以m(x)m()在,上恒成立,符合题意;分当a,即a时,m()a,m()ea,若m(),即a()(e)时,m(x)在(,)上恒小于,则m(x)在(,)上单调递减,m(x)m(),不符合题意;分若m(),即()(e)a时,存在x(,),使得m(x),所以当x(,x)时,m(x),则m(x)在(,x)上单调递减,则m(x)m(),不符合题意 分综上所述,a的取值范围是,)分#QQABJQYQggioAJAAARgCAQUgCEOQkAGCAAoOhEAIMAAByBNABAA=#
