四川省成都市石室中学2024届高三下学期三诊模拟考试理科数学试卷含答案.pdf

1学科网（北京）股份有限公司成都石室中学成都石室中学 2023-2024 年度下期高年度下期高 2024 届三诊模拟届三诊模拟数学试题（理）数学试题（理）（总分：（总分：150 分，时间：分，时间：120 分钟分钟）第卷（共第卷（共 60 分）分）一、选择题（本题共一、选择题（本题共 12 道小题，每小题道小题，每小题 5 分，共分，共 60 分）分）1满足,Ma b c d且,Ma b ca=的集合M的个数为（）A1B2C3D42在ABCD中，“ACB是钝角”是“CACBAB+-=+，且1x=是()g x的极值点，证明：2+ln12ln2ba -.20（本小题满分 12 分）已知平面a与平面b是空间中距离为 1 的两平行平面，ABa，CDb，且2ABCD=，AB和CD的夹角为60.()证明：四面体ABCD的体积为定值；()已知异于C、D两点的动点Pb，且P、A、B、C、D均在半径为52的球面上.当PA，PB与平面a的夹角均为q时，求cosq.21（本小题满分 12 分）已知椭圆2222:1(0)xyCabab+=的离心率为55，以椭圆的顶点为顶点的四边形面积为4 5.()求椭圆C的标准方程；()我们称圆心在椭圆C上运动且半径为223ab+的圆是椭圆C的“环绕圆”.过原点O作椭圆C的“环绕圆”的两条切线，分别交椭圆C于,A B两点，若直线,OA OB的斜率存在，并记为12,k k，求1 2k k的取值范围.选考题：共选考题：共 10 分。请考生在第分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分如果多做，则按所做的第一题计分.选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程（10 分）分）22（本小题满分 10 分）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(3)1222xttyt=-+=为参数，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线1C的极坐标方程为6r=.()写出直线l的普通方程和曲线1C的参数方程；()若将曲线1C上各点的横坐标缩短为原来的66倍，纵坐标缩短为原来的22倍，得到曲线2C，设点P是曲线2C上任意一点，求点P到直线l距离的最小值.选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲（10 分）分）5学科网（北京）股份有限公司23（本小题满分 10 分）已知函数 1f xx=-()解不等式246fxf x+；()若a、bR，1a，1b-+#QQABJQ4UogCIAIIAARhCUQWCCEEQkAECCAoOwAAAsAAByRFABAA=#QQABJQ4UogCIAIIAARhCUQWCCEEQkAECCAoOwAAAsAAByRFABAA=#1学科网（北京）股份有限公司成都石室中学成都石室中学 2023-2024 年度下期高年度下期高 2024 届三诊模拟届三诊模拟数学试题（理）参考答案数学试题（理）参考答案（总分：（总分：150 分，时间：分，时间：120 分钟分钟）第卷（共第卷（共 60 分）分）一、选择题（本题共一、选择题（本题共 12 道小题，每小题道小题，每小题 5 分，共分，共 60 分）分）1.B【解析】由 ,Ma b ca=可得：aM，,b cM.又因为,Ma b c d，所以 Ma=或,Ma d=.故选：B2.C【解析】“CACBAB+uuu ruuu ruuu r”等价于“CACBCBCA+-uuu ruuu ruuu ruuu r”，所以2222222CACBCACA CBCBCBCACACA CBCB+=+-=+-uuu ruuu ruuu ruuu r uuu ruuu ruuu ruuu ruuu ruuu r uuu ruuu r从而0CA CB，所以函数 f x在,4 2上不是单调递增函数，所以 D 错误.故选：B.6.C【解析】1010118000128181()()(1)(80)lglglglg180n kkkPnPkPkPkkk=+=+=+=+LL，而42lg814lg3log 81lg42lg22lg3lg9lg5lg51log 511lg2lg2=+，故9k=故选：C7.D【解析】由2()2lnf xxx=+，则 22fxxx=+，则11122fxxx=+，22222fxxx=+，依题意可得12122222xxxx+=+且10 x、20 x、12xx，所以121=x x，所以121222xxx x+=，经验证，当1x、2x分别取3、13时12103xx+=满足题意.故选：D8.B【解析】将平面展开图还原为直观图，可得两个三棱锥拼接的六面体，它们共一个底面，且，B C两点重合，所以AB与CD相交，故选：B9.C【解析】设甲船到达泊位的时间为x，乙船到达泊位的时间为y，则0101xy，这两艘船中至少有一艘在停靠泊位时必须等待，则14xy-，画出不等式组010114xyxy-表示的平面区域，如图中的阴影部分，33171244216S=-=阴影，则这两艘船中至少有一艘在停靠泊位时必须等待的概率为=671SPS=阴影.故选：C 10.D【解析】由于向量OCmOAnOB=+uuuruuu ruuu r，且40mn-=，则点C的轨迹为3(4)yx+=，3学科网（北京）股份有限公司与双曲线其中一条渐行线22yx=，联立223(4)yxyx+=，得1236 217Qy+=-，同理得36 21217Py-=，因此36 212196 21736 212POFPQOFQSySyDD-=+.故选：D 11.C【详解】由圆22111Cxy-+-=可得圆C的极坐标方程为22cos1sin11rqrq-+-=，化简得到22cos2sin10rqq r-+=，联立方程组22cos2sin10rqq rqa-+=，得到方程22cos2sin10raa r-+=，则 212121242 sin2Larrrrr ra=-=+-=，即 2cos2sin2Laaa=，故选：C.12.B【解析】画出不等式组23100290360 xyxyxy-+-恒成立，则 ft单调递增，且 e0f=，所以令 0ft，得e,4t，则 f t在e,4t时单调递增，又 10f=，e2ef=-，42 42e ln44 2e ln40f=-=-，所以 2e,0fx -，所以32e0a-，解得32ea，故选：B.第卷（共第卷（共 90 分）分）二、填空题（本题共填空题（本题共 4 道小题，每小题道小题，每小题 5 分，共分，共 20 分）分）4学科网（北京）股份有限公司13.13i22+【解析】因为13i22z=-，所以213131313(i)(i)(i)=i22222222z z=-+.故答案为：13i22+.14.6【解析】因为a是1,2的等差中项，所以12322a+=，因为b是1，16的等比中项，所以21 1616b=，4b=，所以6ab=.故答案为：6.15.2167【解析】令5,2xy=即可求出 34f=，令2,5xy=即可求出 47f=，2323xyf xffy+=-，62 332634233133fffff+-=-=结合 21f=，34f=，47f=，510f=，613f=可猜想 31235f nnn=-=-.下面用数学归纳法证明：当*6Nnn时，由上述知 35f nn=-成立.假设当*,Nnk n k时有 35f nn=-，则当1nk=+时，不妨设6k，125132533253kkf kff kf kf k+-+=-=-3 3352 355315kkk=-=+-.所以 35f nn=-成立，所以3 72722167445f-=.故答案为：2167.16.32【解析】由教材章头图知识知道，用平面截对接圆锥所得截面边缘曲线是圆锥曲线.对于本题，如图，水面到达杯底（底面圆“最高处”）的瞬间，水面边缘曲线是椭圆O，作纸杯（圆台）的与水面垂直的轴截面ABCD，则6,8,12.ABCDBCBD=是椭圆的长轴，MN是椭圆的短轴.12OO是圆台的轴线，作BHCD于H，则5学科网（北京）股份有限公司22221212121143OOBHBCOCO B=-=-=，2222(8 1)(143)1928 3BDDHBH=+=-+=，记BD与12OO的交点为12,F OO的中点为E，则12OEOO，12122123:4:3,7FOFOO D O BFOOO=，221212121312714EFEOFOOOOOOO=-=-=，1212222311:1:6,14762OOOOOE O BEF FOOEO B=，由实际情形知，点M N E 在圆台的过轴线12OO的中点E且与轴线垂直的截面圆上，121722EMO DO A=+=.由垂径定理知EO垂直平分MN，222 3OMONEMEO=-=，记椭圆的离心率为e，长半轴长短半轴长半焦距为a b c，则2222222222 33311,424 3cabbeeaaa-=-=-=.故答案为：32.三、解答题（本题共三、解答题（本题共 6 道小题，共道小题，共 70 分）分）17.(1)63(2)15 6 3-【解析】（1）因为 C 点关于直线 BD 的对称点在直线 AD 上，所以 DB 平分ADC，所以ADBCDB=，因为CBDCDB=，所以ADBCBD=，BC=CD，所以ADBC，所以CADACB=，因为30CBDCDB=，75ACD=，所以45ACBCAD=，3 分所以sinsinsin456sinsinsin603BACBCCDCADABCACACADC=6 分（2）因为在ACDV中，由正弦定理得sinsinCDACCADADC=,所以3sin45sin60CD=，32322CD=，所以6CD=，所以6CB=，9 分在ABCV中，由余弦定理得，6学科网（北京）股份有限公司2222cosABCBCACB CAACB=+-22(6)32 63 cos45156 3=+-=-12 分18.(1)0.125；(2)分布列见解析，65E X=；(3)26125【解析】（1）依题意可得0.050.0750.150.121a+=，解得0.125a=；2 分（2）由（1）可得高度在15,17和17,19的频率分别为0.1和0.15，所以分层抽取的 5 株中，高度在15,17和17,19的株数分别为 2 和 3，所以X可取 0，1，2.4 分所以33351010CCP X=，2132353 231105CCCP X=，1232353 1321010CCCP X=6 分所以X的分布列为：X012P11035310所以13360+1+2=105105E X=8 分(3)从所有花卉中随机抽取3株，记至少有2株高度在21,25为事件M，至多1株高度低于23cm为事件N，则321131111C2222P M=+=，22312331113113C+C255105125P MN=+=，10 分所以1326125|11252P NMP N MP M=.12 分19.【解析】（1）函数2()lnf xaxx=-的定义域为(0,)+，求导得2121()2axfxaxxx-=-=，当0a 时，()0fx时，由()0fx，得202axa，得22axa，7学科网（北京）股份有限公司即函数()f x在2(0,)2aa上单调递减，在2(,)2aa+上单调递增，5 分所以当0a 时，函数()f x在(0,)+上单调递减，当0a 时，函数()f x在2(0,)2aa上单调递减，在2(,)2aa+上单调递增.6 分（2）函数2()()lng xf xbxaxxbx=+=-+的定义域为(0,)+，求导得1()2g xaxbx=-+，由1x=是()g x的极值点，得(1)210gab=-+=，即1 2ba=-，7 分212(1 2)1(21)(1)()21 2axa xaxxg xaxaxxx+-+-=-+-=，而0a，则当01x时，()0,()g xg x时，()0,()g xg x单调递增，所以当1x=时，()g x取得极小值.8 分设()ln2ln24,0h aabaa a=+=+-，求导得1()4h aa=-，当104ah a，当14a 时，()0h a，则函数()h a在1(0,)4上单调递增，在1(,)4+上单调递减，因此1()()1 ln404h ah=-=-.8 分又因为“环绕圆”的圆心00,xy在椭圆C上，所以代入椭圆方程22154xy+=中，可得2200154xy+=，解得2200445yx=-.所以2012220011114151yk kxx-=-.10 分又因为2005x且2010 x-，所以20110 x-或20014x-.9学科网（北京）股份有限公司所以20111x-或201114x-，所以2011111x-或20111114x-，所以20111435x-或201111454x-.所以1 2k k的取值范围是1,3,4-+U.12 分选考题：共选考题：共 10 分。请考生在第分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分如果多做，则按所做的第一题计分.选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程（10 分）分）22.【解析】（1）因为直线l的参数方程为(3)1222xttyt=-+=为参数，曲线1C的极坐标方程为6r=，消去参数，直线l的普通方程为32 30 xy-+=，2 分曲线1C的普通方程为：226xy+=，所以1C的参数方程为6cos6sinxyqq=（q为参数）.4 分（2）由（1）有：1C的参数方程为6cos6sinxyqq=（q为参数），由题意知，曲线2C的参数方程为cos3sinxyqq=（q为参数），6 分所以可设点cos,3sinPqq，又直线l的普通方程为32 30 xy-+=，故点P到直线l的距离为：32sin23cos3sin2 3423 1dpqqq-+=+，8 分所以当sin14pq-=时，min2 362d-=，即点P到直线l的距离的最小值为2 362-.10 分选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲（10 分）分）23【解析】（1）由246fxf x+得：2136xx-+，当3x-时，2136xx-+-，解得3x时，2136xx-+，解得43x；10学科网（北京）股份有限公司综上，不等式的解集为4|23x xx-或.4 分（2）证明：11f abf ababab-+-，因为1a，1b，即21a，21b，所以221|abab-，即1abab-，所以原不等式成立.10 分