《函数和极限》课件.pptx

函数和极限ppt课件堂聊玎澈龌勿翻喵盅降contents目录函数的概念函数的分类极限的概念极限的运算函数的连续性函数的导数与微分函数的概念01总结词描述函数的基本定义详细描述函数是数学中描述两个集合之间关系的一种工具，它定义了一个从输入集合到输出集合的映射。函数的基本定义是对于输入集合中的每一个元素，在输出集合中都有唯一一个元素与之对应。函数的定义描述函数的表示方法总结词函数可以通过解析式、表格、图象等多种方式来表示。解析式表示法是一种常见的表示方法，它使用数学公式来表示输入和输出之间的关系。表格表示法则是通过列出输入和输出的一组对应数据来表示函数。图象表示法则通过绘制输入和输出在坐标系中的点来表示函数。详细描述函数的表示总结词描述函数的基本性质详细描述函数具有一些基本的性质，如确定性、互异性、有界性等。确定性是指对于输入集合中的任意一个元素，函数都有唯一确定的输出值。互异性是指函数的输出值与输入值的顺序无关，即如果输入值改变顺序，输出值不会改变。有界性则是指函数的输出值总是被限制在一定的范围内。函数的性质函数的分类02对于定义域内的所有x，如果存在正数M，使得|f(x)|M恒成立，则称f(x)为有界函数。定义举例性质例 如 y=sinx，y=cosx都是有界函数。有界函数的图像位于闭区间上，不会无限地远离坐标轴。030201有界函数03性质无界函数的图像会无限地远离坐标轴，没有上界或下界。01定义对于定义域内的某个子区间，如果存在x0，使得当x趋向于x0时，f(x)趋向于无穷大，则称f(x)为无界函数。02举例例如y=x，y=1/x都是无界函数。无界函数如果对于定义域内的所有x，当x趋向于x0时，f(x)趋向于f(x0)，则称f(x)在x0处连续。如果f(x)在定义域内的所有点都连续，则称f(x)为连续函数。定义例如y=sinx，y=cosx都是连续函数。举例连续函数的图像是连续不断的曲线，没有断裂或间断点。性质连续函数极限的概念03当自变量在某一变化过程中无限趋近于某一数值时，因变量的变化趋势。极限的描述性定义对于任意小的正数$epsilon$，存在一个正数$delta$，当$0|x-x_0|delta$时，有$|f(x)-L|epsilon$。极限的严格定义极限的定义对于任意给定的数列或函数，其极限值是唯一的。唯一性数列或函数的极限值是有界的，即存在一个正数M，使得$|f(x)|leq M$。有界性如果$f(x_1)leq f(x_2)$，则$lim f(x_1)leq lim f(x_2)$。保序性对于任意给定的正数$epsilon$，存在一个正数$delta$，使得当$0|x-x_0|delta$时，有$|f(x)|leq M$。局部有界性极限的性质无穷小量在某一变化过程中，当自变量趋近于某一数值时，因变量的绝对值无限趋近于0。无穷小量的性质无穷小量是相对于自变量变化过程的，不同的变化过程可能有不同的无穷小量；无穷小量不是0，但可以与0比较大小；无穷小量在求极限过程中可以忽略不计。无穷小量极限的运算04 极限的四则运算极限的四则运算法则极限的四则运算法则是极限运算的基础，包括加法、减法、乘法和除法等运算的极限法则。极限的四则运算性质极限的四则运算性质包括结合律、交换律、分配律等，这些性质在极限运算中非常重要，可以帮助我们简化复杂的极限表达式。极限的四则运算应用极限的四则运算应用广泛，可以用于求解函数的极限、求导数、积分等数学问题。复合函数的极限性质复合函数的极限性质包括连续性、可导性、可积性等，这些性质在研究复合函数的性质和行为时非常重要。复合函数的极限应用复合函数的极限应用广泛，可以用于求解复合函数的极限、研究函数的连续性和可导性等问题。复合函数的极限定义复合函数的极限定义是极限复合运算的基础，它涉及到函数和自变量的复合关系以及极限的运算。极限的复合运算洛必达法则的条件使用洛必达法则需要满足一定的条件，包括未定式和可导性等条件，这些条件是保证洛必达法则正确性的基础。洛必达法则的定义洛必达法则是求未定式极限的重要法则，它基于导数和极限的关系，通过求导数来求解未定式极限。洛必达法则的应用洛必达法则的应用广泛，可以用于求解各种未定式极限，是微积分学中非常重要的工具之一。洛必达法则函数的连续性05VS函数在某点连续的定义是指函数在该点的极限值等于函数值。详细描述如果一个函数在某一点处的极限值等于该点的函数值，则称该函数在该点连续。具体来说，如果对于任意给定的正数$epsilon$，都存在一个正数$delta$，使得当$|x-a|delta$时，有$|f(x)-f(a)|epsilon$，则称函数$f(x)$在点$a$处连续。总结词连续性的定义连续性具有一些重要的性质，如函数的和、差、积和商在连续点处连续。如果两个函数在某点处都连续，则它们的和、差、积和商在同样的点处也连续。此外，复合函数在连续点处也连续。这些性质是连续函数的基本性质，对于理解和掌握函数的连续性非常重要。总结词详细描述连续性的性质函数的间断点是指函数在该点不连续的点。总结词函数的间断点可以分为两类：第一类间断点和第二类间断点。第一类间断点包括可去间断点和跳跃间断点，它们都是可以通过补充定义函数值的方式使得函数在这一点连续的间断点。第二类间断点包括无穷间断点和振荡间断点，它们都是不能通过补充定义函数值的方式使得函数在这一点连续的间断点。了解函数的间断点对于理解函数的性质和行为非常重要。详细描述函数的间断点函数的导数与微分06总结词导数是函数在某一点的变化率，用于描述函数值随自变量变化的速率。要点一要点二详细描述导数表示函数在某一点附近的小范围内，函数值随自变量变化的速率。具体来说，如果函数在某一点的导数大于零，则表示函数在该点附近单调递增；如果导数小于零，则表示函数在该点附近单调递减。导数的概念导数的计算导数的计算是利用导数的基本公式和求导法则进行的。总结词导数的基本公式包括幂函数的导数、指数函数的导数、对数函数的导数等。求导法则包括链式法则、乘积法则、商的导数法则等。通过这些公式和法则，可以计算出任意函数的导数。详细描述总结词微分是函数在某一点的变化量的近似值，用于描述函数值随自变量微小变化时的变化量。详细描述微分表示函数在某一点附近，因自变量微小变化而引起的函数值的变化量。微分可以理解为导数与自变量变化量的乘积，即函数的增量可以近似为微分与自变量变化量的乘积。微分具有线性性质，即函数的微分等于常数倍的自变量的微分。微分的概念THANKS感谢观看