课时规范练26　利用导数研究函数的极值、最值.docx

课时规范练26利用导数研究函数的极值、最值一、基础巩固练1.(2024·河南郑州模拟)已知函数f(x)=x3-3x2+a,则f(x)的极值点个数为()A.不确定B.0C.1D.22.(2023·河北石家庄模拟)函数f(x)=xln x-x在12,4上的最小值为()A.-1+ln22B.-1C.0D.2ln 2-23.(2024·山东济南模拟)已知函数f(x)=ax+lnxb+1在x=1处取得极值0,则a+b=()A.-1B.0C.1D.24.(2024·山东青岛模拟)函数f(x)=x3-3ax+a在(0,1)内有最小值,则a的取值范围是()A.0,1)B.(0,1)C.(-1,1)D.(0,12)5.(2024·江苏镇江模拟)函数f(x)=sin x-xcos x在-2,2上的最小值为()A.33-6B.-1C.3-612D.06.(2024·四川绵阳模拟)若函数f(x)=ax2-2ln x有且仅有一个极值点,则实数a的取值范围为()A.(-,0B.(0,+)C.(1,+)D.(-,-1)(1,+)7.(多选题)(2024·安徽宿州模拟)已知x=1为函数f(x)=x2-3x-logax的极值点,则()(参考数据:ln 20.693 1)A.f(x)在(0,1)内单调递减B.f(x)的极小值为-2C.f(x)有最小值,无最大值D.f(x)有唯一的零点8.(2024·河北唐山模拟)已知x=1是函数f(x)=x3-3ax+2的极小值点,那么函数f(x)的极大值为. 9.(2024·福建三明模拟)某圆锥的母线长为10 cm,当其体积最大时,圆锥的高为cm. 10.(2024·九省适应性测试,15)已知函数f(x)=ln x+x2+ax+2在点(2,f(2)处的切线与直线2x+3y=0垂直.(1)求a;(2)求f(x)的单调区间和极值.二、综合提升练11.(2024·贵州贵阳模拟)已知函数f(x)=mln x+1x的最小值为-m,则m=()A.1e2B.1eC.eD.e212.(2024·福建泉州模拟)若函数f(x)=x2+ax+2ln x有两个不同的极值点,则实数a的取值范围为()A.(-,-4)B.(4,+)C.(-4,4)D.(-,-4)(4,+)13.(多选题)(2024·福建莆田模拟)已知函数f(x)=(x2-3x+1)ex,则下列说法中正确的是()A.f(x)在R上有两个极值点B.f(x)在x=-1处取得最小值C.f(x)在x=2处取得极小值D.函数f(x)在R上有三个不同的零点14.(2024·福建厦门模拟)函数f(x)=x2+2x-aex在区间(a,a+1)内存在最小值,则实数a的取值范围为()A.(-,-1)B.(-2,-1)C.(-,-1-52)D.(-1-52,-1)15.(2024·河北承德联考)函数f(x)=|x-1|+xln x的最小值为. 16.(2024·浙江余姚模拟)已知函数f(x)=ex-2x,g(x)=-x,且f(x1)=g(x2),则x1-x2的最小值为. 17.(2024·江苏南京模拟)已知函数f(x)=(x-a-1)ex-1-12x2+ax.(1)当a=1时,求函数f(x)的单调递增区间;(2)若函数f(x)在(0,+)的最小值为-12,求a的最大值.课时规范练26利用导数研究函数的极值、最值1.D解析 函数f(x)定义域为R,且f'(x)=3x2-6x=3x(x-2),令f'(x)=0,解得x=0或x=2,所以当x>2或x<0时,f'(x)>0,当0<x<2时,f'(x)<0,所以f(x)在(-,0)和(2,+)内单调递增,在(0,2)内单调递减,所以f(x)在x=0处取得极大值,在x=2处取得极小值,因此f(x)有2个极值点,故选D.2.B解析 f'(x)=ln x,令f'(x)=ln x=0得x=1,当x>1时,f'(x)>0,f(x)在(1,+)内单调递增,当x<1时,f'(x)<0,即f(x)在(0,1)内单调递减,则f(x)在x=1时取得极小值,也是最小值,故f(x)f(1)=-1,故选B.3.B解析 f'(x)=a+1bx,依题意有f(1)=a+1=0,f'(1)=a+1b=0,解得a=-1,b=1,经检验,符合题意,所以a+b=0,故选B.4.B解析 f'(x)=3x2-3a,若a0,f'(x)0,f(x)在(0,1)内单调递增,f(x)无最小值;若a>0,由f'(x)=0,解得x=±a,当x>a时,f(x)单调递增,当0<x<a时,f(x)单调递减,所以f(x)在x=a处取得极小值,也是最小值,所以极小值点应该在(0,1)内,所以0<a<1,所以0<a<1,故选B.5.B解析 f'(x)=cos x-(cos x-xsin x)=xsin x,所以f'(0)=0,且当x-2,0)时,f'(x)>0,x(0,2时,f'(x)>0,即f'(x)0在-2,2上恒成立,所以f(x)在-2,2上单调递增,因此f(x)在-2,2上的最小值为f(-2)=sin(-2)-(-2)·cos(-2)=-1,故选B.6.B解析 函数f(x)的定义域为(0,+),且f'(x)=2ax-2x=2(ax2-1)x,因为f(x)有且仅有一个极值点,所以方程ax2-1=0有且仅有一个正根,所以a>0,故选B.7.BD解析 f'(x)=2x-3-1xlna,由f'(1)=0得ln a=-1,所以a=1e,则f(x)=x2-3x+ln x,此时f'(x)=(2x-1)(x-1)x,令f'(x)=0,解得x=1或x=12,故f(x)在(0,12)和(1,+)内单调递增,在(12,1)内单调递减,因此极小值为f(1)=-2,极大值为f(12)=-54-ln 2,由图象(图略)可知f(x)无最小值也无最大值,有唯一的零点,故选项B,D正确,选项A,C错误,故选BD.8.4解析 f'(x)=3x2-3a,因为x=1是函数的极小值点,所以f'(1)=3-3a=0,解得a=1,此时f(x)=x3-3x+2,f'(x)=3x2-3,令f'(x)=3x2-3=0,得x=-1或x=1,所以f(x)在x=-1处取极大值,f(-1)=-1+3+2=4.9.1033解析 设圆锥的高为h,则底面圆的半径r=100-h2,所以圆锥的体积为V(h)=3(-h3+100h),则V'(h)=3(-3h2+100),令V'(h)=0,则h=1033,当0<h<1033时,V'(h)>0,V(h)单调递增,当h>1033时,V'(h)<0,V(h)单调递减,所以当h=1033cm时,V(h)取得极大值即最大值,即当h=1033 cm时,圆锥的体积最大.10.解 (1)f'(x)=1x+2x+a,则f'(2)=12+2×2+a=92+a,由题意可得(92+a)×(-23)=-1,解得a=-3. (2)由(1)知f(x)=ln x+x2-3x+2,则f'(x)=1x+2x-3=2x2-3x+1x=(2x-1)(x-1)x,x>0,故当0<x<12时,f'(x)>0;当12<x<1时,f'(x)<0;当x>1时,f'(x)>0,故f(x)的单调递增区间为(0,12),(1,+),f(x)的单调递减区间为(12,1),f(x)的极大值为f(12)=ln12+(12)2-3×12+2=34-ln 2,极小值为f(1)=ln 1+12-3×1+2=0.11.D解析 由f(x)=mln x+1x,得f'(x)=mx-1x2=mx-1x2,当m0时,则f'(x)<0,函数f(x)在(0,+)内为减函数,函数无最小值,不合题意,当m>0时,f'(x)=mx-1x2,令f'(x)=0,则x=1m,所以当0<x<1m时,f'(x)<0,函数f(x)单调递减,当x>1m时,f'(x)>0,函数f(x)单调递增,所以当x=1m时,函数f(x)有最小值mln1m+m=-m,解得m=e2,故选D.12.A解析 由题意知f(x)的定义域为(0,+),f'(x)=2x+a+2x=2x2+ax+2x,令g(x)=2x2+ax+2,f(x)有两个不同的极值点,g(x)在(0,+)内有两个不同的且大于0的零点,=a2-16>0,-a4>0,解得a<-4,故选A.13.AC解析 f(x)定义域为R,f'(x)=(x2-x-2)ex=(x-2)(x+1)ex,当x(-,-1)(2,+)时,f'(x)>0;当x(-1,2)时,f'(x)<0.f(x)在(-,-1),(2,+)内单调递增,在(-1,2)内单调递减,f(x)极大值为f(-1)=5e,极小值为f(2)=-e2,当x<0时,x2-3x+1>0,ex>0,f(x)>0恒成立,可作出f(x)图象(如图所示).对于A,f(x)的极大值点为-1,极小值点为2,故选项A正确;对于B,f(-1)不是f(x)的最小值,故选项B错误;对于C,f(x)在x=2处取得极小值,故选项C正确;对于D,由图象可知,f(x)有且仅有两个不同的零点,故选项D错误,故选AC.14.D解析 f'(x)=-x2+2+aex,令g(x)=-x2+2+a,若f(x)在区间(a,a+1)内存在最小值,则g(x)在(a,a+1)内存在零点,且g(a)=-a2+2+a<0,g(a+1)=-(a+1)2+2+a>0,解得-1-52<a<-1,故选D.15.0解析 f(x)的定义域为(0,+),f(x)=|x-1|+xln x=x-1+xlnx,x1,1-x+xlnx,0<x<1,当x1时,f'(x)=1+(ln x+1)=ln x+2>0,所以f(x)在区间1,+)内单调递增,最小值是f(1)=0.当0<x<1时,f'(x)=-1+(ln x+1)=ln x<0,所以f(x)在区间(0,1)内单调递减.综上所述,f(x)的最小值为0.16.1解析 由f(x1)=g(x2),得ex1-2x1=-x2,整理得x1-x2=ex1-x1,因为g(x)的值域以及f(x),g(x)的定义域均为R,所以x1的取值范围是R,令h(x)=ex-x(xR),则h'(x)=ex-1,令ex-1=0,解得x=0,当x(-,0)时,h'(x)<0,即h(x)在(-,0)内单调递减;当x(0,+)时,h'(x)>0,即h(x)在(0,+)内单调递增,所以h(x)min=h(0)=1,故(x1-x2)min=1.17.解 (1)当a=1时,f(x)=(x-2)·ex-1-12x2+x,则f'(x)=(x-1)·ex-1-x+1=(x-1)(ex-1-1),令g(x)=(x-1)(ex-1-1),g'(x)=xex-1-1,令g'(x)=0,解得x=1,当x<1时,g'(x)<0,当x>1时,g'(x)>0,即g(x)在(-,1)内单调递减,在(1,+)内单调递增,故g(x)g(1)=0,所以f'(x)=(x-1)(ex-1-1)0恒成立,即f(x)的单调递增区间为(-,+).(2)f'(x)=(x-a)ex-1-x+a=(x-a)(ex-1-1),当a0时,由x(0,1),f'(x)<0,x(1,+),f'(x)>0,则f(x)在x=1取得最小值-12,符合题意;当0<a<1时,由x(0,a),f'(x)>0,x(a,1),f'(x)<0,当x(1,+)时,f'(x)>0,因为f(x)的最小值为-12=f(1),所以f(0)f(1),得ae2-1,即0<ae2-1;当a=1时,由(1)可知f(x)单调递增,则当x>0时f(x)无最小值,不合题意;当a>1时,由x(0,1),f'(x)>0,x(1,a),f'(x)<0,x(a,+),f'(x)>0,则有f(a)<f(1)=-12,不合题意.综上可得,a的最大值为e2-1.5