2024年初一下册数学专项练习72二元一次方程组解法（一）--代入法(基础) 知识讲解.doc

2024年初一下册数学专项练习二元一次方程组解法（一）-代入法（基础）知识讲解【学习目标】1. 理解消元的思想；2. 会用代入法解二元一次方程组.【要点梳理】要点一、消元法1.消元思想：二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，那么就把二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程，我们就可以先求出一个未知数，然后再求出另一个未知数. 这种将未知数由多化少、逐一解决的思想，叫做消元思想.2.消元的基本思路：未知数由多变少.3.消元的基本方法：把二元一次方程组转化为一元一次方程.要点二、代入消元法 通过“代入”消去一个未知数，将方程组转化为一元一次方程，这种解法叫做代入消元法，简称代入法要点诠释：(1)代入消元法的关键是先把系数较简单的方程变形为：用含一个未知数的式子表示另一个未知数的形式，再代入另一个方程中达到消元的目的(2)代入消元法的技巧是：当方程组中含有一个未知数表示另一个未知数的代数式时，可以直接利用代入法求解；若方程组中有未知数的系数为1(或-1)的方程则选择系数为1(或-1)的方程进行变形比较简便；若方程组中所有方程里的未知数的系数都不是1或-1，选系数绝对值较小的方程变形比较简便【典型例题】类型一、用代入法解二元一次方程组1用代入法解方程组： 的解为 【思路点拨】直接将下面的式子代入上面的式子，化简整理即可.【答案与解析】解：解，把代入得x+2=12，x=10，故答案为：【总结升华】当方程组中出现一个未知量代替另一个未知量的方程时，一般用直接代入法解方程组.举一反三：【变式】若方程y1x的解也是方程3x2y5的解，则x_，y_.【答案】3，2.2. 用代入法解二元一次方程组：【思路点拨】观察两个方程的系数特点，可以发现方程中x的系数为1，所以把方程中的x用y来表示，再代入中即可.【答案与解析】解：由得x5-y 将代入得5(5-y)-2y-40，解得：y3，把y3代入，得x5-y5-32所以原方程组的解为【总结升华】代入法是解二元一次方程组的一种重要方法，也是同学们最先学习到的解二元一次方程组的方法，用代入法解二元一次方程组的步骤可概括为：一“变”、二“消”、三“解”、四“代”、五“写”举一反三：【变式1】与方程组有完全相同的解的是（ ） Ax+y2=0 Bx+2y=0 C(x+y2)(x+2y)=0 D【答案】D【变式2】若x2y1(xy5)20，则 x= ， y= .【答案】3,2.类型二、由解确定方程组中的相关量3.已知关于x，y的二元一次方程组的解互为相反数，求k的值【思路点拨】将x=-y代入第二个方程，解出y的值，再代入上面的方程可得值. 【答案与解析】解：，将x=-y代入得：-y+2y =1，y=1，x=1，将x=1，y=1代入得，k=1【总结升华】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值举一反三：【变式】已知是二元一次方程组的解，则mn的值是【答案】4解：把代入方程得：，解得：m=1，n=3，则mn=1（3）=1+3=44. 若方程组的解为，试求的值.【答案与解析】解：将代入得，即，解得.【总结升华】将已知解代入原方程组得关于的方程组，再解关于方程组得的值.二元一次方程组解法（二）-加减法（基础）知识讲解【学习目标】1. 掌握加减消元法解二元一次方程组的方法； 2. 能熟练、正确、灵活掌握代入法和加减法解二元一次方程组；3会对一些特殊的方程组进行特殊的求解【要点梳理】要点一、加减消元法解二元一次方程组 两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法要点诠释：用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤： (1)方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不互为相反数，又不相等，那么就用适当的数乘方程的两边，使同一个未知数的系数互为相反数或相等；(2)把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；(3)解这个一元一次方程，求得一个未知数的值；（4)将这个求得的未知数的值代入原方程组中的任意一个方程中，求出另一个未知数的值，并把求得的两个未知数的值用“大括号”联立起来，就是方程组的解要点二、选择适当的方法解二元一次方程组 解二元一次方程组的基本思想（一般思路）是消元，消元的方法有两种：代入消元和加减消元，通过适当练习做到巧妙选择，快速消元【典型例题】类型一、加减法解二元一次方程组1. 直接加减：已知是二元一次方程组的解，则的值为 【思路点拨】方程组利用加减消元法即可确定出的值【答案】3【解析】解：把代入，得，+得：【总结升华】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法2.先变系数后加减：【思路点拨】注意到方程组中x的系数成2倍关系，可将方程的两边同乘2，使两个方程中x的系数相等，然后再相减消元【答案与解析】解：×2，得13y65解得y5将y5代入，得2x-5×5-21，解得x2所以原方程组的解为【总结升华】如果两个方程中未知数的系数的绝对值不相等，但某一未知数的系数成整数倍，可将一个方程的系数进行变化，使这个未知数的系数的绝对值相等举一反三：【变式】已知关于x，y的二元一次方程组的解满足xy=a，求该方程组的解【答案】解：，×2得，y=a，把y=a代入得，x=a，则a（a）=a，解得，a=5方程组的解为：3.建立新方程组后巧加减：解方程组【思路点拨】注意到两个方程中两个未知数的系数的和相等、差互为相反数，所以可将两个方程分别相加、相减，从而得到一个较简单的二元一次方程组【答案与解析】解：+，得7x+7y7，整理得x+y1 ，得3x-3y-15，整理得x-y-5 解由、组成的方程组得原方程组的解为【总结升华】解方程组时，我们应根据方程组中未知数的系数的特点，通过将两个方程相加或相减，把原方程组转化为更简单的方程组来解4.先化简再加减：解方程组【思路点拨】方程组中未知数的系数是分数或小数，一般要先化成整数后再消元【答案与解析】解：×10，×6，得×3-，得11y33，解得y3将y3代入，解得x4所以原方程组的解为【总结升华】当二元一次方程组的形式比较复杂时，通常是先通过变形(如去分母、去括号等)，将它化为形式简单的方程组，再消元求解类型二、用适当方法解二元一次方程组5. （1） （2）【思路点拨】观察方程特点选择方法：（1）代入消元法；（2）先化简再加减或代入消元法【答案与解析】解：（1）由得 将代入得解得：将代入得原方程组的解为：（2）原方程组可化为：+，得，即 将代入得，代入得 原方程组的解为：【总结升华】方程组的解法不唯一，只是有的计算简便，有的繁琐举一反三：【变式】用两种方法解方程组【答案】解：法：由（1）：2y=9x将其整体代入（2）：3x(9x)=1解得x=22y=9x=7原方程组的解为：法：（1）+（2）：4x=8， x=2，代入（1）：2+2y=9， 2y=7， 原方程组的解为： 二元一次方程组解法（提高）知识讲解【学习目标】1. 掌握加减消元法解二元一次方程组的方法； 2. 能熟练、正确、灵活掌握代入法和加减法解二元一次方程组；3会对一些特殊的方程组进行特殊的求解【要点梳理】要点一、加减消元法解二元一次方程组 两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法要点诠释：用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤： (1)方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不互为相反数，又不相等，那么就用适当的数乘方程的两边，使同一个未知数的系数互为相反数或相等；(2)把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；(3)解这个一元一次方程，求得一个未知数的值；（4)将这个求得的未知数的值代入原方程组中的任意一个方程中，求出另一个未知数的值，并把求得的两个未知数的值用“大括号”联立起来，就是方程组的解要点二、选择适当的方法解二元一次方程组 解二元一次方程组的基本思想（一般思路）是消元，消元的方法有两种：代入消元和加减消元，通过适当练习做到巧妙选择，快速消元【典型例题】类型一、加减法解二元一次方程组1. （2015春澧县期末）用加减消元法解方程组【思路点拨】先将原方程写成方程组的形式后，再求解.【答案与解析】解：此式可化为：由(1)：3x+4y=18 (1)由(2)：6x+5y=27 (2)(1)×2：6x+8y=36 (3)(3)(2)：3y=9 y=3代入(1)：3x+12=18 3x=6 x=2【总结升华】先将每个式子化至最简，即形如ax+by=c的形式再消元.举一反三：【变式】方程组的解为： .【答案】2.若关于x、y的二元一次方程组的解为，求关于x、y的方程组的解【思路点拨】如果用一般方法来解答此题，很难达到目标，观察发现，两方程的系数相同，只是未知数的呈现方式不同，如果我们把2x+y，x-y看作一个整体，则两个方程同解【答案与解析】 解：方程组的解仅仅与未知数的系数有关，与未知数选用什么字母无关，因此把(2x+y)与(x-y)分别看成一个整体当作未知数，可得 解得：【总结升华】本例采用了类比的方法，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法举一反三：【变式】三个同学对问题“若方程组的解是，求方程组的解”提出各自的想法甲说：“这个题目好象条件不够，不能求解”；乙说：“它们的系数有一定的规律，可以试试”；丙说：“能不能把第二个方程组的两个方程的两边都除以5，通过换元替代的方法来解决”参考他们的讨论，你认为这个题目的解应该是： 【答案】解：由方程组的解是，得，上式可写成，与比较，可得：类型二、用适当方法解二元一次方程组3. 解方程组【思路点拨】解决本题有多种方法：加减法或代入法，或整体代入法，整体代入法最简单.【答案与解析】解：设，则原方程组可化为解得即 ，所以解得所以原方程组的解为【总结升华】解一个方程组的方法一般有多种方法，我们要根据方程组的特点选择最简便的求解方法.举一反三：【变式】【答案】解：去分母，整理化简得，×3×2得，即，将代入得，即，所以原方程组的解为.4. 试求方程组的解【答案与解析】解：，整理得 ，13y0，即y13，当时，可化为，解得；当时，可化为，无解.将代入，得，解得.综上可得，原方程组的解为：或.【总结升华】解含有绝对值的方程组，一般先转化为含绝对值的一元一次方程，再分类讨论求出解.举一反三：【变式】若二元一次方程组和y=kx+9有相同解，求（k+1）2的值【答案】解：方程组，×3+得：11x=22，解得：x=2，将x=2代入得：6y=7，解得：y=1，方程组的解为，将代入y=kx+9得：k=5，则当k=5时，（k+1）2=16