【数学】二项式定理课时过关练-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册.docx
6.3二项式定理 课时过关练一、单选题1.在 x2+2x8 的展开式中，含 x4 项的系数是 A 16 B 70 C 560 D 1120 2已知的展开式中,二项式系数和为32,各项系数和为243,则( )A.2B.3C.D.3.设，化简（ ）ABCD4在的展开式中,x的系数为( )A.-50B.-35C.-24D.-10 5.二项式 3x+13xn 的展开式中只有第 11 项的二项式系数最大，则展开式中 x 的指数为整数的项的个数为 A 3 B 5 C 6 D 7 6今天是星期三，经过7天后还是星期三，那么经过天后是( )A.星期二 B.星期三 C.星期四 D.星期五7设 aZ，且 0a13，若 512020+a 能被 13 整除，则 a= A 0 B 1 C 11 D 12 8展开式中,的系数为( )A.B.320C.D.240二、多选题9.若的二项展开式共有8项，则该二项展开式（ ）AB各项二项式系数和为128C二项式系数最大项有2项D第4项与第5项系数相等且最大10已知,则( )A.B.C.D.三、填空题11.若二项式展开式中各项系数之和为，则_.（用数字作答）12在 x-2x5 的二项展开式中，x-2 的系数为 （用数字作答）13.已知，则_14. x2+x3+x4x-1x6 的展开式中 x2 项的系数为 四、 解答题15设 3x-14=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4(1) 求 a0+a1+a2+a3+a4(2) 求 a0+a2+a4(3) 求 a1+a2+a3+a416.已知的展开式中,前三项系数的绝对值依次成等差数列.(1)求展开式中二项式系数最大的项;(2)求展开式中所有的有理项.17. 用二项式定理证明： (1) 1+2+22+23+25n-1 能被 31 整除 (2)求9192被100除所得的余数18.已知在 3x-33xn 的展开式中，第 6 项为常数项(1) 求 n；(2) 求含 x2 项的系数；(3) 求展开式中所有的有理项参考答案一、单选题1. 【答案】D【解析】 x2+2x8 的展开式的第 r+1 项为 Tr+1=C8rx28-r2xr=C8r2rx16-3r，令 16-3r=4，所以 r=4故 x4 项的系数为 24×C84=16×8×7×6×54×3×2=11202【答案】A解析：展开式二项式系数和为32,则:,故.则各项系数和为,据此可得:.本题选择A选项.3.【答案】B【解析】因为，所以，所以，故，故选：B.4【答案】A解析：的展开式中,含x的项是4个因式中任取1个因式选择x,另外3个因式中选择常数项相乘积的和,则的展开式中,含x的项为,所以x的系数为-50.5. 【答案】D【解析】根据 3x+13xn 的展开式中只有第 11 项的二项式系数最大，得 n=20，所以 3x+13xn 的展开式的通项为 Tk+1=C20k3x20-k13xk=320-kC20kx20-4k3，要使 x 的指数是整数，需 k 是 3 的倍数，所以 k=0,3,6,9,12,15,18，所以 x 的指数是整数的项共有 7 项6【答案】C解析：因为，所以被7除所得的余数为1，故经过天后是星期四，故选C.7. 【答案】D【解析】将复杂的整除问题转化为二项式展开问题因为 51=52-1，所以 512020=52-12020=522020-C20201522019+-C20202019521+1，又因为 52 能被 13 整除，所以只需 1+a 能被 13 整除，因为 aZ，0a13，所以 a=12，故选D8【答案】A解析：因为,所以通项公式为:,令,所以,设二项式的通项公式为:,令,所以,因此项的系数为:,故选:A.二.多选题9. 【答案】BC【解析】由题意，的二项展开式共有8项，可得，所以A错误；根据二项式展开式二项式系数和的性质，可得二项式系数的和为，所以B正确；根据展开式中二项式系数的性质，可得中间项的二项式系数最大，即第4和第5项的二项式系数最大，所以C正确；由展开式的第4项为，第5项为，所以展开式中第4项与第5项系数不相等，所以D错误.故选：BC.10【答案】ACD解析：因为,令可得,令可得,所以,故A正确;令可得,-得,故B错误;得,又展开式的通项为（且）,所以当r为奇数时展开式系数为负数,当r为偶数时展开式系数为正数,即,所以,故C正确;将两边对求导可得：,再令可得,故D正确;故选：ACD.三、填空题11.【答案】【解析】令，则二项式展开式中各项系数和为，解得：.故答案为：.12.【解析】 x-2x5 的二项展开式的通项公式为 Tr+1=C5rx125-r-2rx-r，由 125-r-r=-2 得，3r=9，r=3，所以系数为 C53-23=10×-8=-8013.【答案】9【解析】故，所以，故答案为9.14. 【答案】 -5 【解析】 x-1x6 的通项公式 Tr+1=C6rx6-r-1xr=C6r-1rx6-2r，6-2r 为偶数当 6-2r=0 时，r=3，此时 x-1x6 展开式的常数项为 C63-13=-20，当 6-2r=-2 时，r=4，此时 x-1x6 展开式的 x-2 的系数为 C64-14=15，所以 x2+x3+x4x-1x6 的展开式中 x2 项的系数为 C63-13+C64-14=-20+15=-5四、解答题15. 【答案】(1) 令 x=1，得 a0+a1+a2+a3+a4=3-14=16(2) 令 x=-1 得，a0-a1+a2-a3+a4=-3-14=256，而由（1）知 a0+a1+a2+a3+a4=3-14=16，两式相加，得 a0+a2+a4=136(3) 令 x=0 得 a0=0-14=1，得 a1+a2+a3+a4=a0+a1+a2+a3+a4-a0=16-1=1516【答案】（1）（2）,解析：（1）展开式中第项为,所以前三项系数的绝对值依次为,依题意有,即,整理得,解得（舍去）或.由二项式系数的性质可知,展开式中第5项的二项式系数最大,即.（2）由（1）知,又,由,得,故展开式中的有理项为：,.17【解析】(1)因为 1+2+22+23+25n-1=1-25n1-2=25n-1=32n-1=31+1n-1=31n+Cn131n-1+Cn231n-2+Cnn-131+1-1=3131n-1+Cn131n-2+Cnn-1, 显然括号内的数为正整数，所以，原式能被 31 整除(2)9192(1009)92C·10092C·10091·9C·10090·92C992，展开式中前92项均能被100整除，只需求最后一项除以100的余数992(101)92C·1092C·1091C·102C·101，前91项能被100整除，后两项和为919，因余数为正，可从前面的数中分离出1 000，结果为1 00091981，故9192被100除可得余数为8118. 【答案】(1) 利用通项确定 n 的值，进而根据指定项的特征求解通项公式为 Tr+1=Cnrxn-r3-3rx-r3=-3rCnrxn-2r3因为第 6 项为常数项，所以 r=5 时，有 n-2r3=0，解得 n=10(2) 令 10-2r3=2，得 r=12×10-6=2，所以 x2 项的系数为 C102-32=405(3) 由题意知，10-2r3Z,0r10,rZ, 令 10-2r3=kkZ，则 10-2r=3k，即 r=5-32k，因为 rZ，且 0r10，所以 k 应为偶数，所以 k=2,0,-2，即 r=2,5,8，所以第 3 项，第 6 项与第 9 项为有理项，它们分别为 405x2，-61236，295245x-2学科网（北京）股份有限公司
