《子群的陪集》课件.pptx

子群的陪集PPT课件子群与陪集的定义子群的分类陪集的分类子群的性质陪集的性质子群与陪集的应用目录01子群与陪集的定义一个群G的一个非空子集H，如果对于G的每一个元素g，H中的元素h满足$ghg-1$也在H中，则称H是G的一个子群。子群在整数集合中，所有偶数的集合是一个子群，因为任意偶数与整数相乘仍然得到偶数。举例子群的定义设G是一个群，H是G的子群，对于G中的任意元素g，记$Hg$为所有形如$hg$（其中h属于H）的元素组成的集合，称为H关于G的左陪集。类似地可以定义右陪集。陪集在整数集合中，所有偶数的集合是整数集合的一个子群，整数集合的每个元素乘以一个偶数得到的集合就是偶数集合的左陪集。举例陪集的定义子群的陪集如果H是G的子群，那么H的左陪集和右陪集都是G的子群。特别地，如果H是G的正规子群，那么H的左陪集和右陪集是相同的，称为H在G中的余类。举例在整数集合中，所有偶数的集合是整数集合的一个子群，偶数集合的左陪集和右陪集都是整数集合的子群。特别地，如果取H为所有偶数，那么H是整数集合的正规子群，其左陪集和右陪集都是整数集合的子群。子群与陪集的关系02子群的分类循环子群是同构于模m的剩余类环的子群。定义举例性质整数模n的加法子群是模n的剩余类环的子群，因此是循环子群。循环子群是可解的，且其指数为素数。030201循环子群举例整数模n的乘法子群是模n的剩余类环的正规子群。定义如果H是G的子群，且对于任意$a in G$，有$a-1Ha=H$或$a-1Ha=H$，则称H是G的正规子群。性质正规子群在陪集中保持元素共轭。正规子群如果存在正整数n，使得$an=e$对于所有$a in H$，则称H是幂零子群。定义整数模n的乘法子群是幂零子群。举例幂零子群是可解的，且其指数为素数。性质幂零子群如果存在正整数n，使得$an=e$对于所有$a in H$，则称H是幂小子群。定义整数模n的加法子群是幂小子群。举例幂小子群的指数为素数。性质幂小子群03陪集的分类左陪集是子群H在群G中的左邻域，记作$Hbackslash G$。定义左陪集是群G中所有左乘H的元素所组成的集合，即$Hbackslash G=g in G|hg=g,forall h in H$。描述左陪集是群G的子集，且对于任意$h in H$，有$h(Hbackslash G)=(Hbackslash G)$。性质左陪集 右陪集定义右陪集是子群H在群G中的右邻域，记作$G/H$。描述右陪集是群G中所有右乘H的元素所组成的集合，即$G/H=g in G|gh=g,forall h in H$。性质右陪集是群G的子集，且对于任意$h in H$，有$(G/H)h=(G/H)$。双陪集是子群H在群G中的双邻域，记作$Hbackslash G/H$。定义双陪集是群G中所有左乘H和右乘H的元素所组成的集合，即$Hbackslash G/H=g in G|hg=g,forall h in H$。描述双陪集是群G的子集，且对于任意$h in H$，有$h(Hbackslash G/H)=(Hbackslash G/H)$和$(Hbackslash G/H)h=(Hbackslash G/H)$。性质双陪集04子群的性质子群是原群的一个非空子集，具有群的所有性质。子群必须满足封闭性和结合性，即对于子群中的任意两个元素，其乘积仍在子群中。子群必须有一个单位元，使得任何子群元素与单位元的乘积仍为该子群元素。子群中每个元素的逆元也在子群中，即子群是原群的逆半群。01020304子群的性质子群的乘法满足结合律，即对于子群中的任意三个元素a、b、c，有(a*b)*c=a*(b*c)。子群的乘法满足交换律，即对于子群中的任意两个元素a、b，有a*b=b*a。子群的乘法满足幺元律，即对于子群中的任意元素a，有e*a=a*e=a，其中e是子群的幺元。子群的运算性质子群的同态是指两个群之间的一个映射，使得原群的运算映射到新群的运算下保持不变。子群的同态保持了原群的运算性质，即映射后的新群仍满足封闭性、结合性和幺元律。子群的同态可以用于研究原群的结构和性质，通过研究子群的同态可以更好地理解原群的行为和性质。子群的同态性质05陪集的性质总结词子群与陪集的基本定义详细描述子群是群的一个非空子集，满足封闭性和结合律；陪集是群的一个子集与另一个子集的对应关系，表示为H/G，其中H是子群，G是群。子群与陪集的定义陪集的性质总结词陪集具有传递性、对称性和可结合性，即如果H/G和H/G是群G的两个子群，那么HH/G=(H/G)(H/G)，且(HH)/G=(H/G)(H/G)。详细描述陪集的性质总结词陪集的运算性质详细描述如果H/G和H/G是群G的两个子群，那么(HH)/G=(H/G)(H/G)，(HH)/G=(H/G)(H/G)，且H/GH/G=(HH)/G。陪集的运算性质陪集的同态性质如果f:GG是一个同态映射，那么对于任意xG，有f(xG)=xf(G)和f(Gx)=f(G)x，即同态映射保持了子群与陪集的关系。陪集的同态性质详细描述总结词06子群与陪集的应用子群的性质子群具有其所在群的全部性质，可以用于研究群的构造和分类。子群在代数中的意义子群是代数结构中的重要概念，在代数学、几何学、图论等领域有广泛应用。子群的概念子群是群的一个非空子集，满足子集中的乘法也构成一个群的结构。子群在代数中的应用陪集的概念陪集是群的一个子集，与群中某个元素的乘积构成另一个子集。陪集的性质陪集具有其所在群的性质，可以用于研究群的同态和同构。陪集在代数中的意义陪集是代数结构中的重要概念，在代数学、几何学、图论等领域有广泛应用。陪集在代数中的应用03子群与陪集在物理学中的应用子群和陪集的概念可以用于研究物理现象和规律，例如对称性和晶体结构等。01子群与陪集在密码学中的应用子群和陪集的概念可以用于构造密码算法，提高信息的安全性。02子群与陪集在计算机科学中的应用子群和陪集的概念可以用于研究计算机算法和数据结构，提高计算机的性能和效率。子群与陪集在其他领域的应用感谢观看THANKS