期中测试卷02（解析卷）.docx

2023-2024学年高二数学下学期测试卷（新高考新题型）02期中测试卷（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）（考试内容：导数及其应用、计数原理、随机变量及其分布列、成对数据的统计分析）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（2023下·河北沧州·高二统考期中）若集合，则（    ）ABCD【答案】A【分析】根据阶乘的定义求出集合，根据组合数的性质求出集合，再根据交集的定义计算可得.【详解】由，则，解得，所以，由，则，解得，所以，所以.故选：A2（2023下·辽宁沈阳·高二校联考期中）若，则（    ）ABCD【答案】C【分析】求出，利用条件概率的公式即可求解.【详解】由，得因为，所以故选：C3（2023下·四川眉山·高二校考期中）已知随机变量服从正态分布，则（    ）A0.21B0.58C0.42D0.29【答案】D【分析】已知随机变量服从正态分布，结合正态曲线的特点即可求解.【详解】，.随机变量服从正态分布,曲线关于对称，.故选：D.4（2023下·北京·高二北大附中校考期中）某学校需要从3名男生和2名女生中选出4人，到甲、乙、丙三个社区参加活动，其中甲社区需要选派2人，且至少有1名是女生；乙社区和丙社区各需要选派1人则不同的选派方法的种数是（    ）A18B21C36D42【答案】D【分析】根据题意，先分析甲地的安排方法，分“分派2名女生”和“分派1名女生”两种情况讨论，由分类计数原理得到甲地的分派方法数目，再在剩余的3人中，任选2人，安排在乙、丙两地，结合分步计数原理，即可求解.【详解】根据题意，甲地需要选派2人且至少有1名女生，若甲地派2名女生，有种情况；若甲地分配1名女生，有种情况，则甲地的分派方法有种方法；甲地安排好后，在剩余3人中，任选2人，安排在乙、丙两地，有种安排方法，由分步计数原理，可得不同的选派方法共有种.故选：D.5（2023下·天津南开·高二天津四十三中校考期中）下列说法中正确的是（    ）设随机变量服从二项分布，则已知随机变量服从正态分布且，则小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件“4个人去的景点互不相同”，事件“小赵独自去一个景点”，则；.ABCD【答案】A【分析】根据二项分布的概率公式判断，根据正态分布的性质判断，根据条件概率判断，根据期望与方差的性质判断；【详解】对于：随机变量服从二项分布，则，故正确；对于：随机变量服从正态分布且，则，故正确；对于：事件 “4个人去的景点互不相同”，事件 “小赵独自去一个景点”，则，所以，故正确；对于：，故错误故选：A6（2023下·浙江·高二平湖市当湖高级中学校联考期中）为了预防肥胖，某校对“学生性别和喜欢吃甜食”是否有关做了一次调查，其中被调查的男女生人数相同，男生喜欢吃甜食的人数占男生人数的，女生喜欢吃甜食的人数占女生人数的，若有的把握认为是否喜欢吃甜食与和性别有关，则被调查的男生人数可能是（    ）参考公式及数据：，其中.附：0.050.0103.8416.635A7B11C15D20【答案】C【分析】设男生的人数为：，根据题意可列出列联表，由公式求出，由求出的取值范围，可得答案.【详解】由题意被调查的男女生人数相同，设男生的人数为：，由题意可列出列联表：男生女生合计喜欢吃甜食不喜欢吃甜食合计.由于有的把握认为是否喜欢吃甜食和性别有关，所以；解得：，因为，故的可能取值为：，即男生的人数可以是：，所以选项ABD错误，选项C正确.故选：C.7（2023下·湖南·高二校联考期中）“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早出现在南宋数学家杨辉于1261年所著的详解九章算法一书中“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示下列关于“杨辉三角”的结论正确的是（    ）AB第2023行中从左往右第1011个数与第1012个数相等C记第n行的第i个数为，则D第30行中第12个数与第13个数之比为【答案】C【分析】选项A，利用组合数性质即可求解；选项B、D，利用杨辉三角中数的排列规律即可判断；选项C，先用杨辉三角确定，再结合二项式定理可得.【详解】对A，由可得，故A错误；对B，第2023行有2024项，中间两项最大，即和，也就是第2023行中第1012个数和第1013个数相等，故选项B错误；对C，第n行的第i个数为，所以，故C正确；对D，第30行中第12个数与第13个数之比为，故D错误故选：C8（2023上·江苏宿迁·高二校考期中）已知，则的大小关系正确的是（      ）ABCD【答案】B【分析】构造函数，利用函数的单调性比较大小.【详解】令，当时，单调递增；所以即，所以.令，当时，单调递减，所以即所以，故.故选：B.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分9（2023上·广东茂名·高二广东高州中学校考期中）已知的展开式共有13项，则下列说法中正确的有（    ）A所有奇数项的二项式系数和为B二项式系数最大的项为第7项C所有项的系数和为D有理项共5项【答案】ABD【分析】根据二项式定理及二项式系数的性质、各项系数之和、展开式通项性质逐项判断即可得结论.【详解】因为，所以，所有奇数项的二项式系数和为，故A正确；由二项式系数的性质可知二项式系数最大的项为第7项，故B正确；令，得所有项的系数和为，故C错误；因为展开式通项为，当为整数时，3，6，9，12，共有5项，故D正确故选：ABD.10（2023上·贵州毕节·高二校考期中）下列对各事件发生的概率判断正确的是（   ）A某学生在上学的路，上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，那么该生在上学路上到第3个路口首次遇到红灯的概率为B三人独立地破译一份密码，他们能单独译出的概率分别为，假设他们破译密码是彼此独立的，则此密码被破译的概率为C从1，2，3，4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是D设两个独立事件和都不发生的概率为，发生不发生的概率与发生不发生的概率相同，则事件发生的概率是【答案】ABC【分析】根据独立事件概率公式，计算后，判断的ABD；根据古典概型概率公式，判断C.【详解】对于A，该生在第3个路口首次遇到红灯的情况为前2个路口不是红灯,第3个路口是红灯,所以概率为，故A正确；对于B，用、分别表示甲、乙、丙三人能破译出密码，则,，“三个人都不能破译出密码”发生的概率为,所以此密码被破译的概率为，故B正确；对于C，从1，2，3，4中任取2个不同的数，有，共6个结果，其中取出的2个数之差的绝对值为2的包含和两个样本点，则概率，故C正确；对于D，易得,即,即，又,，故D错误；故选：ABC11（2023下·吉林长春·高二长春外国语学校校考期中）已知函数，则下列结论正确的是（    ）A函数有极小值B函数在处切线的斜率为4C当时，恰有三个实根D若时，则的最小值为2【答案】AD【分析】求导，利用导数判断的单调性和极值，结合图象判断ACD，利用导数的几何意义判断B.【详解】由题意可得：，令，解得；令，解得或；则在上单调递减，在上单调递增，可知的极大值为，极小值为，且当x趋近于，趋近于，当x趋近于，趋近于，可得的图象如下：  对于选项A：可知的极小值为，故A正确；对于选项B：因为，所以函数在处切线的斜率为，故B错误；对于选项C：对于方程根的个数，等价于函数与的交点个数，由图象可知：时，恰有三个实根，故C错误；对于选项D：若时，则，所以的最小值为2，故D正确；故选：AD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分12（2023上·湖北黄冈·高二校联考期中）在一次乒乓球单打比赛中，运动员甲和乙进入决赛.假设每局比赛中甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，比赛规则是连胜2局或先胜3局者获胜，则甲获得冠军的概率为 .【答案】/0.65952【分析】根据题意得甲获胜的几种情况，然后求概率即可.【详解】设甲获胜为事件，甲获胜有以下几种情况：比了两场，甲连胜；比了三场，获胜顺序为：乙、甲、甲；比了四场，获胜顺序为：甲、乙、甲、甲；比了五场，获胜顺序为：甲、乙、甲、乙、甲；乙、甲、乙、甲、甲；则.故答案为：0.65952.13（2023下·山东滨州·高二统考期中）若，则 【答案】【分析】由组合数以及分类加法和分步乘法计数原理即可得解.【详解】表示个因数的乘积.而为展开式中的系数，设这个因数中分别取、这三项分别取个，所以，若要得到含的项，则由计数原理知的取值情况如下表：个个个050131212由上表可知.故答案为：.【点睛】关键点点睛：解决问题的关键在于对上述详解中的正确分类，另外一点值得注意的是在分完类之后，每一类里面还要分步取、这三项.14（2023下·江苏南京·高二江苏省溧水高级中学校考期中）已知直线是曲线与的公切线，则 .【答案】【分析】设设直线与曲线相切于点，与曲线相切于点，然后求出，再根据导数的几何意义求出切线方程，联立切线方程即可求解.【详解】设直线与曲线相切于点，与曲线相切于点，由于，所以，所以由点在切线上，得切线方程为，由点在切线上，得切线方程为，故解得.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15（2022下·广东肇庆·高二广东肇庆中学校考期中）三部机器生产同样的零件，其中机器甲生产的占，机器乙生产的占，机器丙生产的占.已知机器甲、乙、丙生产的零件分别有、和不合格.三部机器生产的零件混合堆放在一起，现从中随机地抽取一个零件.(1)求取到的是不合格品的概率；(2)经检验发现取到的产品为不合格品，它是由哪一部机器生产出来的可能性大？请说明理由.【答案】(1)(2)它是机器乙生产的概率最大【分析】（1）根据全概率公式求得正确答案.（2）根据贝叶斯公式求得正确答案.【详解】（1）取到的是不合格品的概率为：.（2）取到的产品为不合格品，它是机器甲生产的概率为，它是机器乙生产的概率为，它是机器甲生产的概率为，所以它是机器乙生产的概率最大.16（2023下·黑龙江大兴安岭地·高二大兴安岭实验中学校考期中）碳排放是引起全球气候变暖问题的主要原因2009年世界气候大会，中国做出了减少碳排放的承诺，2010年被誉为了中国低碳创业元年2020年中国政府在联合国大会发言提出：中国二氧化碳排放力争于2030年前达到峰值，努力争取2060年前实现碳中和碳中和是指主体在一定时间内产生的二氧化碳或温室气体排放总量，通过植树造林、节能减排等形式，以抵消自身产生的二氧化碳或温室气体排放量，实现正负抵消，达到相对“零排放”如图为本世纪来，某省的碳排放总量的年度数据散点图该数据分为两段，2010年前该省致力于经济发展，没有有效控制碳排放；从2010年开始，该省通过各种举措有效控制了碳排放用x表示年份代号，记2010年为用h表示2010年前的的年度碳排放量，y表示2010年开始的年度碳排放量表一：20112017年某省碳排放总量年度统计表（单位：亿吨）年份2011201220132014201520162017年份代号x1234567年度碳排放量y（单位：亿吨）2.542.6352.722.802.8853.003.09(1)若关于x的线性回归方程为，根据回归方程估计若未采取措施，2017年的碳排放量；并结合表一数据，说明该省在控制碳排放举措下，减少排碳多少亿吨？(2)根据，设20112017年间各年碳排放减少量为，建立z关于x的回归方程根据，求表一中y关于x的回归方程（精确到0.001）；根据所求的回归方程确定该省大约在哪年实现碳达峰？参考数据：参考公式：【答案】(1)3.3（亿吨），0.21（亿吨）(2)；大约在2026年实现碳达峰【分析】（1）根据回归方程作出估计，并计算出减少的碳排放量.（2）根据非线性回归的知识求得正确答案. 根据二次函数的性质求得正确答案.【详解】（1）2017年的估计值：（亿吨），从而估计减少碳排放量为（亿吨）（2）设，则，y的对称轴为，大约在2026年实现碳达峰，17（2023下·北京房山·高二北师大燕化附中校考期中）设函数(1)当时，求的单调区间；(2)若已知，且的图象与相切，求b的值；(3)在（2）的条件下，的图象与有三个公共点，求m的取值范围（不写过程）【答案】(1)单调递增区间为和，单调递减区间为(2)3(3)【分析】（1）代入的值，求出的解析式，求出函数的导数，即可求出函数的单调区间；（2）求出函数的导数，设出求出方程，得到关于的方程，解出即可；（3）问题转化为，求出函数的单调性和极值，写出的范围即可【详解】（1）当时，则，当或时，；当时，所以f(x)的单调递增区间为和，单调递减区间为（2）因，则，设函数与直线相切的切点是，因为，所以，所以有，可得，又，相减得，所以，所以，解得：；（3）时，的图象与有三个公共点，即方程有三个实数根，设函数，则，时，或；时，在和上单调递增，在上单调递减，时取极大值，时取极小值，所以的取值范围为【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理18（2023下·广东深圳·高二红岭中学校考期中）某商场为了回馈顾客，开展一个抽奖活动，在抽奖箱中放8个大小相同的小球，其中红球4个，白球4个. 规定：每次抽奖时顾客从抽奖箱中随机摸出两个小球，如果摸出的两个小球颜色相同即为中奖，颜色不同即为不中奖；每名顾客只能选一种抽奖方案进行抽奖，方案如下：方案一：共进行两次抽奖，第一次抽奖后将球放回抽奖箱，再进行第二次抽奖；方案二：共进行两次抽奖，第一次抽奖后不将球放回抽奖箱，直接进行第二次抽奖.(1)顾客甲按照方案一进行抽奖，记中奖次数为，求的数学期望；(2)（）顾客乙按照方案二进行抽奖，记中奖次数为，求的分布列和数学期望；（ii）已知有300位顾客按照方案二抽奖，则其中中奖2次的人数为多少的概率最大？【答案】(1)(2)（）分布列见解析，期望为；（ii）60【分析】（1）根据古典概型公式，结合二项分布的期望公式求解；（2）（）写出中奖次数的所有可能取值，根据古典概型公式求出对应概率，得到分布列，进而得出期望；（ii）根据二项分布得出300位顾客按照方案二抽奖，其中人中奖2次的概率，通过研究其变化情况得出最值【详解】（1）若第一次抽奖后将球放回抽奖箱，再进行第二次抽奖，则每次中奖的概率为，因为两次抽奖相互独立，所以中奖次数服从二项分布，即，所以的数学期望为（2）（）若第一次抽奖后不将球放回抽奖箱，直接进行第二次抽奖，中奖次数的所有可能取值为0，1，2，则，所以的分布列为012所以的数学期望为（ii）每位顾客按照方案二抽奖中奖2次的概率为，则300位顾客按照方案二抽奖，其中中奖2次的人数，恰有人中奖2次的概率为，令，解得，于是，当时，；当时，故当时，最大，所以300位顾客按照方案二抽奖，则其中中奖2次的人数为60的概率最大19（2024上·山东潍坊·高三统考期末）某人从地到地有路程接近的2条路线可以选择，其中第一条路线上有个路口，第二条路线上有个路口.(1)若，第一条路线的每个路口遇到红灯的概率均为；第二条路线的第一个路口遇到红灯的概率为，第二个路口遇到红灯的概率为，从“遇到红灯次数的期望”考虑，哪条路线更好？请说明理由.(2)已知；随机变量服从两点分布，且，.则，且.若第一条路线的第个路口遇到红灯的概率为，当选择第一条路线时，求遇到红灯次数的方差.【答案】(1)应选择第一条路线，理由见解析(2)【分析】（1）由题意，分别求出相应的概率然后，结合期望公式即可比较，得出结论.（2）结合所给的均值方差性质，以及等比数列前项和公式即可求解.【详解】（1）应选择第一条路线，理由如下：设走第一、第二条路线遇到的红灯次数分别为随机变量、，则，所以；又，所以；因为，所以应选择第一条路线.（2）设选择第一条路线时遇到的红灯次数为，所以；，设随机变量，取值为，其概率分别为，且，所以，又因为，所以.试卷第17页，共17页学科网（北京）股份有限公司