2024年初中升学考试九年级数学专题复习圆的综合题.docx

圆的综合题40（2023通辽）如图，AB为O的直径，D，E是O上的两点，延长AB至点C，连接CD，BDCA（1）求证：ACDDCB；（2）求证：CD是O的切线；（3）若tanE=35，AC10，求O的半径【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）165【分析】（1）由相似三角形的判定可得出答案；（2）连接OD，由圆周角定理得出ADB90°，证出ODCD，由切线的判定可得出结论；（3）由相似三角形的性质得出CDAC=BCCD=BDAD=35，由比例线段求出CD和BC的长，可求出AB的长，则可得出答案【解答】（1）证明：DCBACD，BDCBAD，ACDDCB；（2）证明：AB为O的直径，ADB90°，AABD90°，OBOD，ABDODB，BDCA，BDCODB90°，ODC90°，ODCD，OD是O的半径，CD是O的切线；（2）解：ADB90°，tanBED=35，tanBAD=BDAD=35，BDCDAC，CDAC=BCCD=BDAD=35，AC10，CD10=35，CD6，BC6=35，BC=185，ABACBC10185=325O的半径为165【点评】本题是圆的综合题，考查了切线的判定，圆周角定理，平行线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键圆的综合题46（2023长春）【感知】如图，点A、B、P均在O上，AOB90°，则锐角APB的大小为 45度【探究】小明遇到这样一个问题：如图，O是等边三角形ABC的外接圆，点P在AC上（点P不与点A、C重合），连接PA、PB、PC求证：PBPAPC小明发现，延长PA至点E，使AEPC，连接BE，通过证明PBCEBA可推得PBE是等边三角形，进而得证下面是小明的部分证明过程：证明：延长PA至点E，使AEPC，连接BE四边形ABCP是O的内接四边形，BAPBCP180°，BAPBAE180°，BCPBAE，ABC是等边三角形，BABC，PBCEBA（SAS）请你补全余下的证明过程【应用】如图，O是ABC的外接圆，ABC90°，ABBC，点P在O上，且点P与点B在AC的两侧，连接PA、PB、PC，若PB=22PA，则PBPC的值为 8227【答案】【感知】45；【探究】见解答；【应用】8227【分析】【感知】根据圆周角定理即可得出答案；【探究】先构造出PBCEBA（SAS），得出PBEB，进而得出PBE是等边三角形，即可得出结论；【应用】先构造出PBCEBA（SAS），进而判断出PBG90°，进而得出PBG是等腰直角三角形，即可得出结论；【解答】【感知】解：AOB90°，APB=12AOB45°（在同圆中，同弧所对的圆周角是圆心角的一半），故答案为：45；【探究】证明：延长PA至点E，使AEPC，连接BE四边形ABCP是O的内接四边形，BAPBCP180°，BAPBAE180°，BCPBAE，ABC是等边三角形，BABC，PBCEBA（SAS），PBEB，ABC是等边三角形，ACB60°，APB60°，PBE为等边三角形，PBPEAEAPPCAP；【应用】解：如图，延长PA至点G，使AGPC，连接BE四边形ABCP是O的内接四边形，BAPBCP180°，BAPBAG180°，BCPBAG，BABC，PBCGBA（SAS），PBGB，PBCGBA，ABC90°，PBGGBAABPPBCABPABC90°，PG=2BP，PGPAAGPAPC，PCPGPA22PAPA（221）PA，PBPC=22PA(221)PA=8227，故答案为：8227【点评】此题是圆的综合题，主要考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，全等三角形的判定和性质，作出辅助线构造出全等三角形是解本题的关键圆的综合题37（2023遂宁）如图，四边形ABCD内接于O，AB为O的直径，ADCD，过点D的直线l交BA的延长线于点M交BC的延长线于点N且ADMDAC（1）求证：MN是O的切线；（2）求证：AD2ABCN；（3）当AB6，sinDCA=33时，求AM的长【考点】圆的综合题【分析】（1）连接OD交AC于点H，根据垂径定理的推论可得半径ODAC，利用平行线的判定定理由ADMDAC可得ACMN，得出半径ODMN，再运用切线的判定定理即可证得结论；（2）连接BD，可证得CDNABD，得出CNAD=CDAB，再由ADCD，即可证得结论；（3）连接OD交AC于点H，连接BD，利用解直角三角形可得ADABsinABD6×33=23=CD，CNCDsinCDN23×33=2，利用勾股定理可得DN=CD2CN2=(23)222=22，再证明四边形CNDH是矩形，得出CHDN22，由垂径定理可得AC2CH42，再根据勾股定理求得BC2，运用平行线分线段成比例定理即可求得答案【解答】（1）证明：连接OD交AC于点H，如图，ADCD，AD=CD，半径ODAC，AHO90°，ADMDAC，ACMN，MDOAHO90°，半径ODMN，MN是O的切线；（2）证明：连接BD，如图，AB为O的直径，ADBACB90°，ADMDAC，ACMN，ACDCDN，DNCACB90°ADB，AD=AD，ABDACD，ABDCDN，CDNABD，CNAD=CDAB，ADCD，CNAD=ADAB，AD2ABCN；（3）解：连接OD交AC于点H，连接BD，如图，由（1）（2）得：ABDCDNACD，ADBBNMAHOMDO90°，sinABDsinCDNsinACD=33，AB6，ADABsinABD6×33=23，ADCD，CD23，CNCDsinCDN23×33=2，DN=CD2CN2=(23)222=22，CNDCHDNDH90°，四边形CNDH是矩形，CHDN22，ODAC，AC2CH42，在RtABC中，BC=AB2AC2=62(42)2=2，ACMN，AMAB=CNBC，即AM6=22，AM6【点评】本题是圆的综合题，考查了圆的性质，圆周角定理，垂径定理，切线的判定，勾股定理，解直角三角形，矩形的判定和性质，平行线的判定和性质，平行线分线段成比例定理等，难度适中，解题关键是正确添加辅助线38（2023广安）如图，以RtABC的直角边AB为直径作O，交斜边AC于点D，点E是BC的中点，连接OE、DE（1）求证：DE是O的切线；（2）若sinC=45，DE5，求AD的长；（3）求证：2DE2CDOE【考点】圆的综合题【分析】（1）连接OD，BD，由AB是O的直径，可得ADB90°BDC，由点E是BC的中点，可得DEBEEC，进而证得ODEOBE（SSS），得出半径ODDE，即可证得结论；（2）利用解直角三角形可得BD8，再由sinABDsinC=45，可得ADAB=45，设AD4x，则AB5x，利用勾股定理可得（4x）2+82（5x）2，求得x=83，即可求得AD=323；（3）连接BD，可证得BCDOEB，得出CDBE=BCOE，即CDDE=2DEOE，即可证得2DE2CDOE【解答】（1）证明：连接OD，BD，在RtABC中，ABC90°，AB是O的直径，ADB90°，BDC180°ADB90°，点E是BC的中点，DEBEEC，OB、OD是O的半径，OBOD，又OEOE，ODEOBE（SSS），ODEOBE90°，半径ODDE，DE是O的切线；（2）解：连接BD，如图，由（1）知：DEBEEC，ADBBDCABC90°，DE5，BC10，sinC=45，BDBC=45，BD8，C+CBDABD+CBD90°，ABDC，sinABDsinC=45，ADAB=45，设AD4x，则AB5x，AD2+BD2AB2，（4x）2+82（5x）2，解得：x=83（负值舍去），AD4x4×83=323；（3）证明：连接BD，由（1）（2）得：BDCOBE90°，BEDE，点O是AB的中点，点E是BC的中点，OEAC，BC2BE，COEB，BCDOEB，CDBE=BCOE，即CDDE=2DEOE，2DE2CDOE【点评】本题是圆的综合题，考查了圆的性质，圆周角定理，直角三角形性质，中点定义，勾股定理，解直角三角形，相似三角形的判定和性质等，解题的关键是学会添加常用辅助线39（2023怀化）如图，AB是O的直径，点P是O外一点，PA与O相切于点A，点C为O上的一点连接PC、AC、OC，且PCPA（1）求证：PC为O的切线；（2）延长PC与AB的延长线交于点D，求证：PDOCPAOD；（3）若CAB30°，OD8，求阴影部分的面积【考点】圆的综合题【分析】（1）先由切线的性质得PAO90°，然后依据“SSS”判定POC和POA全等，从而得PCOPAO90°，据此即可得出结论；（2）由DCODAP90°，ODCPDA可判定ODC和PDA相似，进而根据相似三角形的性质可得出结论；（3）连接BC，过点C作CEOB于点E，先证OCB为等边三角形，再设OEa，则OAOBOC2a，CE=3a，在RtCDE和在RtDOC中，由勾股定理得CD2CE2+DE2OD2OC2，由此可求出a的值，进而得O的半径为4，然后根据S阴影SDOCS扇形BOC即可得出答案【解答】（1）证明：AB为O的直径，PA为O的切线，PAOA，即：PAO90°，点C在O上，OCOA，在POC和POA中，OC=OAPC=PAPO=PO，POCPOA（SSS），PCOPAO90°，即：PCOC，又OC为O的半径，PC为O的切线（2）证明：由（1）可知：OCPD，DCODAP90°，又ODCPDA，ODCPDA，OCPA=ODPD，即：PDOCPAOD（3）解：连接BC，过点C作CEOB于点E，CAB30°，COB60°，又OCOB，OCB为等边三角形，CEOB，OEBE，设OEa，显然a0，则OAOBOC2a，在RtOCE中，OEa，OC2a，由勾股定理得：CE=OC2OE2=3a，OD8，DEODOE8a，在RtCDE中，CE=3a，DE8a，由勾股定理得：CD2=CE2+DE2=(3a)2+(8a)2，在RtDOC中，OC2a，OD8，由勾股定理得：CD2OD2OC282（2a）2，(3a)2+(8a)2=82(2a)2，整理得：a22a0，a0，a2，OC2a4，CE=3a=23，SDOC=12ODCE=12×8×23=83，又S扇形BOC=60×42360=83，S阴影=SDOCS扇形BOC=8383【点评】此题主要考查了切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，扇形面积的计算，勾股定理的应用等知识点，解答此题的关键是熟练掌握全等三角形、相似三角形的判定方法，理解切线垂直于过且点的半径；过半径的外端垂直于半径的直线是圆的切线；难点是在解答（3）时，设置适当的未知数，利用勾股定理构造方程求出圆的半径圆的综合题48（2023宁波）如图，在RtABC中，C90°，E为AB边上一点，以AE为直径的半圆O与BC相切于点D，连结AD，BE3，BD35P是AB边上的动点，当ADP为等腰三角形时，AP的长为 6或230【考点】圆的综合题【分析】连接OD，DE，根据切线的性质和勾股定理求出OD6，然后分三种情况讨论：当APPD时，此时P与O重合，如图2，当APAD时，如图3，当DPAD时，分别进行求解即可【解答】解：如图1，连接OD，DE，半圆O与BC相切于点D，ODBC，在RtOBD中，OBOE+BEOD+3，BD35OB2BD2+OD2，（OD+3）2（35）2+OD2，解得OD6，AOEOOD6，当APPD时，此时P与O重合，APAO6；如图2，当APAD时，在RtABC中，C90°，ACBC，ODAC，BODBAC，ODAC=BDBC=BOBA，6AC=3535+CD=3+63+6+6，AC10，CD25，AD=AC2+CD2=100+20=230，APAD230；如图3，当DPAD时，AD230，DPAD230，ODOA，ODABAD，ODAC，ODACAD，BADCAD，AD平分BAC，过点D作DHAE于点H，AHPH，DHDC25，ADAD，RtADHRtADC（HL），AHAC10，AHACPH10，AP2AH20（E为AB边上一点，不符合题意，舍去），综上所述：当ADP为等腰三角形时，AP的长为6或230故答案为：6或230【点评】此题属于圆的综合题，考查了切线的性质，圆周角定理，勾股定理，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，综合性强，解决本题的关键是利用分类讨论思想圆的综合题41（2023广东）综合探究如图1，在矩形ABCD中（ABAD），对角线AC，BD相交于点O，点A关于BD的对称点为A连接AA交BD于点E，连接CA（1）求证：AA'CA'；（2）以点O为圆心，OE为半径作圆如图2，O与CD相切，求证：AA'=3CA'；如图3，O与CA相切，AD1，求O的面积【答案】（1）证明过程详见解答；（2）证明过程详见解答；2+24【分析】（1）根据轴对称的性质可得AEAE，AABD，根据四边形ABCD是矩形，得出OAOC，从而OEAC，从而得出AACA；（2）设CDO与CD切于点F，连接OF，并延长交AB于点G，可证得OGOFOE，从而得出EAOGAOGBO，进而得出EAO30°，从而AA'=3CA'；设O切CA于点H，连接OH，可推出AA2OH，CA2OE，从而AACA，进而得出AACACA45°，AOEACA45°，从而得出AEOE，ODOA=2AE，设OAOEx，则ODOA=2x，在RtADE中，由勾股定理得出x2+(21)x2=1，从而求得x2=2+24，进而得出O的面积【解答】（1）证明：点A关于BD的对称点为A，AEAE，AABD，四边形ABCD是矩形，OAOC，OEAC，AACA；（2）证明：如图2，设CDO与CD切于点F，连接OF，并延长交AB于点G，OFCD，OFOE，四边形ABCD是矩形，OBOD=12BD，ABCD，ACBD，OA=12AC，OGAB，FDOBOG，OAOB，GAOGBO，DOFBOG，DOFBOG（ASA），OGOF，OGOE，由（1）知：AABD，EAOGAO，EAB+GBO90°，EAO+GAO+GBO90°，3EAO90°，EAO30°，由（1）知：AACA，tanEAO=CA'AA'，tan30°=CA'AA'，AA'=3CA'；解：如图3，设O切CA于点H，连接OH，OHCA，由（1）知：AACA，AACA，OAOC，OHAA，OECA，COHCAA，AOEACA，OHAA'=OCAC=12，OECA'=OAAC=12，AA2OH，CA2OE，AACA，AACACA45°，AOEACA45°，AEOE，ODOA=2AE，设OAOEx，则ODOA=2x，DEODOE（21）x，在RtADE中，由勾股定理得，x2+(21)x2=1，x2=2+24，SOOE2=2+24【点评】本题考查了圆的切线性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识42（2023荆州）如图，在菱形ABCD中，DHAB于H，以DH为直径的O分别交AD，BD于点E，F，连接EF（1）求证：CD是O的切线；DEFDBA；（2）若AB5，DB6，求sinDFE【答案】（1）证明见解答过程；（2）sinDEE=2425【分析】（1）由四边形ABCD是菱形，DHAB，可得CDHDHA90°，CDOD，故CD是O的切线；连接HF，由DH为O直径，有DFH90°，可得DHFDBADEF，又EDFBDA，从而DEFDBA；（2）连接AC交BD于G由菱形ABCD，BD6，得ACBD，AGGC，DGGB3，AG=AB2GB2=4，故AC2AG8，用面积法可得DH=245，即得sinDEEsinDAH=DHAD=2425【解答】（1）证明：四边形ABCD是菱形，ABCD，DHAB，CDHDHA90°，CDOD，D为O的半径的外端点，CD是O的切线；连接HF，DEFDHF，DH为O直径，DFH90°，DHF90°BDH，DHB90°，DBA90°BDH，DHFDBADEF，EDFBDA，DEFDBA；（2）解：连接AC交BD于G菱形ABCD，BD6，ACBD，AGGC，DGGB3，在RtAGB中，AG=AB2GB2=4，AC2AG8，S菱形ABCD=12ACBDABDH，DH=12×8×65=245，由DEFDBA知：DFEDAH，sinDEEsinDAH=DHAD=2455=2425【点评】本题考查圆的综合应用，涉及锐角三角函数，勾股定理，菱形等知识，解题的关键是掌握相似三角形的判定与性质定理圆的综合题36（2023滨州）如图，点E是ABC的内心，AE的延长线与边BC相交于点F，与ABC的外接圆交于点D（1）求证：SABF：SACFAB：AC；（2）求证：AB：ACBF：CF；（3）求证：AF2ABACBFCF；（4）猜想：线段DF，DE，DA三者之间存在的等量关系（直接写出，不需证明）【答案】见解答【分析】（1）过点D作FHAC，FGAB，垂足分别为H、G，则DGDH，进而表示出两个三角形的面积即可求解（2）过点A作AMBC于点M，表示出两个三角形的面积即可，（3）连接DB、DC，证明BFDAFC得出BFCFAFDF，证明ABFADC，得出ABACADAF，即ABAC（AF+DF）AF，恒等变形即可求解（4）连接BE，证明ABDBFD，得出DB2DADF，证明BEDDBE，得出DBDE即可【解答】（1）解：过点D作FHAC，FGAB，垂足分别为H、G，如图：点E是ABC的内心，AD是BAC的平分线，DHAC，DGAB，DGDH，SABF12ABFG，SACF12ACFH，SABF：SACFAB：AC（2）证明：过点A作AMBC于点M，如图，SABF=12BF×AM，SACF=12FC×AM，SABF：SACFBF：FC，由（1）可得SABF：SACFAB：ACAB：ACBF：FC，（3）证明：连接DB、DC，如图，AB=AB，DC=DC，ACFBDF，FACFBD，BFDAFC，BFCFAFDF，AC=AC，FBAADC，又BADDAC，ABFADC，ABAD=AFAC，ABACADAF，ABAC（AF+DF）AFAF2+AFDF，AF2ABACBFCF（4）连接BE，如图，点E是ABC的内心，BE是ABC的平分线，ABEFBE，CABCADBAD，ADBBDF，ABDBFD，DBDF=DADB，DB2DADF，BEDBAE+ABE=12BAC+12ABC，DBEDBC+FBEDAC+FBE=12BAC+12ABC，BEDDBE，DBDE，DE2DADF，【点评】本题考查三角形内心的定义，圆周角定理，角平分线的定义与性质，相似三角形的判定与性质，三角形的面积等知识，熟练掌握性质是解题关键37（2023陕西）（1）如图，在OAB中，OAOB，AOB120°，AB24若O的半径为4，点P在O上，点M在AB上，连接PM，求线段PM的最小值；（2）如图所示，五边形ABCDE是某市工业新区的外环路，新区管委会在点B处，点E处是该市的一个交通枢纽已知：AABCAED90°，ABAE10000m，BCDE6000m根据新区的自然环境及实际需求，现要在矩形AFDE区域内（含边界）修一个半径为30m的圆型环道O；过圆心O，作OMAB，垂足为M，与O交于点N连接BN，点P在O上，连接EP其中，线段BN、EP及MN是要修的三条道路，要在所修迅路BN、EP之和最短的情况下，使所修道路MN最短，试求此时环道O的圆心O到AB的距离OM的长【答案】（1）434；（2）4047.91m【分析】（1）连接OP，OM，过点O作OM'AB，垂足为M'，则PMOM4OM'4，由直角三角形的性质得出OM'AM'tan30°43，则可得出答案；（2）分别在BC，AE上作BB'AA'r30（m），连接A'B'，B'O、OP、OE、BE证出四边形BB'ON是平行四边形由平行四边形的性质得出BNBO当点O在B'E上时，BN+PE取得最小值作O'，使圆心O'在B'E上，半径r30（m），作O'M'AB，垂足为M'，并与A'B'交于点H证明B'O'HB'EA'，由相似三角形的性质得出O'HEA'=B'HB'A'，求出O'H的长可得出答案【解答】解：（1）如图，连接OP，OM，过点O作OM'AB，垂足为M'，则 OP+PMOMO半径为4，PMOM4OM'4，OAOBAOB120°，A30°，OM'AM'tan30°12tan30°43，PMOM'4434，线段PM的最小值为434；（2）如图，分别在BC，AE上作BB'AA'r30（m），连接A'B'，B'O、OP、OE、BEOMAB，BB'AB，ONBB'，四边形BB'ON是平行四边形BNBOB'O+OP+PEB'O+OEB'E，BN+PEB'Er，当点O在B'E上时，BN+PE取得最小值作O'，使圆心O'在B'E上，半径r30（m），作O'M'AB，垂足为M'，并与A'B'交于点HO'HA'E，B'O'HB'EA'，O'HEA'=B'HB'A'，O'在矩形AFDE区域内（含边界），当O'与FD相切时，BH最短，即BH100006000+304030（m）此时，OH也最短M'N'O'H，M'N'也最短O'H=EA'B'HB'A'=(1000030)×403010000=4017.91（m），O'M'O'H+304047.91（m），此时环道O的圆心O到AB的距离OM的长为4047.91m【点评】本题是圆的综合题，考查了等腰三角形的性质，切线的性质，平行四边形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，熟练掌握以上知识是解题的关键圆的综合题45（2023河北）装有水的水槽放置在水平台面上，其横截面是以AB为直径的半圆O，AB50cm，如图1和图2所示，MN为水面截线，GH为台面截线，MNGH计算：在图1中，已知MN48cm，作OCMN于点C.（1）求OC的长操作：将图1中的水槽沿GH向右作无滑动的滚动，使水流出一部分，当ANM30°时停止滚动如图2其中，半圆的中点为Q，GH与半圆的切点为E，连接OE交MN于点D探究：在图2中（2）操作后水面高度下降了多少？（3）连接OQ并延长交GH于点F，求线段EF与EQ的长度，并比较大小【答案】（1）7cm；（2）112cm；（3）EF=2533m，EQ=256cmEFEQ【分析】（1）连接OM，利用垂径定理得出MC=12MN24cm，由勾股定理计算即可得出答案；（2）由切线的性质证明OEGH，进而得到OEMN，利用锐角三角函数的定义求出OD，再与（1）中OC相减即可得出答案；（3）由半圆的中点为Q得到OOB90°，得到QOE30°，分别求出线段EF与EQ 的长度，再相减比较即可【解答】解：（1）连接OM，O为圆心，OCMN于点C，MN48cm，MC=12MN24cm，AB50cm，OM=12AB25cm，在RtOMC 中，OC=OM2MC2=252242=7（cm）；（2）GH与半圆的切点为E，OEGH，MNGH，OEMN于点D，ANM30°，ON25cm，OD=12ON=252cm，操作后水面高度下降高度为：2527=112cm；（3）OEMN于点D，ANM30°，DOB60°，半圆的中点为Q，AQ=QB，QOB90°，QOE30°，EFtanQOEOE=2533（cm），EQ的长为30××25180=256（cm），2533256=503256=25(23)60，EFEQ【点评】本题是圆的综合题，考查了垂径定理，直角三角形的性质，圆的切线的性质，弧长公式和解直角三角形的知识，熟练掌握圆的有关性质定理是解题的关键46（2023株洲）如图所示，四边形ABCD是半径为R的O的内接四边形，AB是O的直径，ABD45°，直线l与三条线段CD、CA、DA的延长线分别交于点E、F、G，且满足CFE45°（1）求证：直线l直线CE；（2）若ABDG求证：ABCGDE；若R=1，CE=32，求四边形ABCD的周长【答案】（1）证明见解析过程；（2）证明见解析过程；72+2【分析】（1）根据同弧所对的圆周角相等得出ACDABD45°，结合已知CFE45°，利用三角形内角和定理求出CEF90°，即可得到直线l直线CE；（2）根据圆内接四边形对角互补得到ABC+ADC180°，再根据邻补角的定义得出GDE+ADC180°，从而得到ABCGDE，根据直径所对的圆周角是直角得出ACB90°，结合（1）中CEF90°，可以得到ACBGED，最后利用AAS证得ABCGDE；由已证ACBGED可以得出BCDE，于是有BC+CDDE+CDCE，再根据圆的半径求出直径AB的长，再证ABD为等腰直角三角形，从而求出AD的长，即可求出四边形ABCD的周长【解答】（1）证明：在O中，AD=AD，ACDABD45°，即FCE45°CFE45°，CEF180°CFEFCE180°45°45°90°，即直线l直线CE；（2）证明：四边形ABCD是圆内接四边形，ABC+ADC180°，GDE+ADC180°，ABCGDE，AB为O的直径，ACB90°，由（1）知CEF90°，即GED90°，ACBGED，在ACB和GED中，ABC=GDEACB=GEDAB=GD，ACBGED（AAS）；解：已证ACBGED，BCDE，BC+CDDE+CDCE=32，R1，AB2R2，AB为O的直径，ADB90°，ABD45°，BAD45°，ADBD，由勾股定理得AD2+BD2AB2，即2AD2AB2224，AD=2，四边形ABCD的周长为：AB+BC+CD+AD2+32+2=72+2【点评】本题考查了同弧所对的圆周角相等，圆内接四边形对角互补，三角形全等的判定与性质，直径所对的圆周角是直角，勾股定理以及四边形的周长的计算，涉及的知识点较多，需熟练掌握47（2023杭州）如图，在O中，直径AB垂直弦CD于点E，连接AC，AD，BC，作CFAD于点F，交线段OB于点G（不与点O，B重合），连接OF（1）若BE1，求GE的长（2）求证：BC2BGBO（3）若FOFG，猜想CAD的度数，并证明你的结论【答案】（1）1；（2）证明过程见解答；（3）CAD45°，证明见解析【分析】（1）由垂径定理可得AED90°，结合CFAD可得DAEFCD，根据圆周角定理可得DAEBCD，进而可得BCDFCD，通过证明BCEGCE，可得GEBE1；（2）证明ACBCEB，根据对应边成比例可得BC2BABE，再根据AB2BO，BE=12BG，可证BC2BGBO；（3）设DAECAE，FOGFGO，可证a90°，OCF903，通过SAS证明COFAOF，进而可得OCFOAF，即90°3aa，则CAD2a45°【解答】（1）解：直径AB垂直弦CD，AED90°，DAE+D90°，CFAD，FCD+D90°，DAEFCD，由圆周角定理得DAEBCD，BCDFCD，在BCE和GCE中，BCE=GCECE=CEBEC=GEC，BCEGCE（ASA），GEBE1；（2）证明：AB是O的直径，ACB90°，ACBCEB90°，ABCCBE，ACBCEB，BCBE=BABC，BC2BABE，由（1）知GEBE，BE=12BG，AB2BO，BC2BABE2BO12BGBGBO；（3）解：CAD45°，证明如下：如图，连接OC，FOFG，FOGFGO，直径AB垂直弦CD，CEDE，AEDAEC90°，AEAE，ACEADE（SAS），DAECAE，设DAECAE，FOGFGO，则FCDBCDDAE，OAOC，OCAOAC，ACB90°，OCFACBOCAFCDBCD90°3，CGEOGF，GCE，CGE+GCE90°，+90°，90°，COGOAC+OCA+2，COFCOG+GOF2+2（90°）+180°，COFAOF，在COF和AOF中，CO=AOCOF=AOFOF=OF