黑龙江省牡丹江市普通高中协同发展共同体2024届高三下学期第一次模拟考试 数学含答案.pdf

高三学年考试高三学年考试数数 学学 试试 题题考试时间：120 分钟 分值：150 分一、单项选择题：本大题共一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合,2sin3lneA,131013，B,则 BA（）A13，B.131，C.03，D310，2.5名应届毕业生报考3所不同院校，每人报考且仅报考1所院校，则不同的报名方法种数是()A.53B.35C.35AD.35C3.一份新高考数学试卷中有 8 道单项选择题，小李对其中 5 道题有思路，3 道题完全没有思路。有思路的题做对的概率是9.0，没有思路的题只能猜一个答案，猜对答案的概率为25.0，则小李从这 8 道题目中随机抽取 1 道做对的概率为（）A79160 B35 C2132 D584.已知i为虚数单位，复数Rbabiaz,且满足2iz，求点),(baZ到直线3 xy距离的最大值为（）A.0B.222C.2D.225.酒驾是严重危害交通安全的违法行为，为了保障交通安全，根据国家有关规定：100mL 血液中酒精含量达到 2079mg 的驾驶员即为酒后驾车，80mg 及以上认定为醉酒驾车假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了 0.6mg/mL如果停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时 30%的速度减少，那么他至少经过几个小时才能驾驶？（结果取整数，参考数据：lg30.48，lg70.85）（）A2 B3C4D56.已知,a b crrr为不共线的平面向量，bcrr，若0abcrrrr，则br在ar方向上的投影向量为（）A.ar31B.ar21C.ar21D.ar417.已知)(xg=)(3xfx是定义在R上的奇函数，且)(xf在区间0，（上单调递减，若关于实数m的不等式 )(log2mf+)(log5.0mf)3(2 f恒成立，则m的取值范围是（）黑龙江省牡丹江市普通高中协同发展共同体2023-2024学年高三下学期第一次模拟A.310(，B.),8 C.310(，),8 D.810(，),8 8.已知函数 21 e,143,1xxxf xxxx，221g xf xaf xa 若 g x有 5 个零点，则实数a的取值范围为（）A)123(，B 123(，C 1,23 D)1,23二、多项选择题：本大题共二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题小题，每小题 6 分，共分，共 18 分分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错误的得分，部分选对的得部分分，有选错误的得 0 分分.9.下列说法中正确的是（）A.某射击运动员在一次训练中 10 次射击成绩（单位：环）如下：6，5，7，9，6，8，9，9，7，5,这组数据的下四分位数为 9B.若随机变量XB(100,p)，且)(XE20，则)(XD16C.若随机变量XN(,2)，且)4(XP)2(XPp，则)12(XPp21D.对一组样本数据),(11yx,),(22yx,),(nnyx,进行分析，由此得到的线性回归方程为：axby，至少有一个数据点在回归直线上10.已知)0,6(为函数xxaxf2cos2sin)(的一个对称中心，则（）A.3a B.函数)6(xfy为奇函数C.曲线)(xfy 关于127x对称 D.函数)(xfy 在)12,125(单调递增11.如图，已知正方体1111DCBAABCD的棱长为2，P为底面ABCD内(包括边界)的动点，则下 列结论正确的是（）A.三棱锥PDCB111的体积为定值 B存在点P，使得11ACPDC.若DBPD11，则P点在正方形底面ABCD内的运动轨迹长为D.若点P是AD的中点，点Q是1BB的中点，过P，Q作平面平 面11AACC，则平面截正方体1111DCBAABCD的截面面积为33三、填空题：本大题共三、填空题：本大题共 3 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 15 分分.12.已知角的顶点与坐标原点重合，始边与 x 轴的非负半轴重合，点)1,2(P在终边上，则2cos_13.已知5522105)21(xaxaxaax,则3a (用数字作答)14.设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线xy42上任意一点，M是线段PF上的点，且2|3|MFPM，则直线OM的斜率的最大值为 四、解答题：本大题共四、解答题：本大题共 5 小题，共小题，共 77 分分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.(13 分)设*Nn，若数列na的前n项和为nS，且na是2与nS的等差中项()求数列na的通项公式；()若nnba 是以2为首项，4为公差的等差数列，求数列nb的前n项和nT16.(15 分)某高中举办诗词知识竞赛答题活动，比赛分两轮，具体规则如下：第一轮，参赛选手从A 类 7 道题中任选 4 道进行答题，答完后正确数超过两道（否则终止比赛）才能进行第二轮答题。第二轮答题从B类 5 道题中任选 3 道进行答题，直到答完为止。A类题每答对一道得10 分，B类题每答对一道得 20 分，答错不扣分。以两轮总分和决定优胜者。总分 70 分或 80分为三等奖，90 分为二等奖，100 分为一等奖。某班小张同学A类题中有 5 道会做，B类 5题中，每题答对的概率均为53，且各题答对与否互不影响.()求小张同学被终止比赛的概率；()现已知小张同学第一轮中回答的A类题全部正确，求小张同学第二轮答完题后总得分X的分布列及期望；()求小张同学获得三等奖的概率.17.（15 分）如图，在四棱锥ABCDP中，PA平面ABCD，CDAD，BCAD/，2CDADPA，3BCE为PD的中点，点F在PC上，且31PCPF()求证：AE平面PCD；()求平面AEF与平面PAD夹角的余弦值.()设点G在PB上，且43PBPG判断直线AG是否在平面AEF内，说明理由18.(17 分)已知双曲线:C12222byax)0,0(ba的左、右焦点分别为1F,2F,双曲线C的虚轴长为2，有一条渐近线方程为xy33,如图，点A是双曲线C上位于第一象限内的点，过点A作直线l与双曲线的右支交于另外一点B，连接AO并延长交双曲线左支于点P，连接1PF与2PF，其中l垂直于21PFF 的平分线m，垂足为D.()求双曲线C的标准方程；()求证：直线m与直线OA的斜率之积为定值；()求APDAPBSS的最小值.19.(17 分)设 1cos)(2xaxxf,Ra()当1a时，求函数)(xf的最小值；()当21a时,求证:0)(xf;()求证:341cos.31cos21cosnn)1,(*nNn 数学试题 参考答案数学试题 参考答案考试时间：120 分钟 分值：150 分一、单项选择题：本大题共一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.题号12345678答案BACDCBDA二、多项选择题：本大题共二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题小题，每小题 6 分，共分，共 18 分分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错误的得分，部分选对的得部分分，有选错误的得 0 分分.题号91011答案BCBCDABD三、填空题：本大题共三、填空题：本大题共 3 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 15 分分.12.53 13.80 14.33三、解答题15（13 分）【解析】（1），由于na是 2 与nS的等差中项；所以22nnaS，.1 分当1n 时，解得12a；.2 分 当2n时，1122nnaS，得：122nnnaaa，整理得12nnaa，.3 分 所以数列na是以 2 为首项，2 为公比的等比数列；所以12 22nnna（首项符合通项），所以nna2；.5 分（2）若nna b是以 2 为首项，4 为公差的等差数列，所以2(1)442nna bnn，所以nnnb224，或1)21)(12(nnnb.6 分故23261042.2222nnnT，23411261042.22222nnnT，.8 分得：121111(1)1424221.11222224412nnnnnnnT ；.10 分整理得1)21()32(6nnnT.13 分 16、（15 分）解析：小张同学被终止比赛的概率为724722251CCCP.3 分 12527)53()100(,12554)52()53()80(12536)52()53()60(,1258)52()40(100,80,60,40)2(333223213303CXPCXPCXPCXPX的所有可能取值分别为 .8 分分布列如下 X406080100P1258125361255412527761252710012554801253660125840)(XE .10 分1755452)53(52)53(PP概率小张张同学获得三等奖)3(223474522347123522CCCCCCC为设 .15 分17、（15 分）（1）因为PA 平面ABCD，又CD平面ABCD，则PACD，又ADCD，且PAADA，PA，AD 平面PAD，故CD 平面PAD；AECDPADAE,面又,PDAEPDEADPA中点，为,PCDPDCDDPDCD面.PCDAE面.5 分（2）过点A作AD的垂线交BC于点M，因为PA 平面ABCD，且AM，AD 平面ABCD，所以PAAM，PAAD，故以点A为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，.6 分则0,0,0,2,1,0,2,2,0,0,2,0,0,0,2ABCDP，因为E为PD的中点，则0,1,1E，所以(0,1,1),(2,2,2),(0,0,2)AEPCAPuuu ruuu ruuu r，又13PFPC，所以12 22(,)33 33PFPCuuu ruuu r，故2 2 4(,)3 3 3AFAPPFuuu ruuu ruuu r，设平面AEF的法向量为(,)nx y zr，则00n AEn AFuuu rruuu rr，即02240333yzxyz，令1z，则1y ，=1x，故(1,1,1)n r，.8 分又因为平面PAD的法向量为(1,0,0)p r，所以|,cos|cos 0,0,所以 0,将 =3代入 20320=1,03得,0=3321,0=1321,所以 3321,1321,(3221,1321),33.设直线 m 的方程为=+,将 3321,1321代 入 得 n=321,所以直线 m 的方程为 =+321,33.由点到直线距离公式得，|AD1|131313|2222kkkk113222kk.13又直线 AB 的斜率为 1,设直线 AB 的方程为=+,将 3321,1321代入得 =4321,所以直线 AB 的方程为 =+4321.将其与 232=1(0)联立得(3)82321+723321=0。设 ,则+=82(23)321,12=723(23)(321).15由 2时,()=2sin 1sin 0,可知()在 2,+上单调递增，0 2时，令()=(),当则()=2cos,可知()在 0,2上单调递增.因为 0 2 1,则 0 0,2,使得 cos0=2.当 0,)时,()0;所以()在0,x)上单调递减,在 0,2上单调递增，且(0)=2=0,则()=()0在 0,2内恒成立，可知()在 0,2上单调递减.综上所述,()在 0,2上单调递减，在 2,+上单调递增，所以()在0,+)上的最小值为 2=41.又因为()为偶函数，所以()在 R 内的最小值为 41.5(2)由(1)可知()是定义在 上的偶函数,下面取x 0,可知()=2,令()=()=2.因为 12,则()=2 1 0,则()在 0,+)上单调递增，可得()(0)=0,即()0在 0,+)上恒成立，可知()在 0,+)上单调递增，所以()在0,+)上的最小值为(0)=0,结合偶函数性质可知()0.11(3)由(2)可得,当 =12 时,()=122+cos-10,当且仅当 x=0 时,等号成立,即 cos 1122.令 =1,2,则 cos1 1122,当n 2 时,cos1 1122=1242 1 2421=112112 1,即 cos1 112112 1,则 cos12 11315,cos13 1 1517,cos1 112112 1,相加可得 cos12+cos13+cos1(1)1312 1=43+12 1.因为 2,则 12 1 0,所以341cos.31cos21cosnn 即 341cos.31cos21cosnn，)1,(*nNn.17