山东省淄博市2024届高三二模考试数学试题含答案.pdf
山东省淄博市2024届高三二模考试数学试题高三数学试题 第1页（共9页）参照秘密级管理启用前 20232024 学年度部分学校高三阶段性诊断检测试题 数学数学参考答案参考答案 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1B；2A；3C；4A；5A；6D；7B；8C 二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分 9AD；10BCD；11ACD 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分 122 33；137；145 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15（13 分）解：（1）当1a=时，()2lnf xxxx=+，2 分 且()121fxxx=+，()12f=4 分 又()12f=，5 分 所以曲线()yf x=在点()()1,1f处的切线方程为20 xy=6 分（2）因为函数在区间1,3上是减函数，所以()2121210axxfxaxxx+=+=在区间1,3上恒成立 当且仅当2210axx+在1,3上恒成立，8 分 则21122axx在1,3上恒成立，10 分 令()2211111()22228h tttt=，11,13tx=，高三数学试题 第2页（共9页）显然()h t在区间1 1,3 2上单调递减，在区间1,12上单调递增，则()min1128ah th=，12 分 得18a ，实数a的取值范围为1,8 13 分 16（15 分）解：（1）由题意得1(12345)35x=+=，1 分 1(10 12 172026)175y=+=，2 分 2115521529555()164iiiiiiix yxyy=，()515522221152955 3 1740400.9760.754141555 31645iiiiiiix yx yrxxyy=，因此，销量y与年份代码x有较强的线性相关关系：6 分 51252152955 3 17455455iiiiix yx ybxx=，8 分 174 35aybx=，9 分 y关于x的线性回归方程为45yx=+.10 分（2）由题意知，该地区100名购车车主中，男车主有70名，女性车主有30名，购置新能源汽车的男性车主有30名，购置新能源汽车的女性车主有15名“一位车主购得新能源汽车”记作事件A，“车主是女性”记作事件B，12 分 一位车主购得新能源汽车，这位车主是女性的概率为：高三数学试题 第3页（共9页）15()1100(|)3015()3100100P ABP B AP A=+15 分 17（15 分）解证：（1）直角梯形ABCD中，由相似可得，12DCDMCMABMBAM=因为26ABCD=，3AD=，可得3 22AC=，3BD=，故可得22AMMC=，22BMDM=，由勾股定理得，ACBD，1 分 即ACBM，ACDM，翻折后可得，ACBM，ACPM，3 分 又因为PMBMM=，,PM BM在平面PBM内，故AC 平面PBM；4 分（2）因为点Q为边PB的中点，所以12Q PACB PACVV=，又,Q PACP ACQB PACP ABCVVVV=，所以12P ACQP ABCVV=，6 分 因为AC 平面ABC，所以平面ABC 平面PBM，所以点 P到平面 ABC 的距离，即为点 P 到 BM的距离，设为 h，因为113 263 2sin622232ABCSAB ACCAB=为定值，当 h 最大时，三棱锥PACQ的体积最大，而1PA PCPMAC=，则1hPM=，8 分 高三数学试题 第4页（共9页）当 h=1 时，()()maxmax1113 22122324P ACQP ABCVV=.9 分（3）由（2）得，当三棱锥PACQ的体积最大时，点 P 到平面 ABC的距离为1PM=，即PM 平面ABC 故PMAC，PMMB，又因为ACBM，故MA，MB，MP两两垂直 故可以M为原点，直线,MA MB MP分别为,x y z轴建立空间直角坐标系，10 分 由题可得，2(0,2,0),(,(2,)0,0),(0,0 1),0 02APBC，12 分 则(2,2,0)AB=，(0,2,1)PB=，2(,2,0)2CB=，设平面PBC的法向量为(,)nx y z=，则202202Cn PByzBxyn=+=，令1y=，得(2 2,1,2)n=，13 分 设直线AB与平面PBC所成角为，则|678sin|cos,|13|613AB nAB nAB n=，高三数学试题 第5页（共9页）所以直线AB与平面PBC所成角的正弦值为7813 15 分 18（17 分）解证：（1）由题意32cea=，2ab=4，1 分 又222abc=+，解得224,1ba=，3 分 所以椭圆的标准方程为2214xy+=4 分（2）设直线 AB 的方程为ykxm=+，设()()1122,A x yB xy 联立2244ykxmxy=+=，得()()222148410kxkmxm+=6 分()()()2222284 414116(41)0kmkmkm=+=+(*)()12221228144114kmxxkmx xk+=+=+7 分()()()2212121212ykxmkxmk x xkm xxmy=+=+=222414mkk+12124x xy y=，222224(1)441 41 4mmkkk=+，整理得241k=，12k=9 分 21212122218414BCyymmkkkmxxxxkkk+=+=+=+又 10 分 2141044ABBCkkkkkk=+=所以直线AB和直线BC的斜率之和为定值 0 11 分 高三数学试题 第6页（共9页）由，不妨取12ABk=，则()212122,21xxm x xm+=12 分 设原点到直线 AB 的距离为 d，则 221211|1|221AOBmSAB dkxxk=+()()2221212|444 2122mmxxx xmm=+=22(2)mm=14 分 又22(2)1mm，所以1AOBS 15 分 当且仅当21m=时取等号 16 分 44AOBABCDSS=四边形 即四边形 ABCD 的面积的最大值为 4 17 分 19（17 分）解：（1）当0 mod2x（）成立时，则x能被2整除，得2,*xn n=N，即|2,*Ax xn n=N 2 分 当3(log)0 mod2x（）成立时，则3log x能被2整除，得3(log)2,*xn n=N，即239,*nnxn=N，则|9,*nBx xn=N 4 分 显然集合A为全体正偶数组成的集合，集合B中所有的元素都是奇数，所以AB=6 分（2）若选择，将集合A中的元素按从小到大排列构成的数列 na为等差数列，其通项公式为：2,*nan n=N；7 分 设2)1(12(1)nannncna+=+，9 分 方法一：111(1)1nncn+=+，由二项式定理得：高三数学试题 第7页（共9页）0011222211111(1)C()C()C()C()1(1)1(1)(2)1!111!2!3!1111211211 1(1)(1)(1)(1)(1)(1)2!3!nnnnnnnnncnnnnnnn nn nnnnnnnnnnnnnnnn=+=+=+=+11 分 1111121 1(1)(1)(1)2!13!111121(1)(1)(1)!111112(1)(1)(1)(1)!111ncnnnnnnnnnnnnn+=+显然1nncc+，13 分 所以数列22(1),*nanncna=+N为单调递增数列，14 分 同时01232311111(1)CCCCCnnnnnnnnncnnnnn=+=+，当2k 时，1(1)(2)(1)1211C(1)1(1)11111(1)1(1)1knkkn nnnkn nnnknnk knnnnk kk kk kkk+=15 分 则1111111(1)1 11332231nncnnnn=+=（）（）（），16 分 且111(1)231c=+=，所以数列22(1),*nanna+N有界 17 分 高三数学试题 第8页（共9页）方法二：要证明数列2)1(12(1)nannncna+=+单调递增，两边取对数，只需证明数列1ln(1),*nnn+N单调递增，10 分 令1xn=，构造函数ln(1)(),01xf xxx+=，11 分 只需证明函数ln(1)()xf xx+=在区间(0,1上单调递减，则211ln(1)1()xxfxx+=，再设1()1ln(1)1g xxx=+，则2211()0(1)1(1)xg xxxx=+，所以函数()g x在区间(0,1上单调递减，且(0)0g=，所以函数()g x在区间(0,1上小于零，从而()fx在区间(0,1上小于零，所以函数()f x在区间(0,1上单调递减，12 分 显然1nncc+，13 分 所以数列22(1),*nanncna=+N为单调递增数列，14 分 同时01232311111(1)CCCCCnnnnnnnnncnnnnn=+=+，当2k 时，1(1)(2)(1)1211C(1)1(1)11111(1)1(1)1knkkn nnnkn nnnknnk knnnnk kk kk kkk+=15 分 高三数学试题 第9页（共9页）则1111111(1)1 11332231nncnnnn=+=（）（）（），16 分 且111(1)231c=+=，所以数列22(1),*nanncna=+N有界 17 分 若选择，将集合B中的元素按从小到大排列构成的数列 nb为等比数列，其通项公式为：9,*nnbn=N；7 分 设1111,*191nnniiiicib=N，9 分 显然111101911nnnnccb+=，11 分 所以数列11,*1nniicib=N单调递增，12 分 其中111111111918 99189iiiiib=+，1121111111111(1)1898999nnniniiicb=+，所以111()119199(1)1186496419nnnniicb=，16 分 所以数列11,*1nniicib=N有界.17 分
