2024初中数学竞赛八年级竞赛辅导讲义专题19 平行四边形、矩形、菱形含答案.doc

2024初中数学竞赛八年级竞赛辅导讲义专题19 平行四边形、矩形、菱形阅读与思考平行四边形、矩形、菱形的性质定理与判定定理是从对边、对角、对角线三个方面探讨的，矩形、菱形都是特殊的平行四边形，矩形的特殊性由一个直角所体现，菱形的特殊性是由邻边相等来体现，因此它们除兼有平行四边形的一般性质外，还有特有的性质；反过来，判定一个四边形为矩形或菱形，也就需要更多的条件.连对角线后平行四边形、矩形、菱形就与特殊三角形联系在一起，所以讨论平行四边形、矩形、菱形相关问题时，常用到特殊三角形性质、全等三角形法；另一方面，又要善于在四边形的背景下思考问题，运用平行四边形、矩形、菱形的丰富性质为解题服务，常常是判定定理与性质定理的综合运用.熟悉以下基本图形：例题与求解【例l】如图，矩形ABCD的对角线相交于O，AE平分BAD，交BC于E，CAE15°，那么BOE_.(“祖冲之杯”邀请赛试题)解题思路：从发现矩形内含的特殊三角形入手.【例2】下面有四个命题：一组对边相等且一组对角相等的四边形是平行四边形；一组对边相等且一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形；一组对角相等且这一组对角的顶点所连结的对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形；一组对角相等且这一组对角的顶点所连结的对角线被另一条对角线平分的四边形是平行四边形；其中，正确的命题的个数是（ ）A.1 B. 2 C. 3 D.4(全国初中数学联赛试题)解题思路：从四边形边、角、对角线三类元素任意选取两类，任意组合就产生许多判定平行四边形的命题，关键在于对假命题能突破正规的、标准位置的图形构造反例否定.【例3】如图，菱形ABCD的边长为2，BD2，E，F分别是边AD，CD上的两个动点且满足AE+CF2.（1）判断BEF的形状，并说明理由；（2）设BEF的面积为S，求S的取值范围.(烟台中考试题)解题思路：对于（1）由数量关系发现图形特征；对于（2），只需求出BE的取值范围.【例4】如图，设P为等腰直角三角形ACB斜边AB上任意一点，PEAC于点E，PFBC于点F，PGEF于点G，延长GP并在春延长线上取一点D，使得PDPC.求证：BCBD，BCBD. (全国初中数学联赛试题)解题思路：只需证明CPBDPB，关键是利用特殊三角形、特殊四边形的性质.【例5】在ABCD中，BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC的延长线于点F.（1）在图1中证明CECF；（2）若ABC90°，G是EF的中点（如图2），直接写出BDG的度数；（3）若ABC120°，FGCE，FGCE，分别连结DB，DG（如图3），求BDG的度数.(北京市中考试题)解题思路：对于（1），由角平分线加平行线的条件可推出图中有3个等腰三角形；对于（2），用测量的方法可得BDG=45°，进而想到等腰直角三角形，连CG，BD，只需证明BGCDGF，这对解决（3），有不同的解题思路.对于（3）【例6】如图，ABC中，C90°，点M在BC上，且BMAC，点N在AC上，且ANMC，AM与BN相交于点P.求证：BPM45°.(浙江省竞赛试题)解题思路：条件给出的是线段的等量关系，求证的却是角度等式，由于条件中有直角和相等的线段，因此，可想到等腰直角三角形，解题的关键是平移AN或AC，即作MEAN，MEAN，构造平行四边形.能力训练A级1. 如图，ABCD中，BECD，BFAD，垂足分别为E、F，若CE2，DF1，EBF60°，则ABCD的面积为_.2. 如图，ABCD的对角线相交于点O，且ADCD，过点O作OMAC，交AD于点M，若CDM周长为a，那么ABCD的周长为 _.(浙江省中考试题)3. 如图，在RtABC中，B90°，BAC78°，过C作CFAB，连结AF与BC相交于G，若GF2AC，则BAG的大小是_.(“希望杯”竞赛试题)4. 如图，在菱形ABCD中，BEAF60°，BAE20°，则CEF的大小是_.(“希望杯”邀请赛试题)5. 四边形的四条边长分别是a，b，c，d，其中a，c为对边，且满足，则这个四边形一定是（ ）A.两组角分别相等的四边形 B. 平行四边形 C. 对角线互相垂直的四边形 D. 对角线相等的四边形6.现有以下四个命题：对角线相等的四边形是矩形；对角线互相垂直的四边形是菱形；有一个角为直角且对角线互相平分的四边形为矩形；菱形的对角线的平方和等于边长的平方的4倍.其中，正确的命题有（ ）A. B. C. D. 7. 如图，在矩形ABCD中，AB1，AD，AF平分DAB，过点C作CEBD于E，延长AF，EC交于点H，下列结论中：AFFH；BOBF；CACH；BE3ED.正确的是（ ）A. B. C. D. (齐齐哈尔中考试题)8. 如图，矩形ABCD的长为a，宽为b，如果，则（ ）A. B. C. D. (“缙云杯”竞赛试题)9. 已知四边形ABCD，现有条件：ABDC；ABDC；ADBC；ADBC；AC；BD.从中取两个条件加以组合，能推出四边形ABCD是平行四边形的有哪几种情形？请具体写出这些组合.(江苏省竞赛试题)10. 如图，ABC为等边三角形，D、F分别是BC、AB上的点，且CDBF， 以AD为边作等边ADE.（1）求证：ACDCBF ；（2）当D在线段BC上何处时，四边形CDEF为平行四边形，且DEF30°，证明你的结论. (江苏省南通市中考试题)11. 如图，在RtABC中，ABAC，A90°，点D为BC上任一点，DFAC于F，DEAC于E，M为BC中点，试判断MEF是什么形状的三角形，并证明你的结论.(河南省中考试题)12. 如图，ABC中，AB3，AC4，BC5，ABD，ACE，BCF都是等边三角形，求四边形AEFD的面积.(山东省竞赛试题)B级1. 如图，已知ABCD是平行四边形，E在AC上，AE2EC，F在AB上，BF2AF，如果BEF的面积为2，则ABCD的面积是_. (“希望杯”竞赛试题)2. 如图，已知P为矩形ABCD内一点，PA3，PD4，PC5，则PB_. (山东省竞赛试题)3. 如图，在矩形ABCD中，AB6cm，BC8cm，现将矩形折叠，使B点与D点重合，则折痕EF长为_. (武汉市竞赛试题)4. 如图，在矩形ABCD中，AB8，BC4，将矩形沿AC折叠，使点D落在点处，交AB于点F，则重叠部分AFC的面积为 _. (山东省竞赛试题)5. 如图，在矩形ABCD中，已知AD12，AB5，P是AD边上任意一点，PEBD于E，PFAC于F，那么PE+PF的值为_. (全国初中数学联赛试题)6. 如图，菱形ABCD的边长为4 cm，且ABC60°，E是BC的中点，P点在BD上，则PE+PC的最小值为_. (“希望杯”邀请赛试题)7. 如图，ABC的周长为24，M是AB的中点，MCMA5，则ABC的面积是（ ）A. 30 B. 24 C.16 D.12 (全国初中数学联赛试题)8. 如图，ABCD中，ABC75°，AFBC于F，AF交BD于E，若DE2AB，则AED的大小是（ ）A. 60° B. 65° C.70° D.75°9. 如图，已知AB，均垂直于，17，16，20，12，则AP+PB的值为（ ）A. 15 B.14 C. 13 D.12(全国初中数学联赛试题)10. 如图1，ABC是直角三角形，C90°，现将ABC补成矩形，使ABC的两个顶点为矩形一边的两个端点，第三个顶点落在矩形这一边的对边上，那么符合要求的矩形可画出两个：矩形ACBD和矩形AEFB（如图2）.解答问题：（1）设图2中矩形ACBD和矩形AEFB的面积分别为，则_（填“”、“”或“”）.（2）如图3，ABC是钝角三角形，按短文中的要求把它补成矩形，那么符合要求的矩形可以画出_个，利用图3画出来.（3）如图4，ABC是锐角三角形且三边满足BCACAB，按短文中的要求把它补成矩形，那么符合要求的矩形可以画出_个，利用图4画出来.（4）在（3）中所画出的矩形中，哪一个的周长最小？为什么？(陕西中考试题)11.四边形ABCD中，ABBCCDDA，BAD120°，M为BC上一点，N为CD上一点.求证：若AMN有一个内角等于60°，则AMN为等边三角形.12. 如图，六边形ABCDEF中，ABDE，BCEF，CDAF，对边之差BCEFEDABAFCD0.求证：该六边形的各角相等.(全俄数学奥林匹克试题)专题19 平行四边形、矩形、菱形例1 75° 例2 A 只有命题正确.例3 （1）BEF为正三角形 提示：由ABD和BCD为正三角形，可证明BDEBCF，得：BE=BF，DBE=CBF.DBC=CBF+DBF=DBE+DBF=60°，即EBF=60°，故BEF为等边三角形.(2)设，则可得：，当BEAD时，有最小值为.当BE与AB重合时，有最大值为2，. .例4 提示：PC=EF=PD，可证明CPBDPB.例5 （1）略 （2）45° （3）60°如图，延长AB至H，使AH=AD，连DH，则AHD是等边三角形.AH=AD=DF，BH=GF，又BHD=GFD=60°，DH=DF，DBHDGF，BDH=GDF， 例6 如图过M作，连NE，BE，则四边形AMEN为平行四边形，得NE=AM，MEBC.ME=CM，EMB=MCA=90°，BM=AC.BEMAMC，得BE=AM=NE，1=2，3=4.1+3=90°，2+4=90°且BE=NE.BEN为等腰直角三角形，BNE=45°.AMNE，BPM=BNE=45°. A级1. 2. 3. 26° 提示：作FG边上中线，连接EC，则EF=EC=AC.4. 20° 提示：连接AC，则AFCAEB，AEF为等边三角形. 5.C 6.B 7.D8. A 提示：E、F分别为AB、BC中点.9.从6个条件中任取2个，只有15种组合，其中能推出四边形ABCD是平行四边形的有以下9种情形：与；与；与；与；与；与；与；与；与.10. 提示：（2）当D为BC中点时，满足题意.11. 提示：连AM，证明AMFBME，可证MEF为等腰直角三角形.12. 6 提示：由ABCDBF，ABCEFC得：AC=DF=AE，AB=EF=AD.故四边形AEFD为平行四边形.又BAC=90°，则DAE=360°90°60°60°=150°，则ADF=AEF=30°，则F到AD的距离为2，故.B级1. 9 2. 提示：可以证明. 3.4. 10 提示：可先证：AF=CF.设，则，. . .5. 提示：过A作AGBD于G可证PE+PF=AG，由可得：.6. cm 提示：A，C关于BD对称，连AE交BD于P.PE+PC=AE.又AEBC且BAE=30°，为最小.7. B8. B 提示：取DE中点为G，连结AG，则AG=DG=EG.9. C10.(1)=；图略 （2）1；图略 （3）3；图略 （4）以AB为边的矩形周长最小，用面积法证明11证明：连AC，如图，则易证ABC与ADC都为等边三角形(1)若MAN60°，则ABMACNAMAN，MAN60°，AMN为等边三角形(2)AMN60°，过M作CA的平行线交AB于PBPMBAC60°，B60°，BPM为等边三角形，BPBM，BABCAPMC又APM120°MCNPAMAMCBAMC60°AMCAMNCMN，PAMCMNAMMN，又AMN60°故AMN为等边三角形12提示：如图，分别过点A作AMEF，过点C作CPAB，过点E作ENAF，它们分别交于N，M，P点，得ABCM、CDEP、EFAN，则EFAN，ABCM，CDPE，BCAM，CPDE，AFNE，由条件得NMP为等边三角形，可推得六边形的每个内角均为120°专题20 正方形 阅读与思考 矩形、菱形、正方形都是平行四边形，但它们都是有特殊条件的平行四边形，正方形不仅是特殊的平行四边形，而且是邻边相等的特殊矩形，也是有一个角是直角的菱形，因此，我们可以利用矩形、菱形的性质来研究正方形的有关问题正方形问题常常转化为三角形问题解决，在正方形中，我们最容易得到特殊三角形、全等三角形，熟悉以下基本图形例题与求解【例l】 如图，在正方形纸片中，对角线，交于点，折叠正方形纸片，使落在上，点恰好与上的点重合，展开后，折痕分别交，于点，.下列结论：；四边形是菱形；.其中，正确结论的序号是_ （重庆市中考试题）解题思路：本题需综合运用轴对称、菱形判定、数形结合等知识方法 【例2】如图1，操作：把正方形的对角线放在正方形的边的延长线上，取线段的中点.连， （1）探究线段，的关系，并加以证明 （2）将正方形绕点旋转任意角后（如图2），其他条件不变 探究线段，的关系，并加以证明 （大连市中考题改编）解题思路：由为中点，想到“中线倍长法”再证三角形全等 【例3】如图，正方形中，是，边上两点，且，于，求证：. （重庆市竞赛试题） 解题思路：构造的线段是解本例的关键 【例4】 如图，正方形被两条与边平行的线段、分割成四个小矩形，是与的交点，若矩形的面积恰是矩形面积的2倍，试确定的大小，并证明你的结论 （北京市竞赛试题） 解题思路：先猜测的大小，再作出证明，解题的关键是由条件及图形推出隐含的线段间的关系 【例5】 如图，在正方形中，分别是边，上的点，满足，分别与对角线交于点 求证：（1）； （2） （四川省竞赛试题） 解题思路：对于（1），可作辅助线，创造条件，再通过三角形全等，即可解答；对于（2），很容易联想到直角三角形三边关系 【例6】已知 ：正方形中，绕点顺时针旋转，它的两边分别交，（或它们的延长线）于点 当绕点旋转到时（如图1），易证（1）当绕点旋转到时（如图2），线段和之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明；（2）当绕点旋转到如图3的位置时，线段和之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想 （黑龙江省中考试题） 解题思路：对于（2），构造是解题的关键 图1 图2 图3能力训练A级1. 如图，若四边形是正方形，是等边三角形，则的度数为_.（北京市竞赛试题）2. 四边形的对角线相交于点，给出以下题设条件：；其中，能判定它是正方形的题设条件是_. （把你认为正确的序号都填在横线上） （浙江省中考试题） 3如图，边长为1的两个正方形互相重合，按住一个不动，将另一个绕顶点顺时针旋转，则这两个正方形重叠部分的面积是_. （青岛市中考试题） 第1题图 第3题图 第4题图4.如图，是正方形内一点，将绕点顺时针方向旋转至能与重合，若，则=_. （河南省中考试题） 5.将个边长都为的正方形按如图所示摆放，点分别是正方形的中心，则个正方形重叠形成的重叠部分的面积和为( )A . B C. D. （晋江市中考试题） 第5题图 第6题图 6. 如图，以的斜边为一边在的同侧作正方形，设正方形的中心为，连接，如果，则的长为( )A . 12 B8 C. D. （浙江省竞赛试题） 7如图，正方形中，那么是( )A . B C. D. 8如图，正方形的面积为256，点在上，点在的延长线上，的面积为200，则的值是( )A15 B12 C11 D10 9如图，在正方形中，是边的中点，与交于点，求证： 10. 如图，在正方形中，是边的中点，是上的一点，且 求证：平分 11. 如图，已知是正方形对角线上一点，分别是垂足求证：（扬州市中考试题） 12.（1）如图1，已知正方形和正方形，在同一条直线上，为线段的中点探究：线段的关系（2）如图2，若将正方形绕点顺时针旋转，使得正方形的对角线在正方形的边的延长线上，为的中点试问：（1）中探究的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由（大连市中考试题） 图1 图2 B级1. 如图，在四边形中，于，若四边形的面积为8，则的长为_.2.如图，是边长为1的正方形内一点，若，则_. （北京市竞赛试题）3.如图，在中，以为一边向三角形外作正方形，正方形的中心为，且，则的长为_.（“希望杯”邀请赛试题）4.如图：边长一定的正方形，是上一动点，交于，过作交于点，作于点，连接，下列结论：；为定值，其中一定成立的是( )A . B C. D. 5.如图，是正方形，是菱形，则与度数的比值是( )A . 3 B4 C. 5 D. 不是整数6.一个周长为20的正方形内接于一个周长为28的正方形，那么从里面正方形的顶点到外面正方形的顶点的最大距离是( )A . B C. 8 D. E.（美国高中考试题）7.如图，正方形中，是的中点，设，在上取一点，使，则的长度等于 ( )A . 1 B2 C. 3 D. （“希望杯”邀请赛试题）8.已知正方形中，是中点，是延长线上一点，且交平分线于（如图1）（1）求证：；（2）若将上述条件中的“是中点”改为“是上任意一点”其余条件不变（如图2），（1）中结论是否成立？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由；（3）如图2，点是的延长线上（除点外）的任意一点，其他条件不变，则（1）中结论是否成立？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由； （临汾市中考试题） 9.已知求证：10.如果，点分别在正方形的边上，已知的周长等于正方形周长的一半，求的度数 （“祖冲之杯”邀请赛试题） 11.如图，两张大小适当的正方形纸片，重叠地放在一起，重叠部分是一个凸八边形，对角线分这个八边形为四个小的凸四边形，请你证明：，且（北京市竞赛试题） 12.如图，正方形内有一点，以为边向外作正方形和正方形，连接求证：（武汉市竞赛试题）专题20正方形例1提示：在AD上取AHAE，连EH，则AHE45°，HEDHDE22.5°，则HEHD又HEHDAE，故不正确又 ，故不正确例2提示：(1)延长DM交CE于N，连DF，NF，先证明ADMENM，再证明CDFENF得FDFN，DFNCFE90°，故MDMF且MDMF(2)延长DM到N点，使DMMN，连FD，FN，先证明ADMENM，得ADEN，MADMEN，则ADEN延长EN，DC交于S点，则ADCCSN90°在四边形FCSE中，FCSFEN180°，又FCSFCD180°，故FENFCD，再证CDFENF(1)中结论仍成立例3提示：延长BC至点H，使得CHAE，连结DE，DF，由RtDAERtDCH得，DEDH，进而推证DEFDFH，RtDGERtDCH例4设AGa，BGb，AEx，EDy，则 由得axyb，平方得a22axx2y22byb2将代入得a22axx2y24axb2，(ax)2b2y2，得axb2y2CH2CF2FH2，axFH，即DHBFFH延长CB至M，使BMDH，连结AM，由RtABMRtADH，得AMAH，MABHADMAHMABBAHBAHHAD90°再证AMFAHFMAFHAF即HAFMAH45°例5(1)如图，延长CD至点E1，使DE1BE，连结AE1，则ADE1ABE从而，DAE1BAE，AE1AE，于是EAE190°在AEF和AE1F中，EFBEDFE1DDFE1F，则AEFAE1F故EAFE1AFEAE145°(2)如图，在AE1上取一点M1，使得AM1AM，连结M1D，M1N则ABMADM1，ANMANM1，故ABMADM1，BMDM1，MNM1NNDM190°，从而M1N2M1D2ND2，MN2BM2DN2例6(1)BMDNMN成立如图a，把AND绕点A顺时针旋转90°，得到ABE，E、B、M三点共线，则DANBAE，AEAN，EAMNAM45°，AMAM，得AEMANM，MEMNMEBEBMDNBM，DNBMMN(2)DNBMMN如图b，对于图2，连BD交AM于E，交AN于F，连EN，FM可进一步证明：CMN的周长等于正方形边长的2倍；EF2BE2DF2；AEN，AFM都为等腰直角三角形；A级175°23 435C6B7B8B9提示：ABEDCE，ADFCDF，证明ABEBAF90°10提示：延长CE交DA的延长线于G，证明FGFC11提示：连PC，则PCEF12(1)延长DM交EF于N，由ADMENM，得DMNM，MFDN，FDFN，故MDMF，且MDMF(2)延长DM交CE于N，连结DF，FN，先证明ADMENM，再证明CDFENF，(1)中结论仍成立B级1.2 2.60°°提示：MA2MC2MD2MB2 3.5 4.D 5.C 6.B 7.B8.提示:在AD上截取AFAM，DFMMBN，由DFMMBN，故DMMN.证法同上，结论仍成立. 在AD延长线取一点E，使DEBM，可证明DEMMBN，故DMMN.9.提示：构造边长为1的正方形ABCD，P为正方形ABCD内一点，过P作FHAB交AD于F，交BC于H,作EGAD交AB于E，交CD于G.设AEa,则BE1a.设AFb，则DF1b.PA,同理：PB,PC，PD.又PAPBPCPD2AC2，命题得证.10.提示：MNBMDN，延长CD至M',使M'DBM，证明ADM'ABM，AM'NAMN，则MANM'ANMAM45°.11.提示：八边形八个内角分成两组，每一组四个角都相等.12.连结RN,MP，MPCBACBRN，则RBMP，又RNMPCB，则RMBP，从而四边形RBPM是平行四边形，故BPRM. 专题21 梯形 阅读与思考 梯形是一类具有一组对边平行而另一组对边不平行的特殊四边形，梯形的主要内容是等腰梯形、直角梯形等相关概念及性质.解决梯形问题的基本思路是：通过适当添加辅助线，把梯形转化为三角形或平行四边形，常见的辅助线的方法有：（1）过一个顶点作一腰的平行线（平移腰）；（2）过一个顶点作一条对角线的平行线（平移对角线）；（3）过较短底的一个顶点作另一底的垂线；（4）延长两腰，使它们的延长线交于一点，将梯形还原为三角形如图所示： 例题与求解【例1】如图，在四边形ABCD中，AB/CD，D2B，AD和CD的长度分别为，那么AB的长是_. （荆州市竞赛试题）解题思路：平移一腰，构造平行四边形、特殊三角形 【例2】如图1，四边形ABCD是等腰梯形，AB/CD由四个这样的等腰梯形可以拼出图2所示的平行四边形（1）求四边形ABCD四个内角的度数；（2）试探究四边形ABCD四条边之间存在的等量关系，并说明理由；（3）现有图1中的等腰梯形若干个，利用它们你能拼出一个菱形吗？若能，请你画出大致的示意图 （山东省中考试题） 解题思路：对于（1）、（2），在观察的基础上易得出结论，探寻上、下底和腰及上、下底之间的关系，从作出梯形的常见辅助线入手；对于（3），在（2）的基础上，展开想象的翅膀，就可设计出若干种图形 【例3】如图，在等腰梯形ABCD中，AD/BC，ABDC，且ACBD，AF是梯形的高，梯形的面积是49cm2，求梯形的高. （内蒙古自治区东四盟中考试题） 解题思路：由于题目条件中涉及对角线位置关系，不妨从平移对角线入手 【例4】 如图，在等腰梯形ABCD中，AB/DC，AB998，DC1001，AD1999，点P在线段AD上，问：满足条件BPC900的点P有多少个？ （全国初中数学联赛试题） 解题思路：根据ABDCAD这一关系，可以在AD上取点构造等腰三角形 【例5】 如图，在等腰梯形ABCD中，CD/AB，对角线AC，BD相交于O，ACD600，点S，P，Q分别为OD，OA，BC的中点 （1）求证：PQS是等边三角形；（2）若AB5，CD3，求PQS的面积；（3）若PQS的面积与AOD的面积的比是7：8，求梯形上、下两底的比CD：AB （“希望杯”邀请赛试题） 解题思路：多个中点给人以广泛的联想：等腰三角形性质、直角三角形斜边中线、三角形中位线等. 【例6】如图，分别以ABC的边AC和BC为一边，在ABC外作正方形ACDE和CBFG，点P是EF的中点，求证：点P到边AB的距离是AB的一半 （山东省竞赛试题） 解题思路：本题考查了梯形中位线定理、全等三角形的判定与性质关键是要构造能运用条件EPPF的图形 能力训练A 级