2024高考数学专项复习圆锥曲线必背结论（口诀）.pdf

圆锥曲线必背口诀(红字为口诀)-椭圆圆锥曲线必背口诀(红字为口诀)-椭圆 一、椭圆定义一、椭圆定义 椭圆三定义，简称和比积.椭圆三定义，简称和比积.1、定义 1：(和)到两定点的距离之1、定义 1：(和)到两定点的距离之和为定值和为定值的点的轨迹叫做椭圆.的点的轨迹叫做椭圆.定点为焦点，定值为长轴.（定点为焦点，定值为长轴.（定值=定值=）2、定义 2：(比)到定点和到定直线的距离之2、定义 2：(比)到定点和到定直线的距离之比为定值比为定值的点的轨迹叫做的点的轨迹叫做椭圆.定点为焦点，定直线为准线，定值为离心率.（椭圆.定点为焦点，定直线为准线，定值为离心率.（定值=定值=）3、定义 3：(积)到两定点连线的斜率之3、定义 3：(积)到两定点连线的斜率之积为定值积为定值的点的轨迹是椭圆.的点的轨迹是椭圆.定点为短轴顶点，定值为负值.（定点为短轴顶点，定值为负值.（定值定值）二、椭圆的性质定理二、椭圆的性质定理 长轴短轴与焦距，形似勾股弦定理长轴短轴与焦距，形似勾股弦定理 准线方程准焦距，方、方除以准线方程准焦距，方、方除以通径等于 2，切线方程用代替通径等于 2，切线方程用代替 焦三角形计面积，半角正切连乘焦三角形计面积，半角正切连乘 注解：注解：1、1、长轴短轴与焦距，形似勾股弦定理长轴短轴与焦距，形似勾股弦定理长轴，短轴，焦距，则：长轴，短轴，焦距，则：2、2、准线方程准焦距，方、方除以准线方程准焦距，方、方除以准线方程：准线方程：（方除以方除以）准焦距准焦距：焦点到准线的距离：焦点到准线的距离：（方除以方除以）3、3、通径等于 2，切线方程用代替通径等于 2，切线方程用代替2ae2ke1abcepb2a 2b2c222abcabc2axc acp2bpc bcep2024高考数学专项复习椭圆的通径：过焦点垂直于长轴的直线与椭圆的两交点之间的距离称为椭圆的通径.（椭圆的通径：过焦点垂直于长轴的直线与椭圆的两交点之间的距离称为椭圆的通径.（通径通径）过椭圆上点的切线方程，用等效代替椭圆方程得到.过椭圆上点的切线方程，用等效代替椭圆方程得到.等效代替后的是等效代替后的是切线方程切线方程是：是：4、4、焦三角形计面积，半角正切连乘焦三角形计面积，半角正切连乘焦三角形焦三角形：以椭圆的两个焦点为顶点，另一个顶点在椭圆上的三角形称为焦三角形.半角是指的一半.：以椭圆的两个焦点为顶点，另一个顶点在椭圆上的三角形称为焦三角形.半角是指的一半.则焦三角形的面积为：则焦三角形的面积为：证明：设证明：设，则.，则.由余弦定理：由余弦定理：即：，即：.即：，即：.即：即：故：故：又：又：所以：椭圆的焦点三角形的面积为.所以：椭圆的焦点三角形的面积为.d22c b2b2acad2ep 00 xy(,)00 xy(,)0022x xy y1abb12F F,P12F PF 2Sb2tan 1PFm 2PFn mn2a222mn2mn4ccos 22224a4bmn4b()22mn2mn4bcos 22b1mn(cos)2122bmnPFPF1|cos 12F PF1Sm n2sin 2212bb2 11sinsincoscos22221222sincossintancoscos122F PFSb2tan 1F2FOxyPmn三、椭圆的相关公式三、椭圆的相关公式 切线平分焦周角，称为弦切角定理切线平分焦周角，称为弦切角定理 切点连线求方程，极线定理须牢记切点连线求方程，极线定理须牢记 弦与中线斜率积，准线去除准焦距弦与中线斜率积，准线去除准焦距 细看中点弦方程，恰似弦中点轨迹细看中点弦方程，恰似弦中点轨迹 注解：注解：1、1、切线平分焦周角，称为弦切角定理切线平分焦周角，称为弦切角定理弦切角定理弦切角定理：切线平分椭圆：切线平分椭圆焦周角焦周角的外角，平分双曲线的的外角，平分双曲线的焦周角焦周角.焦周角焦周角是焦点三角形中，焦距所对应的角.是焦点三角形中，焦距所对应的角.弦切角是指椭圆的弦与其切线相交于椭圆上时它们的夹角，当弦为弦切角是指椭圆的弦与其切线相交于椭圆上时它们的夹角，当弦为焦点弦焦点弦时（过焦点的弦），那么时（过焦点的弦），那么切线是两个焦点弦的角平分线切线是两个焦点弦的角平分线.2、2、切点连线求方程，极线定理须牢记切点连线求方程，极线定理须牢记若在椭圆外，则过作椭圆的两条切线，切点为，则点和切点弦分别称为椭圆的若在椭圆外，则过作椭圆的两条切线，切点为，则点和切点弦分别称为椭圆的极点和极线极点和极线.切点弦的直线方程即切点弦的直线方程即极线方程是极线方程是（称为（称为极线定理极线定理）3、3、弦与中线斜率积，准线去除准焦距弦与中线斜率积，准线去除准焦距弦指椭圆内的一弦.中线指弦的中点与原点的连线，即得中线.这两条直线的斜率的乘积，等于弦指椭圆内的一弦.中线指弦的中点与原点的连线，即得中线.这两条直线的斜率的乘积，等于准线距离准线距离去除去除准焦距准焦距，其结果是：，其结果是：4、4、细看中点弦方程，恰似弦中点轨迹细看中点弦方程，恰似弦中点轨迹000Pxy(,)2222xy1ab0P12P P,0P12P P,1 2P P0022x xy y1abABABMOOAB 2caxc 2bpc2ABOM2cpbkkxa 中点弦的方程中点弦的方程：在椭圆中，若弦的中点为，弦称为中点弦，则中点弦的方程就是，是直线方程.：在椭圆中，若弦的中点为，弦称为中点弦，则中点弦的方程就是，是直线方程.弦中点的轨迹方程弦中点的轨迹方程：在椭圆中，过椭圆内点的弦，其中点的方程就是，仍为椭圆.：在椭圆中，过椭圆内点的弦，其中点的方程就是，仍为椭圆.这两个方程有些相似，要擦亮眼睛，千万不要搞混了.这两个方程有些相似，要擦亮眼睛，千万不要搞混了.圆锥曲线必背口诀(红字为口诀)-双曲线圆锥曲线必背口诀(红字为口诀)-双曲线 一、双曲线定义一、双曲线定义 双曲线有四定义，差比交线反比例双曲线有四定义，差比交线反比例1、定义 1：(1、定义 1：(差差)平面内，到两个定点)平面内，到两个定点的的距离之差距离之差的绝对值为的绝对值为定值定值（小于这两个定点间的距离）的点的轨迹称为（小于这两个定点间的距离）的点的轨迹称为双曲线双曲线。定点叫双曲线的。定点叫双曲线的焦点焦点。即：。即：2、定义 2：(2、定义 2：(比比)平面内，到给定一点及一直线的)平面内，到给定一点及一直线的距离之比距离之比为为定值定值的点的轨迹称为的点的轨迹称为双曲线双曲线。定点叫双曲线的。定点叫双曲线的焦点焦点，定直线叫双曲线，定直线叫双曲线的的准线准线。3、定义 3：(3、定义 3：(交线交线)一平面截一圆锥面，当截面与圆锥面的母线不平)一平面截一圆锥面，当截面与圆锥面的母线不平行，且与圆锥面的两个圆锥都相交时，行，且与圆锥面的两个圆锥都相交时，交线交线称为双曲线。称为双曲线。4、定义 4：(4、定义 4：(反比例反比例)在平面直角坐标系中，反比例函数)在平面直角坐标系中，反比例函数的图象称为双曲线。的图象称为双曲线。证明：证明：反比例函数图象是双曲线轨迹经过旋转得到反比例函数图象是双曲线轨迹经过旋转得到.ABAB00M xy(,)AB2200002222x xy yxyababM000Pxy(,)ABM22002222x xy yxyabab12FF,2a12F F12FF,12PFPF2ae1 kyx 证明：证明：因为的对称轴是,，而的对称轴是轴，轴，所以应该旋转.设旋转的角度为（，顺时针）（为双曲线渐进线的倾斜角）因为的对称轴是,，而的对称轴是轴，轴，所以应该旋转.设旋转的角度为（，顺时针）（为双曲线渐进线的倾斜角）则有：，则有：，取，则：取，则：而，所以，而，所以，即：()或 ()即：()或 ()由此证得，反比例函数其实就是双曲线的一种形式，只不过是双曲线在平面直角坐标系内的另一种摆放形式.由此证得，反比例函数其实就是双曲线的一种形式，只不过是双曲线在平面直角坐标系内的另一种摆放形式.二、双曲线的性质定理二、双曲线的性质定理 基本同椭圆，有所区别：基本同椭圆，有所区别：长轴短轴与焦距，形似长轴短轴与焦距，形似勾股弦定理勾股弦定理 准线方程准焦距，方、方除以准线方程准焦距，方、方除以 通径等于 2，切线方程用代替通径等于 2，切线方程用代替 焦三角形计面积，半角焦三角形计面积，半角余切余切连乘连乘 注解：注解：1、1、长轴短轴与焦距：形似长轴短轴与焦距：形似勾股弦定理勾股弦定理长轴，短轴，焦距，则：长轴，短轴，焦距，则：xykyxyx 2222xy1abxyo45 0 XxycossinYxysincos o452222ooooXYx45y45x45y45cossinsincos221xyxy2xy2xyk22XY2xy2k22XY12k2kk022YX12k2k()()k0abcepb2a 2b2c222abc实际上，双曲线是实轴、虚轴、与焦距，但为了方便记忆，也不至于造成混乱，我们还是按椭圆的口诀记忆.实际上，双曲线是实轴、虚轴、与焦距，但为了方便记忆，也不至于造成混乱，我们还是按椭圆的口诀记忆.2、2、准线方程准焦距，方、方除以准线方程准焦距，方、方除以准线方程：准线方程：（方除以方除以）准焦距准焦距：焦点到准线的距离：焦点到准线的距离：（方除以方除以）3、3、通径等于 2，切线方程用代替通径等于 2，切线方程用代替双曲线双曲线的通径：过焦点垂直于长轴的直线与双曲线的两交点之间的距离称为双曲线的通径.（的通径：过焦点垂直于长轴的直线与双曲线的两交点之间的距离称为双曲线的通径.（通径通径）过过双曲线双曲线上点的切线方程，用等效代替双曲线方程得到，等效代替后的是上点的切线方程，用等效代替双曲线方程得到，等效代替后的是切线方程切线方程是：是：4、4、焦三角形计面积，半角焦三角形计面积，半角余切余切连乘连乘焦三角形焦三角形：以双曲线的两个焦点为顶点，另一个顶点在椭圆上的三角形称为焦三角形.半角是指的一半.：以双曲线的两个焦点为顶点，另一个顶点在椭圆上的三角形称为焦三角形.半角是指的一半.双曲线的左右焦点分别为，点为双曲线上异于顶点 任 意 一 点，则 双 曲 线 的 焦 点 三 角 形 满 足：双曲线的左右焦点分别为，点为双曲线上异于顶点 任 意 一 点，则 双 曲 线 的 焦 点 三 角 形 满 足：其面积为；.其面积为；.证明：设证明：设，则，则abc2axc acp2bpc bcepd22c b2b2acad2ep 000Pxy(,)000Pxy(,)0022x xy y1abb12F F,P12F PF 2222xy1ab12F F,P12F PF 2122bPFPF1cos 122F PFSb co2t 21PFm PFn,mn2a在中，由余弦定理得：在中，由余弦定理得：，即：即：即：即：即：，即：即：，即：即：，即：即：，即：那么，焦点三角形的面积为：那么，焦点三角形的面积为：故：故：同时：，故：同时：，故：双曲线的焦点三角形的面积为：.双曲线的焦点三角形的面积为：.三、双曲线的相关公式三、双曲线的相关公式 切线平分焦周角，称为弦切角定理切线平分焦周角，称为弦切角定理 切点连线求方程，极线定理须牢记切点连线求方程，极线定理须牢记 弦与中线斜率积，准线去除准焦距弦与中线斜率积，准线去除准焦距 细看中点弦方程，恰似弦中点轨迹细看中点弦方程，恰似弦中点轨迹 12F PF 222121212PFPF2 PFPFF Fcos 222mn2mn4ccos22224a4bmn4b()2222mn2mnmn4bcos()22mn2mn4bcos22bmn 1(cos)22bmn1cos 2122bPFPF1cos 12F PF1Smn2sin 212b2 1sincos2222b22b122sincossincossin2b2cot122F PFSb2cot 12F PF12PP1SF Fycy2 2pbyc2cot 122F PFSb co2t 注解：注解：1、1、切线平分焦周角，称为弦切角定理切线平分焦周角，称为弦切角定理弦切角定理弦切角定理：切线平分椭圆焦周角的外角，平分：切线平分椭圆焦周角的外角，平分双曲线双曲线的的焦周角焦周角.焦周角焦周角是焦点三角形中，焦距所对应的角.是焦点三角形中，焦距所对应的角.弦切角是指双曲线的弦与其切线相交于双曲线上时它们的夹角，当弦为弦切角是指双曲线的弦与其切线相交于双曲线上时它们的夹角，当弦为焦点弦焦点弦时（过焦点的弦），那么时（过焦点的弦），那么切线是两个焦点弦的角平分线切线是两个焦点弦的角平分线.如 图，是 焦 点 三 角 形，为 焦 周角，为双曲线的切线.则平分.如 图，是 焦 点 三 角 形，为 焦 周角，为双曲线的切线.则平分.2、2、切点连线求方程，极线定理须牢记切点连线求方程，极线定理须牢记若在双曲线外，以包含焦点的区域为内，不包含焦点的区域为外，则过作双曲选的两条切线，切点为、，则点和切点弦分别称为双曲线的若在双曲线外，以包含焦点的区域为内，不包含焦点的区域为外，则过作双曲选的两条切线，切点为、，则点和切点弦分别称为双曲线的极点和极线极点和极线，切点弦的直线方程即，切点弦的直线方程即极线方程是极线方程是（称为（称为极线定理极线定理）3、3、弦与中线斜率积，准线去除准焦距弦与中线斜率积，准线去除准焦距弦指双曲线内的一弦.中线指弦的中点与原点的连线，即得中线.这两条直线的斜率的乘积，等于弦指双曲线内的一弦.中线指弦的中点与原点的连线，即得中线.这两条直线的斜率的乘积，等于准线距离准线距离12F PF 12F PF PTPT12F PF 000Pxy(,)2222xy1ab0P1P2P0P1 2P P1 2P P0022x xy y1abABABMOOAB 1F2FPTyxxy1P2P0PO1F2FOxyBAM1F2F去除去除准焦距准焦距，其结果是：，其结果是：4、4、细看中点弦方程，恰似弦中点轨迹细看中点弦方程，恰似弦中点轨迹中点弦的方程中点弦的方程：在双曲线中，若弦的中点为，称弦为中点弦，则中点弦的方程就是：，它是直线方程.：在双曲线中，若弦的中点为，称弦为中点弦，则中点弦的方程就是：，它是直线方程.弦中点的轨迹方程弦中点的轨迹方程：在双曲线中，过双曲线外一点的弦，其中点的方程就是，仍为双曲线.：在双曲线中，过双曲线外一点的弦，其中点的方程就是，仍为双曲线.这两个方程有些相似，要擦亮眼睛，千万不要搞混了.这两个方程有些相似，要擦亮眼睛，千万不要搞混了.圆锥曲线必背口诀(红字为口诀)-抛物线圆锥曲线必背口诀(红字为口诀)-抛物线 一、抛物线定义一、抛物线定义 抛物线，有定义，定点定线等距离抛物线，有定义，定点定线等距离 1、到一个定点和一条定直线距离相等得点的轨迹称为1、到一个定点和一条定直线距离相等得点的轨迹称为抛物线抛物线.2、二次函数的图象是2、二次函数的图象是抛物线抛物线.二、抛物线性质二、抛物线性质 焦点准线极点线，两臂点乘积不变焦点准线极点线，两臂点乘积不变 焦弦切线成直角，切点就是两端点焦弦切线成直角，切点就是两端点 端点投影在准线，连结焦点垂直线端点投影在准线，连结焦点垂直线 焦弦垂直极焦线，切线是角平分线焦弦垂直极焦线，切线是角平分线 直角梯形对角线，交点就是本原点直角梯形对角线，交点就是本原点 焦弦三角计面积，半个方除正弦焦弦三角计面积，半个方除正弦2caxc2bpc2ABOM2cpbkkxaABAB00M xy(,)AB2200002222x xy yxyababM000Pxy(,)ABABM22002222x xy yxyababp注解：注解：1、1、焦点准线极点线焦点准线极点线 抛物线的焦点和准线是一对极点和极线抛物线的焦点和准线是一对极点和极线.抛物线方程：，焦点，准线抛物线方程：，焦点，准线(抛物线的顶点到定点和定直线距离相等)(抛物线的顶点到定点和定直线距离相等)焦弦焦弦：过焦点的直线与抛物线相交于两点和，则称为焦弦.：过焦点的直线与抛物线相交于两点和，则称为焦弦.弦中点，弦中点，焦弦方程：，为斜率.焦弦方程：，为斜率.2、2、两臂点乘积不变两臂点乘积不变 焦点三角形两边和的点乘积为定值，且夹角是钝角.焦点三角形两边和的点乘积为定值，且夹角是钝角.证明证明：焦弦满足的条件：焦弦满足的条件 由韦达定理得：由韦达定理得：，即：，即：，且：.且：.故：故：焦点三角形两边之点乘积为定值.焦点三角形两边之点乘积为定值.2y2px(,)pF02ppx2 (,)O 0 0(,)pF02ppx2 ABAB(,)MMM xyABMxxx2ABMyyy2()pyk x2kOAOBAB()2y2pxpyk x2()22pkx2px2()22222k pk xk2 px042ABpx x4 2A BABABpy y2px2px2p x x2pp2 2ABpx x4 2A By yp 2AABBABA B3OA OBxyxyx xy yp04(,)(,)3、3、焦弦切线成直角，切点就是两端点焦弦切线成直角，切点就是两端点 即：即：焦弦两端点的切线互相垂直.焦弦两端点的切线互相垂直.证明证明：如图，由抛物线方程：如图，由抛物线方程：得到导数：，即：得到导数：，即：故：，故：，于是：于是：将式代入上式得：将式代入上式得：即：即：4、4、端点投影在准线，连结焦点垂直线端点投影在准线，连结焦点垂直线 即：即：焦弦端点在准线的投影点与焦点构成直角三角形.焦弦端点在准线的投影点与焦点构成直角三角形.证明证明：坐标,：坐标,则：，则：，于是：于是：将式代入上式得：将式代入上式得：故：故：即：焦弦端点在准线的投影点，则，即：焦弦端点在准线的投影点与焦点构成直角三角形.即：焦弦端点在准线的投影点，则，即：焦弦端点在准线的投影点与焦点构成直角三角形.5、5、焦弦垂直极焦线焦弦垂直极焦线 若焦弦对应的极点，则为若焦弦对应的极点，则为极焦线极焦线，于是，于是用向量方法可证.用向量方法可证.2y2px yyp pyy AEApky BEBpky 2AEBEABABpppkkyyy y2A By yp AEBEkk1 AEBE BpCy2(,)ApDy2(,)BCFpy(,)ADFpy(,)2ABCF DFpy y 2A By yp CF DF0 CFDF A B,D C,CFDF ABEEFEFAB ABFMCDEABFMCDE由于是的中点，为直角三角形，计算可得是的中点，由于是的中点，为直角三角形，计算可得是的中点，故：故：由向量法可证由向量法可证即：即：焦弦与极焦线互相垂直.焦弦与极焦线互相垂直.6、6、切线是角平分线切线是角平分线 即：即：切线平分焦弦的倾角(或倾角的外角)切线平分焦弦的倾角(或倾角的外角)如图：因为和都是直角三角形，如图：因为和都是直角三角形，且由定义知：，且由定义知：，故，则对应角相等.故，则对应角相等.即：即：是的角平分线是的角平分线 同理，是的角平分线同理，是的角平分线 7、7、直角梯形对角线，交点就是本原点直角梯形对角线，交点就是本原点 即：即：直角梯形对角线相交于原点直角梯形对角线相交于原点 即：三点共线；三点共线.即：三点共线；三点共线.用向量法证明：，用向量法证明：，证明证明：坐标，：坐标，向量：，向量：，各分量之比：，各分量之比：，将式代入上式得：将式代入上式得：MABAEB EDCEDEFECEF AB0 ABEFADE AFE AFAD AEAE ADEAFEAEDAF BECBF ABCDA O C,B O D,OACO/OBDO/2AAyAy2p(,)2BByBy2p(,)BpCy2(,)ApDy2(,)2AAyOAy2p(,)BpCOy2(,)2A2xA2xyOAy2pppCO2()()2yAABAByOAyyyy yCO()()2A By yp 22yAA2AByOAyyy ypCO()()ABFMCDE故：，即：故：，即：同理：.同理：.直角梯形对角线相交于原点.直角梯形对角线相交于原点.8、8、焦弦三角计面积，半个方除正弦焦弦三角计面积，半个方除正弦 即：即：焦弦三角形的面积为：焦弦三角形的面积为：（为焦弦的倾角）（为焦弦的倾角）证明：证明：如图：如图：则：则：于是：于是：故：故：附：圆锥曲线必背-极坐标附：圆锥曲线必背-极坐标 一、极坐标通式一、极坐标通式 圆锥曲线的极坐标以准焦距和离心率 来表示常量，以极径和极角来表示变量.圆锥曲线的极坐标以准焦距和离心率 来表示常量，以极径和极角来表示变量.，以 焦 点为 极 点(原 点)，以椭圆长轴、抛物线对称轴、双曲线的实轴为以 焦 点为 极 点(原 点)，以椭圆长轴、抛物线对称轴、双曲线的实轴为极轴极轴的建立极坐标系.故的建立极坐标系.故准线准线是到极点距离为准是到极点距离为准yxxyOAOAOACOCOCO()()()()OACO/OBDO/ABCDpsin2AOBpS2 ABAFBFABABppxxxxp22Mp2 x2()2 EM GF2 OFp2EFGF1pEMsinsinsinsin22pABsinAOB1SOF AB2sin 221p2pp2 22sinsinsinpe 0,)o0 360(,)F 0 OFMEGO O()FxLe1 e1 e1 O(F)焦距、且垂直于极轴的直线.焦距、且垂直于极轴的直线.极坐标系与直角坐标系的换算关系是：，极坐标系与直角坐标系的换算关系是：，或者：，或者：，特别注意：极坐标系中，以焦点为极点(原点)，而直角坐标系中以对称点为原点得到标准方程.特别注意：极坐标系中，以焦点为极点(原点)，而直角坐标系中以对称点为原点得到标准方程.如图，为极点，如图，为极点，为准线，则依据定义，到定点(极点)和到定直线(准为准线，则依据定义，到定点(极点)和到定直线(准线)的距离之比为定值(定值线)的距离之比为定值(定值)的点的轨迹为圆锥曲线.)的点的轨迹为圆锥曲线.所以，对极坐标系，请记住：所以，对极坐标系，请记住：极坐标系的极点是极坐标系的极点是椭圆的左焦点椭圆的左焦点、抛物线的焦点抛物线的焦点、双曲线的右焦点双曲线的右焦点；曲线上的点到焦点的距离是，到准线的距离是，根据定义：曲线上的点到焦点的距离是，到准线的距离是，根据定义：即：，即：，即：，即：，即：即：这就是极坐标下，圆锥曲线的通式.这就是极坐标下，圆锥曲线的通式.对应不同的，呈现不同的曲线.对应不同的，呈现不同的曲线.对双曲线，只是右边的一支对双曲线，只是右边的一支；对抛物线，开口向右对抛物线，开口向右.二、极轴旋转二、极轴旋转将极轴旋转，和分别对应变换前后的极角，即转角为，则极坐标方程变换前方程为：将极轴旋转，和分别对应变换前后的极角，即转角为，则极坐标方程变换前方程为：pL22xyarctanyxcosxsinyOLeO(,)P F cospcosepcosepecosepecosep1eeo180o180 o180 xLe1 e1 e1 变换后方程为：变换后方程为：此时的极坐标系下，此时有：此时的极坐标系下，此时有：极坐标系的极点是极坐标系的极点是椭圆的右焦点椭圆的右焦点、抛物线的焦点抛物线的焦点、双曲线的左焦点双曲线的左焦点；对应不同的，呈现不同的曲线.对应不同的，呈现不同的曲线.对双曲线，只是左边的一支对双曲线，只是左边的一支；对抛物线，开口向左对抛物线，开口向左.三、极轴旋转三、极轴旋转将极轴顺时针旋转，即：，则情况如图.将极轴顺时针旋转，即：，则情况如图.圆锥曲线的方程为：圆锥曲线的方程为：此时的极坐标系下：此时的极坐标系下：对应于直角坐标系下，焦点在轴的情况，且极点对应于对应于直角坐标系下，焦点在轴的情况，且极点对应于椭圆下方的焦点椭圆下方的焦点，双曲线上方的焦点双曲线上方的焦点，抛物线的焦点抛物线的焦点.对双曲线，只是轴上边的一支；对抛物线，开口向上对双曲线，只是轴上边的一支；对抛物线，开口向上.如果将极轴逆时针旋转，即：，则情况如图.如果将极轴逆时针旋转，即：，则情况如图.圆锥曲线的方程为：圆锥曲线的方程为：此时的极坐标系下：此时的极坐标系下：cosep1ecosep1eOeo90o90o90sinep1eyOyo90o90sinep1eO()FxLe1 e1 e1 O()FxLe1 e1 e1 对应于直角坐标系下，焦点在轴的情况，且对应于对应于直角坐标系下，焦点在轴的情况，且对应于椭圆上方的焦点椭圆上方的焦点，双曲线下方的焦点双曲线下方的焦点，抛物线的焦点抛物线的焦点.对双曲线，只是轴下边的一支；对抛物线，开口向下.对双曲线，只是轴下边的一支；对抛物线，开口向下.四、坐标变换四、坐标变换 在极坐标系中，圆锥曲线的通式为：在极坐标系中，圆锥曲线的通式为：即：，即：即：，即：即：即：将，代入式得：将，代入式得：即：即：当时当时 有：有：即：即：即：即：当时，令，当时，令，则：则：而：而：yy=cosep1ecoseepcosepe(cos)(cos)(cos)2222222epee pe2e p222xycosx2222222xye pe x2e px()2222221ex2e pxye pe1()()()()22222222222222e pe pe p1ex2xye p1e1e1e1e()()()222222222222e pee p1exye p11e1e1e()()222222222 22e pxy1e1e pe p1e1ee1()2222 2e pa1e2222e pb1e22e pc1e()2222222 22e pe pab1e1e()()()224222 22 2e pe p11e1e1e()()242222222 2e pe pcab1e1e代入式得：代入式得：这是标准的椭圆方程.这是标准的椭圆方程.当时，令，当时，令，则：则：而：而：代入式得：代入式得：这是标准的双曲线方程.这是标准的双曲线方程.当时，由式得：当时，由式得：即：即：即：即：这是标准的抛物线方程.这是标准的抛物线方程.()2222xcy1abe1()22222e pae12222e pbe122e pce1()222222222e pe pabe1e1()()()224222222e pe p1e1e1e1()()2422222222e pe pcabe1e1()2222xcy1abe1()2222221ex2e pxye p222pxyp()22py2pxp2p x2()2py2p x2