2024年高考数学专项三角函数与解三角形大题基础练（解析版）.pdf

2024三角函数与解三角形大题基础练-新高考数学复习分层训练（新高考通用）2024三角函数与解三角形大题基础练-新高考数学复习分层训练（新高考通用）1（2023云南昆明云南昆明昆明一中校考模拟预测）昆明一中校考模拟预测）在ABC 中，内角A,B,C 对应的边分别为a,b,c，已知a cos B =3bsin A（1）求B；（2）若3a，3c，求b的值2（2023江苏江苏统考一模）统考一模）在ABC中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，1sin23tan2 cos2ABA.(1)若34C，求tan B的值；(2)若AB，2c，求ABC的面积.3（2023辽宁葫芦岛辽宁葫芦岛统考一模）统考一模）在ABC中，角,A B C所对的边分别为,a b csinsinsinABABAC，角A的角平分线交BC于点D，且3b，6c(1)求角A的大小；(2)求线段AD的长4（2023安徽安庆安徽安庆统考二模）统考二模）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，2 sintan2AbCa.(1)若角6B，求角A的大小；(2)若4a，1cos28A，求b.5（2023安徽合肥安徽合肥校考一模）校考一模）在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，其面积为 S，且（ca）（c+a）+abcosC2 33S.（1）求角 A 的大小；（2）若 4cosBcosC1，且 a23，求 S 的值.6（2023湖南长沙湖南长沙雅礼中学校考模拟预测）雅礼中学校考模拟预测）已知锐角三角形 ABC 中角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，3sincoscabCC.(1)求 B；(2)若2a，求 c 的取值范围.7（2023山东山东烟台二中校联考模拟预测）烟台二中校联考模拟预测）已知平面四边形 ABCD 中，ABCD，3BCAD，2BADBCD(1)求ABC；(2)若4CD，ABDADB，求四边形 ABCD 的面积8（2023安徽滁州安徽滁州校考一模）校考一模）在ABC中，2226.2bcbca（1）求cos A的值；（2）若2BA，6b，求a的值.9（2023山东菏泽山东菏泽统考一模）统考一模）如图,在平面四边形ABCD中,(0),1ABCABBCCD,ACCD.(1)试用表示BD的长;(2)求22ACBD的最大值.10（2023江苏江苏统考一模）统考一模）在ABC中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，2sincoscbAA.(1)若sin10sinBC，求sin A的值；(2)在下列条件中选择一个，判断ABC是否存在，如果存在，求b的最小值；如果不存在，说明理由.ABC的面积21S；4 2bc；222abc.11（2023云南红河云南红河弥勒市一中校考模拟预测弥勒市一中校考模拟预测）如图，在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，AB6，2 3AC，2 6BC，点 D 在边 BC 上，且ADC60(1)求 cosB 与ABC 的面积；(2)求线段 AD 的长12（2023湖南株洲湖南株洲统考一模）统考一模）如图，在平面四边形ABCD中，90,60,2 3,4DABDCBABCABAD.(1)求cosDBC的值；(2)求AC的长度.13（2023湖南永州湖南永州统考二模）统考二模）已知ABC的内角,A B C的对边分别为,a b c，且向量2,mba c与向量cos,cosnAC共线.(1)求C；(2)若3,cABC的面积为32，求ab的值.14（2023江苏连云港江苏连云港统考模拟预测）统考模拟预测）已知ABC的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且2sinsincostanCBBA(1)求A;(2)若coscos2 3sin3sinACBacC,求ABC外接圆的半径 R15（2023江苏泰州江苏泰州泰州中学校考一模）泰州中学校考一模）ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知sinsinbCABa.(1)求A；(2)设2a，当2bc的值最大时，求ABC 的面积16（2023广东东莞广东东莞校考模拟预测）校考模拟预测）已知函数 53sin22sincos644f xxxx.(1)求 fx的最小正周期及对称轴方程；(2),4 6x 时，g xaf xb的最大值为7，最小值为1，求a，b的值.17（2023云南昆明云南昆明昆明一中校考模拟预测）昆明一中校考模拟预测）在平面四边形 ABCD 中，3ABD，4AB，2 3AD，对角线 AC 与 BD 交于点 E，且2AEEC，DEEB.(1)求 BD 的长；(2)求cosADC的值.18（2023安徽淮北安徽淮北统考一模）统考一模）设ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinsinsinsincCbBCAaa，4b(1)求角B的大小(2)若4 63c，求ABC的面积19（2023山东济南山东济南一模）一模）已知函数22()2 3sincossincosf xxxxx(1)求()f x的单调递减区间；(2)ABC中内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，()2,3,2f Abc，求 A 的内角平分线AD的长20（2023辽宁阜新辽宁阜新校考模拟预测校考模拟预测）在ABC 中，角,A B C所对的边分别是,a b c，若4cos()2cos23BCA(1)求角 A 的大小；(2)若17,3 3abc，求ABC 的面积21（2023山西临汾山西临汾统考一模）统考一模）记ABC的内角,A B C的对边分别为,a b c，已知cos1cosaBbA.(1)证明：2AB；(2)若2,3cb a，求ABC的面积.22（2023浙江浙江校联考模拟预测校联考模拟预测）如图，在ABC中，D 为边 BC 上一点，3DC，5AD，7AC，DACABC.(1)求ADC的大小；(2)求ABC的面积.23（2023黑龙江黑龙江黑龙江实验中学校考一模）黑龙江实验中学校考一模）已知函数21()cos()3sin()cos()2f xxxx，其中0，且函数()f x的两个相邻零点间的距离为2，(1)求的值及函数()f x的对称轴方程；(2)在ABC中，a，b，c 分别是角 A，B，C 的对边，若()1,3f Aa，求ABC周长的取值范围24（2023安徽蚌埠安徽蚌埠统考二模统考二模）已知ABC的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，3b，ac，且1sincos364AA(1)求 A 的大小；(2)若sinsin4 3sinaAcCB，求ABC的面积25（2023安徽合肥安徽合肥统考一模）统考一模）已知ABC的内角 A，B，C 所对边的长分别为 a，b，c，且222220bca(1)若1tan3C，求 A 的大小；(2)当A C取得最大值时，试判断ABC的形状26（2023湖南湖南模拟预测）模拟预测）在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若sincos6bAaB(1)求角 B 的大小；(2)若13b 且5ac，求ABC 的面积27（2023江苏南通江苏南通统考模拟预测统考模拟预测）在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，已知 b=4，且1cos2bCca.(1)求 B；(2)若 D 在 AC 上，且 BDAC，求 BD 的最大值.28（2023湖南张家界湖南张家界统考二模统考二模）记ABC的三个内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，sinsinsinsinaBCbBCcC.(1)求 A；(2)若2 5a，求ABC的面积的最大值.29（2023吉林吉林通化市第一中学校校联考模拟预测）通化市第一中学校校联考模拟预测）在ABC中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，3B(1)若bacaab，判断ABC的形状；(2)求1tantanAC的最大值30（2023山东聊城山东聊城统考一模）统考一模）在四边形ABCD中，/AB CD(1)证明：sinsinADBADBCBCD；(2)若1AD，3AB，3BC，2BADBCD，求BCD外接圆的面积三角函数与解三角形大题基础练三角函数与解三角形大题基础练-新高考数学复习新高考数学复习分层训练（新高考通用）分层训练（新高考通用）1（2023云南昆明云南昆明昆明一中校考模拟预测）昆明一中校考模拟预测）在ABC中，内角,A B C对应的边分别为,a b c，已知cos3 sinaBbA（1）求B；（2）若3a，3c，求b的值【答案】（1）6B；（2）3b【分析】（1）根据正弦定理边化角化简题中等式即可；（2）直接运用余弦定理即可求解.【详解】（1）在ABC中，由正弦定理得2 sin,2 sinaRA bRB，因为cos3 sinaBbA，代入化简得sincos3sinsinABBA，因为(0,)A，所以sin0A，所以3tan3B，又因为(0,)B，所以6B.（2）在ABC中，由余弦定理得2222cosbacacB，代入数据解得23392333,32bb .2（2023江苏江苏统考一模）统考一模）在ABC中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，1sin23tan2 cos2ABA.(1)若34C，求tan B的值；(2)若AB，2c，求ABC的面积.【答案】(1)1tan3B(2)33【分析】（1）根据三角恒等变换可得tan2tan24AB，结合条件可得关于tan B的方程，进而即得；（2）根据条件可得3tan3A，进而可得2 33ab，然后根据三角形面积的公式即得.【详解】（1）若34C，则4AB，因为1sin23tan2 cos2ABA，cos20A，所以222sincos1sin2sincostan1tancos2cossincossin1tan4AAAAAAAAAAAAA3tan2B，所以1tan3tan23tan22tanBBBB，解得1tan3B 或1，因为0,4B，所以1tan3B；（2）若AB，由tan3tan24AB，可得tan13tan21tanAAA，整理可得21tan3A，即3tan3A，因为0,2AB，所以3tan3A，6AB，所以23C，所以ABC是以 C 为顶角的等腰三角形，2 332cos6cab，所以ABC的面积为112 32 333sin223323SabC.3（2023辽宁葫芦岛辽宁葫芦岛统考一模）统考一模）在ABC中，角,A B C所对的边分别为,a b csinsinsinABABAC，角A的角平分线交BC于点D，且3b，6c(1)求角A的大小；(2)求线段AD的长【答案】(1)3A(2)2 3【分析】（1）由两角和与差公式化简求角即可；（2）利用面积公式列方程解出线段AD的长【详解】（1）在ABC中，由已知sinsinsinABABAC，可得：则有：sin coscos sinsin coscos sinsinABABABABB，即2cos sinsin0ABB又sin0B，即有1cos2A，而0,A，所以3A（2）在ABC中，由（1）知3A，因为AD为角A的角平分线，则有30BADCAD，由ABCABDACDSSS得：1113 6 sin606 sin303sin30222ADAD 解得2 3AD，所以线段AD的长为2 34（2023安徽安庆安徽安庆统考二模）统考二模）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，2 sintan2AbCa.(1)若角6B，求角A的大小；(2)若4a，1cos28A，求b.【答案】(1)23A(2)4 2b 或4 147b【分析】（1）根据题意，由正弦定理的边角互化结合三角恒等变换化简，即可得到结果；（2）根据题意，由余弦定理，代入计算即可得到结果.【详解】（1）由于2 sintan2AbCa，有sin22sinsinsincos2ABCAA，即2sincos222sinsinsincos2AABCAA，即2sinsinsinsin1cosBCAAA，且0,A，sin0A，则2sinsin1cosBCA，即2sinsin1cos()BCBC，所以cos()1BC，由于BC，且6B，故23A.（2）由（1）知.bc213cos22cos1,0,cos84AAAA 当A为锐角时，22222cos4,32,4 2.bbb bAbb 当A为钝角时，2222324 142cos4,.77bbb bAbb 5（2023安徽合肥安徽合肥校考一模校考一模）在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，其面积为 S，且（ca）（c+a）+abcosC2 33S.（1）求角 A 的大小；（2）若 4cosBcosC1，且 a23，求 S 的值.【答案】（1）3;（2）3 3【分析】（1）边化角即可；（2）通过角得关系求出B，进一步即可获解【详解】（1）222222 32 31()()cos,sin3232abcca caabCScaabbcAab222222221313sinsin2323caabcbcAbcabcA所以3cossin3AA，即tan3A 0A，3A（2）()coscos()cos(),ABCcABCABAB 31coscoscoscossinsinsincos33322CBBBBB 2314coscos4cossincos2cos2 3cossin22BCBBBBBB 1 cos23sin22sin 211sin 2166,BBBB 22702,2,3366 6623BCBBBB ABC 为等边三角形所以2113sin123 32322Sa6（2023湖南长沙湖南长沙雅礼中学校考模拟预测）雅礼中学校考模拟预测）已知锐角三角形 ABC 中角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，3sincoscabCC.(1)求 B；(2)若2a，求 c 的取值范围.【答案】(1)3(2)1,4【分析】（1）利用正弦定理及正弦的两角和公式将3sincoscabCC，变形为sin3sinsincossinCBCBC，再化简可求解；（2）由2sin2sin31sinsinsinsintanABacCcACAAA，即可求解.【详解】（1）由3sincoscabCC及正弦定理得sinsin3sinsinsincosCABCBC，所以sin3sinsinsincossin3sinsincossinCBCBCBCBCBC，因为02C，所以sin0C，所以3sincos1BB，从而1sin62B.因为02B，所以66B，所以3B.（2）由正弦定理得sinsinacAC，所以2sin2sinsin3cos3cos311sinsinsinsintanABCAAAcAAAAA .因为ABC是锐角三角形，所以022032ACA，解得62A.因为tanyx在,6 2 上单调递增，所以3tan3A.从而303tan A，所以14c，即 c 的取值范围是1,4.7（2023山东山东烟台二中校联考模拟预测）烟台二中校联考模拟预测）已知平面四边形 ABCD 中，ABCD，3BCAD，2BADBCD(1)求ABC；(2)若4CD，ABDADB，求四边形 ABCD 的面积【答案】(1)150ABC(2)3 3【分析】(1)在ABD和BCD中，利用正弦定理和已知条件，建立等量关系：sinsinBADBCBCDAD，从而得到sin23sinBCDBCD，求出结果；(2)利用条件得到ABD为等边三角形，进而求出90DBC，再利用三角形面积公式即可求出结果.【详解】（1）如图，在ABD中，由正弦定理可得sinsinBDADBADABD，在BCD中，由正弦定理可得sinsinBDBCBCDBDC因为ABCD，所以ABDBDC，所以sinsinBADBCBCDAD而3BCAD，2BADBCD，故sin23sinBCDBCD，又sin2 BCD=2sin BCDcos BCD，所以得到3cos2BCD因为0180BCD，故30BCD，故150ABC（2）因为260BADBCD，且ABDADB，故ABADBD，ABD为等边三角形所以1506090DBCABCABD，因为4CD，30BCD，所以2BD，故梯形 ABCD 的面积1122 sin6024 sin603 322ABDBDCSSS 8（2023安徽滁州安徽滁州校考一模）校考一模）在ABC中，2226.2bcbca（1）求cos A的值；（2）若2BA，6b，求a的值.【答案】（1）6cos4A；（2）2.【分析】（1）利用余弦定理可求得cos A的值；（2）利用二倍角的正弦公式求出sinB的值，然后利用正弦定理可求得a的值.【详解】（1）因为在ABC中，22262bcabc，所以，2224c26622osbccabAcbbc；（2）由（1）知，02A，所以210sin1cos.4AA因为2BA，所以10615sinsin22sincos2444BAAA又因为6B，由正弦定理sinsinabAB，可得106sin42.sin154bAaB9（2023山东菏泽山东菏泽统考一模）统考一模）如图,在平面四边形ABCD中,(0),1ABCABBCCD,ACCD.(1)试用表示BD的长;(2)求22ACBD的最大值.【答案】(1)2cos4BD(2)254【分析】(1)根据已知条件将BCD用表示,再在BCD中利用余弦定理求解即可;(2)在ABC中先用余弦定理将2AC用表示,再结合(1)的结论,利用二次函数的性质求解最大值即可.【详解】（1）ABC（0）,1ABBCCD,ACCD,22BCA，则(),22222BCDBCA在BCD中,222222cos22cos2 12cos14cos,244BDBCCDBC CDBCD0,cos04,则2cos4BD.（2）在ABC中,2222cos22cos,ACABBCAB BCABC222212522cos22cos4cos2cos64 cos,222244ACBD 0,0cos1,2则当1cos24时,取到最大值254.故22ACBD的最大值是25.410（2023江苏江苏统考一模）统考一模）在ABC中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，2sincoscbAA.(1)若sin10sinBC，求sin A的值；(2)在下列条件中选择一个，判断ABC是否存在，如果存在，求b的最小值；如果不存在，说明理由.ABC的面积21S；4 2bc；222abc.【答案】(1)45(2)答案见解析【分析】（1）在ABC中用正弦定理将边转化为角化简，再根据同角的平方关系，结合角A的范围即可得出结果；（2）选，根据面积公式结合题中等式可建立关于,sinbA的等式，根据等式求出b的最小值以及最小值时ABC的边和角即可判断ABC是否存在；选，将4 2bc 带入题中等式可建立关于,sinbA的等式，进而求得b的最小值以及最小值时ABC的边和角即可判断ABC是否存在；选，根据222abc可知ABC为直角三角形且2C，,A B互余，结合正弦定理代入题中等式进行化简可得52sin 24A，显然不成立，可得结果.【详解】（1）解：因为sin10sinBC，在ABC中由正弦定理可得10bc，代入2sincoscbAA可得：1sincos5AA，又22sincos1AA，所以4sin5A 或3sin5A ，又因为0,A，所以sin0A，故4sin5A；（2）选，因为1sin212SbcA，所以sin221bcA，所以2sin421bcA，因为2sincoscbAA，所以2sincossin421bAAA，所以22421821sincossin2sin2sincosbAAAAAA8218211 cos2sin212 sin 24AAA，因为2sincos0cbAA，所以4A，所以3 92,444A，所以当3242A，即58A 时，2min 8b，min 2 2b，此时58A，2 2b，32sin8c，所以ABC存在.选，因为2sincoscbAA，4 2bc，所以2sincos8 2bAA.所以28 28 2sincos2sin4bAAA，因为2sincos0cbAA，所以4A，所以当42A，即34A时，2min8b，min2 2b，此时34A，2 2b，2c，所以ABC存在.选，因为 C 为直角，所以 A，B 互余，且sin1C，由2sincoscbAA，在ABC中由正弦定理代入可得：2sinsinsincosCBAA1cossincossin21 cos22AAAAA，化简可知4sin152sin 224CA，等式矛盾，故这样的ABC不存在.11（2023云南红河云南红河弥勒市一中校考模拟预测弥勒市一中校考模拟预测）如图，在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，AB6，2 3AC，2 6BC，点 D 在边 BC 上，且ADC60(1)求 cosB 与ABC 的面积；(2)求线段 AD 的长【答案】(1)63；6 2(2)4【分析】（1）利用余弦定理222cos2acbBac和面积公式1=sin2ABCSacB，代入求解，（2）在ABD 中利用正弦定理sinsinADABDABADB，代入计算【详解】（1）根据题意得：2222222 6cos62 36232 2 66Bacbac，则3sin3B ABC 的面积1=sin132 666 2223ABCSacB（2）ADC60，则120ADB在ABD 中由正弦定理sinsinADABDABADB，可得n4sinsiABADABDADB12（2023湖南株洲湖南株洲统考一模）统考一模）如图，在平面四边形ABCD中，90,60,2 3,4DABDCBABCABAD.(1)求cosDBC的值；(2)求AC的长度.【答案】(1)3 2114(2)21【分析】（1）由勾股定理得到2 7BD，从而求出sin,cosABDABD，再利用余弦差角公式进行计算；（2）先求出cos3 3BCBDDBC，再利用余弦定理求出答案.【详解】（1）在ABD中，由勾股定理得222 7BDABAD，2 721sin,cos77ADABABDABDBDBD，coscos 60cos60 cossin60 sinDBCABDABDABD12132 73 21272714；（2）因为90DCBo，所以cos3 3BCBDDBC，在ABC中，由余弦定理得：222cos21.ACABBCAB BCABC13（2023湖南永州湖南永州统考二模）统考二模）已知ABC的内角,A B C的对边分别为,a b c，且向量2,mba c与向量cos,cosnAC共线.(1)求C；(2)若3,cABC的面积为32，求ab的值.【答案】(1)3C(2)3ab【分析】（1）由向量共线列出等式，用正弦定理和两角和的正弦公式化简，可求得角C；（2）由面积公式解出ab的值，再由余弦定理解得ab的值.【详解】（1）向量2,mba c与向量cos,cosnAC共线，有2coscosbaCcA，由正弦定理得2sin cossincossin cosBCACCA，2sin cossincoscos sinsinsin sinBCACACACBB，由0B，sin 0，2cos1C，1cos2C，又0C，3C.（2）由（1）知3C，3sin2C，1cos2C，1133sin2222ABCSabCab，得2ab，由余弦定理：22222cos3cababCabab，236ab，解得3ab.14（2023江苏连云港江苏连云港统考模拟预测）统考模拟预测）已知ABC的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且2sinsincostanCBBA(1)求A;(2)若coscos2 3sin3sinACBacC,求ABC外接圆的半径 R【答案】(1)3A(2)12【分析】(1)将tan A写为sincosAA代入化简可得1cos2A,根据0,A,即可得A;(2)由正、余弦定理可将coscos2 3sin3sinACBacC化简为2222222 3223bcaabcbabcabcc,进一步化简可得32a,结合3A,再根据正弦定理即可得外接圆半径.【详解】（1）解:因为2sinsincostanCBBA,所以sin2sinsincoscosACBBAsincoscossincosBABAAsinsincoscosBACAA,所以2sincossinCAC,因为0,C,所以sin0C,所以1cos2A,又0,A,所以3A;（2）因为coscos2 3sin3sinACBacC,所以在ABC中,由正、余弦定理得:2222222 3223bcaabcbabcabcc,所以222 323bbbabcacc,故32a,由正弦定理2sinaRA得12R,所以ABC外接圆半径为12.15（2023江苏泰州江苏泰州泰州中学校考一模）泰州中学校考一模）ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知sinsinbCABa.(1)求A；(2)设2a，当2bc的值最大时，求ABC 的面积【答案】(1)4(2)125【分析】（1）由正弦定理，三角形内角和和三角函数公式化简等式，即可得出A.（2）根据正弦定理将2bc转化为关于B的三角函数式，利用三角变换和正弦函数的性质可求其最值，从而求出,b c，即可求出ABC 的面积【详解】（1）由题意在ABC 中，sinsinbCABa，ABC，由正弦定理得，sinsinbBaAsinsinsinsinbCABaABCbBaA，整理得到sin2cossinsinBABA，而B为三角形内角，故sin0B，故sin21A，而20,2A，故22A 即4A.（2）由题意及（1）得在ABC 中，2a，4A，故外接圆直径22 2sin4aR，故22 sin22 sin2 2 sin2sin4bcRBRCBB2 2 sinsincos2 2 2sincosBBBBB，2 10sin B，其中2 55cos,sin55，且0,2，因为30,4B，故3,4B，而33 5,444，故sin B的最大值为 1，此时2B，故2 5sincos5B，5cossin5B，故2 54 102 255b，且223 53 10sinsinsincos422510CBBB故3 106 52 2105c，此时114 106 5212sin225525ABCSbcA.16（2023广东东莞广东东莞校考模拟预测）校考模拟预测）已知函数 53sin22sincos644f xxxx.(1)求 fx的最小正周期及对称轴方程；(2),4 6x 时，g xaf xb的最大值为7，最小值为1，求a，b的值.【答案】(1)最小正周期为T，对称轴方程为23kx，k Z(2)4a，5b 或4a ，3b【分析】（1）使用两角和差的正余弦公式、二倍角公式、辅助角公式进行化简后，即可求得最小正周期和对称轴方程；（2）结合正弦函数的图象和性质，分别对0a 和a0两种情况进行讨论即可.【详解】（1）53sin22sincos644f xxxx132222cos2sin22sincoscossin222222xxxxxx 13cos2sin2sincoscossin22xxxxxx2213cos2sin2cossin22xxxx13cos2sin2cos222xxx31sin2cos222xxsin 26x sin 26f xx，则 fx的最小正周期为22T，sinyx的对称轴为直线+2xk，k Z，由262xk，k Z，解得23kx，k Z，fx的对称轴方程为23kx，k Z.（2）si2()(n6)xbg xaf xba，,4 6x，2,2 3x，2 2,636x，1sin(2)1,62x，当0a 时，g xaf xb的最大值为12ab，最小值为ab，由1721abab，解得45ab，当a0时，g xaf xb的最大值为ab，最小值为12ab，由7112abab，解得43ab，综上所述，4a，5b 或4a ，3b.17（2023云南昆明云南昆明昆明一中校考模拟预测）昆明一中校考模拟预测）在平面四边形 ABCD 中，3ABD，4AB，2 3AD，对角线 AC 与 BD 交于点 E，且2AEEC，DEEB.(1)求 BD 的长；(2)求cosADC的值.【答案】(1)2(2)2 77【分析】(1)利用正弦定理可直接求出ADB，再利用勾股定理可得结果.(2)根据已知条件和第一问的结论可求出AC和DAC的余弦值，再结合余弦定理求出CD，进而求出ADC的余弦值.【详解】（1）在ABD中，由正弦定理得sinsin ABDABADADB，所以42 3sin32ADB，所以sin1ADB，又因为0ADB，所以2ADB，所以222ABBDAD（2）在ADE中，112DEBD，因为2ADE，所以2213AEDEAD，2 39cos13ADDAEAE，在ACD中，33 1322ACAE，2 3AD，2 39cos13DAC，所以222212cos4CDADACAD ACDAC，所以212CD，所以2222 7cos27ADCDACADCAD CD 18（2023安徽淮北安徽淮北统考一模）统考一模）设ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinsinsinsincCbBCAaa，4b(1)求角B的大小(2)若4 63c，求ABC的面积【答案】(1)3B(2)4 343+【分析】（1）利用正弦定理将角化边，再由余弦定理计算可得；（2）由正弦定理求出C，即可得到A，再由两角和的正弦公式求出sin A，最后由面积公式计算可得.【详解】（1）解：因为sinsinsinsincCbBCAaa，由正弦定理可得22cbcaaa，即222acbac，则2221cos22acbBac，又0,B，所以3B（2）解：因为4b，3B，4 63c，由sinsinbcBC，得4 643sinsin3C，即34 6223sin42C，又20,3C，所以4C，则53412A，所以5sinsinsinsincoscossin12464646A23216222224，所以114 6624 3sin4422343ABCSbcA 19（2023山东济南山东济南一模）一模）已知函数22()2 3sincossincosf xxxxx(1)求()f x的单调递减区间；(2)ABC中内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，()2,3,2f Abc，求 A 的内角平分线AD的长【答案】(1)5,(Z)36kkk(2)635【分析】（1）利用倍角公式和辅助角公式得到()2sin 26f xx，进而求出单调递减区间；（2）先求出3A，从而得到6BADCAD，由ABDACDABCSSS列出方程，求出AD的长.【详解】（1）因为22()2 3sin cossincos3sin2cos22sin 26f xxxxxxxx所以32 22 262kxk，Zk,解得536kxk，Zk,所以()f x的单调递减区间为5,36Zkkk（2）因为()2sin 226f AA，所以sin 216A因为(0,)A，所以11266,6A，所以262A，所以3A，故6BADCAD，由题意知，ABDACDABCSSS，所以111sinsinsin222AB ADBADAD ACCADAB ACBAC，即1112sin3sin2 3sin262623ADAD，所以635AD 20（2023辽宁阜新辽宁阜新校考模拟预测校考模拟预测）在ABC 中，角,A B C所对的边分别是,a b c，若4cos()2cos23BCA(1)求角 A 的大小；(2)若17,3 3abc，求ABC 的面积【答案】(1)3(2)5 36【分析】(1)根据诱导公式和二倍角的余弦公式求解；(2)利用余弦定理和面积公式求解.【详解】（1）因为2cos()cos()cos,cos22cos1BCAAAA，所以24cos4cos23AA 即24cos4cos10AA，解得1cos2A,又因为0,A，所以3A.（2）由余弦定理2222cosabcbcA可得2217bcbc，所以2()317bcbc解得103bc，所以15 3sin26ABCSbcA.21（2023山西临汾山西临汾统考一模）统考一模）记ABC的内角,A B C的对边分别为,a b c，已知cos1cosaBbA.(1)证明：2AB；(2)若2,3cb a，求ABC的面积.【答案】(1)证明见解析(2)32【分析】（1）由正弦定理边化角计算可得结果.（2）由余弦定理解三角形及三角形面积公式计算可得结果.【详解】（1）证明：由cos1cosaBbA及正弦定理得：sin cossin1cosABBA，整理得sinsinABB，.因为,0,A B，所以,AB，所以ABB或ABB，所以2AB或A（舍），所以2AB.（2）由cos1cosaBbA及余弦定理得:222222()(1)22a acbbcabacbc，整理得22abbc，又因为2,3cb a，可解得1,2bc，则222abc，所以ABC是直角三角形，所以ABC的面积为1322ab.22（2023浙江浙江校联考模拟预测校联考模拟预测）如图，在ABC中，D 为边 BC 上一点，3DC，5AD，7AC，DACABC.(1)求ADC的大小；(2)求ABC的面积.【答案】(1)120(2)245312【分析】（1）利用余弦定理，即可求得本题答案；（2）结合正弦定理和三角形的面积公式，逐步求解，即可得到本题答案.【详解】（1）在ADC中，2222223571cos22 3 52ADDCACADCAD DC ，又0180ADC ，所以120ADC；（2）在ADC中，sinsinDCACDACADC，则sin3 3sin14DCADCDACAC，因为DACABC，所以3 3sin14ABC，在ABD中，sinsinADABABCADB，则sin35sin3ADADBABABC，sinsin()sin60BADABCADBABC4 3sincos60cossin607ABCABC，在ABD中，因为sinsinADBDABCBAD，所以sin40sin3ADBADBDABC，则493BCBDDC，故1135493 3245sin322331412ABCSAB BCABC.23（2023黑龙江黑龙江黑龙江实验中学校考一模）黑龙江实验中学校考一模）已知函数21()cos()3sin()cos()2f xxxx，其中0，且函数()f x的两个相邻零点间的距离为2，(1)求的值及函数()f x的对称轴方程；(2)在ABC中，a，b，c 分别是角 A，B，C 的对边，若()1,3f Aa，求ABC周长的取值范围【答案】(1)1，对称轴方程为：26kxkZ；(2)(2 3,23.【分析】（1）根据降幂公式、辅助角公式，结合正弦型函数的零点性质、周期公式、对称轴方程进行求解即可；（2）根据正弦定理、辅助角公式、正弦型函数的单调性进行求解即可.【详解】（1）211 cos(2)3sin(2)1()cos()3sin()cos()2222xxf xxxx，sin 26f xx，因为函数()f x的两个相邻零点间的距离为2，所以函数()f x的最小正周期为22，因为0，所以212，即 sin 26f xx，令2ZZ6226kxkkxk，所以对称轴为26kxkZ；（2）由sin6(12)1Af A ，因为(0,)A，所以 13322(,)2666623AAA，因为3a，所以由正弦定理可知：322sin,2sinsinsinsin32abcbB cCABC，所以三角形的周长为32sin2sin32sin2sin3BCBB，31=3+2sin2cossin3cossin32sin3223BBBBBB，因为(0,)3B，所以 2(,)333B，因此3sin(,12sin3(2 3,23323BB，所以ABC周长的取值范围为(2 3,23.24（2023安徽蚌埠安徽蚌埠统考二模统考二模）已知ABC的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，3b，ac，且1sincos364AA(1)求 A 的大小；(2)若sinsin4 3sinaAcCB，求ABC的面积【答案】(1)6A(2)3 34【分析】（1）已知等式利用诱导