四川省达州市普通高中2024届第二次诊断性测试数学（理科）试题含答案.pdf

达州市普通高中达州市普通高中 2024 届第二次诊断性测试届第二次诊断性测试数学试题（理科）数学试题（理科）注意事项：注意事项：1答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上2回答选择题时回答选择题时，选出每小题答案后选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷无效本试卷无效3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的项是符合题目要求的1复数z满足11 iz，则在复平面内表示复数z的点的坐标是（）A11,22B1 1,2 2C11,22D1 1,2 22设全集U R，12Axx，240Bx xx，则图中阴影部分对应的集合是（）A12xx B 02xxC10 xx D10 xx 3下图是某地区 20162023 年旅游收入（单位：亿元）的条形图，则下列说法错误的是 20162023 年旅游收入（）A该地区 20162019 年旅游收入逐年递增B该地区 20162023 年旅游收入的中位数是 4.30C经历了疫情之后，该地区 2023 年旅游收入恢复到接近 2018 年水平D该地区 20162023 年旅游收入的极差是 3.694如图，在正方体1111ABCDABC D中，E为AB中点，P为线段11C D上一动点，过点D，E，P的平面截正方体的截面图形不可能是（）A三角形B矩形C梯形D菱形553(2)xyxy展开式中x项的系数为（）A80B80C40D406函数 3cos22xxxf x的部分图象大致为（）ABCD7双曲线2222:1(0,0)xyCabab的左、右顶点分别为12,A A，P为C上一点，若直线1PA与直线2PA斜率之积为 2，则C的离心率为（）A2B3C2D38定义在R上的奇函数()f x，满足(2)()fxf x，当0,1x时，2()log(2)f xxa，若(15)3(5)ffb，则ab（）A233log 3B243log 3C234log 3D244log 39如图，灯笼的主体可看作将一个椭圆绕短轴旋转得到的，这样的旋转体称为椭圆体已知椭圆22221(0)xyabab绕短轴旋转得到的椭圆体的体积和表面积可以用公式243Va b和2423Saab计算若灯笼主体的体积为32,43a，则该灯笼主体表面积取值范围为（）A808,3B6416,3C8016,3D648,310如图，22:4O xy与x轴交于点A，B，C是O上第一象限内的点，D，E分别在射线AC，CB上，DE交x轴于点F若直线DE的方程为4x，F是线段DE中点，则直线CF的方程为（）A2380 xyB240 xyC2380 xy D340 xy11在斜边为BC的RtABC中，8AB，6,ACD为BAC平分线上一点，且A，B，C，D四点共圆，ADxAByAC，则xy（）A2B724C4924D251212 已知acadbcbd，定义运算：()()()()()fxaf xg xf xg x，其中()fx是函数()f x的导数 若21()ln2xxx存在极大值点m，且2e()2m，则a的取值范围是（）A230,eB2e2,C(0,1)D210,e二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分13随机变量(5,),()3Bp E，则p _14已知21,11,()|2|1,13xxf xxx，则32ff_15将函数2()2sin cossin cos3cos3f xxxxxx的图象向左平移(0)a a 个单位得到函数()g x的图象若23g，则a的最小值为_16在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，2222 3sinabcbcA，点D在平面ABC内，22DCDB，则DA的最大值为_三、解答题：共三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第17 21题为必考题题为必考题，每个试题考生都必须作答第每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共 60 分17（12 分）等差数列 na的前n项和为1,8nSa，当4n 和 5 时，nS取得最大值（1）求nS；（2）若 nb为等比数列，4126,5Sbba，求 nb通项公式18（12 分）随着 AI 技术的不断发展，人工智能科技在越来越多的领域发挥着重要的作用某校在寒假里给学生推荐了一套智能辅导系统，学生可自愿选择是否使用该系统完成假期的作业开学时进行了入学测试，随机抽取了 100 名学生统计得到如下列联表：使用智能辅导系统未使用智能辅导系统合计入学测试成绩优秀202040入学测试成绩不优秀402060合计6040100（1）判断是否有 95%的把握认为入学测试成绩优秀与使用智能辅导系统相关；（2）若把这 100 名学生按照入学测试成绩是否优秀进行分层随机抽样，从中抽取 5 人，再从这 5 人中随机抽取 2 人，记抽取的 2 人中入学测试成绩优秀的人数为X，求X的分布列及数学期望()E X附：22()()()()()n adbcKab cd ac bd，其中nabcd 20P Kk0.100.050.0250.0100k2.7063.8415.0246.63519（12 分）已知抛物线2:2(0)ypx p，直线:()l yk xp与交于A，B两点，线段AB中点,2mmmM xyky（1）求抛物线的方程；（2）直线l与x轴交于点C，O为原点，设BOC，COM，MOA的面积分别为BOCS，COMS，MOAS，若BOCS，COMS，MOAS成等差数列，求k20（12 分）如图，在直角梯形ABCD中，ADBC，ABBC，2ABBCAD，把梯形ABCD绕AB旋转至11ABC D，E，F分别为AB，1CC中点（1）证明：EF平面1CD A；（2）若1(0)DAD，求二面角11CADC余弦的最小值21（12 分）已知2()cos2xf xax（1）若()f x在0,2上单调递增，求a的取值范围；（2）证明：2*11112111tan1212tan3tantan23nnnnnnN（二）选考题：共 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分22选修 44：坐标系与参数方程（10 分）在平面直角坐标系xOy中，曲线12cos,:22sinxCy（为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为cos24 2cos4（1）求1C的普通方程和2C的直角坐标方程；（2）求以曲线1C与曲线2C的公共点为顶点的多边形面积23选修 45：不等式选讲（10 分）设()|3|24|f xxx，不等式()|1|f xmm有解（1）求m取值范围；（2）记m的最大值为,32nabcn，求22252abcab的最小值达州市普通高中达州市普通高中 2024 届第二次诊断性测试届第二次诊断性测试理科数学参考答案理科数学参考答案一、选择题：一、选择题：1D2C3B4A5B6C7B8C9C10D11C12A二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分130.6 14341571216316题 提 示：因2222 3sinabcbcA，所 以 在ABC中 由 正 弦 定 理 得22222cos2 3sinbcbcAbcbcA，22cos3sin2bcAAbc，sin16A，由于0A，3A，且bc，即ABC为正三角形【方法一】如图，设,ABxBCDBDC在BCD中，由余弦定理得2144cosx，2144 cosxx，54cosx 在BCD中，由正弦定理得sinsinx，sinsin54cos，2coscos54cos在ACD中，由余弦定理得2244 cos14 cos4 cos33ADxxxx 2cossin12cos3sin12 54cos354cos54cosx 54sin96，等号在23时成立所以AD的最大值为 3【方法二】以BC为x轴，以BC中垂线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系设2BCc，22DCBD，点D在以,B C为焦点，以 3 为长轴的椭圆上，这个椭圆方程为22219944xyc设000,0D xyy，则031322cx，034xc，220259216ycc由于0,3Ac，所以222224005953232162ADxycccc设 2593216f xxxx，2534159216xfxxx 由 0fx得34x，或74x 经验证当74x 即274c 时，2AD最大，且max3AD三、解答题：共三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17 解：（1）设 等 差 数 列 na公 差 为d，45SS，50a，840d，2d，218292nn nSnnn（2）4145sb，268 102ba ，数列 nb公比为12，131422nnnb18解：（1）210020 2020 40252.7783.84140 60 40 609k没有95%的把握认为入学测试成绩优秀与使用智能辅导系统相关（2）使用分层抽样，5人中 2 人成绩优秀，3 人成绩不优秀2325C30C10P X，113225C C31C5P X，2225C12C10P X 分布列为：X012P310351103314012105105E X 19解：（1）设1122,A x yB xy22,ypxyk xp，22220kypyp k，122pyyk，mpyk2mky，2p，的方程为24yx（2）24,2yxyk x，2480kyyk，124yyk，128y y ,BOCCOMMOASSS成等差数列，2y，my，1myy成等差数列212mmyyyy123myyy，123myyy22121294myyyy y，2224932kk104k 20（1）证明：设11DC中点为G，连接,FG EGFG为11CC D中位线，1FGCD，1CD 平面1CD A，FG 平面1CD A，FG平面1CD AEG为梯形11ABC D中位线，1EGAD，1AD 平面1CD A，EG 平面1CD AEG平面1CD A，EGFGG，FG 平面EFG，EG 平面EFG，平面EFG平面1CD A，EF 平面EFG，EF平面1CD A（2）解：如图建立空间直角坐标系，110DADCBC，不妨设22ABBCAD0,0,0,2,0,0,0,0,2BCA112cos,2sin,0,cos,sin,2CD设平面11ADC的法向量为1111,xny z11100BA nBD n ，111120cossin20zxyz不妨取1sinx，1sin,cos,0n 设平面1ADC的法向量为2222,xny z21200CA nCD n ，22222220cos2sin20 xzxyz不妨取21x，2cos1,1sinn21222cossin1sincos,1 sincos11sinn n 设二面角11CADC平面角为，21cos1 sin2时，二面角11CADC的余弦最小值为2221解：（1）sinfxaxx，sin0,0,2axxx恒成立设 sin,0,2g xaxx x，cos1gxax 当0a 时，0,2x，0gx，g x为单调递增，00g xg满足题意；当0a 时，0,2x，1,1gxa，10a时，即01a时，0,2x，0gx，g x为单调递增，00g xg满足题意；10a时，即1a 时，00,2x，使00gx，00,xx，0gx，g x为单调递减，000g xg，与 0g x 在0,2x上恒成立矛盾；综上可得1a（2）由（1）知1a 时，2cos2xf xx在0,2上单调递增，01f xf2cos12xx，2cos1,0,22xxx 时，2cos102xx ，由（1）知1a 时，0sin,0,2xx x时，110sinxx，2112,0,2tanxxxx，即21,0,2tan2xxxx 令*1,xnnN，2211111111111111112222121tan422nnnnnnnn 21111121111tan121212tan3tantan23nnnnnnn原不等式得证22解：（1）221:24Cxy2C：22cossin4cos4sin，2222cossin4 cos4 sincosx，siny，2244xyxy，40 xyxyxy40 xyxy，2C方程为0 xy和40 xy（2）22240 xyxy解得00 xy，22xy；222440 xyxy解得04xy，22xy以曲线1C与曲线2C的公共点为顶点的多边形为三角形，其面积为 423解：（1）7,3,32431,327,2.xxf xxxxxxx .，max5fx，51mm ，解得3m 所以m的取值范围为,3（2）由（1）可得3n，323abc 222222524abcababac2222222113411232662abacabc当且仅当441abc时取等号，即22252abcab最小值为32