2024年初中升学考试九年级数学专题复习切线的判定与性质.docx

切线的判定与性质43（2023赤峰）如图，AB是O的直径，C是O上一点，过点C作CDAB于点E，交O于点D，点F是AB延长线上一点，连接CF，AD，FCD2DAF（1）求证：CF是O切线；（2）若AF10，sinF=23，求CD的长【答案】（1）证明见解析；（2）853【分析】（1）先根据垂径定理得出CB=DB，进而得出COBDOB，再根据圆周角定理得出DOB2DAF，结合已知FCD2DAF得出FCDCOB，根据CDAB得出COBOCE90°，于是有FCDOCE90°，从而问题得证；（2）在RtOCF中，根据F的正弦值设出OC2x，OF3x，再根据OF的长即可求出x的值，然后证得OCEF，即可求出OE的长，根据勾股定理求出CE的长，最后根据垂径定理即可求出CD的长【解答】（1）证明：如图，连接OC，OD，CDAB，AB是O的直径，CB=DB，COBDOB，DOB2DAF，COB2DAF，FCD2DAF，FCDCOB，CDAB，CEO90°，COBOCE90°，FCDOCE90°，即OCF90°，OCCF，又OC为O的半径，CF是O切线；（2）解：如图，连接OC，由（1）知OCCF，sinF=OCOF=23，设OC2x，则OF3x，OAOC2x，AF10，OAOF10，即2x3x10，解得，x2，OC4，OCCF，OCEFCE90°，CDAB，FFCE90°，FOCE，sinFsinOCE，在RtCEO中，sinOCE=OEOC=23，即OE4=23，OE=83，由勾股定理得，CE=OC2OE2=42(83)2=453，CDAB，AB是O的直径，CD=2CE=853【点评】本题考查了切线的判定与性质，垂径定理，圆周角定理，锐角三角函数，勾股定理，熟知经过半径的外端点且垂直于这条半径的直线是圆的切线切线的判定与性质16（2023东营）如图，在ABC中，ABAC，以AB为直径的O交BC于点D，DEAC，垂足为E（1）求证：DE是O的切线；（2）若C30°，CD23，求BD的长【答案】（1）证明见解答；（2）BD的长是23【分析】（1）连接OD，则ODOB，所以ODBB，由ABAC，得CB，则ODBC，所以ODAC，则ODECED90°，即可证明DE是O的切线；（2）连接AD，由AB是O的直径，得ADB90°，则ADBC，因为ABAC，CD23，所以BDCD23【解答】（1）证明：连接OD，则ODOB，ODBB，ABAC，CB，ODBC，ODAC，DEAC于点E，ODECED90°，OD是O的半径，DEOD，DE是O的切线（2）解：连接AD，AB是O的直径，ADB90°，ADBC，ABAC，CD23，BDCD23，BD的长是23【点评】此题重点考查等腰三角形的性质、平行线的判定与性质、切线的判定定理等知识，证明ODAC是解题的关键17（2023辽宁）如图，AB是O的直径，点C，E在O上，CAB2EAB，点F在线段AB的延长线上，且AFEABC（1）求证：EF与O相切；（2）若BF1，sinAFE=45，求BC的长【答案】（1）详见解答；（2）245【分析】（1）根据圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理可得OEEF即可；（2）根据锐角三角函数可求出半径，进而得到AB的长，再根据直角三角形的边角关系求出AC，由勾股定理求出BC即可【解答】（1）证明：如图，连接OE，OAOE，OAEOEA，FOEOAEOEA2OAE，CAB2EAB，CABFOE，又AFEABC，CABABCFOEAFE，AB是O的直径，ACB90°，CABABC90°FOEAFE，OEF90°，即OEEF，OE是半径，EF是O的切线；（2）解：在RtEOF中，设半径为r，即OEOBr，则OFr1，sinAFE=45=OEOF=rr1，r4，AB2r8，在RtABC中，sinABC=ACAB=sinAFE=45，AB8，AC=45×8=325，BC=AB2AC2=245【点评】本题考查切线的判定和性质，圆周角定理，锐角三角函数的定义以及勾股定理，掌握切线的判定方法，锐角三角函数的定义以及勾股定理是正确解答的前提切线的判定与性质34（2023眉山）如图，ABC中，以AB为直径的O交BC于点E，AE平分BAC，过点E作EDAC于点D，延长DE交AB的延长线于点P（1）求证：PE是O的切线；（2）若sinP=13，BP4，求CD的长【考点】切线的判定与性质；解直角三角形；角平分线的性质；圆周角定理【分析】（1）连接OE，证明OEAD，即可得到结论；（2）根据锐角三角函数先求出半径和AD的长，然后证明AEBAEC（ASA），ABAC4，进而根据线段的和差即可解决问题【解答】（1）证明：如图，连接OE，AE平分BAC，OAEDAE，OEOA，OEAOAE，DAEOEA，OEAD，EDAC，OEPD，OE是O的半径，PE是O的切线；（2）解：sinP=13=OEOP，BP4，OBOE，OEOE+4=13，OE2，AB2OE4，APAB+BP8， 在RtAPD中，sinP=ADAP=13，AD=13AP=83，AB为O的直径，AEB90°AEC，AE平分BAC，BAECAE，AEAE，AEBAEC（ASA），ABAC4，CDACAD483=43，CD的长为43【点评】本题考查切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、圆周角定理、解题的关键是学会添加常用辅助线，构造基本图形解决问题35（2023凉山州）如图，CD是O的直径，弦ABCD，垂足为点F，点P是CD延长线上一点，DEAP，垂足为点E，EADFAD（1）求证：AE是O的切线；（2）若PA4，PD2，求O的半径和DE的长【考点】切线的判定与性质；角平分线的性质；圆周角定理【分析】（1）连接OA，由ABCD，得FAD+ADF90°，故FAD+OAD90°，根据EADFAD，得EAD+OAD90°，即OAE90°，OAAE，从而可得AE是O的切线；（2）连接AC，AO，证明ADPCAP，可得4CP=24，CP8，故CDCPPD6，O的半径为3；再证OAPDEP，得DE3=25，从而DE=65【解答】（1）证明：连接OA，如图：ABCD，AFD90°，FAD+ADF90°，OAOD，OADADF，FAD+OAD90°，EADFAD，EAD+OAD90°，即OAE90°，OAAE，OA是O半径，AE是O的切线；（2）解：连接AC，AO，如图：CD为O直径，CAD90°，C+ADC90°，FAD+ADC90°，CFAD，EADFAD，CEAD，PP，ADPCAP，APCP=PDAP，PA4，PD2，4CP=24，解得CP8，CDCPPD826，O的半径为3；OA3OD，OPOD+PD5，OAP90°DEP，PP，OAPDEP，DEOA=PDOP，即DE3=25，DE=65，O的半径为3，DE的长为65【点评】本题考查圆的性质及应用，涉及切线的性质与判定，相似三角形的性质与判定等知识，解题的关键是掌握圆的相关性质36（2023武威）如图，ABC内接于O，AB是O的直径，D是O上的一点，CO平分BCD，CEAD，垂足为E，AB与CD相交于点F（1）求证：CE是O的切线；（2）当O的半径为5，sinB=35时，求CE的长【考点】切线的判定与性质；解直角三角形；角平分线的性质；圆周角定理；三角形的外接圆与外心【分析】（1）根据“过半径的外端垂直于半径的直线是圆的切线”进行证明；（2）根据三角函数的意义及勾股定理求解【解答】（1）证明：CEAD，E90°，CO平分BCD，OCBOCD，OBOC，BBCOD，DOCD，OCDE，OCEE90°，OC是圆的半径，CE是O的切线；（2）解：AB是O的直径，ACB90°，sinB=ACAB=35，AC6，OCEACO+OCBACO+ACE90°，ACEOCBB，sinACEsinB=AEAC=35，解得：AE3.6，CE=AC2AE2=4.8【点评】本题考查了切线的判定和性质，掌握三角函数的意义及勾股定理是解题的关键切线的判定与性质38（2023广西）如图，PO平分APD，PA与O相切于点A，延长AO交PD于点C，过点O作OBPD，垂足为B（1）求证：PB是O的切线；（2）若O的半径为4，OC5，求PA的长【答案】（1）证明见解答；（2）PA的长是12【分析】（1）由切线的性质得PAOA，而PO平分APD，OBPD，所以OBOA，则点B在O上，即可证明PB是O的切线；（2）由OAOB4，OC5，得ACOA+OC9，BC=OC2OB2=3，由PAAC=OBBC=tanACP=43，得PA=43AC12，所以PA的长是12【解答】（1）证明：PA与O相切于点A，且OA是O的半径，PAOA，PO平分APD，OBPD于点B，OAPA于点A，OBOA，点B在O上，OB是O的半径，且PBOB，PB是O的切线（2）解：OAOB4，OC5，ACOA+OC4+59，OBC90°，BC=OC2OB2=5242=3，A90°，PAAC=OBBC=tanACP=43，PA=43AC=43×912，PA的长是12【点评】此题重点考查切线的性质定理、角平分线的性质、勾股定理、锐角三角函数与解直角三角形等知识，根据角平分线的性质证明OBOA是解题的关键39（2023聊城）如图，在RtABC中，ACB90°，BAC的平分线AD交BC于点D，ADC的平分线DE交AC于点E以AD上的点O为圆心，OD为半径作O，恰好过点E（1）求证：AC是O的切线；（2）若CD12，tanABC=34，求O的半径【答案】（1）见解析；（2）1535【分析】（1）连接OE，由题意得到ODOE，根据等腰三角形的性质得到OEDODE，求得OEDCDE，根据平行线的判定定理得到OECD，根据ACB90°，得到OEAC，于是得到结论；（2）过D作DFAB，根据角平分线的小知道的CDDF，根据勾股定理得到BD=DF2+BF2=20，求得ACBCtanABC24，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论【解答】（1）证明：连接OE，ODOE，OEDODE，DE平分ADC，CDEODE，OEDCDE，OECD，ACB90°，AEO90°，OEAC；（2）解：过D作DFAB，AD平分ABAC，DFAB，ACB90°，CDDF，CD12，tanABC=34，BF=DFtanABC=16，BD=DF2+BF2=20，BCCD+BD32，ACBCtanABC24，AD=AC2+CD2=125，OECD，AEOACD，EOCD=AOAD，EO12=125OD125=125EO125，解得EO1535，O的半径为1535【点评】本题考查了切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，角平分线的定义，解直角三角形，熟练掌握相关性质定理是解题的关键40（2023郴州）如图，在O中，AB是直径，点C是圆上一点在AB的延长线上取一点D，连接CD，使BCDA（1）求证：直线CD是O的切线；（2）若ACD120°，CD23，求图中阴影部分的面积（结果用含的式子表示）【答案】（1）见解答（2）2323【分析】（1）连接OC，由AB是直径，可得ACBOCA+OCB90°，再证OCAABCD，从而有BCD+OCBOCD90°，即可证明（2）由圆周角定理求得AOC2A60°，在RtOCD中，解直角三角形得OC2，然后利用三角形的面积公式和扇形的面积公式即可解答【解答】（1）证明：连接OC，AB是直径，ACBOCA+OCB90°，OAOC，BCDA，OCAABCD，BCD+OCBOCD90°，OCCD，OC是O的半径，直线CD是O的切线（2）解：ACD120°，ACB90°，ABCD120°90°30°，AOC2A60°，在RtOCD中，tanAOC=CDOC=tan60°，CD23，23OC=3，解得OC2，阴影部分的面积SACDS扇形BOC=12×23×260××2360=2323【点评】本题主要考查圆周角定理，切线的判定，扇形的面积公式及解直角三角形，熟练掌握性质是解题关键切线的判定与性质35（2023随州）如图，AB是O的直径，点E，C在O上，点C是BE的中点，AE垂直于过C点的直线DC，垂足为D，AB的延长线交直线DC于点F（1）求证：DC是O的切线；（2）若AE2，sinAFD=13，求O的半径；求线段DE的长【答案】（1）证明过程见解答；（2）O的半径为3；线段DE的长为2【分析】（1）连接OC，根据垂直定义可得D90°，根据已知易得CE=CB，从而利用等弧所对的圆周角相等可得DACCAB，然后利用等腰三角形的性质可得CABOCA，从而可得DACOCA，进而可得ADOC，最后利用平行线的性质可得OCFD90°，即可解答；（2）过点O作OGAE，垂足为G，根据垂径定理可得AGEG1，再根据垂直定义可得AGODGO90°，从而可得DAGO90°，进而可得OGDF，然后利用平行线的性质可得AFDAOG，从而可得sinAOGsinAFD=13，最后在RtAGO中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答；根据平角定义可得OCD90°，从而可得四边形OGDC是矩形，然后利用矩形的性质可得OCDG3，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答【解答】（1）证明：连接OC，ADDF，D90°，点C是BE的中点，CE=CB，DACCAB，OAOC，CABOCA，DACOCA，ADOC，OCFD90°，OC是O的半径，DC是O的切线；（2）解：过点O作OGAE，垂足为G，AGEG=12AE1，OGAD，AGODGO90°，DAGO90°，OGDF，AFDAOG，sinAFD=13，sinAOGsinAFD=13，在RtAGO中，AO=AGsinAOG=113=3，O的半径为3；OCF90°，OCD180°OCF90°，OGED90°，四边形OGDC是矩形，OCDG3，GE1，DEDGGE312，线段DE的长为2【点评】本题考查了切线的判定与性质，圆周角定理，垂径定理，解直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键切线的判定与性质44（2023十堰）如图，在RtABC中，C90°，ACBC，点O在AB上，以O为圆心，OA为半径的半圆分别交AC，BC，AB于点D，E，F，且点E是弧DF的中点（1）求证：BC是O的切线；（2）若CE=2，求图中阴影部分的面积（结果保留）【答案】（1）见解答（2）22【分析】（1）连接OE、OD，证出OEBC，即可得出结论，（2）根据S阴影SOEBS扇形OEF，分别求出OEB和扇形OEF的面积即可【解答】（1）证明：连接OE、OD，如图：C90°，ACBC，OADB45°，OAOD，OADADO45°，AOD90°，点E是弧DF的中点DOEEDF=12DOF45°，OEB180°EOFB90°OEBC，OE是半径，BC是O的切线，（2）解：OEBC，B45°，OEB是等腰三角形，设BEOEx，则OB=2x，ABx+2x，AB=2BC，x+2x=2（2+x），解得x2，S阴影SOEBS扇形OEF=12×2×245××22360=22【点评】本题是圆的综合题，考查了切线的判定定理，扇形的面积，等腰直角三角形的性质，熟练掌握定理是解题关键切线的判定与性质19（2023乐山）如图，已知O是RtABC的外接圆，ACB90°，D是圆上一点，E是DC延长线上一点，连结AD，AE，且ADAE，CACE（1）求证：直线AE是O是的切线；（2）若sinE=23，O的半径为3，求AD的长【答案】（1）证明见解答；（2）AD的长是853【分析】（1）先由ACB90°，证明AB是O的直径，再证明CAEB，则OAECAE+CABB+CAB90°，即可证明直线AE是O是的切线；（2）由ECAEB，得CAAB=sinBsinE=CFCE=23，则CECA=23AB=23×64，CF=23CE=23×4=83，所以AFBF=CE2CF2=453，则ADAE2AF=853【解答】（1）证明：ACB90°，AB是O的直径，ADAE，ED，BD，EB，CACE，ECAE，CAEB，OAECAE+CABB+CAB90°，OA是O的半径，且AEOA，直线AE是O是的切线（2）解：作CFAE于点F，则CFE90°，ECAEB，CAAB=sinBsinE=CFCE=23，OAOB3，AB6，CECA=23AB=23×64，CF=23CE=23×4=83，AFBF=CE2CF2=42(83)2=453，ADAE2AF2×453=853，AD的长是853【点评】此题重点考查切线的判定、圆周角定理、等腰三角形的性质、勾股定理、锐角三角函数与解直角三角形等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键切线的判定与性质15（2023张家界）如图，O是ABC的外接圆，AD是O的直径，F是AD延长线上一点，连接CD，CF，且DCFCAD（1）求证：CF是O的切线；（2）若AD10，cosB=35，求FD的长【答案】（1）见解答；（2）907【分析】（1）根据切线的判定，连接OC，证明出OCFC即可，利用直径所得的圆周角为直角，三角形的内角和以及等腰三角形的性质可得答案；（2）由cosB=35，根据锐角三角函数的意义和勾股定理可得CD：AC：AD3：4：5，再根据相似三角形的性质可求出答案【解答】（1）证明：连接OC，AD是O的直径，ACD90°，ADC+CAD90°，又OCOD，ADCOCD，又DCFCADDCF+OCD90°，即OCFC，FC是O的切线；（2）解：BADC，cosB=35，cosADC=35，在RtACD中，cosADC=35=CDAD，AD10，CDADcosADC10×35=6，AC=AD2CD2=8，CDAC=34，FCDFAC，FF，FCDFAC，CDAC=FCFA=FDFC=34，设FD3x，则FC4x，AF3x+10，又FC2FDFA，即（4x）23x（3x+10），解得x=307（取正值），FD3x=907【点评】本题考查切线的判定和性质，圆周角定理，直角三角形的边角关系以及相似三角形，掌握切线的判定方法，直角三角形的边角关系以及相似三角形的性质是正确解答的前提切线的判定与性质21（2023湖北）如图，等腰ABC内接于O，ABAC，BD是边AC上的中线，过点C作AB的平行线交BD的延长线于点E，BE交O于点F，连接AE，FC（1）求证：AE为O的切线；（2）若O的半径为5，BC6，求FC的长【答案】（1）证明过程见解析；（2）52【分析】（1）证明ABDCED（AAS），得出ABCE，则四边形ABCE是平行四边形，AEBC，作AHBC于H得出AH为BC的垂直平分线，则OAAE，又点A在O上，即可得证；（2）过点D作DMBC于M，连接OB，垂径定理得出BHHC=12BC3，勾股定理得OH4，进而可得AH，勾股定理求得AB，证明DMAH，可得CMDCHA，根据相似三角形的性质得出MH，DM，然后求得BM，勾股定理求得BD，证明FCDABD，根据相似三角形的性质即可求解【解答】（1）证明，ABCE，ABDCED，BADECD，又ADCD，ABDCED（ AAS），ABCE四边形ABCE是平行四边形AEBC作AHBC于HABAC，AH为BC的垂直平分线点O在AH上AHAE即OAAE，又点A在O上，AE为O的切线；（2）解：过点D作DMBC于M，连接OB，AH为BC的垂直平分线，BHHC=12BC3，OH=OB2BH2=5232=4，AHOA+OH5+49，ABAC=AH2+CH2=92+32=310，CD=12AC=3210，AHBC，DMBC，DMAHCMDCHA，又ADCD，DMAH=CMCH=CDCA=12，MH=12HC=32，DM=12AH=92，BMBH+MH3+32=92，BD=BM2+DM2=(92)2+(92)2=922，CFDBAD，FDCADB，FCDABD，FCAB=CDBD，FC310=3210922，FC52【点评】本题考查了切线的判定，垂径定理，相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键切线的判定与性质38（2023齐齐哈尔）如图，在RtABC中，B90°，AD平分BAC交BC于点D，点E是斜边AC上一点，以AE为直径的O经过点D，交AB于点F，连接DF（1）求证：BC是O的切线；（2）若BD5，tanADB=3，求图中阴影部分的面积（结果保留）【答案】（1）证明见解析；（2）509【分析】（1）连接OD，由OAOD，得到OADODA，由角平分线定义得到OADBAD，因此ODABAD推出ODAB，得到半径ODBC，即可证明问题；（2）连接OF，DE，由tanADB=3，得到ADB60°，由直角三角形的性质求出AD长，由锐角的余弦求出AE长，得到圆的半径长，由ODAB，推出阴影的面积扇形OAF的面积，由扇形面积公式即可解决问题【解答】（1）证明：连接OD，OAOD，OADODA，AD平分BAC，OADBAD，ODABAD，ODAB，ODCB90°，半径ODBC于点D，BC是O的切线；（2）解：连接 OF，DE，B90°，tanADB=3，ADB60°，BAD30°，BD5，AD2BD10，AE是O的直径，ADE90°，AD平分BAC，DAEBAD30°，在 RtADE 中，AD10，cosDAE=ADAE=32，AE=2033，OA=12AE=1033，AD平分BAC，BAC2BAD60°，OAOF，AOF 是等边三角形，AOF60°，ODAB，SADFSAOF，S阴影S扇形OAF=60×(1033)2360=509【点评】本题考查切线的判定，扇形面积的计算，解直角三角形，圆周角定理，角平分线定义，关键是证明ODAB；推出S阴影S扇形OAF39（2023张家界）如图，O是ABC的外接圆，AD是O的直径，F是AD延长线上一点，连接CD，CF，且DCFCAD（1）求证：CF是O的切线；（2）若AD10，cosB=35，求FD的长【答案】（1）见解答；（2）907【分析】（1）根据切线的判定，连接OC，证明出OCFC即可，利用直径所得的圆周角为直角，三角形的内角和以及等腰三角形的性质可得答案；（2）由cosB=35，根据锐角三角函数的意义和勾股定理可得CD：AC：AD3：4：5，再根据相似三角形的性质可求出答案【解答】（1）证明：连接OC，AD是O的直径，ACD90°，ADC+CAD90°，又OCOD，ADCOCD，又DCFCADDCF+OCD90°，即OCFC，FC是O的切线；（2）解：BADC，cosB=35，cosADC=35，在RtACD中，cosADC=35=CDAD，AD10，CDADcosADC10×35=6，AC=AD2CD2=8，CDAC=34，FCDFAC，FF，FCDFAC，CDAC=FCFA=FDFC=34，设FD3x，则FC4x，AF3x+10，又FC2FDFA，即（4x）23x（3x+10），解得x=307（取正值），FD3x=907【点评】本题考查切线的判定和性质，圆周角定理，直角三角形的边角关系以及相似三角形，掌握切线的判定方法，直角三角形的边角关系以及相似三角形的性质是正确解答的前提切线的判定与性质40（2023常德）如图，四边形ABCD是O的内接四边形，AB是直径，C是BD的中点，过点C作CEAD交AD的延长线于点E（1）求证：CE是O的切线；（2）若BC6，AC8，求CEDE的长【答案】（1）详见解答；（2）DE=185，EC=245【分析】（1）根据等腰三角形的性质以及圆心角、弦、弧之间的关系可得CAEOCA，进而得到OCAE，再根据平行线的性质得出OCEC即可；（2）利用相似三角形的性质，勾股定理以及圆心角、弧、弦之间的关系进行计算即可【解答】（1）证明：如图，连接OC，OAOC，OACOCA，点C是BD的中点，OACCAE，CAEOCA，OCAE，AECE，OCCE，OC是半径，CE是O的切线；（2）解：AB为O直径，ACB90°，BC6，AC8，AB=BC2+AC2=10，又BACCAE，AECACB90°，AECACB，ECCB=ACAB，即EC6=810，EC=245，点C是BD的中点，即BC=CD，CDBC6，DE=62(245)2=185，答：DE=185，EC=245【点评】本题考查切线的判定与性质，圆周角定理，勾股定理以及圆心角、弦、弧之间的关系，掌握切线的判定方法，圆周角定理，勾股定理以及圆心角、弦、弧之间的关系是正确解答的前提切线的判定与性质32（2023烟台）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点E，O经过A，D两点，交对角线AC于点F，连接OF交AD于点G，且AGGD（1）求证：AB是O的切线；（2）已知O的半径与菱形的边长之比为5：8，求tanADB的值【考点】切线的判定与性质；解直角三角形；菱形的性质；圆周角定理版权所有【分析】（1）连接OA，则OAFOFA，由垂径定理得OFAD，则AGF90°，由菱形的性质得ABAD，ACBD，则BAEDAE，所以OABOAF+BAEOFA+DAE90°，即可证明AB是O的切线；（2）由OAAD=58，AD2AG，得OAAG=54，设AG4m，则OFOA5m，由勾股定理得OG=OA2AG2=3m，则FG2m，再证明ADBAFG，则tanADBtanAFG=AGFG=2【解答】（1）证明：连接OA，则OFOA，OAFOFA，AGGD，OFAD，AGF90°，四边形ABCD是菱形，ABAD，ACBD，BAEDAE，OABOAF+BAEOFA+DAE90°，OA是O半径，且ABOA，AB是O的切线（2）解：OAAD=58，AD2AG，OA2AG=58，OAAG=54，设AG4m，则OA5m，OFOA5m，AGO90°，OG=OA2AG2=(5m)2(4m)2=3m，FGOFOG5m3m2m，AEDAGF90°，ADBAFG90°DAE，tanADBtanAFG=AGFG=4m2m=2，tanADB的值是2【点评】此题重点考查菱形的性质、等腰三角形的“三线合一”、直角三角形的两个锐角互余、切线的判定定理、垂径定理、勾股定理、锐角三角函数与解直角三角形等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键33（2023达州）如图，ABC、ABD内接于O，ABBC，P是OB延长线上的一点，PABACB，AC、BD相交于点E（1）求证：AP是O的切线；（2）若BE2，DE4，P30°，求AP的长【考点】切线的判定与性质；圆周角定理；三角形的外接圆与外心版权所有【分析】（1）连接OA，利用等腰三角形的性质，垂径定理，圆周角定理，垂直的定义，等量代换和圆的切线的判定定理解答即可；（2）利用直角三角形的性质，同圆的半径相等，等边三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质和直角三角形的边角关系定理解答即可得出结论【解答】（1）证明：连接OA，如图，ABBC，BACBCAPABACB，BACPABABBC，AB=AC，OBAC，BAC+ABO90°，OBOA，ABOBAOBAO+BAC90°，BAO+PAB90°，PAO90°，即OAAP，OA为O的半径，AP是O的切线；（2）解：OAAP，P30°，AOP60°，OAOB，OAB为等边三角形，AOAB由（1）知：BACBCA，BCAD，BACDABEDBA，ABEDBA，ABBE=BDAB，AB2=2+4AB，AB212，AB23，OA23在RtOAP中，tanP=OAAP，AP=2333=6【点评】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，垂径定理，圆的切线的判定定理，等腰三角形的性质，垂直的定义，等边三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形的边角关系定理，特殊角的三角函数值，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线34（2023巴中）如图，已知等腰ABC，ABAC，以AB为直径作O交BC于点D，过D