湖南省长沙市第一中学、长沙市一中城南中学等多校2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题含答案.pdf

学学校校：_班班级级：_姓姓名名：_考考号号：_密密封封线线内内不不要要答答题题高二数学第 1 页 共 4 页高高二二数数学学考考试试注注意意事事项项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。4.本试卷主要考试内容：人教 A 版必修第一册至选择性必修第三册第七章。一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数25iz ，则iz在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.某种袋装大米的质量X（单位：kg）服从正态分布225,N，且25.10.05P X.若某商场购入 500 袋这种大米，则该种袋装大米的质量在24.9kg25.1kg的袋数约为（）A.300B.350C.400D.4503.已知ABAC，2AB ，则AB BC （）A.0B.2C.4D.44.已知方程22211mxmy表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是（）A.10,2B.1,12C.1,D.0,15.某单位五一放假，安排甲、乙等五人值班五天，每人值班一天.若甲、乙都至少需要三天的连休假期，则不同的值班安排共有（）A.60 种B.66 种C.72 种D.78 种6.在人工智能神经网络理论中，根据不同的需要，可以设置不同的激活神经单元的函数，其中函数tanh是比较常用的一种，其解析式为 eetaneexxxxh x.关于函数 tanh x，下列结论正确的是（）A.tanh x是偶函数B.tanh x是单调递增函数C.方程 tan2h x 有唯一解D.tan0h x 恒成立7.今天是星期天，则713天后是（）A.星期五B.星期六C.星期天D.星期一8.已知正四棱锥外接球的半径为 3，内切球的半径为 1，则该正四棱锥的高为（）A.43B.42C.43D.42二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目#QQABAYIEggiIAJAAARgCAQVQCAGQkAAACIoOwEAMMAAASAFABCA=#湖南省长沙市第一中学、长沙市一中城南中学等多校2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题学学校校：_班班级级：_姓姓名名：_考考号号：_密密封封线线内内不不要要答答题题高二数学第 2 页 共 4 页要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.9.若集合D含有n个元素，则称D为n元集，D的子集中含有m m n个元素的子集叫做D的m元子集.已知集合1,0,1A ，2,1,2B ，则（）A.AB是 2 元集B.AB的 2 元子集有 10 个C.|,xy xA yB是 5 元集D.,|,x yxA yB是22,|5,x yxyxyZZ的 9 元子集10.已知随机变量X服从二项分布4,Bp，0,1p，下列判断正确的是（）A.若1E X，则34D X B.401P XpC.若34D X，则1E X D.2P X 的最大值为3811.边长为 2 个单位长度的正方形ABCD如图 1 所示.将正方形ABCD向右平移 1 个单位长度，再向上平移 1 个单位长度，得到正方形EFGH，正方形ABCD和EFGH的组合图形如图 2所示.将正方形EFGH向右平移 1 个单位长度，再向上平移 1 个单位长度，得到正方形CIJK，正方形ABCD，EFGH和CIJK的组合图形如图 3 所示.依此类推，得到图n nN，则（）A.图 3 中矩形的个数为 11B.图 4 中矩形的个数为 19C.图 10 中矩形的个数为 81D.图 1 至图 20 中所有知形的个数之和为 1732三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.把答案填在答题卡中的横线上.12.记ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2cab，AB，则cosC _.13.设一组样本数据1x，2x，10 x的平均值是 1，且21x，22x，210 x的平均值是 3，则数据1x，2x，10 x的方差是_.14.做一个容积为3250m的圆柱形封闭容器，要求所用材料最省，则该容器的底面半径为_m，表面积为_2m.密密封封线线内内不不要要答答题题高二数学第 3 页 共 4 页四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.（13 分）如图，在四边形ABCD中，ADAB，ABAD，平面ABCD与半圆弧AB所在的平面垂直，E是AB上异于A，B的点.（1）证明：BDE是直角三角形.（2）若E是AB上更靠近B的三等分点，求平面BDE与平面ABCD夹角的余弦值.16.（15 分）已知数列 na的前n项和为nS，11a，0na，且11122nnnnnna SaSa a.（1）证明：数列nnSa是等差数列.（2）求 na的通项公式.（3）若122121nnnnaab，数列 nb的前n项和为nT，证明：13nT.17.（15 分）已知F为抛物线C：220ypx p的焦点，第一象限内的点P在C上，点P的纵坐标等于横坐标的 4 倍，且54PF.（1）求C的方程；（2）若斜率存在的直线l与C交于异于P的A，B两点，且直线PA的斜率与直线PB的斜率之积为 16，证明：l过定点.#QQABAYIEggiIAJAAARgCAQVQCAGQkAAACIoOwEAMMAAASAFABCA=#密密封封线线内内不不要要答答题题高二数学第 4 页 共 4 页18.（17 分）京剧被誉为中国文化的瑰宝.每个脸谱都有其独特的象征意义，是京剧中不可或缺的一个组成部分.某商店售卖的京剧脸谱娃娃共有三种款式，有直接购买和盲盒购买两种方式.若直接购买京剧脸谱娃娃，则每个京剧脸谱娃娃售价 54 元，可选定款式；若盲盒购买京剧脸谱娃娃，则每个盲盒售价 27 元，盲盒中的一款京剧脸谱娃娃是随机的.（1）甲采用盲盒购买的方式，每次购买一个盲盒并打开，若买到的京剧脸谱娃娃中出现相同款式，则停止购买.用表示甲购买盲盒的个数，求的分布列.（2）乙计划收集一套京剧脸谱娃娃（三种款式各一个），先购买盲盒，每次购买一个盲盒并打开（乙最多购买 3 个盲盒），若未集齐一套京剧脸谱娃娃，再直接购买没买到的款式，以购买费用的期望值为决策依据，问乙应购买多少个盲盒?19.（17 分）已知函数 2eaxf xbxx（0a，0b），且曲线 yf x在点 1,1f处的切线经过点0,b.（1）求a；（2）求 f x的单调区间；（3）若1b，ln2fcd，证明：eln12dfc.?高二数学?参考答案?第?页?共?页?高二数学考试参考答案?解析?本题考查复数的运算和复平面?考查逻辑推理和直观想象的核心素养?所以?在复平面内对应的点位于第三象限?解析?本题考查正态分布?考查逻辑推理的核心素养和应用意识?由题意得?所以该种大米的质量在?的袋数约为?解析?本题考查向量的数量积?考查逻辑推理的核心素养?因为?所以?解析?本题考查椭圆的方程?考查数学运算的核心素养?椭圆方程变形为?因为焦点在?轴上?所以?解得?解析?本题考查排列?考查逻辑推理的核心素养和应用意识?由题意可知甲?乙都不能安排第三天值班?所以不同的值班安排共有?种?解析?本题考查函数的性质?考查数学运算的核心素养和应用意识?因为?的定义域为?且?所以?是奇函数?不正确?可知?是单调递增函数?正确?又因为?所以?都不正确?解析?本题考查二项式定理?考查逻辑推理的核心素养和应用意识?因为?所以?除以?的余数为?所以?天后是星期六?解析?本题考查四棱锥的外接球和内切球?考查直观想象的核心素养和空间想象能力?设正四棱锥?的底边长为?高为?外接球半径?内切球半径?设?分别为?和?的中点?则?的内切圆半径即为内切球半径?设?则?由?得?即?另外?的外接圆半径即为正四棱锥的外接球半径?所以在?中?有?槡?即?即?所以?解得?槡?解析?本题根据集合的新定义考查交集?并集和子集?考查数学运算的核心素养和创新意识?是?元集?错误?则?的?元子集有?个?正确?是?元集?正确?#QQABAYIEggiIAJAAARgCAQVQCAGQkAAACIoOwEAMMAAASAFABCA=#?高二数学?参考答案?第?页?共?页?有?个元素?且是?的子集?则?是?的?元子集?正确?解析?本题考查二项分布?考查数学运算和逻辑推理的核心素养?由?得?所以?正确?正确?由?得?或?所以?或?错误?设函数?则?当?时?单调递增?当?时?单调递减?则?所以?的最大值为?正确?图?解析?本题考查等差数列?考查数学建模?逻辑推理和直观想象的核心素养?在图?的正方形?中?有?个矩形?再加上正方形?所以图?中矩形的个数为?正确?如图?在图?的正方形?中?有?个矩形?与图?中的矩形相比?重合了矩形?多了矩形?再加上正方形?所以图?中矩形的个数为?错误?依此类推?可知从图?开始?往后的每个图形中的矩形都比前一个图形中的矩形多?个?设图?图?图?图?中的矩形个数分别为?则从第三项开始?该数列成公差为?的等差数列?易得?则?所以?正确?所以图?至图?中所有矩形的个数之和为?正确?解析?本题考查余弦定理?考查数学运算的核心素养?由题意得?所以?解析?本题考查平均数与方差?考查数据分析和数学运算的核心素养?由题意得?所以数据?的方差?#QQABAYIEggiIAJAAARgCAQVQCAGQkAAACIoOwEAMMAAASAFABCA=#?高二数学?参考答案?第?页?共?页?解析?本题考查导数的实际应用?考查数学建模的核心素养和应用意识?设该容器的底面半径为?高为?表面积为?由?得?所用材料最省即该容器的表面积最小?则?令函数?则?当?时?单调递减?当?时?单调递增?所以?故要求所用材料最省?则该容器的底面半径为?表面积为?证明?如图?连接?平面?平面?平面?平面?分?平面?分?平面?分?是半圆弧?上异于?的点?分?平面?分?平面?即?是直角三角形?分?解?如图?取?的中点?连接?以?为原点?为?个单位长度?建立如图所示的空间直角坐标系?则?是?上更靠近?的三等分点?即?槡?分则?槡?分设平面?的法向量为?则?槡?分取?则?槡?槡?得平面?的一个法向量为?槡?槡?分易得平面?的一个法向量为?分?平面?与平面?夹角的余弦值为?槡?分评分细则?第?问中?直接建立空间直角坐标系来证明?是直角三角形?不扣分?第?问中?以其他点作为原点建立空间直角坐标系?按照相应步骤给分?证明?将?两边同时除以?得?分#QQABAYIEggiIAJAAARgCAQVQCAGQkAAACIoOwEAMMAAASAFABCA=#?高二数学?参考答案?第?页?共?页?当?时?分所以?是以?为首项?为公差的等差数列?分?解?由?得?则?分当?时?分?得?整理得?分则?分?也符合?所以?分?证明?由?得?分所以?分因为?所以?分评分细则?第?问中?未算首项?直接写?是?为公差的等差数列?扣?分?第?问中?未写?因为?所以?直接得?不扣分?解?设?分由题意得?分解得?分所以?的方程为?分?证明?易知?的斜率不为?设?分由?得?则?分所 以?#QQABAYIEggiIAJAAARgCAQVQCAGQkAAACIoOwEAMMAAASAFABCA=#?高二数学?参考答案?第?页?共?页?分得?即?分故?过定点?分评分细则?第?问中?设?解答试题?按照相应步骤给分?第?问中?写?进而得到?按照相应步骤给分?解?由题意可知?的取值可能是?分则?分?分?分?的分布列为?分?设乙购买?个盲盒?集齐一套京剧脸谱娃娃所需总费用为?单位?元?则?的取值可能是?分方案一?购买?个盲盒?直接购买另外两款京剧脸谱娃娃?则总费用?元?分方案二?购买?个盲盒?当盲盒中的京剧脸谱娃娃的款式相同时?直接购买另外两款京剧脸谱娃娃?总费用?元?概率为?分当盲盒中的京剧脸谱娃娃的款式不相同时?直接购买第三款京剧脸谱娃娃?总费用?元?概率为?分所以购买?个盲盒的总费用的期望值为?元?分方案三?购买?个盲盒?当?个盲盒中的京剧脸谱娃娃款式均相同时?直接购买另外两款京剧脸谱娃娃?总费用?元?概率为?分当?个盲盒中的京剧脸谱娃娃恰有两个款式相同时?直接购买第三款京剧脸谱娃娃?总费用?元?概率为?分#QQABAYIEggiIAJAAARgCAQVQCAGQkAAACIoOwEAMMAAASAFABCA=#?高二数学?参考答案?第?页?共?页?当?个盲盒中的京剧脸谱娃娃款式均不相同时?总费用?元?概率为?分所以购买?个盲盒的总费用的期望值为?元?分因为方案二购买费用的期望值最小?所以乙应购买?个盲盒?分评分细则?第?问中?未写?直接列分布列?不扣分?第?问中?写?不扣分?解?分由题意得?分则?分得?又?所以?分?解?由?可知?因为函数?均为增函数?所以?为增函数?分易得?则当?时?单调递减?分当?时?单调递增?分所以?的单调递减区间为?单调递增区间为?分?证明?由题意得?设函数?则?当?时?单调递减?当?时?单调递增?则?即?当?时?等号成立?分设函数?则?因为?所以?分由?得?分同理?得?分由?得?所以?分评分细则?第?问中?未写?不扣分?第?问中?写?因为?所以?为增函数?不扣分?#QQABAYIEggiIAJAAARgCAQVQCAGQkAAACIoOwEAMMAAASAFABCA=#