浙江省A9协作体2023-2024学年高一下学期4月期中考试数学试题含答案.pdf
A9 协作体 高一数学试题 第 1 页 共 4 页 绝密考试结束前 浙江省 A9 协作体 2023 学年第二学期期中联考 高一数学试题高一数学试题 命题：考生须知：考生须知：1本卷满分 150 分，考试时间 120 分钟；2答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字；3所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效；4考试结束后，只需上交答题卷。第卷第卷 一、单项选择题一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求 1在复平面内，复数(1i)(3i)+（其中 i 是虚数单位）对应的点位于 A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 2已知平面向量1(,1)2=a，(1,)k=b，若ab，则实数k=A2B2 C12D123如图所示的点，线，面的位置关系，用符号语言表示正确的是A,m nAA=B,m nmnA=C,m nmnA=D,m nAA=4在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c若2b=，2 3c=，60C=，则角 B 等于 A30 B45 C135D90 5在平行四边形 ABCD 中，ACa=，BDb=，则用a，b表示向量AD和AB分别是 Aab+和ab Bab和ab+C2ab+和2abD2ab和2ab+6已知圆台的上、下半径分别为1r，2r，1233rr=若一个球与圆台上、下底面及侧面均相切，则该球的表面积为 A5 B12 C6 D36 7在锐角ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c若602Bb=，则边 AC 上中线 BD的取值范围为 A21,33B21(,33C(1,3)D(1,3 8折扇深受各阶层人民喜爱古人曾有诗赞曰：“开合清风纸半张，随机舒卷岂寻常；金环并束龙腰细，玉栅齐编凤翅长”折扇平面图为下图的扇形 OCD，其中120AOB=，4OD=，1OB=，第 3 题图#QQABRQQQggiAAIIAARgCUQGQCEAQkBECCCoOhBAMsAABiBFABAA=#A9 协作体 高一数学试题 第 2 页 共 4 页 O A B P C 第 14 题图 动点 P 在弧 CD 上（含端点），连接 OP 交扇形 OAB 的弧 AB 于点Q，且OPxOCyOD=+，则下列说法错误的是 A若yx=，则2xy+=B5AB PQ C232PA PB D若3yx=，则0OA OP=二、多项选择题二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分 9如果a，b是两个单位向量，那么下列四个结论中错误的是 A1=ab Bab C|=ab D1=a b 10对于ABC，有如下判断，其中正确的是 A若sinsinAB=，则ABC 为等腰三角形 B若sin2sin2AB=，则ABC 为等腰或直角三角形 C若coscosAB，则AB D若tantanAB，则AB 11已知棱长为 2 的正方体 ABCD-A1B1C1D1的棱切球（与正方体的各条棱都相切）为球 O，则下列说法正确的是 A球 O 的体积为43 B球 O 内接圆柱的侧面积的最大值为4 C球 O 在正方体外部的体积小于4(2 21)3 D球 O 在正方体外部的面积大于6 42 2 第卷第卷 三、填空题三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分 12若复数z满足(1i)23iz=+（其中i是虚数单位），则复数z的共轭复数=z 13已知平面向量a，b，c不共线，且两两所成角相等，若|2=ab，|1=c，0，则()()abac的值为 14如图，2024 年元宵节在浙江桐乡凤凰湖举行“放孔明灯”活动为了测量孔明灯的高度，在地上测量了一根长为 200 米的基线 BC，在点 B 处测量这个孔明灯的仰角为45OBA=，在 C 处测量这个孔明灯的仰角为30OCA=，在基线 BC 上靠近 B 的四等分点处有一点P，在 P 处测量这个孔明灯的仰角为60OPA=，则这个孔明灯的高度 OA=四、四、解答题解答题：本题共 5 小题，共 77 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15（13分）已知复数22(4)(6)izmmm=+，Rm，i是虚数单位（1）若复数z是纯虚数，求m的值；（2）若复数z在复平面内对应的点在第三象限，求m的取值范围 第 8 题图#QQABRQQQggiAAIIAARgCUQGQCEAQkBECCCoOhBAMsAABiBFABAA=#A9 协作体 高一数学试题 第 3 页 共 4 页 16（15分）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是DD1的中点（1）求证：BD1平面ACE；（2）求直线AE与直线BD1所成角的余弦值 17（15分）如图，在平行四边形ABCD中，F为CD的中点，G为BC上一点且满足2CGGB=，ABa=，ADb=（1）试用向量a，b表示BF，DG；（2）若60A=，3AB=2AD=，求向量BF，DG夹角的余弦值 第 16 题图 第 17 题图#QQABRQQQggiAAIIAARgCUQGQCEAQkBECCCoOhBAMsAABiBFABAA=#A9 协作体 高一数学试题 第 4 页 共 4 页 18（17分）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，面对角线A1D，CD1上各有一个动点M，N，使得直线MN平面A1ACC1（1）当M，N为对角线A1D，CD1的中点，T为CD的中点时，证明：平面MNT平面A1ACC1；（2）当正方体棱长为2时，求线段MN长度的最小值 19（17分）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c若2b=，sin3sinCA=（1）若ABC为锐角三角形时，求边a的取值范围；（2）求ABC面积的最大值；（3）在（1）的条件下，若E，F分别为AB，AC的中点，连接CE,BF交于点O，求cosEOF的取值范围 第 18 题图#QQABRQQQggiAAIIAARgCUQGQCEAQkBECCCoOhBAMsAABiBFABAA=#A9 协作体 高一数学参考答案 第 1 页 共 4 页 浙江省 A9 协作体 2023 学年第二学期期中联考 高一数学参考答案高一数学参考答案 一、单项选择题一、单项选择题 题目题目 1 2 3 4 5 6 7 8 选项选项 A D C A C B B D 8.A.容易判断，正确 B.393333522AB PQAB OQAB OB=正确 C.2222734932322442PA PBPMAM=正确 D.若3yx=，()()()33460OA OPOAxOCxODx OA OCOA ODx=+=+=，D错误 二、多项选择题二、多项选择题 题目题目 9 10 11 选项选项 ABD ABC BCD 11.A.容易判断，错误 B.容易判断，正确 C.球O在正方体外部的体积小于球O体积与正方体内切球体积之差4(2 21)3，正确 D.球O在正方体外部的面积等于正方体外6个球冠的表面积.每一个球冠的表面积大于这个球冠中内接圆锥的侧面积224，所以6个球冠的表面积大于2246，正确 三、填空题三、填空题 12i2521 136 14147150 第 8 题图 M#QQABRQQQggiAAIIAARgCUQGQCEAQkBECCCoOhBAMsAABiBFABAA=#A9 协作体 高一数学参考答案 第 2 页 共 4 页 O 四、解答题四、解答题 15（13分）（1）因为=060422mmm，2分 所以223mmm=且，2分 从而2=m 2分（2）因为060422mmm，2分 所以3222mm 2分 从而22m 3分 16（15分）（1）证明：连接BD，交AC于点O，连接OE因为OEBD1，3分 OE平面ACE，BD1平面ACE，所以BD1平面ACE.4分（若没有“BD1平面ACE”，酌情扣分）（2）解：由（1），因为OEBD1，所以AEO即为直线AE与直线BD1 所成角.3分 设正方体棱长为2，在AEO中，AE=5，OE=3，3分 90AOE=，所以15cos5EOAEOAE=.2分 17（15分）（1）12BFBCCFba=+=，3分 23DGDCCGab=+=3分（2）解法一：基底法 因为cos,|BF DGBF DGBFDG=，2分 221242119()()233326BF DGbaaba bba=，2分 21113|()222BFbaba=，2分 22261|()333DGabab=，2分 所以19cos,|793BF DGBF DGBFDG=1分#QQABRQQQggiAAIIAARgCUQGQCEAQkBECCCoOhBAMsAABiBFABAA=#A9 协作体 高一数学参考答案 第 3 页 共 4 页（2）解法二：建系坐标法 如图建系，则)0,0(A，)0,3(B，)3,1(D，)3,25(F，)33,310(G)3,21(=BF，)332,37(=DG，619=DGBF，213|=BF，361|=DG，所以79319|,cos=DGBFDGBFDGBF 18（17分）（1）证明：因为N，T分别是线段CD1，CD的中点，所以NTDD1.又 DD1AA1，从而NTAA1.因为NTAA1，AA1平面A1ACC1，NT平面A1ACC1，所以NT平面A1ACC1.4分 因为NT平面A1ACC1，又MN平面A1ACC1，NTMN=N，NT，MN平面MNT，所以平面MNT平面A1ACC1.3分（2）解：过点M作AD的垂线，垂足为P，过点N作DC的垂线，垂足为Q，连接PQ.因为MPAA1，AA1平面A1ACC1，MP平面A1ACC1，所以MP平面A1ACC1，又MN平面A1ACC1，MPMN=M，MP，MN平面MNQP，所以平面MNQP平面A1ACC1.3分 因为平面MNQP平面ABCD=PQ，平面A1ACC1平面ABCD=AC，所以PQAC.2分 设PD=x，20 x，则QD=x，MP=x，又棱长为2，则NQ=QC=2-x.在梯形MNQP中，PQ=x2，MN2=(NQ-MP)2+PQ2=6x2-8x+4，3分 32=x时，线段MN的最小值为332.2分 19（17分）（1）因为sin2cCR=，RaA2sin=，ACsin3sin=，所以ac3=，.2分 因为ABC为锐角三角形，且ac，所以+222222bcacba，2分 从而12a，.1分（2）由余弦定理2222cosabcbcA=+又3ca=，22434 3 cosaaaA=+，所以22cos2 3aAa+=，2分 从而242222284sin1cos1()122 3aaaAAaa+=，2分 42184sin3 sin22aaSbcAaA+=，所以，当2=a时，3max=S.2分 x y#QQABRQQQggiAAIIAARgCUQGQCEAQkBECCCoOhBAMsAABiBFABAA=#A9 协作体 高一数学参考答案 第 4 页 共 4 页（3）解法一：余弦定理 连接EF，利用中线长定理（用其他方法求出中线长，同样得分），有 28)(2212222acbaCE=+=，12)(2212222=+=abcaBF，2分 所以68312aCEOE=，312312=aBFOF，又221aBCEF=，在OEF中，由余弦定理知，)12)(8(222cos222222=+=aaaOFOEEFOFOEEOF，2分 令ta=22，则)1,0(t，)147,0(1892121189221cos222+=+=tttttEOF2分 解法二：向量法 因为12CEABAC=，12BFACAB=，所以11()()22CE BFABACACAB=22251124224aAB ACABAC=2 分 又因为28|2aCE=，2|21BFa=，所以coscos,|CE BFEOFCE BFCEBF=22222(8)(21)aaa=，2 分 令22at=，则(0,1)t，2221117cos(0,)918229182142tEOFtttt=+2 分#QQABRQQQggiAAIIAARgCUQGQCEAQkBECCCoOhBAMsAABiBFABAA=#
