2024年高考数学专项三角函数与解三角形大题压轴练（解析版）.pdf

2024三角函数与解三角形大题压轴练-新高考数学复习分层训练（新高考通用）2024三角函数与解三角形大题压轴练-新高考数学复习分层训练（新高考通用）1（2022 秋秋广东汕头广东汕头高三统考期末）高三统考期末）设锐角三角形 ABC 的内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c，已知a =bcos A a cos B(1)求证：B2A；(2)求bca的取值范围2（2022浙江浙江模拟预测）模拟预测）记ABC的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知cos1sintanAAB.(1)若AB，求 C；(2)求sinsin2 cosaBbAbB的取值范围.3（2023浙江浙江统考一模）统考一模）记ABC的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知sin2sin2CAabCAac(1)若4A，求 B；(2)求ccab的取值范围4（2023浙江金华浙江金华浙江金华第一中学校考模拟预测）浙江金华第一中学校考模拟预测）记ABC的内角,A B C的对边分别为,a b c.已知sincostanABC.(1)求2AC；(2)证明：25cba.5（2022 秋秋江苏泰州江苏泰州高三江苏省泰兴中学校联考阶段练习）高三江苏省泰兴中学校联考阶段练习）ABC的内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c已知sin=sinbcB bAC(1)求角 A；(2)若ABC为锐角三角形，且ABC的面积为 S，求222abcS的取值范围6（2022江苏盐城江苏盐城盐城市第一中学校考模拟预测）盐城市第一中学校考模拟预测）如图，在锐角ABC中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知3,60cC(1)求ABC面积的最大值；(2)若AB边上的点 D 满足2ADDB，求线段CD长的最大值7（2023 秋秋山西太原山西太原高三统考期末高三统考期末）在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足22bbca(1)求证：2AB；(2)求62cosbcbB的取值范围8（2022 秋秋江苏苏州江苏苏州高三校考阶段练习高三校考阶段练习）在ABC中，角 A，B，C 成等差数列，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c(1)若aabbabc，判断ABC的形状；(2)若ABC不是钝角三角形，求ac的取值范围9（2022 秋秋黑龙江绥化黑龙江绥化高三海伦市第一中学校考期中）高三海伦市第一中学校考期中）在ABC中，内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，cos3cos23AaCbc，点 D 是边 BC 上的一点，且sinsin32BADCADbca(1)求证：3aAD；(2)若2CDBD，求cosADC10（2023云南云南高三云南师大附中校考阶段练习高三云南师大附中校考阶段练习）在ABC中，设角A，B，C所对的边分別为a，b，c，BC边上的高为h，且bcah.(1)若23ha，且sincos1kAA，求实数k的值；(2)求tan A的最小值.11（2022 秋秋安徽宿州安徽宿州高三砀山中学校考阶段练习）高三砀山中学校考阶段练习）在ABC中，sinsinsinsinsinsinsinCBABABC，(1)求角 C 的大小；(2)求sin22sin4BB的取值范围12（2022 春春重庆沙坪坝重庆沙坪坝高三重庆八中校考阶段练习）高三重庆八中校考阶段练习）已知在ABC中，内角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，且满足coscos2 cosbCcBaA.(1)求角 A；(2)若 D 点在线段BC上，且AD平分BAC，若2BDCD，且3AD，求ABC的面积.13（2022辽宁沈阳辽宁沈阳东北育才双语学校校考一模）东北育才双语学校校考一模）如图，设ABC中角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，AD 为 BC 边上的中线，已知1c 且12 sincossinsinsin4cABaAbBbC，21cos7BAD(1)求 b 边的长度；(2)求ABC的面积；(3)设点 E，F 分别为边 AB，AC 上的动点（含端点），线段 EF 交 AD 于 G，且AEF的面积为ABC面积的16，求AG EF 的取值范围14（2023 春春辽宁大连辽宁大连高三瓦房店市高级中学校考开学考试）高三瓦房店市高级中学校考开学考试）ABC的内角,A B C的对边分别是,a b c，且sinsinsinABacCab，(1)求角B的大小；(2)若3b，D为AC边上一点，2BD，且BD为B的平分线，求ABC的面积15（2023 秋秋河北衡水河北衡水高三河北衡水中学校考阶段练习高三河北衡水中学校考阶段练习）已知ABC的外心为O，,M N为线段,AB AC上的两点，且O恰为MN中点.(1)证明：|AMMBANNC(2)若|3AO，|1OM，求AMNABCSSVV的最大值.16（2023河北河北高三河北衡水中学校考阶段练习）高三河北衡水中学校考阶段练习）在锐角ABC中，,(,BCa ACb ABc a b c均为已知常数），.ABC的外接圆，内切圆半径分别为,R r.(1)求Rr；(2)点,D E F分别在线段,BC AC AB上，DEF的周长为0P，请证明：0rPabcR.17（2023福建泉州福建泉州高三福建省晋江市养正中学校考阶段练习高三福建省晋江市养正中学校考阶段练习）在ABC 中，a，b，c分别为内角 A，B，C 的对边，ABC 的面积214Sc(1)若2 cos2cBab，求sinsinAB的值；(2)求ab的取值范围18（2022 秋秋福建福建高三校联考阶段练习高三校联考阶段练习）在ABC中，内角 A，B，C 所对的边分别为a，b，c，且tansinAB.(1)证明：2222acbca；(2)若BDDC，且ADAB，求sinsinBACC.19（2023江苏南通江苏南通模拟预测）模拟预测）记ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cossincossinaBBaCC.(1)若bc，证明：2abc；(2)若2BC，证明：223cb.20（2022山东烟台山东烟台统考一模）统考一模）如图，四边形 ABCD 中，222ABBCAB BCAC(1)若33ABBC，求ABC 的面积；(2)若3CDBC，30CAD，120BCD，求ACB 的值21（2022 秋秋山东青岛山东青岛高三校考阶段练习）高三校考阶段练习）如图，在平面四边形 ABCD 中，,90,2 2,2ADBDADBCDBC.(1)若45BDC，求线段 AC 的长：(2)求线段 AC 长的最大值22（2022湖北武汉湖北武汉统考模拟预测）统考模拟预测）在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知2 cos2cBab(1)求C；(2)若ABAC，D是ABC外的一点，且2AD，1CD，则当D为多少时，平面四边形ABCD的面积S最大，并求S的最大值23（2022湖南岳阳湖南岳阳统考一模）统考一模）D 为ABC边AB上一点，满足2AD，8DB，记ABC，CAB(1)当CDAB时，且2，求 CD 的值；(2)若4，求ACD面积的最大值24（2023湖南岳阳湖南岳阳统考二模）统考二模）在 ABCV中，sinsin3sincossinBCCCA.(1)求 A；(2)若 ABCV的内切圆半径2r，求ABAC的最小值.25（2022湖南湖南校联考模拟预测校联考模拟预测）在ABC中，12tan,5AD为BC上一点，3 2AD(1)若 D 为BC的中点，求ABC的面积的最大值；(2)若45DAB，求ABC的面积的最小值26（2023湖南衡阳湖南衡阳校考模拟预测）校考模拟预测）已知ABC的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，满足sinsin1sinsinsinsinAbBBCbAcB(1)求角 C；(2)CD 是ACB的角平分线，若4 33CD，ABC的面积为2 3，求 c 的值.27（2023湖南长沙湖南长沙统考一模统考一模）在锐角ABC中，角 A，B，C 所对应的边分别为 a，b，c，已知sinsinsin3ABCabac(1)求角 B 的值；(2)若2a，求ABC的周长的取值范围28（2022广东珠海广东珠海高三校联考阶段练习）高三校联考阶段练习）在ABC中，角 A，B，C 所对的边分别为a，b，c，已知23A(1)若6a，ABC的面积为2 3，D 为边BC的中点，求AD的长度；(2)若 E 为边BC上一点，且6AE，:2:BE ECc b，求2bc的最小值29（2023江苏苏州江苏苏州苏州中学校考模拟预测苏州中学校考模拟预测）在PAB中，PAPB，点C，D分别在PB，PA边上(1)若3APB，1CD，求PCD面积的最大值；(2)设四边形ABCD的外接圆半径为R，若,3APB，且AB BC CD DA的最大值为49，求R的值30（2022 秋秋湖北湖北高三校联考开学考试）高三校联考开学考试）如图，在平面四边形 ABCD 中，24 2DCAD，2BAD，6BDC(1)若5cos3ABD，求ABD的面积；(2)若CADC，求 BC三角函数与解三角形大题压轴练三角函数与解三角形大题压轴练-新高考数学复习新高考数学复习分层训练（新高考通用）分层训练（新高考通用）1（2022 秋秋广东汕头广东汕头高三统考期末高三统考期末）设锐角三角形 ABC 的内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c，已知coscosabAaB(1)求证：B2A；(2)求bca的取值范围【答案】(1)证明过程见解析.(2)21,32【分析】（1）利用正弦定理及积化和差得到sinsinABA，结合角的范围，得到2BA；（2）利用正弦定理得到2154 cos44bAca，根据三角形为锐角三角形，得到,6 4A，23cos,22A，从而求出取值范围.【详解】（1）coscosabAaB，由正弦定理得：sinsincossincosABAAB，由积化和差公式可得：111111sinsinsinsinsinsinsin222222ABABAABABBAAB，因为11sinsin22ABBA，所以sinsinABA，因为三角形 ABC 为锐角三角形，故,0,2A B，所以,2 2BA，故ABA，即2BA；（2）由（1）知：2BA，由正弦定理得：sin2sinsinsinsin2sin3sinsinsinABAbcBCAAaAAA，其中2sin3sin 2sin2 coscos2 sin2sincoscos2 sinAAAAAAAAAAA，因为sin0A，所以222sincosscos2csincossco2 inos2co2ss2inAAAAAAbcAAAaA222215cos2cos14cos2cos142cos4 cos42AAAAAA ，由20,2BA得：40,A，由30,2CABA，解得：,6 3A，结合0,2A可得：,6 4A，23cos,22A，故2154 cos44bAca在23cos,22A上单调递增，所以2134cos2cos1421,43 124bcAAa，即21,32bca.2（2022浙江浙江模拟预测）模拟预测）记ABC的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知cos1sintanAAB.(1)若AB，求 C；(2)求sinsin2 cosaBbAbB的取值范围.【答案】(1)23C(2)0,1【分析】（1）先由题给条件求得AB6，进而求得23C；（2）先利用正弦定理和题给条件求得22AB和04B，再构造函数122,12yttt，求得此函数值域即为sinsin2 cosaBbAbB的取值范围【详解】（1）由AB，cos1sintanAAB 可得cos1sintanAAA，则2cos1 sinsinAAA整理得22sinsin10AA，解之得1sin2A 或sin1 A又02A，则6A，则6B，则23C（2）A，B 为ABC的内角，则1 sin0A则由cos1sintanAAB，可得cos0tanAB，则A B、均为锐角222cossin1tancos222tantan1 sin42(sincos)1tan222AAAAABAAAA又0,02424AB，则42AB，04B则22AB，则sinsin2cos22ABB则2sinsin2 sin2 cos22cos112cos2 cos2 cos2 coscoscosaBbAbAbBBBbBbBbBBB令costB04B，则212t 又1()2f ttt在2,12单调递增，2()02f，(1)1f可得1021tt，则12coscosBB的取值范围为0,1，则sinsin2 cosaBbAbB的取值范围为0,13（2023浙江浙江统考一模）统考一模）记ABC的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知sin2sin2CAabCAac(1)若4A，求 B；(2)求ccab的取值范围【答案】(1)12B(2)2 3,【分析】（1）利用正弦定理边角变换，结合三角函数和差化积公式与倍角公式推得sincos2sinACA，从而得到23C，由此得解；（2）结合（1）中结论，利用余弦定理与基本不等式即可得解.【详解】（1）由正弦定理得sinsinsinsinABAabacC，又sin2sin2CAabCAac，所以2sinsinsinsinsin2sinCCACAABA，因为2sincos22sinsinCAAACC，所以sin22sincos22sin2sinsinCACACAABAC2cossinsin22CACACA，因为sin sinsinBCAB，所以sinsinsincossin2CACAACA，因为0A，所以sin0A，故1cos2C ，又0C，所以23C，因为4A，所以12BAC（2）由（1）得23C，所以由余弦定理得222222coscababCabab，记c abccTabab，则22212abcababTababbaba，因为0,0ab，所以22bab aaba b，当且仅当baab，即ab时，等号成立，即2baab，故23 412T ，则2 3T，所以2 3ccab，即2 3,ccab4（2023浙江金华浙江金华浙江金华第一中学校考模拟预测）浙江金华第一中学校考模拟预测）记ABC的内角,A B C的对边分别为,a b c.已知sincostanABC.(1)求2AC；(2)证明：25cba.【答案】(1)32；(2)证明见解析.【分析】（1）根据sincosAB，由诱导公式逆推可得2AB，再由2AB，可得2AB，再代入2AC计算即可；（2）根据（1）可得3cos2sintantan22sin2AACAA，再通过二倍角公式化简计算可得322cos2cos2cos10AAA，换元后构造新函数 32222110f xxxxx，求解导函数从而判断函数单调性，从而可得12cos25A，再结合正弦函数的平方关系与商式关系，判断三角函数的范围，由正弦定理边角互化即可证明.【详解】（1）由sincosAB，得2AB，由题意可知，tanC存在，所以2C，即2AB，所以2AB，所以322222ACAABAAA.（2）由3cos2sintantan22sin2AACAA，得22222 1coscossin22sincos1sincos22cos12cos1AAAAAAAAA，故322cos2cos2cos10AAA，令cos10Axx，则 32222110f xxxxx，26422 311fxxxxx，当1x 时，()0fx；当10 x 时，0fx；所以函数 fx在,1 上单调递增，在1,0上单调递减，又120,025ff，所以12cos25A，进而321sincostan25ABC，12sin25B，可得6BC，所以bc.而sinsin2 212tansincos215bBBBaAB，故25ba.所以25cba.【点睛】求解本题的关键是根据题目等式关系结合二倍角公式化简得322cos2cos2cos10AAA，然后利用换元法构造新函数，求解导函数判断单调性，从而得cos A的范围，再利用三角函数平方关系与商式关系判断其他三角函数值，结合正弦定理边角互化证明边的关系.5（2022 秋秋江苏泰州江苏泰州高三江苏省泰兴中学校联考阶段练习）高三江苏省泰兴中学校联考阶段练习）ABC的内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c已知sin=sinbcB bAC(1)求角 A；(2)若ABC为锐角三角形，且ABC的面积为 S，求222abcS的取值范围【答案】(1)3A(2)4 316 3,3【分析】（1）利用正弦定理、余弦定理和和差公式整理即可得到1cos2A，再结合0,A，即可得到A；（2）根据3A和三角形面积公式将222abcS整理为8 34 333bccb，再根据锐角三角形和正弦定理得到bc的范围，最后用换元法和函数单调性求范围即可.【详解】（1）sinsinbcBbAC，所以sinsincoscossinbcBbACAC，所以222222222coscos22abcbcabbcabCbcAac，又2222cosabcbcA，所以1cos2A，因为0,A，所以3A（2）由（1）可知13csin24SbAbc，222abcbc则222222224 34 3 228 34 33333abcabcbcbcbcSbcbccb因为ABC锐角三角形，所以022032CC，整理得62C因为sinsinsin coscos sin31sinsinsin2tan2ACbBACACcCCCC，所以122bc令btc，则函数1ytt 在12,1上单调递减，在1,2上单调递增，所以52,2y，即52,2bccb，故222abcS的取值范围为4 316 3,3.6（2022江苏盐城江苏盐城盐城市第一中学校考模拟预测）盐城市第一中学校考模拟预测）如图，在锐角ABC中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知3,60cC(1)求ABC面积的最大值；(2)若AB边上的点 D 满足2ADDB，求线段CD长的最大值【答案】(1)9 34(2)3+1【分析】（1）利用余弦定理结合基本不等式求出9ab，从而得到面积的最大值；（2）根据2ADDB得到1233CDCACB ，平方后得到222412999CDabab，结合第一问229abab，求出22222224242|1bbababaaCDababbbaa，令bta，1 tm，故23133CDmm，结合ABC为锐角三角形，得到311,32 bmta，从而利用基本不等式，求出线段CD长的最大值.【详解】（1）由余弦定理得：22231cos6022abab，所以2222129922ababababababab，9ab，当且仅当3ab时取“=”139 3sin244ABCSabCab，ABC面积的最大值为9 34.（2）由2ADDB，可得：23ADAB，即23CDCACBCA ，故1233CDCACB 222212144cos33999CDCACBbaabC 222214414129992999baababab，而229abab，22222224242|1bbababaaCDababbbaa令bta，222423(1)111 ttttttt，令1 tm，233113333 mmmmm而ABC为锐角三角形，222222222222222222222122abcabababbacbaababbabcabababa311,32 bmta，23|142 32 33 CD，当且仅当=3m时取“=”，max|42 331CD7（2023 秋秋山西太原山西太原高三统考期末高三统考期末）在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足22bbca(1)求证：2AB；(2)求62cosbcbB的取值范围【答案】(1)证明见解析(2)8 2,12【分析】（1）先利用余弦定理化简已知条件可得(1 2cos)bAc，再利用正弦定理化边为角，即可证明（2）消元，将要求取值范围的代数式转化为48coscosBB，利用第一问得出的结论求出角B的取值范围，从而得到cosB的取值范围，最后应用对勾函数的单调性即可求解【详解】（1）由余弦定理得2222cosabcbcA，2222cosabcbcA22bbca，22abbc22coscbcAbc(1 2cos)bAc，由正弦定理得sinsinbcBC，sin(12cos)sinsin()BACAB，sinsin()BAB，0,A B，0BA，BAB，2AB（2）由（1）得2,(12cos)AB cbA，262 4cos16248coscoscoscosBbcBbBBB，2AB，又0180AB，03B，1cos12B，函数 48f xxx在12,22上单调递减，在2,12上单调递增 11122ff，28 22f48 28cos12cosBB，62cosbcbB的取值范围为8 2,128（2022 秋秋江苏苏州江苏苏州高三校考阶段练习高三校考阶段练习）在ABC中，角 A，B，C 成等差数列，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c(1)若aabbabc，判断ABC的形状；(2)若ABC不是钝角三角形，求ac的取值范围【答案】(1)ABC为直角三角形.(2)1,22【分析】（1）由已知得3B，再利用余弦定理及正弦定理可求得,62AC，进而判断三角形形状；（2）先求出62C，再利用正弦定理边化角，结合三角函数性质求最值即可.【详解】（1）因为角 A，B，C 成等差数列，2BAC又ABC，3B，即3B aabbabc，()()a abcb ab，22aacb由余弦定理得：22222122bacacacac222aacacac，2ca 由正弦定理得：sin2sinCA，即sin2sin3AA13sincos2sin22AAA，cos3sinAA，即3tan3A又(0,)A，,62AC所以ABC为直角三角形.（2）23AC，则23AC由ABC不是钝角三角形，知203202CC，62C由正弦定理知13sinsincossin13cos322sinsinsin22sinCCCaACcCCCC当2C 时，cos0C，12ac当62C时，1322tanacC，62C，3tan3C，103tanC，130tan2C，122ac综上可知，ac的取值范围时1,229（2022 秋秋黑龙江绥化黑龙江绥化高三海伦市第一中学校考期中）高三海伦市第一中学校考期中）在ABC中，内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，cos3cos23AaCbc，点 D 是边 BC 上的一点，且sinsin32BADCADbca(1)求证：3aAD；(2)若2CDBD，求cosADC【答案】(1)详见解析；(2)1314【分析】（1）先利用余弦定理由cos3cos23AaCbc 得到56A，再利用正弦定理由sinsin32BADCADbca即可求得3aAD；（2）先利用余弦定理求得37cbab，进而利用余弦定理求得13cos14ADC【详解】（1）在ABC中，cos3cos23AaCbc，则22222223223bcaababcabcbc 整理得2223bcabc，则2223cos22bcaAbc 又0A，则56A在ACD中，由正弦定理得sinsinCADCCDAD，则sinsinCDCCADAD在BAD中，由正弦定理得sinsinBADBBDAD，则sinsinBDBBADAD则sinsinsinsinBADCADBDBCDCbcAD bAD c11sinsin132222BDCDaBDACDAAD aAD aAD aAD aADa则3aAD（2）由2CDBD，可得21,33CDa BDa，又3aAD 则22222221113333cos,cos1211223333aabaacADCADBaaaa由coscos0ADCADB可得2222222111333301211223333aabaacaaaa，解之得2222abc又56A，则2223abcbc，由22222223abcabcbc，可得37cbab则222222215713339cos1241427339aabbbADCaab10（2023云南云南高三云南师大附中校考阶段练习高三云南师大附中校考阶段练习）在ABC中，设角A，B，C所对的边分別为a，b，c，BC边上的高为h，且bcah.(1)若23ha，且sincos1kAA，求实数k的值；(2)求tan A的最小值.【答案】(1)43(2)247【分析】（1）利用面积公式及余弦定理解得43k.（2）利用余弦定理得出函数22tan22tan11tantan22tan2AAAAA，利用单调性解决问题。【详解】（1）由三角形面积公式可得11sin22bcAah，则22sin3sinahabcAA，又53bcaha，由余弦定理可得222222225243cos1sin142233sinaabcabcbcaAAabcbcA，4sincos13AA，43k.（2）由bcah，可得22222222cos11sin12222sinbcabcahabcahAAahbcbcaA，22cos1 1cos11212sin2sincostan222AhAAAAaA，如图，过点A作ADBC于D，过点C作CEBC，使得2CEh，连接BE，AE，则ACAE，在Rt BCE中，224BEah，则ahbcACABAEABBE，即224ahah，解得203ha，则1411,23tan2hAa，3tan,124A，而22tan22tan11tantan22tan2AAAAA，令tan2At，则1ytt在3,14t时为减函数，70,12y，当3t4时，max712y，此时tanA取得最小值247.11（2022 秋秋安徽宿州安徽宿州高三砀山中学校考阶段练习）高三砀山中学校考阶段练习）在ABC中，sinsinsinsinsinsinsinCBABABC，(1)求角 C 的大小；(2)求sin22sin4BB的取值范围【答案】(1)23；(2)2 2,3.【分析】（1）由正弦定理得到222abcab，再由余弦定理得到1cos2C ，从而求出23C；（2）先得到0,3B，7,44 12B，令s1,sin2cotBB，应用三角恒等变换及换元得到sin2212sin4BttB，由导函数得到1ytt 在(1,2上单调递增，求出 122 2,3g ttt.【详解】（1）设内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，由正弦定理及sinsinsinsinsinsinsinCBABABC，得abbccba，整理得222abcab，由余弦定理得2221cos222abcabCabab ，又0C，23C（2）由（1）知，0,3B，7,44 12B令sincostBB，sincos2sin1,24tBBB2sin222(sin22)2(2sincos2)(sincos)12sincossincossincossin4BBBBBBBBBBBBB112 sincos2sincosBBtBBt令1ytt，则2221110tytt 在(1,2上恒成立，故函数1ytt 在(1,2上单调递增，122 2,3g ttt即sin22sin4BB的取值范围为2 2,312（2022 春春重庆沙坪坝重庆沙坪坝高三重庆八中校考阶段练习）高三重庆八中校考阶段练习）已知在ABC中，内角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，且满足coscos2 cosbCcBaA.(1)求角 A；(2)若 D 点在线段BC上，且AD平分BAC，若2BDCD，且3AD，求ABC的面积.【答案】(1)3(2)9 38【分析】（1）根据题意，利用正弦定理及三角形中sinsin()ABC即可求解.（2）可设DCx,则2BDx，利用余弦定理及正弦定理求解,b c x三者的值，再利用三角形面积公式即可求解.【详解】（1）解：coscos2 cosbCcBaA，由正弦定理得：sincossincos2sincosBCCBAA，即sin2sinc s(o)BCAA，则sin2sincosAAA，又在ABC中，0A，sin0A，故1cos2A，故3A.（2）由题可知6BADCAD，设DCx,则2BDx，,ABc ACb由正弦定理得：,sinsinsinsinADDCADBDCCADBBAD，即332,11sinsin22xxCB，解得sin2sinCcBb，由余弦定理得22222(2)3(3)cos2223cxcxbBcxcx，解得2226290cxb；又2cb，故2232xb.由余弦定理得222(3)1cos22bcxBACbc，即222274912222bbbbb，解得32b，则3c，34x.ABC的面积为11339 3sin322228SbcA.13（2022辽宁沈阳辽宁沈阳东北育才双语学校校考一模）东北育才双语学校校考一模）如图，设ABC中角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，AD 为 BC 边上的中线，已知1c 且12 sincossinsinsin4cABaAbBbC，21cos7BAD(1)求 b 边的长度；(2)求ABC的面积；(3)设点 E，F 分别为边 AB，AC 上的动点（含端点），线段 EF 交 AD 于 G，且AEF的面积为ABC面积的16，求AG EF 的取值范围【答案】(1)4(2)3(3)502，【分析】（1）根据正弦定理的“角化边”把已知条件中的等式进行转化，再运用余弦定理得出b和c的关系式，进而求出b的长度即可；（2）根据向量的运算性质和两向量的夹角公式求出cosBAC，进而求出sinBAC，再根据三角形面积公式求出面积即可；（3）首先设kAADG，ABAE ，ACAF （1，），根据三点共线公式得到2k，再根据面积的倍数关系求出6，因此求出AG EF 的表达式后，可以根据函数值域的求解方法解决取值范围即可（1）由已知条件可知：12sincossinsinsin4cABaAbBbC 在ABC中，由正弦定理2sinsinsinabcRABC得2212cos4acBabbc在ABC中，由余弦定理222cos2acbBac得2222214acbabbc4bc，又14cb，（2）设BACAD为 BC 边上中线1122ADABAC 则21111cos2cos2222AB ADABABACABAB AC 222221241178coscos22ADADABACAB ACABACAB AC 4cos1217co17ss8coABABADBADAD 228cos8cos11012cos1 14cos110cos2或1114由，得1134cos10coscossin422 1sin32ABCSABACuuu r uuu r（3）设ADkAG，ABAE ，ACAF （1，）1AE，4AF1122222ABACkAGAEAFAGAEDAFkkA 根据三点共线公式，得2k1AG EADAFAEkF 1112ABACACABk 2211111cos2ACABABACk （1cos2，为BAC）1161222k361sin2661sin2ABCAEFAB ACAE AFSS 66162AG EF 22136 27316 26161667 42，217510662AG EF ，【点睛】本题考查了正弦定理，余弦定理的应用，考查向量的运算性质以及求函数值域问题，需要一定的分析和解决问题的能力14（2023 春春辽宁大连辽宁大连高三瓦房店市高级中学校考开学考试）高三瓦房店市高级中学校考开学考试）ABC的内角,A B C的对边分别是,a b c，且sinsinsinABacCab，(1)求角B的大小；(2)若3b，D为AC边上一点，2BD，且BD为B的平分线，求ABC的面积【答案】(1)3B;(2)3 32.【分析】（1）先利用正弦定理，角化边，再利用余弦定理求角B即可；（2）利用等面积法ABCABDCBDSSS结合余弦定理，求出ac的值即可求得ABC的面积.【详解】（1）因为sinsinsinABacCab，由正弦定理得abaccab，化简得222bacac，所以由余弦定理得2221cos2acbBac，又因为0,B，所以3B.（2）如图所示因为ABCABDCBDSSS即111sinsinsin22222BBBA BCBBA BDBCBD，化简得32BABCBA BC,又由余弦定理得2222cosACBABCBABCB即2()39BABCBABC，联立解得2BABC（舍去）或6，所以13 3sin22ABCSBA BCB.15（2023 秋秋河北衡水河北衡水高三河北衡水中学校考阶段练习高三河北衡水中学校考阶段练习）已知ABC的外心为O，,M N为线段,AB AC上的两点，且O恰为MN中点.(1)证明：|AMMBANNC(2)若|3AO，|1OM，求AMNABCSSVV的最大值.【答案】(1)证明见解析(2)49【分析】（1）设1122,AMx BMyANx CNy，利用余弦定理求得cosAMO，cosBMO，再根据coscos0AMOBMO，化简，可求得11x y，同理可求得22x y，即可得证；（2）利用余弦定理求得cosAOM，cosAON，再根据coscos0AOMAON结合（1）求得2212xx，设1212,xxyy，可求得，再根据三角形的面积公式结合基本不等式即可得出答案.【详解】（1）证明：设1122,AMx BMyANx CNy，由余弦定理知：22211cos2xOMAOAMOxOM，22211cos2yOMBOBMOyOM，由O是ABC外心知AOBOCO，而coscos0AMOBMO，所以2222221111022xOMAOyOMBOx OMy OM，即221111()()0 x yOMAOxy，而110 xy，因此2211x yAOOM，同理可知2222x yAOON，因此1122x yx y，所以|AMMBANNC；（2）解：由（1）知11222x yx y，由余弦定理知：2221cos2AOOMxAOMAO OM，2222cos2AOONxAONAO ON，代入coscos0AOMAON得22128xx，设1212,xxyy，则2212422xx，因此11455(1)(1)9114AMNABCSAM BMSAB AC，当且仅当2时取到等号，因此AMNABCSSVV的最大值为49.16（2023河北河北高三河北衡水中学校考阶段练习）高三河北衡水中学校考阶段练习）在锐角ABC中，,(,BCa ACb ABc a b c均为已知常数），.ABC的外接圆，内切圆半径分别为,R r.(1)求Rr；(2)点,D E F分别在线段,BC AC AB上，DEF的周长为0P，请证明：0rPabcR.【答案】(1)2abcRrabc(2)证明见解析【分析】（1）设ABC的内心为I，利用等面积法及三角形面积公式求得sinabc rAbc，又利用正弦定理可得sin2aAR，两式结合消去sin A即可得所求；（2）利用轴对称，确定DEF的周长的0P最小值建立不等关系，结合对称性、正弦定理、余弦定理、三角形面积公式、二倍角公式验证不等式取等情况，即可证明结论.【详解】（1）解：设锐角ABC的内心为I，则11sin222ABCIABIACIABIBCabc rSSSSSABBCAC rbcA，所以sinabc rAbc，由正弦定理得：2sinaRA，则sin2aAR，所以2abc raRbc，则2abcRrabc；（2）证明：如图，设D关于AB对称的点为1D，D关于AC对称的点为2D，连接1212,AD ADAD D D，过A作3ADBC于3D由对称可得1212,FDFD EDEDADADAD，122D ADBAC所以DEF的周长为01212PFDEDFEFDEDFED D又在12AD D中，2222121212122cos22cos2D DADADAD ADD ADADBAC，又锐角ABC中，三边为已知常数，所以cos2 BAC为常数，则当AD最小时，12D D有最小值，即当ADBC时，min3ADAD，由于311sin22ABCSbcAa AD，得3sin2bcAbcADaR，所以2222123322cos24sinD DADAADA，即1