2024年高考数学专项复习排列组合专题03 排队问题（解析版）.pdf

1专题专题 3 排队问题排队问题例 1记者要为 5 名志愿者和他们帮助的 2 位老人拍照，要求排成一排，2 位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有()A1440 种B960 种C720 种D480 种例 212 名同学合影，站成前排 4 人后排 8 人，现摄影师要从后排 8 人中抽 2 人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的总数是()A2283C AB2686C AC2286C AD2285C A例 310 名同学进行队列训练，站成前排 3 人后排 7 人，现体育教师要从后排 7 人中抽 2 人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的总数为()A2575C AB2275C AC2273C AD2274C A例 4 在数字 1，2，3 与符号，五个元素的所有全排列中，任意两个数字都不相邻的全排列个数是()A6B12C24D18例 5计划展出 10 幅不同的画，其中 1 幅水彩画、4 幅油画、5 幅国画，排成一列，要求同一品种的画必须连在一起，并且水彩画不放在两端，那么不同的排列方式的种数有()A4545A AB343245A A AC145345C A AD245245A A A例 63 位男生和 3 位女生共 6 位同学站成一排，若女生甲不站两端，3 位男生中有且只有两位男生相邻，则不同排法的种数是()A360B288C216D96例 7公因数只有 1 的两个数，叫做互质数例如：2 与 7 互质，1 与 4 互质在 1，2，3，4，5，6，7 的任一排列1234567 中，使相邻两数都互质的不同排列方式共有()种A576B720C864D1152例 812 名同学合影，站成了前排 4 人后排 8 人，现摄影师要从后排 8 人中抽 2 人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的种数是()A168B20160C840D560例 92007 年 12 月中旬，我国南方一些地区遭遇历史罕见的雪灾，电煤库存吃紧为了支援南方地区抗灾救灾，国家统一部署，加紧从北方采煤区调运电煤某铁路货运站对 8 列电煤货运列车进行编组调度，决定将这 8 列列车编成两组，每组 4 列，且甲、乙两列列车不在同一小组，甲列车第一个开出，乙列车最后一个开出如果甲所在小组 4 列列车先开出，那么这 8 列列车先后不同2024年高考数学专项复习排列组合专题03 排队问题（解析版）2的发车顺序共有()A36 种B108 种C216 种D720 种例 10有四名男生，三名女生排队照相，七个人排成一排，则下列说法正确的有()A如果四名男生必须连排在一起，那么有 720 种不同排法B如果三名女生必须连排在一起，那么有 576 种不同排法C如果女生不能站在两端，那么有 1440 种不同排法D如果三个女生中任何两个均不能排在一起，那么有 1440 种不同排法例 11用 1、2、3、4、5、6、7、8 组成没有重复数字的八位数，要求 1 和 2 相邻，3 与 4 相邻，5 与 6 相邻，而 7 与 8 不相邻，这样的八位数共有个（用数字作答）例 125 男 4 女站成一排，分别指出满足下列条件的排法种数（1）甲站正中间的排法有种，甲不站在正中间的排法有种（2）甲、乙相邻的排法有种，甲乙丙三人在一起的排法有种（3）甲站在乙前的排法有种，甲站在乙前，乙站在丙前（不要求一定相邻）的排法有种，丙在甲乙之间（不要求一定相邻）的排法有种（4）甲乙不站两头的排法有种，甲不站排头，乙不站排尾的排法种有种（5）5 名男生站在一起，4 名女生站在一起的排法有种（6）女生互不相邻的排法有种，男女相间的排法有种（7）甲与乙、丙都不相邻的排法有种（8）甲乙之间有且只有 4 人的排法有种例 13古代“五行”学说认为：“物质分金、木、土、水、火五种属性，金克木，木克土，土克水，水克火，火克金”将五种不同属性的物质任意排成一列，但排列中属性相克的两种物质不相邻，则这样的排列方法有种（结果用数值表示）例 14从集合P，Q，R，S与0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中各任取 2 个元素排成一排（字母和数字均不能重复）、每排中字母Q和数字 0 至多只能出现一个的不同排法种数是（用数字作答）、例 15从集合O，P，Q，R，S与0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中各任取 2 个元素排成一排（字母和数字均不能重复）每排中字母O，Q和数字 0 至多只能出现一个的不同排法种数是（用数字作答）例 16两部不同的长篇小说各由第一、二、三、四卷组成，每卷 1 本，共 8 本将它们任意地排成一排，左边 4 本恰好都属于同一部小说的概率是（结果用分数表示）3例 17三个女生和五个男生排成一排（1）如果女生必须全排在一起，可有多少种不同的排法？（2）如果女生必须全分开，可有多少种不同的排法？（3）如果两端都不能排女生，可有多少种不同的排法？（4）如果两端不能都排女生，可有多少种不同的排法？（5）甲必须在乙的右边，可有多少种不同的排法？例 18三个女生和五个男生排成一排（1）如果女生须全排在一起，有多少种不同的排法？（2）如果女生必须全分开，有多少种不同的排法？（3）如果两端都不能排女生，有多少种不同的排法？（4）如果男生按固定顺序，有多少种不同的排法？（5）如果三个女生站在前排，五个男生站在后排，有多少种不同的排法？例 19三个女生和四个男生排成一排（1）如果女生必须全排在一起，有多少种不同的排法？（2）如果女生必须全分开，有多少种不的排法？（3）如果两端都不能排女生，有多少种不同的排法？（4）如果两端不能都排女生，有多少种不同的排法？（5）如果最高的站中间，两边均按从高到低排列，有多少种不同的排法？（6）如果四个男同学按从高到低排列，有多少种不同的排法？例 20现有 8 个人(5男 3 女）站成一排（1）女生必须排在一起，共有多少种不同的排法？（2）其中甲必须站在排头有多少种不同排法？（3）其中甲、乙两人不能排在两端有多少种不同的排法？（4）其中甲、乙两人不相邻有多少种不同的排法？（5）其中甲在乙的左边有多少种不同的排法？（6）其中甲乙丙不能彼此相邻，有多少种不同排法？（7）男生在一起，女生也在一起，有多少种不同排法？（8）第 3 和第 6 个排男生，有多少种不同排法？（9）甲乙不能排在前 3 位，有多少种不同排法？4(10)女生两旁必须有男生，有多少种不同排法？例 21已知有 7 名同学排队照相：（1）若排成两排照，前排 4 人，后排 3 人，有多少种不同的排法？（2）若排成两排照，前排 4 人，后排 3 人，甲必须在前排，乙丙必须在同一排，有多少种不同的排法？（3）若排成一排照，甲、乙必须相邻，且不站两端，有多少种不同的排法？（4）若排成一排照，7 人中有 4 名男生，3 名女生，男女相间，有多少种不同的排法？（5）若排成一排照，7 人中有 4 名男生，3 名女生，如果两端不能都排男生，有多少种不同的排法？（6）若排成一圈，有多少种不同的排法？例 22甲、乙、丙、丁、戊 5 人排成一排拍照（1）甲必须排在中间，有多少种不同的排法？（2）丁不能排在中间，有多少种不同的排法？（3）丙、丁必须排在两端，有多少种不同的排法？（4）甲、乙两人都不能排在首末两个位置，有多少种不同的排法？（5）甲不能站排头，乙不能站排尾，有多少种不同的排法？例 237 位同学站一排（1）站成两排（前 3 后4)，共有多少种不同的排法？（2）其中甲站正中间的位置，共有多少种不同的排法？（3）甲、乙只能站在两端的排法共有多少种？（4）甲不排头，乙不排尾的排法共有多少种？（5）甲、乙两同学必须相邻的排法共有多少种？（6）甲、乙两同学必须相邻，而且丙不能站在排头和排尾的排法有多少种？（7）甲、乙两同学不能相邻的排法共有多少种？（8）甲、乙、丙三个同学都不能相邻的排法共有少种？（9）甲、乙、丙三个同学不都相邻的排法共有多少种？(10)甲、乙相邻且与丙不相邻的排法共有多少种？(11)甲必须站在乙的左边的不同排法共有多少种？例 246 位同学站在一排照相，按下列要求，各有多少种不同排法？甲、乙必须站在排头或排尾甲、乙丙三人相邻5甲、乙、丙三人互不相邻甲不在排头，乙不在排尾若其中甲不站在左端，也不与乙相邻例 25（1）一条长椅上有 9 个座位，3 个人坐，若相邻 2 人之间至少有 2 个空椅子，共有几种不同的坐法？（2）一条长椅上有 7 个座位，4 个人坐，要求 3 个空位中，恰有 2 个空位相邻，共有多少种不同的坐法？例 266 个人坐在一排 10 个座位上，问（1）空位不相邻的坐法有多少种？（2）4 个空位只有 3 个相邻的坐法有多少种？（3）4 个空位至多有 2 个相邻的坐法有多少种？1专题专题 3 排队问题排队问题例 1记者要为 5 名志愿者和他们帮助的 2 位老人拍照，要求排成一排，2 位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有()A1440 种B960 种C720 种D480 种【解析】可分 3 步第一步，排两端，从 5 名志愿者中选 2 名有2520A 种排法，第二步，2位老人相邻，把 2 个老人看成整体，与剩下的 3 名志愿者全排列，有4424A 种排法第三步，2 名老人之间的排列，有222A 种排法最后，三步方法数相乘，共有20242960种排法故选：B例 212 名同学合影，站成前排 4 人后排 8 人，现摄影师要从后排 8 人中抽 2 人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的总数是()A2283C AB2686C AC2286C AD2285C A【解析】从后排 8 人中选 2 人共28C种选法，这 2 人插入前排 4 人中且保证前排人的顺序不变，则先从 4 人中的 5 个空挡插入一人，有 5 种插法；余下的一人则要插入前排 5 人的空挡，有 6 种插法，为26A故选：C例310 名同学进行队列训练，站成前排 3 人后排 7 人，现体育教师要从后排 7 人中抽 2 人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的总数为()A2575C AB2275C AC2273C AD2274C A【解析】由题意知本题是一个分步计数问题，首先从后排的 7 人中选出 2 人，有27C种结果，再把两个人在 5 个位置中选 2 个位置进行排列有25A，2不同的调整方法有2275C A，故选：B例 4 在数字 1，2，3 与符号，五个元素的所有全排列中，任意两个数字都不相邻的全排列个数是()A6B12C24D18【解析】在数字 1，2，3 与符号“”，“”五个元素的所有全排列中，先排列 1，2，3，有336A 种排法，再将“”，“”两个符号插入，有222A 种方法，共有 12 种方法，故选：B例 5计划展出 10 幅不同的画，其中 1 幅水彩画、4 幅油画、5 幅国画，排成一列，要求同一品种的画必须连在一起，并且水彩画不放在两端，那么不同的排列方式的种数有()A4545A AB343245A A AC145345C A AD245245A A A【解析】先把每种品种的画看成一个整体，而水彩画只能放在中间，则油画与国画放在两端有22A种放法，再考虑 4 幅油画本身排放有44A种方法，5 幅国画本身排放有55A种方法，故不同的陈列法有245245A A A种，故选：D例 63 位男生和 3 位女生共 6 位同学站成一排，若女生甲不站两端，3 位男生中有且只有两位男生相邻，则不同排法的种数是()A360B288C216D96【解析】先考虑 3 位男生中有且只有两位相邻的排列共有22233243432C A A A 种，在 3 男生中有且仅有两位相邻且女生甲在两端的排列有222232322144C A A A种，3不同的排列方法共有432144288种故选：B例 7公因数只有 1 的两个数，叫做互质数例如：2 与 7 互质，1 与 4 互质在 1，2，3，4，5，6，7 的任一排列1234567 中，使相邻两数都互质的不同排列方式共有()种A576B720C864D1152【解析】根据题意，先排 1、5、7，有336A 种情况，排好后有 4 个空位，对于 2、4、6 和 3 这四个数，分两种情况讨论：3 不在 2、4 中间，可先将 2、4、6 排在 4 个空位中，有3424A 种情况，3 不能放在 6的两边，有 5 种排法，则此时有245120种不同的排法，3 在 2、4 之间，将这三个数看成整体，有 2 种情况，与 6 一起排在 4 个空位中，有2412A 种情况，则此时有2 1224种不同的排法，则 2、4、6 和 3 这四个数共有12024144种排法；则使相邻两数都互质的不同排列方式共有6 144864种；故选：C例 812 名同学合影，站成了前排 4 人后排 8 人，现摄影师要从后排 8 人中抽 2 人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的种数是()A168B20160C840D560【解析】从后排 8 人中选 2 人共28C种选法，这 2 人插入前排 4 人中且保证前排人的顺序不变，则先从 4 人中的 5 个空挡插入一人，有 5 种插法；余下的一人则要插入前排 5 人的空挡，有 6 种插法，65 则不同调整方法的种数是2286840C A 故选：C例 92007 年 12 月中旬，我国南方一些地区遭遇历史罕见的雪灾，电煤库存吃紧为了支援南方地区抗灾救灾，国家统一部署，加紧从北方采煤区调运电煤某铁路货运站对 8 列电煤货运列车进行编组调度，决定将这 8 列列车编成两组，每组 4 列，且甲、乙两列列车不在同一小组，甲列车第一个开出，乙列车最后4一个开出如果甲所在小组 4 列列车先开出，那么这 8 列列车先后不同的发车顺序共有()A36 种B108 种C216 种D720 种【解析】由于甲、乙两列列车不在同一小组，因此，先将剩下的 6 人平均分组有3363C C，再将两组分别按要求排序，各有33A种，因此，这 8 列列车先后不同的发车顺序共有33336333720C C A A 种故选：D例 10有四名男生，三名女生排队照相，七个人排成一排，则下列说法正确的有()A如果四名男生必须连排在一起，那么有 720 种不同排法B如果三名女生必须连排在一起，那么有 576 种不同排法C如果女生不能站在两端，那么有 1440 种不同排法D如果三个女生中任何两个均不能排在一起，那么有 1440 种不同排法【解析】A中4444576A A，B中3535720A A，C中43222234333223(3)1440AAC C A AA，D中43451440A A 综上可得：CD正确故选：CD例 11用 1、2、3、4、5、6、7、8 组成没有重复数字的八位数，要求 1 和 2 相邻，3 与 4 相邻，5 与 6 相邻，而 7 与 8 不相邻，这样的八位数共有576个（用数字作答）【解析】首先把 1 和 2 相邻，3 与 4 相邻，5 与 6 相邻当做三个元素进行排列有33A种结果，这三个元素形成四个空，把 7 和 8 在这四个位置排列有24A种结果，三对相邻的元素内部各还有一个排列22A，根据分步计数原理得到这种数字的总数有3222234222576A A A A A，故答案为：576例 125 男 4 女站成一排，分别指出满足下列条件的排法种数5（1）甲站正中间的排法有8！种，甲不站在正中间的排法有种（2）甲、乙相邻的排法有种，甲乙丙三人在一起的排法有种（3）甲站在乙前的排法有种，甲站在乙前，乙站在丙前（不要求一定相邻）的排法有种，丙在甲乙之间（不要求一定相邻）的排法有种（4）甲乙不站两头的排法有种，甲不站排头，乙不站排尾的排法种有种（5）5 名男生站在一起，4 名女生站在一起的排法有种（6）女生互不相邻的排法有种，男女相间的排法有种（7）甲与乙、丙都不相邻的排法有种（8）甲乙之间有且只有 4 人的排法有种【解析】（1）甲站正中间的排法有 8！，甲不站在正中间的排法有8 8！；（2）甲、乙相邻的排法有28！，甲乙丙三人在一起的排法有67！；（3）甲站在乙前的排法有192！，甲站在乙前，乙站在丙前（不要求一定相邻）的排法有196！，丙在甲乙之间（不要求一定相邻）的排法有193！；（4）甲乙不站两头的排法有2777A A；甲不站排头，乙不站排尾的排法有 9！2 8！7！；（5）5 名男生站在一起，4 名女生站在一起的排法有25！4！；（6）女生互不相邻的排法有 5！46A；男女相间的排法有 5！4！；（7）甲与乙、丙都不相邻的排法有 9！2 8！227！；（8）甲乙之间有且只有 4 人的排法，捆绑法4724A！故答案为：（1）8！，8 8！（2）28！，67！（3）192！，196！，193！；（4）2777A A；9！2 8！7！；（5）25！4！；（6）5！46A，5！4！2（7）9！2 8！227！；（8）4724A！例 13古代“五行”学说认为：“物质分金、木、土、水、火五种属性，金克木，木克土，土克水，水克火，火克金”将五种不同属性的物质任意排成一列，但排列中属性相克的两种物质不相邻，则这样的排列方法有10种（结果用数值表示）【解析】由题意，可看作五个位置排列五种事物，第一位置有五种排列方法，不妨假设排上的是金，则第二步只能从土与水两者中选一种排放，故有两种选择不妨假设排上的是水，6第三步只能排上木，第四步只能排上火，第五步只能排上土，故总的排列方法种数有52 1 1 110 故答案为 10例 14从集合P，Q，R，S与0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中各任取 2 个元素排成一排（字母和数字均不能重复）、每排中字母Q和数字 0 至多只能出现一个的不同排法种数是5832（用数字作答）、【解析】各任取 2 个元素排成一排（字母和数字均不能重复），共有2244104C C A；每排中字母Q和数字 0 都出现有114394C C A符合题意不同排法种数是22411441043945832C C AC C A故答案为：5832例 15从集合O，P，Q，R，S与0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中各任取 2 个元素排成一排（字母和数字均不能重复）每排中字母O，Q和数字 0 至多只能出现一个的不同排法种数是8424（用数字作答）【解析】由题意知每排中字母O，Q和数字 0 至多只能出现一个，本题可以分类来解（1）这三个元素只选O，有123943 3624C C A （2）这三个元素只选Q同理有33624（3）这三个元素只选 0 有2143943 924C C A （4）这三个元素O Q0 都不选 有2243943 3624C C A 根据分类计数原理将（1）（2）（3）（4）加起来3 36243 36243 9243 36248424 故答案为：8424例 16两部不同的长篇小说各由第一、二、三、四卷组成，每卷 1 本，共 8 本将它们任意地排成一排，左边 4 本恰好都属于同一部小说的概率是135（结果用分数表示）【解析】由题意知本题是一个古典概型，总事件数是 8 本书全排列有88A种方法，而符合条件的事件数要分为二步完成：7首先两套中任取一套，作全排列，有1424C A种方法；剩下的一套全排列，有44A种方法；概率为：14424488135C A AA，故答案为：135例 17三个女生和五个男生排成一排（1）如果女生必须全排在一起，可有多少种不同的排法？（2）如果女生必须全分开，可有多少种不同的排法？（3）如果两端都不能排女生，可有多少种不同的排法？（4）如果两端不能都排女生，可有多少种不同的排法？（5）甲必须在乙的右边，可有多少种不同的排法？【解析】（1）因为三个女生必须排在一起，所以可以先把她们看成一个整体，这样同五个男生合在一起共有六个元素，排成一排有66A种不同排法对于其中的每一种排法，三个女生之间又都有33A种不同的排法，因此共有63634A A 320 种不同的排法（2）要保证女生全分开，可先把五个男生排好，每两个相邻的男生之间留出一个空位，这样共有四个空位，加上两端两个男生外侧的两个位置，共有六个位置，再把三个女生插入这六个位置中，只要保证每个位置至多插入一个女生，就能保证任意两个女生都不相邻由于五个男生排成一排有55A种不同的排法，对于其中任意一种排法，从上述六个位置中选出三个来让三个女生插入都有36A种方法，因此共有535614A A 400 种不同的排法（3）因为两端不能排女生，所以两端只能挑选五个男生中的两个，有25A种排法，对于其中的任意一种排法，其余六位都有66A种排法，所以共有25A6614A 400 种不同的排法（4）三个女生和五个男生排成一排有88A种排法，从中扣去两端都是女生的排法2636A A种，就能得到两端不都是女生的排法种数，因此共有82683636AA A000 种不同的排法（5）甲必须在乙的右边即为所有排列的221A，因此共有8822120AA160 种不同的排法例 18三个女生和五个男生排成一排8（1）如果女生须全排在一起，有多少种不同的排法？（2）如果女生必须全分开，有多少种不同的排法？（3）如果两端都不能排女生，有多少种不同的排法？（4）如果男生按固定顺序，有多少种不同的排法？（5）如果三个女生站在前排，五个男生站在后排，有多少种不同的排法？【解析】（1）女须全排在一起，把3个女生捆绑在一起看做一个复合元素，再和5个男生全排，故有36364320A A 种；（2）女生必须全分开，先排男生形成了 6 个空中，插入 3 名女生，故有535614400A A 种；（3）两端都不能排女生，从男生中选 2 人排在两端，其余的全排，故有265614400A A 种；（4）男生按固定顺序，从8个位置中，任意排3个女生，其余的5个位置男生按照固定顺序排列，故有38336A 种，（5）三个女生站在前排，五个男生站在后排，3535720A A 种例 19三个女生和四个男生排成一排（1）如果女生必须全排在一起，有多少种不同的排法？（2）如果女生必须全分开，有多少种不的排法？（3）如果两端都不能排女生，有多少种不同的排法？（4）如果两端不能都排女生，有多少种不同的排法？（5）如果最高的站中间，两边均按从高到低排列，有多少种不同的排法？（6）如果四个男同学按从高到低排列，有多少种不同的排法？【解析】（1）根据题意，用捆绑法，3 名女生看为一个整体，考虑其顺序有33A种情况，再将其与 4 名男生进行全排列，有55A种情况，则共有5353720AA种排法；（2）用插空法，先将 4 名男生全排列，有44A种情况，排好后，有 5 个空位，在其中任选 3 个，安排 3 名女生，有35A种情况，则共有43451440A A 种排法；9（3）在 4 名男生中任取 2 人，安排在两端，有242C种情况，再将剩余的 5 人安排在中间的 5 个位置，有55A种情况，则共有254521440CA种排法；（4）用排除法，7 人进行全排列，有77A种排法，两端都站女生，即先在 3 名女生中任取 2 人，再将剩余的 5 人安排在其他 5 个位置，有2535AA种站法，则共有7257354320AA A种排法；（5）只需将最高的人放在中间，在剩余的 6 人中任取 3 人放在左边，其他的 3 人放在右边，由于顺序固定，则左右两边只有一种排法，则有3620C 种排法；（6）先在 7 个位置中安排 3 名女生，有37A种排法，剩余 4 个位置安排 4 名男生，有 2 种情况，则有372420A 种排法例 20现有 8 个人(5男 3 女）站成一排（1）女生必须排在一起，共有多少种不同的排法？（2）其中甲必须站在排头有多少种不同排法？（3）其中甲、乙两人不能排在两端有多少种不同的排法？（4）其中甲、乙两人不相邻有多少种不同的排法？（5）其中甲在乙的左边有多少种不同的排法？（6）其中甲乙丙不能彼此相邻，有多少种不同排法？（7）男生在一起，女生也在一起，有多少种不同排法？（8）第 3 和第 6 个排男生，有多少种不同排法？（9）甲乙不能排在前 3 位，有多少种不同排法？(10)女生两旁必须有男生，有多少种不同排法？【解析】（1）根据题意，先将 3 名女生看成一个整体，考虑三人之间的顺序，有33A种情况，10将这个整体与 5 名男生全排列，有66A种情况，则女生必须排在一起的排法有3636A A种；（2）根据题意，甲必须站在排头，有 2 种情况，将剩下的 7 人全排列，有77A种情况，则甲必须站在排头有772A种排法；（3）根据题意，将甲乙两人安排在中间 6 个位置，有26A种情况，将剩下的 6 人全排列，有66A种情况，则甲、乙两人不能排在两端有2666A A种排法；（4）根据题意，先将出甲乙之外的 6 人全排列，有66A种情况，排好后有 7 个空位，则 7 个空位中，任选 2 个，安排甲乙二人，有27A种情况，则甲、乙两人不相邻有2676A A种排法；（5）根据题意，将 8 人全排列，有88A种情况，其中甲在乙的左边与甲在乙的右边的情况数目相同，则甲在乙的左边有8812A种不同的排法；（6）根据题意，先将出甲乙丙之外的 5 人全排列，有55A种情况，排好后有 6 个空位，则 6 个空位中，任选 3 个，安排甲乙丙三人，有36A种情况，其中甲乙丙不能彼此相邻有5356A A种不同排法；（7）根据题意，先将 3 名女生看成一个整体，考虑三人之间的顺序，有33A种情况，再将 5 名男生看成一个整体，考虑 5 人之间的顺序，有55A种情况，将男生、女生整体全排列，有22A种情况，则男生在一起，女生也在一起，有235235A A A种不同排法；（8）根据题意，在 5 个男生中任选 2 个，安排在第 3 和第 6 个位置，有222525C AA种情况，11将剩下的 6 人全排列，有66A种情况，则第 3 和第 6 个排男生，有2656A A种不同排法；（9）根据题意，将甲乙两人安排在后面的 5 个位置，有25A种情况，将剩下的 6 人全排列，有66A种情况，甲乙不能排在前 3 位，有2656A A种不同排法？(10)根据题意，将 5 名男生全排列，有55A种情况，排好后除去 2 端有 4 个空位可选，在 4 个空位中任选 3 个，安排 3 名女生，有34A种情况，则女生两旁必须有男生，有5354A A种不同排法例 21已知有 7 名同学排队照相：（1）若排成两排照，前排 4 人，后排 3 人，有多少种不同的排法？（2）若排成两排照，前排 4 人，后排 3 人，甲必须在前排，乙丙必须在同一排，有多少种不同的排法？（3）若排成一排照，甲、乙必须相邻，且不站两端，有多少种不同的排法？（4）若排成一排照，7 人中有 4 名男生，3 名女生，男女相间，有多少种不同的排法？（5）若排成一排照，7 人中有 4 名男生，3 名女生，如果两端不能都排男生，有多少种不同的排法？（6）若排成一圈，有多少种不同的排法？【解析】有 7 名同学排队照相：（1）若徘成两排照，前徘 4 人，后排 3 人，有43735040A A 种方法（2）若徘成两排照，前排 4 人，后排 3 人，甲必须在前排，乙丙必须在同一排，若乙、丙在前排，则从除了甲、乙、丙外的 4 人中再选一人放到前排，其余的在后排，方法有143443576A A A 种，若乙、丙在后排，从除了甲、乙、丙外的 4 人中再选一人放到后排，其余的人在前排，方法有134434576A A A 种，故共有5765761152种方法（3）若排成一排照，甲、乙必须相邻，且不站两端，则采用插空法，将其余的 5 人排好，5 人中间有 4 个空，把甲乙当做一个整体插入，方法有251254960A A A 种12（4）若徘成一排照，7 人中有 4 名男生，3 名女生，男女相间，先排 4 名男生，4 名男生中间有 3 个空，插入 3 名女生，有4343144A A 种的排法（5）若排成一排照，7 人中有 4 名男生，3 名女生，如果两端不能都排男生，若两端都是男生，方法有25451440A A 种，而所有的方法有775040A 种，故两端不能都排男生的排法有504014403600种（6）若排成一圈，即弯曲排成一排，有777207A种不同的排法例 22甲、乙、丙、丁、戊 5 人排成一排拍照（1）甲必须排在中间，有多少种不同的排法？（2）丁不能排在中间，有多少种不同的排法？（3）丙、丁必须排在两端，有多少种不同的排法？（4）甲、乙两人都不能排在首末两个位置，有多少种不同的排法？（5）甲不能站排头，乙不能站排尾，有多少种不同的排法？【解析】（1）甲排中间，其他任意排列，有4424A 种；（2）丁不能排在中间，先排丁有144C 种排法，然后其他任意排有4424A 种，所以丁不能排在中间共有42496种；（3）丙、丁必须排在两端：先排丙丁有222A，其他任意排列有336A 种，所以丙、丁必须排在两端共有2612种；（4）甲、乙两人都不能排在首末两个位置有，先排甲乙有236A 种，其他任意排列有336A 种，所以甲、乙两人都不能排在首末两个位置共有6636种；（5）甲不能站排头，乙不能站排尾，分为两类，甲在排尾，其他任意排列有4424A 种，13甲不在排尾，甲有133C 种，然后乙有133C 种，其他任意排列有336A 种，所以甲不能站排头，乙不能站排尾共有2433678 种例 237 位同学站一排（1）站成两排（前 3 后4)，共有多少种不同的排法？（2）其中甲站正中间的位置，共有多少种不同的排法？（3）甲、乙只能站在两端的排法共有多少种？（4）甲不排头，乙不排尾的排法共有多少种？（5）甲、乙两同学必须相邻的排法共有多少种？（6）甲、乙两同学必须相邻，而且丙不能站在排头和排尾的排法有多少种？（7）甲、乙两同学不能相邻的排法共有多少种？（8）甲、乙、丙三个同学都不能相邻的排法共有少种？（9）甲、乙、丙三个同学不都相邻的排法共有多少种？(10)甲、乙相邻且与丙不相邻的排法共有多少种？(11)甲必须站在乙的左边的不同排法共有多少种？【解析】7 位同学站一排，（1）站成两排（前 3 后4)，共有多少种不同的排法，此没有限制条件是全排列问题，故排法种数是77A种；（2）其中甲站正中间的位置，共有多少种不同的排法，此问题是甲定位置的排法，相当于六个元素全排，故排法种数是66A种；（3）甲、乙只能站在两端的排法共有多少种，此问题分两步解决，先排甲乙两人，再排其余五人，故排法种数是2525A A种；（4）甲不排头，乙不排尾的排法共有多少种，可由乙在排头与不在排头两种情况解答，乙在排头时有66A种，乙不排头，先排乙，有 5 种排法，再排第14一位，有 5 种排法，其他五人全排列，故总的排法种数是555 5A；（5）甲、乙两同学必须相邻的排法，可先将甲乙两人绑定，共22A种，将其看作一个元素与另五个元素全排列，有66A种，故共有2626A A种；（6）甲、乙两同学必须相邻，而且丙不能站在排头和排尾的排法计数，可先将甲乙两人绑定，共22A种，将其看作一个元素与除丙外四个元素全排列，再将丙插入它们隔开的空档中，共有251254A A A种；（7）甲、乙两同学不能相邻的排法可先将甲乙两人之外的五人全排列，再将两人插入隔开的六个空中，共有5256AA种；（8）甲、乙、丙三个同学都不能相邻的排法计数，可先将甲乙丙外的四个人进行全排列，再将三人分别插入隔开的五个空档中，故共有4345A A种；（9）甲、乙、丙三个同学不都相邻的排法共有多少种，可通过排除法计数，从七人的全排列数中减去三人相邻的排法种数，共有735735AA A种；(10)甲、乙相邻且与丙不相邻的排法共有多少种的计数，可先将甲乙绑定，然后看作一个元素将之与丙分别插入另外四个元素隔开的空档中，故共有242245A A A种？(11)甲必须站在乙的左边的不同排法共有多少种的计数，可这样考虑，甲在乙左与甲在乙右种数是一样的，所以共有7712A种排法例 246 位同学站在一排照相，按下列要求，各有多少种不同排法？甲、乙必须站在排头或排尾甲、乙丙三人相邻甲、乙、丙三人互不相邻甲不在排头，乙不在排尾若其中甲不站在左端，也不与乙相邻【解析】甲、乙必须站在排头或排尾，则有424248A A 种不同排法；甲、乙、丙三人相邻，则有4343144A A 种不同排法；甲、乙、丙三人互不相邻，则有3334144A A 种不同排法；15甲不在排头，乙不在排尾，则有6546542264AAA种不同排法；6 个人站成一排，有66A种，甲在左端的有55A种，甲和乙相邻的有5252A A种，甲既在左端也和乙相邻的有44A，所以甲不在左端也不和乙相邻，则不同的排法共有6552465524384AAA AA种例 25（1）一条长椅上有 9 个座位，3 个人坐，若相邻 2 人之间至少有 2 个空椅子，共有几种不同的坐法？（2）一条长椅上有 7 个座位，4 个人坐，要求 3 个空位中，恰有 2 个空位相邻，共有多少种不同的坐法？【解析】（1）先将 3 人（用表示）与 4 张空椅子（用表示）排列如图()，这时共占据了 7 张椅子，还有 2 张空椅子，第一种情况是分别插入两个空位，如图中箭头所示()，即从 4 个空当中选 2 个插入，有24C种插法；二是 2 张插入同一个空位，有14C种插法，再考虑 3 人可交换有33A种方法，所以，共有321344()60A CC（种)（2）可先让 4 人坐在 4 个位置上，有44A种排法，再让 2 个“元素”（一个是“两个相邻空位”，另一个“单独的空位”)插入 4 个人形成的 5 个“空当”之间，有25A种插法，所以所求的坐法数为4245480A A 例266 个人坐在一排 10 个座位上，问（1）空位不相邻的坐法有多少种？（2）4 个空位只有 3 个相邻的坐法有多少种？（3）4 个空位至多有 2 个相邻的坐法有多少种？【解析】6 个人排有66A种，6 人排好后包括两端共有 7 个“间隔”可以插入空位（1）空位不相邻相当于将 4 个空位安插在上述个“间隔”中，有4735C 种插法，故空位不相邻的坐法有646725200A C 种（2）将相邻的 3 个空位当作一个元素，另一空位当作另一个元素，往 7 个“间隔”里插16有27A种插法，故 4 个空位中只有 3 个相邻的坐法有626730240A A 种（3）4 个空位至多有 2 个相邻的情况有三类：4 个空位各不相邻有47C种坐法；4 个空位 2 个相邻，另有 2 个不相邻有1276C C种坐法；4 个空位分两组，每组都有 2 个相邻，有27C种坐法综合上述，应有6412267767()115920A CC CC种坐法