2024年高考数学专项复习排列组合12种题型归纳（解析版）.pdf

排列组合排列组合 12 种题型归纳种题型归纳1排列与组合的概念名称定义区别排列从 n 个不同元素中取出m(mn)个元素按照一定的顺序排成一列排列有序，组合无序组合合成一组2.排列数与组合数定义计算公式性质联系排列数从 n 个不同元素中取出m(mn)个元素的所有不同排列的个数，叫做从 n 个不同元素中取出m 个元素的排列数 用符号“Amn”表示Amnn(n1)(n2)(nm1)n！nm！(n，mN*，且 mn)(1)Annn！；(2)0！1CmnAmnm！组合数从 n 个不同元素中取出m(mn)个元素的所有不同组合的个数，叫做从 n 个不同元素中取出m 个元素的组合数 用符号“Cmn”表示Cmnnn1n2nm1m！n！m！nm！(n，mN*，且 mn)(1)CnnC0n1；(2)CmnCnmn；(3)Cmn1CmnCm1n【题型一】人坐座位模型【题型一】人坐座位模型 1：捆绑与插空：捆绑与插空【典例分析】【典例分析】1.有四男生，三女生站一排，其中只有俩个女生相邻:2.有四男生，4 女生站一排，女生若相邻，则最多 2 个女生相邻：2024年高考数学专项复习排列组合12种题型归纳（解析版）【变式变式演练】演练】1.在某班进行的歌唱比赛中，共有 5 位选手参加，其中 3 位女生，2 位男生如果 2 位男生不能连着出场，且女生甲不能排在第一个，那么出场顺序的排法种数为A30B36C60D722.某次联欢会要安排 3 个歌舞类节目、2 个小品类节目和 1 个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是（）A144B120C72D483.2021 年 4 月 15 日，是第六个全民国家安全教育日，教育厅组织宣讲团到某市的六个不同高校进行国家安全知识的宣讲，时间顺序要求是：高校甲必须排在第二或第三个，且高校甲宣讲结束后需立即到高校丁宣讲，高校乙高校丙的宣讲顺序不能相邻，则不同的宣讲顺序共有（）A28 种B32 种C36 种D44 种【题型【题型二二】人坐座位模型人坐座位模型 2：染色（平面）：染色（平面）【典例分析】【典例分析】如图为我国数学家赵爽（约 3 世纪初）在为周髀算经作注时验证勾股定理的示意图，现在提供 5 种颜色给其中 5 个小区涂色，规定每个区域只能涂一种颜色，相邻区域颜色不同，则 A、C 区域颜色不相同的概率是A.1/7b.2/7c.3/7D.4/7【变式变式演练】演练】1.正方体六个面上分别标有 A、B、C、D、E、F 六个字母，现用 5 种不同的颜色给此正方体六个面染色，要求有公共棱的面不能染同一种颜色，则不同的染色方案有（）种.A420B600C720D7802.如图，某伞厂生产的太阳伞的伞篷是由太阳光的七种颜色组成，七种颜色分别涂在伞篷的八个区域内，且恰有一种颜色涂在相对区域内，则不同颜色图案的此类太阳伞最多有（）.A40320 种B5040 种C20160 种D2520 种3.如图，用四种不同的颜色给图中的 A，B，C，D，E，F，G 七个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法有（）A192B336C600D以上答案均不对【题型【题型三三】人坐座位模型人坐座位模型 3：染色（空间）：染色（空间）:【典例分析】【典例分析】如图所示的几何体由三棱锥PABC与三棱柱111ABCABC组合而成，现用3种不同颜色对这个几何体的表面涂色(底面111ABC不涂色)，要求相邻的面均不同色，则不同的涂色方案共有（）A6种B9种C12种D36种【变式变式演练】演练】1.如图所示，将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，如果只有 5 种颜色可供使用，则不同的染色方法种数是()A420B210C70D352.在如图所示的十一面体ABCDEFGHI中，用3种不同颜色给这个几何体各个顶点染色，每个顶点染一种颜色，要求每条棱的两端点异色，则不同的染色方案种数为_3.用五种不同颜色给三棱台ABCDEF的六个顶点染色，要求每个点染一种颜色，且每条棱的两个端点染不同颜色.则不同的染色方法有_种.【题型【题型四四】书架插书模型书架插书模型【典例分析】【典例分析】有 12 名同学合影，站成了前排 4 人后排 8 人，现摄影师要从后排 8 人中抽 2 人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的种数是（）A168B260C840D560【变式变式演练】演练】1.从 A，B，C，D，a，b，c，d 中任选 5 个字母排成一排，要求按字母先后顺序排列（即按(),(),(),()A aB b C c D d先后顺序，但大小写可以交换位置，如AaBc或aABc都可以），这样的情况有_种（用数字作答）2.在一张节目表上原有 6 个节目，如果保持这些节目的相对顺序不变，再添加进去三个节目，求共有多少种安排方法3.书架上有排好顺序的 6 本书，如果保持这 6 本书的相对顺序不变，再放上 3 本书，则不同的放法共有（）.A210 种B252 种C504 种D505 种【题型【题型五五】球放盒子模型球放盒子模型 1：球不同，盒子也不同：球不同，盒子也不同【典例分析】【典例分析】已知有 5 个不同的小球，现将这 5 个球全部放入到标有编号 1、2、3、4、5 的五个盒子中，若装有小球的盒子的编号之和恰为 11，则不同的放球方法种数为（）A150B240C390D1440【变式变式演练】演练】1.将 5 个不同的小球放入 3 个不同的盒子，每个盒子至少 1 个球，至多 2 个球，则不同的放法种数有（）A30 种B90 种C180 种D270 种2.将编号分别为 1，2，3，4，5 的 5 个小球分别放入 3 个不同的盒子中，每个盒子都不空，则每个盒子中所放小球的编号奇偶性均不相同的概率为A17B16C625D7243.将 A，B，C，D 四个小球放入编号为 1，2，3 的三个盒子中，若每个盒子中至少放一个球且 A，B 不能放入同一个盒子中，则不同的放法种数为（）A15B30C20D42【题型【题型六六】球放盒子模型球放盒子模型 2：球相同，盒子不同：球相同，盒子不同【典例分析】【典例分析】把 1995 个不加区别的小球分别放在 10 个不同的盒子里，使得第i个盒子中至少有i个球（1,2,.,10i），则不同放法的总数是A101940CB91940CC101949CD91949C【变式变式演练】演练】1.将 7 个相同的球放入 4 个不同的盒子中，则每个盒子都有球的放法种数为（）A22B25C20D482.把 20 个相同的小球装入编号分别为的 4 个盒子里，要求号盒每盒至少 3 个球，号盒每盒至少 4 个球，共有种方法.A39CB319CC3494C AD143205C C3.将将 7 个相同的小球放入A，B，C三个盒子，每个盒子至少放一球，共有（）种不同的放法A60 种B36 种C30 种D15 种【题型【题型七七】相同元素排列模型相同元素排列模型 1：数字化法：数字化法【典例分析】【典例分析】如图，小明从街道的 E 处出发，先到 F 处与小红会合，再一起到位于 G 处的老年公寓才加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为A.24B.18C.12D.9【变式变式演练】演练】1.一只小蜜蜂位于数轴上的原点处，小蜜蜂每一次具有只向左或只向右飞行一个单位或者两个单位距离的能力，且每次飞行至少一个单位.若小蜜蜂经过 5 次飞行后，停在数轴上实数 3 位于的点处，则小蜜蜂不同的飞行方式有多少种？A5B25C55D752.跳格游戏：如图，人从格子外只能进入第 1 个格子，在格子中每次可向前跳 1 格或 2 格，那么人从格子外跳到第 8 个格子的方法种数为A8 种B13 种C21 种D34 种3.如图所示，甲乙两人同时出发，甲从点A到B，乙从点C到D，且每人每次都只能向上或向右走一格.则甲乙的行走路线没有公共点的概率为（）.A37B57C514D1321【题型【题型八八】相同元素排列模型相同元素排列模型 2：空车位停车等：空车位停车等【典例分析】【典例分析】1.某单位有 8 个连在一起的车位，现有 4 辆不同型号的车需要停放，如果要求剩余的 4 个车位中恰好有 3 个连在一起，则不同的停放方法的种数为（）A240B360C480D7202.马路上有编号为 1，2，3，4，5，6，7，8，9 的 9 盏路灯，为节约用电，可以把其中的三盏路灯关掉，但不能同时关掉相邻的两盏或三盏，也不能关掉两端的路灯，满足条件的关灯办法有种【变式变式演练】演练】1.某公共汽车站有 6 个候车位排成一排，甲、乙、丙三个乘客在该汽车站等候 228 路公交车的到来，由于市内堵车，228 路公交车一直没到站，三人决定在座位上候车，且每人只能坐一个位置，则恰好有 2 个连续空座位的候车方式的种数是A48B54C72D842.现有一排 10 个位置的空停车场，甲、乙、丙三辆不同的车去停放，要求每辆车左右两边都有空车位且甲车在乙、丙两车之间的停放方式共有_种.3.地面上有并排的七个汽车位，现有红、白、黄、黑四辆不同的汽车同时倒车入库.当停车完毕后，恰有两个连续的空车位，且红、白两车互不相邻的情况有_种.【题型【题型九九】相同元素排列模型相同元素排列模型 3：上楼梯等：上楼梯等【典例分析】【典例分析】欲登上第 10 级楼梯，如果规定每步只能跨上一级或两级，则不同的走法共有A34 种B55 种C89 种D144 种【变式变式演练】演练】1.斐波那契数列，又称黄金分割数列.因数学家列昂纳多斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、.，在数学上，斐波那契数列以如下被递推的方法定义：11f，21f，122,f nf nf nnnN.这种递推方法适合研究生活中很多问题.比如：一六八中学食堂一楼到二楼有 15 个台阶，某同学一步可以跨一个或者两个台阶，则他到二楼就餐有（）种上楼方法.A377B610C987D15972.从一楼到二楼共有 12 级台阶，可以一步迈一级也可以一步迈两级，要求 8 步走完，则从一楼到二楼共有走法A12B8C70D663.某人从上一层到二层需跨 10 级台阶.他一步可能跨 1 级台阶，称为一阶步，也可能跨 2 级台阶，称为二阶步，最多能跨 3 级台阶，称为三阶步.从一层上到二层他总共跨了 6 步，而且任何相邻两步均不同阶.则他从一层到二层可能的不同过程共有（）种.A6B8C10D122010 年全国高中数学联赛山东赛区预赛试题【题型【题型十十】多事件限制重叠型多事件限制重叠型【典例分析】【典例分析】班班会准备从含甲、乙、丙的 7 名学生中选取 4 人发言，要求甲、乙两人至少有一个发言，且甲、乙都发言时丙不能发言，则甲、乙两人都发言且发言顺序不相邻的概率为A217B316C326D328【变式变式演练】演练】1.某同学计划用他姓名的首字母,T X，身份证的后 4 位数字（4 位数字都不同）以及 3 个符号,设置一个六位的密码若,T X必选，且符号不能超过两个，数字不能放在首位和末位，字母和数字的相对顺序不变，则他可设置的密码的种数为（）A864B1009C1225D14412.2019年11月19日至20日，北京师范大学出版集团携手北师大版数学教材编写组在广东省珠海市联合举办了以“新课程，我们都是追梦人”为主题的北师大版中小学数学教材交流研讨会，会议期间举办了一场“互动沙龙”，要求从6位男嘉宾，2位女嘉宾中随机选出4位嘉宾进行现场演讲，且女嘉宾至少要选中1位，如果2位女嘉宾同时被选中，她们的演讲顺序不能相邻，那么不同演讲顺序的种数是（）A1860B1320C1140D10203.有 2 辆不同的红色车和 2 辆不同的黑色车要停放在如图所示的六个车位中的四个内，要求相同颜色的车不在同一行也不在同一列，则共有_种不同的停放方法（用数字作答）【题型【题型十一十一】多重限制分类讨论多重限制分类讨论【典例分析】【典例分析】高一新生小崔第一次进入图书馆时看到了馆内楼梯（图 1），她准备每次走 1 级或 2 级楼梯去二楼，并在心中默默计算这样走完 25 级楼梯大概有多少种不同的走法，可是当她走上去后发现（图 2）原来在 13 级处有一宽度达 1.5 米的平台，这样原来的走楼梯方案需要调整，请问，对于剩下的 15 级123楼梯按分 2 段的走法与原来一次性走 15 级的走法相比较少了_种【变式变式演练】演练】1.市内某公共汽车站有 7 个候车位(成一排),现有甲，乙，丙，丁，戊 5 名同学随机坐在某个座位上候车,则甲，乙相邻且丙，丁不相邻的不同的坐法种数为_；（用数字作答）3 位同学相邻，另 2 位同学也相邻，但 5 位同学不能坐在一起的不同的坐法种数为_.（用数字作答）2.2021 年某地电视台春晚的戏曲节目，准备了经典京剧、豫剧、越剧、粤剧、黄梅戏、评剧 6 个剧种的各一个片段对这 6 个剧种的演出顺序有如下要求：京剧必须排在前三，且越剧、粤剧必须排在一起，则该戏曲节目演出顺序共有()种A120B156C188D2403.甲、乙、丙、丁等六名退休老党员相约去观看党史舞台剧星火 星火的票价为 50 元/人，每人限购一张票甲、乙、丙三人各带了一张 50 元钞，其余三人各带了一张 100 元钞他们六人排成一列到售票处买票，而售票处一开始没有准备 50 元零钱，那么他们六人共有多少种不同排队顺序能使购票时售票处不出现找不出钱的状态（）A720B360C180D90【题型【题型十二十二】综合应用综合应用【典例分析】【典例分析】设十人各拿一只水桶，同到水龙头前打水，设水龙头注满第 i(i1，2，10)个人的水桶需 Ti 分钟，假设Ti 各不相同，当水龙头只有一个可用时，应如何安排他(她)们的接水次序，使他(她)们的总的花费时间(包括等待时间和自己接水所花费的时间)最少()A从 Ti 中最大的开始，按由大到小的顺序排队B从 Ti 中最小的开始，按由小到大的顺序排队C从靠近 Ti 平均数的一个开始，依次按取一个小的取一个大的的摆动顺序排队D任意顺序排队接水的总时间都不变【变式变式演练】演练】1.由 1，2，3，4，5 组成的没有重复数字的五位数，从中任意抽取一个，则其恰好为“前 3 个数字保持递减，后 3 个数字保持递增”（如五位数“43125”，前 3 个数字“431”保持递减，后 3 个数字“125”保持递增）的概率是（）A120B112C110D162.设A是集合12345678910，的子集，只含有3个元素，且不含相邻的整数，则这种子集A的个数为（）A32B56C72D843.为迎接第 24 届冬季奥林匹克运动会，某校安排甲乙丙丁戊共五名学生担任冰球冰壶和短道速滑三个项目的志愿者，每个比赛项目至少安排 1 人.则学生甲不会被安排到冰球比赛项目做志愿者的概率为（）A34B23C56D12【经典题专练】【经典题专练】1.如图为我国数学家赵爽(约 3 世纪初)在为周髀算经作注时验证勾股定理的示意图，现在提供 5 种颜色给其中 5 个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，则,A C区域涂色不相同的概率为()A17B27C37D472.将一个四棱锥SABCD的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端异色，如果只有 5 种颜色可供使用，则不同的染色方法的总数是A540B480C420D3603.清明节前夕，某校团委决定举办“缅怀革命先烈，致敬时代英雄”主题演讲比赛，经过初赛，共有 10 人进入决赛，其中高一年级 3 人，高二年级 3 人，高三年级 4 人，现采用抽签方式决定演讲顺序，则在高二年级 3 人相邻的前提下，高一年级 3 人不相邻的概率为（）A512B712C914D5144.10 名同学合影，站成前排 4 人后排 6 人，现摄影师要从后排 6 人中抽 2 人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的总数是（）A2263C AB2666C AC2266C AD2265C A5.将编号为1、2、3、4、5、6的小球放入编号为1、2、3、4、5、6的六个盒子中，每盒放一球，若有且只有两个盒子的编号与放入的小球的编号相同，则不同的放法种数为（）A90B135C270D3606.现有 9 个相同的球要放到 3 个不同的盒子里，每个盒子至少一个球，各盒子中球的个数互不相同，则不同放法的种数是（）A28B24C18D167.某单位有 7 个连在一起的车位，现有 3 辆不同型号的车需停放，如果要求剩余的 4 个车位中恰好有 3 个连在一起，则不同的停放方法的种数为A16B18C32D728.校园某处并排连续有 6 个停车位，现有 3 辆汽车需要停放，为了方便司机上下车，规定：当有汽车相邻停放时，车头必须同向；当车没有相邻时，车头朝向不限，则不同的停车方法共有_种（用数学作答）9.如图，在某城市中，MN两地之间有整齐的方格形道路网，其中1A2A3A4A是道路网中位于一条对角线上的4个交汇处.今在道路网MN处的甲乙两人分别要到NM处，他们分别随机地选择一条沿街的最短路径，以相同的速度同时出发，直到到达NM处为止.则下列说法正确的是（）A甲从M到达N处的方法有120种B甲从M必须经过2A到达N处的方法有64种C甲乙两人在2A处相遇的概率为81400D甲乙两人相遇的概率为1210.有一道楼梯共 10 阶，小王同学要登上这道楼梯，登楼梯时每步随机选择一步一阶或一步两阶，小王同学7 步登完楼梯的概率为_.11.2020 年疫情期间，某县中心医院分三批共派出 6 位年龄互不相同的医务人员支援武汉六个不同的方舱医院，每个方舱医院分配一人.第一批派出一名医务人员的年龄为1P，第二批派出两名医务人员的年龄最大者为2P，第三批派出三名医务人员的年龄最大者为3P，则满足123PPP的分配方案的概率为（）A13B23C120D3412.如图，在某海岸 P 的附近有三个岛屿 Q，R，S，计划建立三座独立大桥，将这四个地方连起来，每座桥只连接两个地方，且不出现立体交叉形式，则不同的连接方式有（）.A24 种B20 种C16 种D12 种13.现安排甲、乙、丙、丁、戊 5 名同学参加 2022 年杭州亚运会志愿者服务活动，有翻译、导游、礼仪、司机四项工作可以安排，以下说法正确的是（）A每人都安排一项工作的不同方法数为 54B每人都安排一项工作，每项工作至少有一人参加，则不同的方法数为4154A CC如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排一人，则这 5 名同学全部被安排的不同方法数为3122352533C CC CAD每人都安排一项工作，每项工作至少有一人参加，甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是1232334333C C AC A14.罗马数字是欧洲在阿拉伯数字传入之前使用的一种数码，它的产生标志着一种古代文明的进步.罗马数字的表示法如下：数字123456789形式其中“”需要 1 根火柴，“”与“X”需要 2 根火柴，若为 0，则用空位表示.（如 123 表示为，405 表示为）如果把 6 根火柴以适当的方式全部放入下面的表格中，那么可以表示的不同的三位数的个数为（）A87B95C100D10315.如图为3 3的网格图，甲、乙两人均从A出发去B地，每次只能向上或向右走一格，并且乙到达任何一个位置（网格交点处）时向右走过的格数不少于向上走过的格数，记甲、乙两人所走路径的条数分别为M、N，则MN的值为（）A10B14C15D16排列组合排列组合 12 种题型归纳种题型归纳1排列与组合的概念名称定义区别排列从 n 个不同元素中取出m(mn)个元素按照一定的顺序排成一列排列有序，组合无序组合合成一组2.排列数与组合数定义计算公式性质联系排列数从 n 个不同元素中取出m(mn)个元素的所有不同排列的个数，叫做从 n 个不同元素中取出m 个元素的排列数 用符号“Amn”表示Amnn(n1)(n2)(nm1)n！nm！(n，mN*，且 mn)(1)Annn！；(2)0！1CmnAmnm！组合数从 n 个不同元素中取出m(mn)个元素的所有不同组合的个数，叫做从 n 个不同元素中取出m 个元素的组合数 用符号“Cmn”表示Cmnnn1n2nm1m！n！m！nm！(n，mN*，且mn)(1)CnnC0n1；(2)CmnCnmn；(3)Cmn1CmnCm1n【题型一】【题型一】人坐座位模型人坐座位模型 1：捆绑与插空：捆绑与插空【典例分析】【典例分析】1.有四男生，三女生站一排，其中只有俩个女生相邻:2.有四男生，4 女生站一排，女生若相邻，则最多 2 个女生相邻：解答（1）：先捆绑俩女生，再排列捆绑女生，然后排列四个男生，两个“女生”插孔即可，22423245C A A A（2）分类讨论24422422243445224542451;(2);(3)2CAA A A AC A A A（）都不相邻：A两队各自相邻：一对两人相邻：！【方法技巧】【方法技巧】人坐座位模型：人坐座位模型：特征：特征：1.一人一位；一人一位；2、有顺序；、有顺序；3、座位可能空；、座位可能空；4、人是否都来坐，来的是谁；、人是否都来坐，来的是谁；5、必要时，座位拆迁，、必要时，座位拆迁，剩余座位随人排列剩余座位随人排列。主要典型题主要典型题：1.捆绑法捆绑法;2.插空法插空法；3.染色染色。出现两个实践重叠出现两个实践重叠，必要时候必要时候，可以使用容可以使用容斥原理来等价处理：容斥原理斥原理来等价处理：容斥原理n AB n An Bn AB【变式变式演练】演练】1.在某班进行的歌唱比赛中，共有 5 位选手参加，其中 3 位女生，2 位男生如果 2 位男生不能连着出场，且女生甲不能排在第一个，那么出场顺序的排法种数为A30B36C60D72【答案】C【分析】记事件:A2位男生连着出场，事件:B女生甲排在第一个，利用容斥原理可知所求出场顺序的排法种数为 5555An ABAn An Bn AB，再利用排列组合可求出答案【详解】记事件:A2位男生连着出场，即将2位男生捆绑，与其他3位女生形成4个元素，所以，事件A的排法种数为 242448n AA A，记事件:B女生甲排在第一个，即将甲排在第一个，其他四个任意排列，所以，事件B的排法种数为 4424n BA，事件:AB女生甲排在第一位，且2位男生连着，那么只需考虑其他四个人，将2位男生与其他2个女生形成三个元素，所以，事件AB的排法种数为232312A A 种，因此，出场顺序的排法种数 5555An ABAn An Bn AB1204824 1260种，故选 C2.某次联欢会要安排 3 个歌舞类节目、2 个小品类节目和 1 个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是（）A144B120C72D48【答案】B【分析】先求出只有 3 个歌舞类节目不相邻的方法，然后求出 3 个歌舞类节目不相邻且 2 个小品类节目相邻的排法，相减可得【详解】先考虑只有 3 个歌舞类节目不相邻，排法有3334144A A 种，再考虑 3 个歌舞类节目不相邻，2 个小品类节目相邻的排法有：22322324A A A，因此同类节目不相邻的排法种数是14424120故选：B3.2021 年 4 月 15 日，是第六个全民国家安全教育日，教育厅组织宣讲团到某市的六个不同高校进行国家安全知识的宣讲，时间顺序要求是：高校甲必须排在第二或第三个，且高校甲宣讲结束后需立即到高校丁宣讲，高校乙高校丙的宣讲顺序不能相邻，则不同的宣讲顺序共有（）A28 种B32 种C36 种D44 种【答案】B【分析】由题意，对高校甲排在第二或第三个进行分类讨论，接着考虑乙和丙的排法，最后考虑其他两所高校的排法，综合利用分类和分步计数原理进行分析即可.【详解】根据题意：分成以下两种情况进行分类讨论高校甲排在第二个时，高校丁必排在第三个，当乙或丙排在第一个时共有132312C A 种排法，当乙或丙不排在第一个时，乙和丙只能排在第四个和第六个，此时共有22224A A 种排法，所以高校甲排在第二个时共有16 种排法；高校甲排在第三个时，高校丁必排在第四个，乙或丙只能一个排在第一二个，一个排在第五六个，则共有1112222216C C C A 种排法；综上：共有 32 种排法满足题意.故选：B.【题型【题型二二】人坐座位模型人坐座位模型 2：染色（平面）：染色（平面）【典例分析】【典例分析】如图为我国数学家赵爽（约 3 世纪初）在为周髀算经作注时验证勾股定理的示意图，现在提供 5 种颜色给其中 5 个小区涂色，规定每个区域只能涂一种颜色，相邻区域颜色不同，则 A、C 区域颜色不相同的概率是A.1/7b.2/7c.3/7D.4/7答案：D55315232553555351235125122404=4207;(2)4-+2ACCACCCCC涂色法：（1）用了几种颜色；（2）尽量先图相邻多的“三角形”：本题先把ABE作为“三角形”1、用了5色：A、用了4色：(1)先涂ABE:A用第 色：（3）D用第4种：（相同）3、用了3色：同先涂ABE:A结束。AAAAA与 不相（不相同）；与 相同综合：【方法技巧】【方法技巧】染色问题：染色问题：1.用了几种颜色用了几种颜色2.尽量先从公共相邻区域开始。尽量先从公共相邻区域开始。【变式变式演练】演练】1.正方体六个面上分别标有 A、B、C、D、E、F 六个字母，现用 5 种不同的颜色给此正方体六个面染色，要求有公共棱的面不能染同一种颜色，则不同的染色方案有（）种.A420B600C720D780【答案】D【解析】【分析】根据对面的颜色是否相同，分三对面染相同的颜色、两对面染相同颜色，另一对面染不同颜色、一对面染相同颜色，另两对面染不同颜色，分别求出不同的染色方案，最后加总即可.【详解】分三类：1、若三对面染相同的颜色，则有3560A 种；2、若两对面染相同颜色，另一对面染不同颜色，则有321532360A C C 种；3、若一对面染相同颜色，另两对面染不同颜色，则有312532360A C A 种；共有60360360780种.故选：D2.如图，某伞厂生产的太阳伞的伞篷是由太阳光的七种颜色组成，七种颜色分别涂在伞篷的八个区域内，且恰有一种颜色涂在相对区域内，则不同颜色图案的此类太阳伞最多有（）.A40320 种B5040 种C20160 种D2520 种【答案】D【解析】【分析】先从 7 种颜色中任意选择一种，涂在相对的区域内，再将剩余的 6 种颜色全部涂在剩余的 6 个区域内，结合图形的对称性，即可求解.【详解】先从 7 种颜色中任意选择一种，涂在相对的区域内，有177C 种方法，再将剩余的 6 种颜色全部涂在剩余的 6 个区域内，共有66A种方法，由于图形是轴对称图形，所以上述方法正好重复一次，所以不同的涂色方法，共有66725202A种不同的涂法.故选：D.3.如图，用四种不同的颜色给图中的 A，B，C，D，E，F，G 七个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法有（）A192B336C600D以上答案均不对【答案】C【解析】【分析】根据题意，结合计数原理，先排 E，F，G，然后根据 A，B，C，D 的情况讨论【详解】解：E，F，G 分别有 4，3，2 种方法，当 A 与 F 相同时，A 有 1 种方法，此时 B 有 2 种，1 C若与 F 相同有 C 有 1 种方法，同时 D 有 3 种方法，2若 C 与 F 不同，则此时 D 有 2 种方法，故此时共有：4 3 2 1 21 3 1 2240 种方法；当 A 与 G 相同时，A 有 1 种方法，此时 B 有 3 种方法，1若 C 与 F 相同，C 有 1 种方法，同时 D 有 2 种方法，2若 C 与 F 不同，则 D 有 1 种方法，故此时共有：4 3 2 1 31 2 1 1216 种方法；当 A 既不同于 F 又不同于 G 时，A 有 1 种方法，1若 B 与 F 相同，则 C 必须与 A 相同，同时 D 有 2 种方法；2若 B 不同于 F，则 B 有 1 种方法，()若 C 与 F 相同则 C 有 1 种方法同时 D 有 2 种方法；()若 C 与 F 不同则必与 A 相同，C 有 1 种方法，同时 D 有 2 种方法；故此时共有：4 3 2 11 1 2 11 2 1 2144 种方法；综上共有240216144600种方法故选：C【题型【题型三三】人坐座位模型人坐座位模型 3：染色（空间）：染色（空间）:【典例分析】【典例分析】如图所示的几何体由三棱锥PABC与三棱柱111ABCABC组合而成，现用3种不同颜色对这个几何体的表面涂色(底面111ABC不涂色)，要求相邻的面均不同色，则不同的涂色方案共有（）A6种B9种C12种D36种【答案】C【解析】三棱锥PABC三个侧面的颜色各不相同，先进行染色，然后再给三棱柱111ABCABC的侧面染色，保证组合体中相邻的侧面颜色不同即可.【详解】先涂三棱锥PABC的三个侧面，有1113216C C C 种情况，然后涂三棱柱的三个侧面，有1112112C C C 种情况，共有6212种不同的涂法故选：C【方法技巧】【方法技巧】空间几何体，可以空间几何体，可以“拍扁拍扁”，转化为平面图形，转化为平面图形【变式变式演练】演练】1.如图所示，将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，如果只有 5 种颜色可供使用，则不同的染色方法种数是()A420B210C70D35【答案】A【解析】【分析】将不同的染色方案分为：AC相同和AC不同两种情况，相加得到答案.【详解】按照SABCD的顺序：当AC相同时：染色方案为543 1 3180 当AC不同时：染色方案为54322240 不同的染色方案为：420种故答案为 A2.在如图所示的十一面体ABCDEFGHI中，用3种不同颜色给这个几何体各个顶点染色，每个顶点染一种颜色，要求每条棱的两端点异色，则不同的染色方案种数为_【答案】6【解析】【详解】分析：首先分析几何体的空间结构，然后结合排列组合计算公式整理计算即可求得最终结果.详解：空间几何体由 11 个顶点确定，首先考虑一种涂色方法：假设 A 点涂色为颜色 CA，B 点涂色为颜色 CB，C 点涂色为颜色 CC，由 AC 的颜色可知 D 需要涂颜色 CB，由 AB 的颜色可知 E 需要涂颜色 CC，由 BC 的颜色可知 F 需要涂颜色 CA，由 DE 的颜色可知 G 需要涂颜色 CA，由 DF 的颜色可知 I 需要涂颜色 CC，由 GI 的颜色可知 H 需要涂颜色 CB，据此可知，当ABC 三个顶点的颜色确定之后，其余点的颜色均为确定的，用三种颜色给ABC 的三个顶点涂色的方法有336A 种，故给题中的几何体染色的不同的染色方案种数为 6.3.用五种不同颜色给三棱台ABCDEF的六个顶点染色，要求每个点染一种颜色，且每条棱的两个端点染不同颜色.则不同的染色方法有_种.【答案】1920.【解析】【详解】分析：分两步来进行，先涂,A B C，再涂,D E F，然后分若 5 种颜色都用上、若 5 种颜色只用 4 种、若 5种颜色只用 3 种这三种情况，分别求得结果，再相加，即可得结果.详解：分两步来进行，先涂,A B C，再涂,D E F.第一类：若 5 种颜色都用上，先涂,A B C，方法有35A种，再涂,D E F中的两个点，方法有23A种，最后剩余的一个点只有 2 种涂法，故此时方法共有32532720AA种；第二类：若 5 种颜色只用 4 种，首先选出 4 种颜色，方法有45C种；先涂,A B C，方法有34A种，再涂,D E F中的一个点，方法有 3 种，最后剩余的两个点只有 3 种涂法，故此时方法共有43543 31080CA 种；第三类：若 5 种颜色只用 3 种，首先选出 3 种颜色，方法有35C种；先涂,A B C，方法有33A种，再涂,D E F，方法有 2 种，故此时方法共有33532120CA种；综上可得，不同涂色方案共有72010801201920种，故答案是 1920.点睛：该题考查的是有关排列组合的综合题，在解题的过程中，涉及到的知识点有分步计数乘法原理和分类计数加法原理，要认真分析题的条件，列式求得结果.【题型【题型四四】书架插书模型书架插书模型【典例分析】【典例分析】有 12 名同学合影，站成了前排 4 人后排 8 人，现摄影师要从后排 8 人中抽 2 人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的种数是（）A168B260C840D560【答案】C【分析】先从后排 8 人中抽 2 人，把抽出的 2 人插入前排保证前排人顺序不变可用倍缩法，再由分步乘法计数原理即可求解.【详解】解：从后排 8 人中抽 2 人有28C种方法；将抽出的 2 人调整到前排，前排 4 人的相对顺序不变有6644AA种，由分步乘法计数原理可得：共有668442A28AC6 5840 种，故选：C.【方法技巧】【方法技巧】（1）书架上原有书的顺序不变；（2）新书要一本一本插；【变式变式演练】演练】1.从 A，B，C，D，a，b，c，d 中任选 5 个字母排成一排，要求按字母先后顺序排列（即按(),(),(),()A aB b C c D d先后顺序，但大小写可以交换位置，如AaBc或aABc都可以），这样的情况有_种（用数字作答）【答案】160【分析】先根据 A、B、C、D 选取的个数分为四类：第一类:A、B、C、D 中取四个，a、b、c、d 中取一个；第二类:A、B、C、D 中取三个，a、b、c、d 中取二个；第三类:A、B、C、D 中取二个,a、b、c、d 中取三个；第四类:A、B、C、D 中取一个,a、b、c、d 中取四个.【详解】分为四类情况：第一类：在 A、B、C、D 中取四个，在 a、b、c、d 中取一个，共有414428C C；第二类：在 A、B、C、D 中取三个，在 a、b、c、d 中取两个，分两种情况：形如 AaBbC(大小写有两个字母相同)共有32434C C，形如 AaBCd（大小写只有一个字母相同）共有31432C C；第三类：在 A、B、C、D 中取两个，在 a、b、c、d 中取三个，取法同第二类情况；第四类：在 A、B、C、D 中取一个，在 a、b、c、d 中取四个，取法同第一类情况；所以共有：2(8+32434C C+31432C C)=1602.在一张节目表上原有 6 个节目，如果保持这些节目的相对顺序不变，再添加进去三个节目，求共有多少种安排方法【答案】504.【分析】由题意知添加的三个节目且保持这些节目的相对顺序不变，有三类办法排进去，三个节目连排，三个节目互不相邻，有且仅有两个节目连排，根据分类计数原理得到结果【详解】解：添加的三个节目有三类办法排进去三个节目连排，有 C71A33种方法；三个节目互不相邻，有 A73种方法；有且仅有两个节目连排，有 C31C71C61A22种方法根据分类计数原理共有 C71A33+A73+C31C71C61A22504 种，答：共有 504 种安排方法3.书架上有排好顺序的 6 本书，如果保持这 6 本书的相对顺序不变，再放上 3 本书，则不同的放法共有（）.A210 种B252 种C504 种D505 种【答案】C【分析】可看成一共有 9 本书，9 个位置，将 3 本书排列到这 9 个位置中的 3 个位置即可.【详解】可转换为将 3 本书排列到所有的 9 本书中的其中 3 个位置上.共39504A 种情况.故选：C【题型【题型五五】球放盒子模型球放盒子模型 1：球不同，盒子也不同：球不同，盒子也不同【典例分析】【典例分析】已知有 5 个不同的小球，现将这 5 个球全部放入到标有编号 1、2、3、4、5 的五个盒子中，若装有小球的盒子的编号之和恰为 11，则不同的放球方法种数为（）A150B240C390D1440【答案】C【分析】分析可得可以将 5 个球放到编号 2、4、5 的三个盒子中或者放到编号 1、2、3、5 的四个