2024年普通高等学校招生全国统一考试数学（新高考I卷）押题密卷含答案.pdf

数学（新高考 I卷）押题密卷 2 第 1 页（共 4 页）命题日期 2024.4.30 试卷类型：A 2024年普通高等学校招生全国统一考试 押题密卷 2 数学 新高考 I 卷 本试卷共 4 页，19 小题，满分 150 分考试用时 120 分钟 注意事项：1 答题前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上用 2B 铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”2 作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上 3 非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液不按以上要求作答的答案无效 4 考生必须保持答题卡的整洁考试结束后，将试卷和答题卡一并交回 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1 设集合 A3,2a，Ba,b，若 AB2，则 AB A1,2,3 B2,3,4 C1,2,4 D2,3,5 2 设复数 z 的共轭复数为 z，则下列一定为纯虚数的是 Azz Bzz Czz Dzz 3 设，是两个不同平面，直线 m，直线 n，则 Am是 mn 的充分条件 Bm/n 是/的必要条件 Cm是 mn 的必要条件 Dmn 是 的必要条件 4 已知随机变量 i的分布列如表所示（i1,2）i 0 1 2 P 13 pi 23pi 若 0p112p223，则 AE(1)E(2)，D(1)D(2)BE(1)E(2)，D(1)D(2)CE(1)E(2)，D(1)D(2)DE(1)E(2)，D(1)D(2)#QQABIYAAggAIQJIAABgCAQWQCgIQkBCAAIoOQAAEsAAASANABCA=#数学（新高考 I卷）押题密卷 2 第 2 页（共 4 页）5 已知 sin()0，cos()0，则 Atan 2cot 2 Btan 2cot 2 Csin 2cos 2 Dsin 2cos 2 6 已知数列an的前 n 项和为 Sn，且对于任意 nN*，都有 anan+10，anSn恒为定值 c（c0），则 A|a2|a3|a4|B|a3|a2|a4|C|a3|a4|a2|D|a4|a3|a2|7 设非负实数 x,y，2x3y，则 A2x3y B2x3y C2x3y D无法比较 2x 与 3y的大小 8 已知 F1，F2是椭圆与双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且|PF1|PF2|，PF1的垂直平分线经过点 F2，若椭圆的离心率为 e1，双曲线的离心率为 e2，则 e122e2的最小值是 A2 B2 C6 D6 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分 9 掷骰子 5 次，分别记录每次骰子出现的点数，根据这 5 次的统计结果，下列选项中有可能出现点数 1 的是 A中位数：3，众数：2 B平均数：4，中位数：5 C极差：4，平均数：2 D平均数：4，众数：5 10已知函数 f(x)x4x2x1，则 A()有两个零点 B()有唯一极值 C过坐标原点可作曲线 yf(x)的一条切线 D曲线 yf(x)上存在三条互相平行的切线 11如图，与圆柱底面成 60 的平面 截此圆柱，其截面图形为椭圆已知该圆柱底面半径为 2，则 A椭圆的离心率为 32 B椭圆的长轴长为 833 C椭圆的面积为 32 D椭圆内接三角形面积的最大值为 63#QQABIYAAggAIQJIAABgCAQWQCgIQkBCAAIoOQAAEsAAASANABCA=#数学（新高考 I卷）押题密卷 2 第 3 页（共 4 页）三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分 12在ABC中，C2，若 cos Asin B，则 A的取值范围是_ 13已知 a，b，c 成等差数列，点 P（1,0）到直线 l：axbyc0 的距离为 22，则直线 l的倾斜角是_ 14设点 P 是边长为 2 的正ABC 的三边上的动点，则 PA （PB+PC）的取值范围是_ 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15（满分 13 分）已知ABC的内角 A,B,C所对的边分别为 a,b,c，a6，b12cos B2c（1）求 A的大小；（2）请在下列三个条件中选择一个作为已知条件，使ABC 存在，并解决问题：M 为ABC内一点，AM 的延长线交 BC于点 D，求ABC的面积.M 为ABC的外心，AM4；M 为ABC的垂心，MD3；M 为ABC的内心，AD33 16（满分 15 分）图形的被覆盖率是指，图形被覆盖部分的面积与图形的原面积之比通常用字母表示如图所示，边长为 1 的正三角形被 n（nN*）层半径相等的圆覆盖，最下面一层与正三角形底边均相切，每一层相邻两圆外切，层与层相邻的圆相外切，且每一层两侧的圆与正三角形两边相切记覆盖的等圆层数为 n 时，等圆的半径为 an图中已给出 n 等于 1，2，10 时的覆盖情形（1）写出 a1，a2的值，并求数列an的通项公式；（2）证明：此正三角形的被覆盖率低于 91%（参考数据：3.14，31.73）#QQABIYAAggAIQJIAABgCAQWQCgIQkBCAAIoOQAAEsAAASANABCA=#数学（新高考 I卷）押题密卷 2 第 4 页（共 4 页）17（满分 15 分）设 为随机变量，从棱长为 1 的正方体的 12 条棱中任取两条，当两条棱相交时，0；当两条棱平行时，的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，1（1）求概率 P(0)；（2）求 的分布列，并求其数学期望 E()18（满分 17 分）如图，已知抛物线 E：y2x 与圆 M：(x4)2y2r2（r0）相交于 A、B、C、D 四个点（1）求 r 的取值范围；（2）当四边形 ABCD 的面积最大时，求对角线 AC、BD 的交点 P的坐标 19（满分 17 分）已知函数 f(x)(xa)(exa)，a0（1）当 a0 时，讨论 f(x)的单调性；（2）证明：f(x)有唯一极小值点 x0，并求 f(x0)的最大值#QQABIYAAggAIQJIAABgCAQWQCgIQkBCAAIoOQAAEsAAASANABCA=#参考答案 第 1 页（共 9 页）学科网（北京）股份有限公司 2024 年普通高等学校招生全国统一考试 押题密卷 2 数学 参考答案 单项选择题单项选择题 1A 2B 3A 4D 5B 6C 7C 8B 多项多项选择题选择题 9BCD 对于 A，中位数是 3，则这 5 个数从小到大排列后，第 3 个数是 3，第 1、2 个数是 2 才能使众数为 2，故第1 个数不是 1，故 A 不正确，对于 B，有可能出现点数 1，例如 1,2,5,6,6；对于 C，有可能出现点数 1，例如 1,1,1,2,5；对于 D，有可能出现点数 1，例如 1,4,5,5,5；故选 BCD.10ACD 对于 A，()32()(1)1f xxxx=+，对于函数322()1,()32g xxxg xxx+=+，令()0 23 0 0，所以函数()在(23,0)上单调递减，在(,23)和(0,+)上单调递增，则函数()在=23，=0处分别取极大值和极小值，由(0)0，知()只有一个零点，所以()有两个零点，故 A 正确；对于 B，假设 B 成立，设切点坐标为0,(0)，切线方程为()()3420000004211yxxxxxxx=+，即()342000042131yxxxxx=+，参考答案 第 2 页（共 9 页）学科网（北京）股份有限公司 4200310 xx+=，但显然4200310 xx+，故 B 错误；对于 C，32()421,()122fxxxfxx=+=，令()0 66 0 66，所以函数()fx在66(,)66上单调递减，在(,66)和(66,+)上单调递增，函数()fx在66,66x=处分别取到极大值和极小值，由606f知()fx只有一个零点，()有一个极值点，故 C 正确；对于 D，若 D 正确，则存在实数 m 使得3()421fxxxm=+=有三个不同的根，即函数=43 2+1与=图象有 3 个交点，由选项 C 可知，66,66mff，故 D 正确.故选 ACD.11AD 对于 A，=2，=60=212=4，所以=2 2=16 4=23，所以离心率=234=32，所以 A正确；对于 B，长轴长2248a=，所以 B不正确；对于 C，椭圆的面积=2 4=8，所以 C 不正确；对于 D，椭圆方程为22+22=1，椭圆内接三角形一个顶点在长轴左顶点，另两点在直线=(0)上，此时另两点的距离为：21 22，三角形的面积为：12(+)21 22=(+)(+)1 1 =31+1+3 31+31+1+3 3+1+44 参考答案 第 3 页（共 9 页）学科网（北京）股份有限公司=394=334 当且仅当1+=3 3，即=2时，取等号 334334243，所以 D正确，故选 AD 填空题填空题 120,4 因为 0，=，所以 0，所以 2.若，同理可得=+2，由+0，所以=36，所以=123=12 36 32=93.16（1）由题意得，136a=，2314a=当覆盖的等圆有层时，最下面一层的圆有个，相邻两圆的圆心距为2，最左边与最右边的两圆的圆心距为()21nna 又最左边与最右边的两圆的圆心在三角形底边上投影与底边最近顶点距离之和为2 3na，则()212 31nnnaa+=，()1231nan=+（2）证明：被覆盖面积()()()21211 2831nn nn nSan+=+，正三角形的面积234S=被覆盖率()()1221330.9050.916631n nSCSn+=0，故()e0 xH xx=在上恒成立，故()e0afaa=，又2(2)e0afaa=，所以存在0(2,)xaa，使得()00fx=.又当(,2)xa 时，易知()0fx，故()有且仅有一个极小值点0.因为()00fx=，所以()0001 e0e1xxxa+=+，即0 1，则(0)=0(0+1)00+10(0+1)00+1=0(00)2(0+1)2 设()()22ee()e1xxxxg x=+，求导得()g x=()()23eee(1)e2e1xxxxxxxx+.设2()e(1)e2xxh xxx=+，求导得2()2e(2)e1xxh xx=+，参考答案 第 9 页（共 9 页）学科网（北京）股份有限公司 注意到()在1,+)上单调递增，且(1)=22+1 1 0，所以存在 (1,0)，使得()0h c=，从而()h x在(1,)上单调递减，在(,)c+上单调递增，又(0)0h=，2(1)e10h=0，所以当1 0；当 0时，()0g x.所以()在(1,0)上单调递增，在(0,+)上单调递减，则()01(0)4f xg=，即(0)的最大值为14.