【数学】空间点、直线、平面之间的位置关系同步训练 024学年高一下人教A版（2019）必修第二册.docx

8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系 同步训练一、单选题1已知平面，直线，直线不在平面上，下列说法正确的是（   ）A若，则B若，则C若，则D若，则2如图，且，直线，过三点的平面记作，则与的交线必通过（）A点A B点BC点C但不过点MD点C和点M3如图所示，直三棱柱中，分别是的中点，则与所成角的余弦值为（    ）A B C D4如图，空间四边形的对角线，分别为，的中点，并且异面直线与所成的角为，则（    ）A3 B4C5D65在长方体中，若分别为的中点，过点作长方体的一截面，则该截面的周长为（    ）ABCD6如图所示，在空间四边形ABCD中，点E，H分别是边AB，AD的中点，点F，G分别是边BC，CD上的点，且，则下列说法正确的是（）E，F，G，H四点共面；EF与GH异面；EF与GH的交点M可能在直线AC上，也可能不在直线AC上；EF与GH的交点M一定在直线AC上ABCD7如图，在三棱锥中，且直线AB与DC所成角的余弦值为，则该三棱锥的外接球的体积为（    ）ABCD8如图，在棱长为1的正方体中，点分别是棱，的中点，是侧面内一点，若平面，则线段长度的取值范围是ABCD二、多选题9下面四个条件中，能确定一个平面的是（    ）A一条直线B一条直线和一个点C两条相交的直线D两条平行的直线10如图，在长方体中，M，N分别为棱的中点，则下列说法正确的是（    ）AM，N，A，B四点共面B直线与平面相交C直线和所成的角为D平面和平面的夹角的正切值为211在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为棱BC，CC1的中点，P为线段EF上的动点，则（    ）A线段DP长度的最小值为2B三棱锥D-A1AP的体积为定值C平面AEF截正方体所得截面为梯形D直线DP与AA1所成角的大小可能为三、填空题12空间中交于一点的四条直线最多可确定平面的个数为 13如图，在四面体中，AC与BD所成的角为60°，M、N分别为AB、CD的中点，则线段MN的长为 14在棱长为2的正四面体中，点满足，点满足，则点与平面的位置关系是 ；当最小且最小时， 四、解答题15如图，在长方体中，截面(1)求证：B、P、三点共线；(2)若，求DP的长16如图，三棱锥中，面与面互相垂直，且.求：(1)所在直线和平面所成角的大小；(2)所在直线与直线所成角的大小；17如图所示，在矩形中，为的中点，沿将翻折，使二面角为直二面角(1)求证：；(2)求与平面所成角的大小；(3)求二面角的正切值18如图，已知直三棱柱中，分别为棱，的中点， 为线段的中点（1）试在图中画出过，三点的平面截该棱柱所得的多边形，并求出该多边形的周长；（2）该截面分三棱柱成两部分，求其中较小那部分几何体的体积. 参考答案1B【分析】由空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系逐一分析四个选项得答案【详解】因为，对于A，若，则与有可能异面，故A错误；对于B，若，则，又，则，故B正确；对于C，若，则有可能，故C错误；对于D，若，则与有可能相交，故D错误故选：B2D【分析】根据平面的基本事实，结合图形，即可判断选项.【详解】直线，过三点的平面记作，与的交线必通过点和点，故选：D3A【分析】分别取的中点，则，所以与所成角的大小等于，不妨设，解三角形即可.【详解】如下图所示：  分别取的中点，连接，由题意有，所以与所成角的大小等于，不妨设，则，所以，又因为且，所以，；由余弦定理可得，所以与所成角的余弦值为.故选：A.4C【分析】先平移线段，再解三角形即可.【详解】取的中点，连接，如图，则，（或其补角）即异面直线与所成的角，.故选：C.5D【分析】根据题意，做出截面，然后分别计算各边长即可得到结果.【详解】连接，过点做交于点，连接，即可得到截面，因为为中点，所以，因为，则，且，所以截面的周长为故选:D6B【分析】利用三角形中位线性质、平行线分线段成比例定理、平面基本事实推理，再逐一判断各个命题作答.【详解】在空间四边形ABCD中，点E，H分别是边AB，AD的中点，则，且，点F，G分别是边BC，CD上的点，且，则，且，因此，点E，F，G，H四点共面，正确，错误；因，即四边形是梯形，则EF与GH必相交，令交点为M，点M在EF上，而EF在平面ACB上，则点M在平面ACB上，同理点M在平面ACD上，则点M是平面ACB与平面ACD的公共点，而AC是平面ACB与平面ACD的交线，所以点M一定在直线AC上，正确，错误，所以说法正确的命题序号是故选：B7C【分析】由题意，将三棱锥放入对应的长方体中，根据已知条件建立关于长方体的长宽高的边长a，b，c的方程组，求解得，进而可得外接球的直径即为长方体的体对角线长，从而根据球的体积公式即可求解.【详解】解：由题意知，则平面ADC，所以，又，所以平面ABC，将三棱锥放入对应的长方体中，如图：易知，所以为直线AB与DC所成的角，所以，解得.设长方体的长宽高分别为a，b，c，则，三式相加得，所以长方体的外接球的半径为，所以该三棱锥的外接球的体积为.故选：C.8B【详解】分析：先判断出点的位置，确定使得取得最大值和最小值时点的位置，然后再通过计算可求得线段长度的取值范围详解：如下图所示，分别取棱的中点M、N，连MN，  分别为所在棱的中点，则，MNEF，又MN平面AEF，EF平面AEF，MN平面AEF，四边形为平行四边形，又平面AEF，AE平面AEF，平面AEF，又，平面平面AEFP是侧面内一点，且平面AEF，点P必在线段MN上在中，同理，在中，可得，为等腰三角形当点P为MN中点O时，此时最短；点P位于M、N处时，最长，线段长度的取值范围是故选B点睛：本题难度较大，解题时要借助几何图形判断得出使得取得最值时的点P的位置，然后再根据勾股定理进行计算9CD【解析】逐一判断四个选项的正误即可得正确选项.【详解】对于选项A：一条直线不能确定一个平面，故选项A不正确；对于选项B：一条直线和直线外的一个点可以确定一个平面，一条直线和直线上的一个点不能确定一个平面，故选项B不正确；对于选项C：两条相交的直线可以确定一个平面，故选项C正确；对于选项D：两条平行的直线可以确定一个平面，故选项D正确；故选：CD10BCD【分析】A：连接，根据、与面位置关系即可判断；B：为中点，连接，易得，根据它们与面的位置关系即可判断；C：若分别是中点，连接，易知直线和所成的角为，再证明为等边三角形即可得大小；D：若分别是中点，求面和面的夹角即可，根据面面角的定义找到其平面角即可.【详解】A：连接，如下图面，而面，面，所以M，N，A，B四点不共面，错误；B：若为中点，连接，N为棱的中点，由长方体性质知：，显然面，若面，而面，显然有矛盾，所以直线与平面相交，正确；C：若分别是中点，连接，由长方体性质易知：，而，故，即直线和所成的角为，由题设，易知，即为等边三角形，所以为，正确；D：若分别是中点，显然，易知共面，所以平面和平面的夹角，即为面和面的夹角，而面面，长方体中，如下图，为和面夹角的平面角，正确.故选：BCD11BC【分析】对于A：根据等腰三角形的性质可判断DP的最小值位置，求得即可判断；对于B：线面平行时，线上的点到面的距离相等，再根据三棱锥D-A1AP的体积等于三棱锥P-A1AD的体积可判断；对于C：作出平面AEF截正方体所得截面即可判断；对于D：作出直线DP与AA1所成的角，并求出对应的正切的最小值即可判断.【详解】对于A：，当点为的中点时，此时DP长度的最小，最小值为，A错；对于B：平面，点到平面的距离等于到平面的距离，故三棱锥D-A1AP的体积等于三棱锥P-A1AD的体积也等于三棱锥E-A1AD的体积，为，B正确；对于C：如图平面AEF截正方体所得截面为四边形，因为，且，所以四边形为梯形，C正确；对于D：过点作于点,连接,则平面，所以,则直线DP与AA1所成角的大小为或其补角，令则，令，当时，当，而在上单调递增，所以，即，故直线DP与AA1所成角的大小不可能为，D错.故选：BC126个【分析】根据平面的基本性质，交于一点的四条直线，要使确定平面最多，则任意三条直线都不共面，列举出所有可能平面，即可得答案.【详解】空间中交于一点的四条直线，要使确定平面最多，则任意三条直线都不共面，任意两条直线确定一个平面，若四条直线分别为，所以各确定一个平面，共有6个平面.故答案为：6个13或【分析】取的中点，连接、，求出的值，利用余弦定理可求得线段的长.【详解】取的中点，连接、，、分别为、的中点，且，同理可得且，为异面直线与所成的角或其补角，则或.在中，.若，则为等边三角形，此时，；若，由余弦定理可得.综上所述，或.故答案为：或.【点睛】思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：（1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；（2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；（3）计算：求该角的值，常利用解三角形；（4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角14 平面 【分析】由四点共面和三点共线的性质（系数之和为1），由满足可知与共面，由 点满足可知与共线. 根据最小且最小时，确定出的具体位置，然后根据数量积进行计算.【详解】解：由四点共面定理及三点共线定理可知： 平面，直线，当最小且最小时，则是等边的中心，是边中点.所以，,又因为是边中点，所以 故.故答案为：平面，【点睛】本道题从空间四点共面和三点共线的常用结论，判断出点的位置，然后又考查到向量加法的一个重要中线性质，把数量积中一个向量用中线性质表示出来，把数量积的求解变得简单了许多，这是一道向量的综合类题目，考查了向量的多个知识点.15(1)见解析；(2).【分析】（1）证明出点在平面与平面的交线上即可；（2）由（1）推理出点为与交点，利用三角形重心的特点即可得到答案.【详解】（1）平面，所以平面，又平面,平面平面，所以,即三点共线.（2）连接，再连接，交于点，由（1）及，则点为与交点，四边形为平行四边形，是中点，又是的中点,所以点是的重心,所以,又因为,所以,所以.16(1)(2)【分析】（1）过点作，证得平面，得到为直线与平面所成的角，直角中，求得，即可求解；（2）根据题意，证得平面，得到，即可求解；【详解】（1）解：过点作于点，因为平面平面，平面平面，且平面，所以平面，所以为直线与平面所成的角，设且，由，可得，在直角中，可得，在直角中，可得，在直角中，可得，即直线与平面所成的角为.（2）解：由，且，平面，所以平面，因为平面，所以，所以直线所在直线与直线所成角为.17(1)证明见解析；(2)；(3).【分析】（1）根据面面垂直的性质，即可证明直线面，再由线面垂直证明线线垂直即可；（2）过作垂直于,则即为所求，利用几何关系即可求得角度；（3）根据（1）（2）所得，作出二面角的平面角，再利用几何关系求解即可.【详解】（1）在矩形中，因为为中点，故可得，在中，由勾股定理可得：；同理，在中，可得：，故在中，满足，故可得：；又二面角为直二面角，且面面,又面，故可得面；又面，故可得.（2）取中点为，连接，如下图所示：因为为中点，故可得；又二面角为直二面角，且面面，面，且，故面，则即为所求与面所成角.在中，故可得，又，故.即与平面所成角的大小为.（3）过作的垂线交的延长线于，垂足为，连接.由（2）可知：面，面，故可得，又面，故面，又面，故，又，故即为所求二面角的平面角.由（2）可知：，故可得；由（1）可知：，又，故可得，在中，故可得，在中，.故二面角的正切值为.18（1）作图见解析，；（2）.【分析】（1）取中点，连接、，易知，得到截面为梯形求解；（2）连接，分别求得，再比较即可.【详解】（1）如图所示：取中点，连接、，则，即四点共面，则梯形为所求截面的多边形.则，所以该多边形的周长为.（2）连接，而，所以其中较小那部分几何体的体积为 .答案第19页，共19页学科网（北京）股份有限公司