课时规范练68 椭圆的定义、方程与性质.docx
课时规范练68椭圆的定义、方程与性质一、基础巩固练1.(2024·九省适应性测试,2)椭圆x2a2+y2=1(a>1)的离心率为12,则a=()A.233B.2C.3D.22.(2024·福建泉州模拟)已知P为椭圆x24+y22=1上一点,F1,F2为该椭圆的两个焦点.若|PF2|=3|PF1|,则|PF1|=()A.12B.22C.1D.33.已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的长轴长是短轴长的2倍,则E的离心率为()A.12B.22C.24D.324.(2024·河南洛阳模拟)已知F1,F2分别为椭圆C:x2a2+y212=1(a>23)的两个焦点,且C的离心率为12,P为椭圆C上一点,则PF1F2的周长为()A.6B.9C.12D.155.(2024·安徽阜阳模拟)已知椭圆长轴、短轴的一个端点分别为A,B,F为椭圆的一个焦点.若ABF为直角三角形,则该椭圆的离心率为()A.22B.24C.5-12D.5+146.(2024·辽宁朝阳模拟)一名木匠准备制作一张椭圆形的餐桌台面,如图,他先将一根细绳(无弹性)的两端固定在钉子上,然后用笔撑直绳子,转圈画出的图形就是一个椭圆.如果图中的两个钉子之间的距离为0.9 m,细绳长为1.5 m,将绳子与钉子固定所用的绳长忽略不计,则过该椭圆的中心的弦中,最短弦长为()A.0.6 mB.1.2 mC.0.8 mD.1.6 m7.(2024·山东烟台模拟)若椭圆C的中心为坐标原点、焦点在y轴上,顺次连接C的两个焦点、一个短轴顶点构成等边三角形,顺次连接C的四个顶点构成的四边形的面积为43,则C的方程为()A.y24+x23=1B.y26+x22=1C.y28+x24=1D.y28+x26=18.(多选题)已知M是椭圆C:x28+y24=1上一点,F1,F2分别是其左、右焦点,则下列选项正确的有()A.椭圆的焦距为2B.椭圆的离心率e=22C.椭圆的短轴长为4D.MF1F2的面积的最大值是49.已知椭圆C:x2a+y28=1的焦距为8,则C的离心率e=. 10.(2024·江西宜春模拟)已知椭圆的中心在原点,焦点在y轴上,离心率为12,请写出一个符合上述条件的椭圆的标准方程:. 11.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的上、下顶点分别为B1,B2,右焦点为F2,右顶点为A2.若直线A2B1与直线B2F2交于点P,且A2PB2为钝角,则此椭圆的离心率e的取值范围为. 二、综合提升练12.(2021·全国乙,文11)设B是椭圆C:x25+y2=1的上顶点,点P在C上,则|PB|的最大值为()A.52B.6C.5D.213.(多选题)(2024·黑龙江哈师大附中模拟)已知曲线C:mx2+(1-m)y2=1为焦点在y轴上的椭圆,则()A.12<m<1B.C的离心率为2m1-mC.C的短轴长的取值范围是(2,22)D.m的值越小,C的焦距越大14.(2021·全国甲,理15)已知F1,F2为椭圆C:x216+y24=1的两个焦点,P,Q为C上关于坐标原点对称的两点,且|PQ|=|F1F2|,则四边形PF1QF2的面积为. 课时规范练68椭圆的定义、方程与性质1.A解析 由题意得e=a2-1a=12,解得a=233,故选A.2.C解析 因为P为椭圆x24+y22=1上一点,所以|PF1|+|PF2|=4.因为|PF2|=3|PF1|,所以|PF1|=1.3.D解析 由题意得,2a=4b,所以ba=12,e=ca=1-b2a2=1-(12) 2=32.4.C解析 因为C的离心率为12,且a>23,所以e2=a2-12a2=14,解得a=4,则c=a2-12=2,所以PF1F2的周长为2a+2c=12.5.C解析 如图,|AF|=a+c,|BF|=a,|AB|=a2+b2,由已知得2a2+b2=(a+c)2,且b2=a2-c2,e=ca>0,得c2+ac-a2=0,e2+e-1=0,解得e=5-12.6.B解析 根据题意,结合椭圆定义得,椭圆的长轴长为2a=1.5 m,焦距为2c=0.9 m,所以椭圆的短半轴长为b=a2-c2=342-9202=144400=35=0.6 m.因为过椭圆中心的弦中,最短的弦为椭圆的短轴,长为2b=1.2 m,所以过该椭圆的中心的弦中,最短弦长为1.2 m.7.A解析 设椭圆的标准方程为y2a2+x2b2=1(a>b>0),由题可知a=2c,12·2a·2b=43,a2=b2+c2,解得a=2,b=3,故椭圆的标准方程为y24+x23=1.8.BCD解析 因为椭圆的方程为x28+y24=1,所以a=22,b=2,c=2,所以椭圆的焦距为2c=4,离心率e=ca=22,短轴长为2b=4,故A错误,B,C正确;对于D,当M为椭圆短轴的一个顶点时,MF1F2以F1F2为底时的高最大,为2,此时MF1F2的面积为12×2c×b=12×2×2×2=4,故D正确.故选BCD.9.63解析 因为椭圆C:x2a+y28=1的焦距为8,则半焦距c=4.因为8<42,所以焦点在x轴上,因此短半轴长为22,长半轴长a=(22)2+42=26,所以C的离心率e=426=63.10.y24+x23=1(答案不唯一)解析 由题意,椭圆的中心在原点,焦点在y轴上,设椭圆C:y2a2+x2b2=1(a>b>0),离心率为12,e=ca=12,即a=2c.a2=b2+c2,b=3c.当c=1时,a=2,b=3,此时,椭圆C:y24+x23=1.11.-1+52,1解析 由题意可知A2PB2=<B1A2,F2B2>,且B1A2=(a,-b),F2B2=(-c,-b).当A2PB2为钝角时,B1A2·F2B2<0,此时a(-c)+b2<0,即a2-c2-ac<0,有e2+e-1>0.又e(0,1),得-1+52<e<1.12.A解析 由椭圆方程可得a=5,b=1,故椭圆的上顶点为B(0,1).设P(x,y),则有x25+y2=1,故x2=5(1-y2).由椭圆的性质可得-1y1,则|PB|2=x2+(y-1)2=5(1-y2)+(y-1)2=-4y2-2y+6=-4(y2+y2)+6=-4(y+14)2+254.因为-1y1,所以当y=-14时,|PB|2取得最大值,且最大值为254,所以|PB|的最大值为52.13.AC解析 曲线C:mx2+(1-m)y2=1为焦点在y轴上的椭圆,则曲线C的标准方程为y211-m+x21m=1,其中a2=11-m,b2=1m,且11-m>1m>0,即12<m<1,故A正确;C的离心率为e=11-m-1m11-m=2m-1m,故B错误;C的短轴长2b=21m,当12<m<1时,2<2b<22,故C正确;C的焦距2c=211-m-1m,当m=23时,2c=6;当m=34时,2c=463>6,故D错误.故选AC.14.8解析 由题意得a=4,b=2,c=23,则|PQ|=|F1F2|=43.|OQ|=|OF1|=|OF2|=23,QF1QF2,即四边形PF1QF2为矩形.|QF1|+|QF2|=2a=8,|QF1|2+|QF2|2=|F1F2|2=48,|QF1|·|QF2|=12(|QF1|+|QF2|)2-(|QF1|2+|QF2|2)=8,即四边形PF1QF2的面积为8.4
