2024年初中升学考试模拟测试湖南省湘潭市中考数学试卷.docx

2023年湖南省湘潭市中考数学试卷一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的4个选项中，只有一项符合题目要求，请将正确答案的选项代号涂在答题卡相应的位置上）1（3分）中国的汉字既象形又表意，不但其形美观，而且寓意深刻观察下列汉字，其中是轴对称图形的是（）A爱B我C中D华2（3分）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）Ax1Bx1Cx1Dx13（3分）下列计算正确的是（）Aa8÷a2a4Ba+a2a3C（a2）3a5Da2a3a54（3分）某校组织青年教师教学竞赛活动，包含教学设计和现场教学展示两个方面其中教学设计占20%，现场展示占80%某参赛教师的教学设计90分，现场展示95分，则她的最后得分为（）A95分B94分C92.5分D91分5（3分）如图，菱形ABCD中，连接AC，BD，若120°，则2的度数为（）A20°B60°C70°D80°6（3分）如图，平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A是反比例函数y（k0）图象上的一点，过点A分别作AMx 轴于点M，ANy轴于点N，若四边形AMON的面积为2则k的值是（）A2B2C1D17（3分）如图，圆锥底面圆的半径为4，则这个圆锥的侧面展开图中的长为（）A4B6C8D168（3分）某校组织九年级学生赴韶山开展研学活动，已知学校离韶山50千米师生乘大巴车前往，某老师因有事情，推迟了10分钟出发，自驾小车以大巴车速度的1.2倍前往，结果同时到达设大巴车的平均速度为x千米/时，则可列方程为（）A+B+10C+10D+二、选择题（本题共4小题，每小题3分，共12分，在每小题给出的4个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得3分，部分选对的得2分，有选错的得0分，请将正确答案的选项代号涂在答题卡相应的位置上)（多选）9（3分）下列选项中正确的是（）A801B|8|8C（8）8D±2（多选）10（3分）2023年湘潭中考体育考查了投掷实心球的项目为了解某校九年级男生投掷实心球水平，随机抽取了若干名男生的成绩（单位：米），列出了如表所示的频数分布表并绘制了扇形图：类别ABCDE成绩6x77x88x99x1010x11频数2625125则下列说法正确的是（）A样本容量为50B成绩在9x10米的人数最多C扇形图中C类对应的圆心角为180°D成绩在7x8米的频率为0.1（多选）11（3分）如图，AC是O的直径，CD为弦，过点A的切线与CD延长线相交于点B，若ABAC，则下列说法正确的是（）AADBCBCAB90°CDBABDADBC（多选）12（3分）如图，抛物线yax2+bx+c与x轴交于点（3，0），则下列结论中正确的是（）Aa0Bc0Cb24ac0D9a+3b+c0三、填空题（本题共4个小题，每小题3分，共12分。请将答案写在答题卡相应的位置上）13（3分）数轴上到原点的距离小于的点所表示的整数有 （写出一个即可）14（3分）已知实数a，b满足（a2）2+|b+1|0，则ab 15（3分）如图，在RtABC中，C90°，按以下步骤作图：以点A为圆心，以小于AC长为半径作弧，分别交AC，AB于点M，N；分别以M，N为圆心，以大于MN的长为半径作弧，在BAC内两弧交于点O；作射线AO，交BC于点D若点D到AB的距离为1，则CD的长为 16（3分）七巧板是我国民间广为流传的一种益智玩具某同学用边长为4dm的正方形纸板制作了一副七巧板（见图），由5个等腰直角三角形，1个正方形和1个平行四边形组成则图中阴影部分的面积为 dm2四、解答题（本大题共10个小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，请将解答过程写在答题卡相应位置上）17（6分）解不等式组：，并把它的解集在数轴上表示出来18（6分）先化简，再求值：（1+），其中x619（6分）在RtABC中，BAC90°，AD是斜边BC上的高（1）证明：ABDCBA；（2）若AB6，BC10，求BD的长20（6分）为落实“双减”政策要求，丰富学生课余生活，某校七年级根据学生需求，组建了四个社团供学生选择：A（合唱社团）、B（硬笔书法社团）、C（街舞社团）、D（面点社团）学生从中任意选择两个社团参加活动（1）小明对这4个社团都很感兴趣，如果他随机选择两个社团，请列举出所有的可能结果；（2）小宇和小江在选择过程中，首先都选了社团C（街舞社团），第二个社团他俩决定随机选择，请用列表法或树状图求他俩选到相同社团的概率21（6分）教育部正式印发义务教育劳动课程标准（2022年版）劳动课成为中小学的一门独立课程，某市中小学已经将劳动教育融入学生的日常学习和生活中某校倡导同学们从帮助父母做一些力所能及的家务做起，培养劳动意识，提高劳动技能小明随机调查了该校10名学生某周在家做家务的总时间，并对数据进行统计分析，过程如下：收集数据：在家做家务时间：（单位：小时）1 5 4 1 a 3 2 b 3 4整理数据：时间段0x33x66x9人数36m分析数据：统计量平均数中位数众数数据3.43.54请结合以上信息回答下列问题：（1）m ，并补全频数分布直方图；（2）数据统计完成后，小明发现有两个数据不小心丢失了请根据图表信息找回这两个数据若ab，则a ，b ；（3）根据调查结果，请估计该校2000名学生在这一周劳动时间不少于3小时的人数22（6分）我国航天事业发展迅速，2023年5月30日9时31分，神舟十六号载人飞船成功发射某玩具店抓住商机，先购进了1000件相关航天模型玩具进行试销，进价为50元/件（1）设每件玩具售价为x元，全部售完的利润为y元求利润y（元）关于售价x（元/件）的函数表达式；（2）当售价定为60元/件时，该玩具销售火爆，该店继续购进一批该种航天模型玩具，并从中拿出这两批玩具销售利润的20%用于支持某航模兴趣组开展活动，在成功销售完毕后，资助经费恰好10000元，请问该商店继续购进了多少件航天模型玩具？23（8分）如图，点A的坐标是（3，0），点B的坐标是（0，4），点C为OB中点将ABC绕着点B逆时针旋转90°得到ABC（1）反比例函数y的图象经过点C，求该反比例函数的表达式；（2）一次函数图象经过A、A两点，求该一次函数的表达式24（8分）问题情境：筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保明朝科学家徐光启在农政全书中用图画描绘了筒车的工作原理（如图）假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都按逆时针做匀速圆周运动，每旋转一周用时120秒问题设置：把筒车抽象为一个半径为r的O如图，OM始终垂直于水平面，设筒车半径为2米当t0时，某盛水筒恰好位于水面A处，此时AOM30°，经过95秒后该盛水筒运动到点B处问题解决：（1）求该盛水筒从A处逆时针旋转到B处时，BOM的度数；（2）求该盛水筒旋转至B处时，它到水面的距离（结果精确到0.1米）（参考数据1.414，1.732）25（10分）问题情境：小红同学在学习了正方形的知识后，进一步进行以下探究活动：在正方形ABCD的边BC上任意取一点G，以BG为边长向外作正方形BEFG，将正方形BEFG绕点B顺时针旋转特例感知：（1）当BG在BC上时，连接DF，AC相交于点P，小红发现点P恰为DF的中点，如图针对小红发现的结论，请给出证明；（2）小红继续连接EG，并延长与DF相交，发现交点恰好也是DF中点P，如图根据小红发现的结论，请判断APE的形状，并说明理由；规律探究：（3）如图，将正方形BEFG绕点B顺时针旋转，连接DF，点P是DF中点，连接AP，EP，AE，APE的形状是否发生改变？请说明理由26（10分）如图，二次函数yx2+bx+c 的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，其中B（1，0），C（0，3）（1）求这个二次函数的表达式；（2）在二次函数图象上是否存在点P，使得SPACSABC？点P与点B不重合若存在，请求出P点坐标；若不存在，请说明理由；（3）点Q是对称轴l上一点，且点Q的纵坐标为a，当QAC是锐角三角形时，求a的取值范围2023年湖南省湘潭市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的4个选项中，只有一项符合题目要求，请将正确答案的选项代号涂在答题卡相应的位置上）1（3分）中国的汉字既象形又表意，不但其形美观，而且寓意深刻观察下列汉字，其中是轴对称图形的是（）A爱B我C中D华【答案】C【分析】根据轴对称图形的概念判断【解答】解：A、汉字“爱”不是轴对称图形，故本选项不符合题意；B、汉字“我”不是轴对称图形，故本选项不符合题意；C、汉字“中”是轴对称图形，故本选项符合题意；D、汉字“华”不是轴对称图形，故本选项不符合题意；故选：C2（3分）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）Ax1Bx1Cx1Dx1【答案】D【分析】直接利用二次根式的有意义，被开方数不小于0，进而得出答案【解答】解：式子在实数范围内有意义，则x10，解得：x1故选：D3（3分）下列计算正确的是（）Aa8÷a2a4Ba+a2a3C（a2）3a5Da2a3a5【答案】D【分析】直接利用同底数幂的乘除运算法则以及幂的乘方运算法则、合并同类项法则分别判断得出答案【解答】解：Aa8÷a2a6，故此选项不合题意；Ba+a2，无法合并，故此选项不合题意；C（a2）3a6，故此选项不合题意；Da2a3a5，故此选项符合题意故选：D4（3分）某校组织青年教师教学竞赛活动，包含教学设计和现场教学展示两个方面其中教学设计占20%，现场展示占80%某参赛教师的教学设计90分，现场展示95分，则她的最后得分为（）A95分B94分C92.5分D91分【答案】B【分析】根据题目中的数据和加权平均数的计算方法，可以计算出她的最终得分【解答】解：由题意可得，90×20%+95×80%94（分），即她的最后得分为94分，故选：B5（3分）如图，菱形ABCD中，连接AC，BD，若120°，则2的度数为（）A20°B60°C70°D80°【答案】C【分析】根据菱形的性质和平行线的性质以及三角形的内角和定理即可得到结论【解答】解：四边形ABCD是菱形，ABCD，ACBD，DCA120°，290°DCA70°，故选：C6（3分）如图，平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A是反比例函数y（k0）图象上的一点，过点A分别作AMx 轴于点M，ANy轴于点N，若四边形AMON的面积为2则k的值是（）A2B2C1D1【答案】A【分析】依据题意，根据四边形面积与反比例函数的关系即可得解【解答】解：由题意，设A（a，b），abk又S四边形ANOM2ab，k2故选：A7（3分）如图，圆锥底面圆的半径为4，则这个圆锥的侧面展开图中的长为（）A4B6C8D16【答案】C【分析】根据圆锥的侧面展开图中弧的长等于圆锥底面周长即可得出答案【解答】解：这个圆锥的侧面展开图中的长为2×48故选：C8（3分）某校组织九年级学生赴韶山开展研学活动，已知学校离韶山50千米师生乘大巴车前往，某老师因有事情，推迟了10分钟出发，自驾小车以大巴车速度的1.2倍前往，结果同时到达设大巴车的平均速度为x千米/时，则可列方程为（）A+B+10C+10D+【答案】A【分析】设大巴车的平均速度为x千米/时，则小车的平均速度为1.2x千米/时，根据题意列出方程即可【解答】解：设大巴车的平均速度为x千米/时，则小车的平均速度为1.2x千米/时，根据题意可得：故选：A二、选择题（本题共4小题，每小题3分，共12分，在每小题给出的4个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得3分，部分选对的得2分，有选错的得0分，请将正确答案的选项代号涂在答题卡相应的位置上)（多选）9（3分）下列选项中正确的是（）A801B|8|8C（8）8D±2【答案】ABC【分析】根据算术平方根、绝对值、相反数的含义和求法，以及零指数幂的运算方法，逐项判断即可【解答】解：801，选项A符合题意；|8|8，选项B符合题意；（8）8，选项C符合题意；2，选项D不符合题意故选：ABC（多选）10（3分）2023年湘潭中考体育考查了投掷实心球的项目为了解某校九年级男生投掷实心球水平，随机抽取了若干名男生的成绩（单位：米），列出了如表所示的频数分布表并绘制了扇形图：类别ABCDE成绩6x77x88x99x1010x11频数2625125则下列说法正确的是（）A样本容量为50B成绩在9x10米的人数最多C扇形图中C类对应的圆心角为180°D成绩在7x8米的频率为0.1【答案】AC【分析】把各类频数相加可得样本容量；根据分布表可得成绩在9x10米的人数最多；用360°乘C类所占比例可得扇形图中C类对应的圆心角度数；用B类的频数除以样本容量可得成绩在7x8米的频率【解答】解：样本容量为：2+6+25+12+550，故选项A符合题意；成绩在8x9米的人数最多，故选项B不符合题意；扇形图中C类对应的圆心角为：360°×180°，故选项C符合题意；成绩在7x8米的频率为：0.12，故选项D不符合题意故选：AC（多选）11（3分）如图，AC是O的直径，CD为弦，过点A的切线与CD延长线相交于点B，若ABAC，则下列说法正确的是（）AADBCBCAB90°CDBABDADBC【答案】ABD【分析】利用圆周角定理即可判断A；根据切线的性质即可判断B；利用等腰直角三角形的性质即可判断C；利用直角三角形斜边中线的性质即可判断D【解答】解：A、AC是O的直径，ADC90°，ADBC，故A正确；B、AC是O的直径，AB是O的切线，CAAB，CAB90°，故B正确；C、CAB90°，ABAC，B45°ADBC，BDAB，故C错误；D、ACAB，ADBC，CDBD，CAB90°，AD，故D正确故选：ABD（多选）12（3分）如图，抛物线yax2+bx+c与x轴交于点（3，0），则下列结论中正确的是（）Aa0Bc0Cb24ac0D9a+3b+c0【答案】BD【分析】根据图象的开口方向可判断选项A；根据图象与x轴的交点位置，可判断选项B；根据抛物线和x轴交点个数可判断；C：根据x3的函数值的情况，可判断选项D【解答】解：A、由函数图象得，抛物线开口方向向下，故a0，故A错误；B、图象与y轴的交点在原点上方，故c0，故B正确；C、因为抛物线和x轴有两个交点，故b24ac0，故D正确；D、当x3时，y9a+3b+c0，故D正确故选BD三、填空题（本题共4个小题，每小题3分，共12分。请将答案写在答题卡相应的位置上）13（3分）数轴上到原点的距离小于的点所表示的整数有 0（答案不唯一）（写出一个即可）【答案】0（答案不唯一）【分析】数轴上到原点的距离小于的点所表示的数为与之间的所有数，然后写出其中的一个整数即可【解答】解：数轴上到原点的距离小于的点所表示的数为与之间的所有数，则其中的整数为0（答案不唯一），故答案为：0（答案不唯一）14（3分）已知实数a，b满足（a2）2+|b+1|0，则ab【答案】【分析】根据偶次幂及绝对值的非负性求得a，b的值，然后代入ab中计算即可【解答】解：（a2）2+|b+1|0，（a2）20，|b+1|0，a20，b+10，a2，b1，则ab21，故答案为：15（3分）如图，在RtABC中，C90°，按以下步骤作图：以点A为圆心，以小于AC长为半径作弧，分别交AC，AB于点M，N；分别以M，N为圆心，以大于MN的长为半径作弧，在BAC内两弧交于点O；作射线AO，交BC于点D若点D到AB的距离为1，则CD的长为 1【答案】1【分析】根据角平分线的性质得到CD点D到AB的距离1【解答】解：由作图知AD平分BAC，C90°，点D到AB的距离为1，CD1故答案为：116（3分）七巧板是我国民间广为流传的一种益智玩具某同学用边长为4dm的正方形纸板制作了一副七巧板（见图），由5个等腰直角三角形，1个正方形和1个平行四边形组成则图中阴影部分的面积为 2dm2【答案】2【分析】根据正方形的性质，以及七巧板的特点，求得OE的长，即可求解【解答】解：如图所示，依题意，ODAD2，OEOD，图中阴影部分的面积为OE2（）22（dm2），故答案为：2四、解答题（本大题共10个小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，请将解答过程写在答题卡相应位置上）17（6分）解不等式组：，并把它的解集在数轴上表示出来【答案】2x2；数轴见解答过程【分析】先解不等式组求得其解集，然后在数轴上表示其解集即可【解答】解：，由得7x14，则x2，由得2x+6x+4，则x2，故原不等式组的解集为：2x2，在数轴上表示其解集如下：18（6分）先化简，再求值：（1+），其中x6【答案】2【分析】利用分式的运算法则将分式进行化简，然后代入已知数据进行计算即可【解答】解：原式，当x6时，原式219（6分）在RtABC中，BAC90°，AD是斜边BC上的高（1）证明：ABDCBA；（2）若AB6，BC10，求BD的长【答案】（1）证明见解析；（2）3.6【分析】（1）根据已知条件得出BDABAC，又B为公共角，于是得出ABDCBA；（2）根据相似三角形的性质即可求出BD的长【解答】（1）证明：AD是斜边BC上的高，BDA90°，BAC90°，BDABAC，又B为公共角，ABDCBA；（2）解：由（1）知ABDCBA，BD3.620（6分）为落实“双减”政策要求，丰富学生课余生活，某校七年级根据学生需求，组建了四个社团供学生选择：A（合唱社团）、B（硬笔书法社团）、C（街舞社团）、D（面点社团）学生从中任意选择两个社团参加活动（1）小明对这4个社团都很感兴趣，如果他随机选择两个社团，请列举出所有的可能结果；（2）小宇和小江在选择过程中，首先都选了社团C（街舞社团），第二个社团他俩决定随机选择，请用列表法或树状图求他俩选到相同社团的概率【答案】（1）见解析；（2）【分析】（1）列举出所有的可能结果即可；（2）画树状图，共有9种等可能的结果，其中小宇和小江选到相同社团的结果有3种，再由概率公式求解即可【解答】解：（1）所有的可能结果共有6种，分别为：AB、AC、AD、BC、BD、CD；（2）画树状图如下：共有9种等可能的结果，其中小宇和小江选到相同社团的结果有3种，他俩选到相同社团的概率为21（6分）教育部正式印发义务教育劳动课程标准（2022年版）劳动课成为中小学的一门独立课程，某市中小学已经将劳动教育融入学生的日常学习和生活中某校倡导同学们从帮助父母做一些力所能及的家务做起，培养劳动意识，提高劳动技能小明随机调查了该校10名学生某周在家做家务的总时间，并对数据进行统计分析，过程如下：收集数据：在家做家务时间：（单位：小时）1 5 4 1 a 3 2 b 3 4整理数据：时间段0x33x66x9人数36m分析数据：统计量平均数中位数众数数据3.43.54请结合以上信息回答下列问题：（1）m1，并补全频数分布直方图；（2）数据统计完成后，小明发现有两个数据不小心丢失了请根据图表信息找回这两个数据若ab，则a4，b7；（3）根据调查结果，请估计该校2000名学生在这一周劳动时间不少于3小时的人数【答案】见试题解答内容【分析】（1）根据各组频数之和等于样本容量可求出m的值，进而补全频数分布直方图；（2）根据众数的定义确定a的值，再由平均数、中位数确定b的值即可；（3）求出样本中“学生在这一周劳动时间不少于3小时学生”所占的百分比，进而估计总体中“学生在这一周劳动时间不少于3小时学生”所占的百分比，由频率进行计算即可【解答】解：（1）m10361，补全频数分布直方图如下：（2）样本中1、3、4都出现2次，若这组数据的众数是4，因此漏掉的两个数中必有一个是4，而ab，因此a4，这10个数的中位数是3.5，平均数是3.4，因此漏掉的另一个数是7，即b7，故答案为：4，7；（3）2000×1400（人），答：该校2000名学生在这一周劳动时间不少于3小时的人数大约有1400人22（6分）我国航天事业发展迅速，2023年5月30日9时31分，神舟十六号载人飞船成功发射某玩具店抓住商机，先购进了1000件相关航天模型玩具进行试销，进价为50元/件（1）设每件玩具售价为x元，全部售完的利润为y元求利润y（元）关于售价x（元/件）的函数表达式；（2）当售价定为60元/件时，该玩具销售火爆，该店继续购进一批该种航天模型玩具，并从中拿出这两批玩具销售利润的20%用于支持某航模兴趣组开展活动，在成功销售完毕后，资助经费恰好10000元，请问该商店继续购进了多少件航天模型玩具？【答案】（1）y1000x50000；（2）4000【分析】（1）根据每件的利润×件数总利润求解即可；（2）设该商店继续购进了m件航天模型玩具，根据资助经费恰好10000元，列方程，求解即可【解答】解：（1）y1000（x50）1000x50000；（2）设该商店继续购进了m件航天模型玩具，（6050）（1000+m）×20%10000，解得m4000，答：该商店继续购进了4000件航天模型玩具23（8分）如图，点A的坐标是（3，0），点B的坐标是（0，4），点C为OB中点将ABC绕着点B逆时针旋转90°得到ABC（1）反比例函数y的图象经过点C，求该反比例函数的表达式；（2）一次函数图象经过A、A两点，求该一次函数的表达式【答案】（1）反比例函数的表达式为y；（2）该一次函数的表达式为yx+【分析】（1）根据旋转的性质得出C的坐标，然后利用待定系数法即可求得反比例函数的解析式；（2）作AHy轴于H证明AOBBHA（AAS），推出OABH，OBAH，求出点A坐标，再利用待定系数法即可求得一次函数的解析式【解答】解：（1）点A的坐标是（3，0），点B的坐标是（0，4），点C为OB中点，OA3，OB4，BC2，将ABC绕着点B逆时针旋转90°得到ABC，C（2，4），反比例函数y的图象经过点C，k2×48，该反比例函数的表达式为y；（2）作AHy轴于HAOBAHBABA90°，ABO+ABH90°，ABO+BAO90°，BAOABH，BABA，AOBBHA（AAS），OABH，OBAH，OA3，OB4，BHOA3，AHOB4，OH1，A（4，1），设一次函数的解析式为yax+b，把A（3，0），A（4，1）代入得，解得，该一次函数的表达式为yx+24（8分）问题情境：筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保明朝科学家徐光启在农政全书中用图画描绘了筒车的工作原理（如图）假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都按逆时针做匀速圆周运动，每旋转一周用时120秒问题设置：把筒车抽象为一个半径为r的O如图，OM始终垂直于水平面，设筒车半径为2米当t0时，某盛水筒恰好位于水面A处，此时AOM30°，经过95秒后该盛水筒运动到点B处问题解决：（1）求该盛水筒从A处逆时针旋转到B处时，BOM的度数；（2）求该盛水筒旋转至B处时，它到水面的距离（结果精确到0.1米）（参考数据1.414，1.732）【答案】（1）45°；（2）0.3米【分析】（1）求出筒车每秒转过的度数，再根据周角的定义进行计算即可；（2）根据直角三角形的边角关系分别求出OD、OC即可【解答】解：（1）由于筒车每旋转一周用时120秒所以每秒转过360°÷1203°，BOM360°3°×9530°45°；（2）如图，过点B、点A分别作OM的垂线，垂足分别为点C、D，在RtAOD中，AOD30°，OA2米，ODOA（米）在RtBOC中，BOC45°，OB2米，OCOB（米），CDODOC0.3（米），即该盛水筒旋转至B处时到水面的距离约为0.3米25（10分）问题情境：小红同学在学习了正方形的知识后，进一步进行以下探究活动：在正方形ABCD的边BC上任意取一点G，以BG为边长向外作正方形BEFG，将正方形BEFG绕点B顺时针旋转特例感知：（1）当BG在BC上时，连接DF，AC相交于点P，小红发现点P恰为DF的中点，如图针对小红发现的结论，请给出证明；（2）小红继续连接EG，并延长与DF相交，发现交点恰好也是DF中点P，如图根据小红发现的结论，请判断APE的形状，并说明理由；规律探究：（3）如图，将正方形BEFG绕点B顺时针旋转，连接DF，点P是DF中点，连接AP，EP，AE，APE的形状是否发生改变？请说明理由【答案】（1）证明过程详见解答；（2）APE是等腰直角三角形；（3）APE仍然是等腰直角三角形【分析】（1）延长FG，交AC于H，可推出FGBG，CGGH，从而CDFH，进而得出CDPHFP，进一步得出结论；（2）延长EG，交AD的延长线于点M，设DF和EG交于点Q，同理（1）可证得DQMFQE，从而DQFQ，从而得出点Q和点P重合，进一步得出结论；（3）延长EP至Q，是PQPE，连接DQ，延长DA和FE，交于点N，PDQPFE，从而DQEF，PQDPEF，所以N+ADQ180°，可推出N+ABE180°，进而推出ADQABE，AEAQ，DAQBAE，进而推出QAE90°，进一步得出结论【解答】解：（1）如图1，延长FG，交AC于H，四边形ABCD和四边形BEFG是正方形，BCCD，FGBG，CDAE，FGAE，CGHBGF90°，CHG45°，CDFG，ACBCHG，CDPHFP，DCPFHP，CGGH，CG+BGGH+FG，BCFH，CDFH，CDPHFP（ASA），点P是DF的中点；（2）如图2，APE是等腰直角三角形，理由如下：延长EG，交AD的延长线于点M，设DF和EG交于点Q，四边形ABCD和四边形BEFG是正方形，BAD90°，BEG45°，ADAB，BEEF，ADBCEF，BAC45°，M45°，MGEF，MDQEFQ，MBEG，AMAE，AMADAEAB，DMBE，DMEF，DQMFQE（ASA），DQFQ，点Q和点P重合，即：EG与DF的交点恰好也是DF中点P，BAC45°，BEG45°，APE90°，APEP，APE是等腰直角三角形；（3）如图3，APE仍然是等腰直角三角形，理由如下：延长EP至Q，是PQPE，连接DQ，延长DA和FE，交于点N，DPPF，DPQEPF，PDQPFE（SAS），DQEF，PQDPEF，N+ADQ180°，四边形ABCD和四边形BEFG是正方形，BANDAB90°，BENBEF90°，ABAD，BEEF，N+ABE360°BANBEN360°90°90°180°，DQBE，ABEADQ，ADQABE（SAS），AEAQ，DAQBAE，BAE+BAQDAQ+BAQBAD90°，QAE90°，APEQ，APPE，APE是等腰直角三角形26（10分）如图，二次函数yx2+bx+c 的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，其中B（1，0），C（0，3）（1）求这个二次函数的表达式；（2）在二次函数图象上是否存在点P，使得SPACSABC？点P与点B不重合若存在，请求出P点坐标；若不存在，请说明理由；（3）点Q是对称轴l上一点，且点Q的纵坐标为a，当QAC是锐角三角形时，求a的取值范围【答案】（1）yx24x+3；（2）在二次函数图象上存在点P，P（2，1）或 或 ；（3）a5或1a【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；（2）根据SPACSABC，可得P到AC的距离等于B到AC的距离，进而作出两条AC的平行线，求得解析式，联立抛物线即可求解；（3）根据题意，求得当OAC是直角三角形时的a的值，进而观察图象，即可求解，分a0和a0两种情况讨论，分别计算即可求解【解答】解：将点B（1，0），C（0，3）代入yx2+bx+c，则，解得，抛物线解析式为 yx24x+3；（2）在二次函数图象上存在点P，使得SPACSABC，yx24x+3（x2）21，顶点坐标为（2，1），当 y0时，x24x+30，解得：x11，x23，A（3，0），则 OA3，C（0，3），则 OC3，AOC 是等腰直角三角形，SPACSABC，P到AC的距离等于B到AC的距离，A（3，0），C（0，3），设直线AC的解析式为ykx+3，3k+30，解得k1，直线AC的解析式为yx+3，过点B作AC的平行线，交抛物线于点P，设BP的解析式为 yx+d，将点B（1，0）代入得，1+d0，解得：d1，直线BP的解析式为 yx+1，解得：或，P（2，1），AB312，PA2+PB2AB2，ABP 是等腰直角三角形，且APB90°，如图所示，延长PA至D，使得ADPA，过点D作AC的平行线DE，交x轴于点E，则DADE，则符合题意的点P在直线DE 上，APB是等腰直角三角形，DEAC，ACPD，DAEBAP45°，PDDE，ADE是等腰直角三角形，E（5，0）设直线DE的解析式为yx+e，5+e0，解得：e5，直线DE的解析式为yx+5，联立 ，解得： 或， 或 ，综上所述，P（2，1） 或 ；（3）当a0时，如图所示，过点C作 CGAC 交 x2 于点G，当点Q与点G重合时，ACQ是直角三角形，当AQC90°时，ACQ是直角三角形，设AC交x2于点H，直线AC的解析式为 yx+3，则H（2，1），CHGOCH45°，CHG是等腰直角三角形，G（2，5），设Q（2，q），则AQ212+q2，CQ222+（q3）2q26q+13，AC232+3218，18q26q+13+12+q2，解得： （舍去）或 ，QAC是锐角三角形，；当a0时，如图所示，同理可得AQ2+QC2AC2，即18q26q+13+12+q2，解得： 或 （舍去），由（2）可得AMAC时，M（2，1）1a综上所述，当OAC是锐角三角形时，a5或1a声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2023/10/7 16:21:04；用户：15013648226；邮箱：15013648226；学号：414