拓展：函数定义题--2025年高考新结构一轮复习解答题含答案.pdf

1拓展：定义题(解答题)拓展：定义题(解答题)1(2024安徽蚌埠统考模拟预测)(2024安徽蚌埠统考模拟预测)对于无穷数列a0,a1,a2,an,，我们称 f(x)=n=0ann!xn=a0+a1x+a22!x2+ann!xn+(规定0!=1)为无穷数列 an的指数型母函数无穷数列1，1，1，的指数型母函数记为e(x)=n=01n!xn=1+x+x22!+xnn!+，它具有性质e(x)e(y)=e(x+y)(1)证明：e(-x)=1e(x)；(2)记c(x)=k=0(-1)k(2k)!x2k=1-x22!+x44!+(-1)kx2k(2k)!+证明：c(x)=e(ix)+e(-ix)2(其中i为虚数单位)；(3)以函数xe(x)-1为指数型母函数生成数列 Bn，xe(x)-1=n=0Bnn!xn=B0+B1x+B22!x2+Bnn!xn+其中Bn称为伯努利数证明：B1=-12且B2k+1=0(k=1,2,3,)拓展：函数定义题-2025年高考新结构一轮复习解答题22(2024(2024上上全国全国高三校联考竞赛高三校联考竞赛)设有两个集合A,B，如果对任意aA，存在唯一的bB，满足f a=b，那么称 f是一个AB的函数.设 f a是AB的函数，g b是BC的函数，那么g f a是AC的函数，称为g和 f的复合，记为g f.如果两个AB的函数 f,g对任意aA，都有 f a=g a，则称 f=g.(1)对 f x=ex2，分别求一个g x,h x，使得 g fx=x=fhx对全体x1恒成立；(2)设集合A,B,C和AC的函数以及BC的函数.(i)对E=a,baA,bB,a=b，构造EA的函数p以及EB的函数q，满足p=q；(ii)对E=a,baA,bB,a=b，构造EA的函数p以及EB的函数q，满足p=q，并且说明如果存在其它的集合E满足存在EA的函数p以及EB的函数q，满足p=q，则存在唯一的EE的函数满足p=p,q=q.33(2024(2024下下湖北湖北高一湖北省汉川市第一高级中学校联考开学考试高一湖北省汉川市第一高级中学校联考开学考试)定义在D上的函数 f x，如果满足：对任意xD，存在常数M0，f xM恒成立，则称 f x是D上的有界函数，其中M称为 f x的上界(1)若 f x=4x+a2x+1在-,0上是以2为上界的有界函数，求a的取值范围；(2)已知 f x=1+-12x，m为正整数，是否存在整数k，使得对nN*，不等式mkf nm+2恒成立？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由44(2024(2024上上安徽安徽高一校联考期末高一校联考期末)对于函数 f(x)(xD)，D为函数定义域，若存在正常数T，使得对任意的xD，都有 f(x+T)f(x)成立，我们称函数 f(x)为“T同比不增函数”.(1)若函数 f(x)=kx+sinx是“2同比不增函数”，求k的取值范围；(2)是否存在正常数T，使得函数 f(x)=-x-x-1+x+1为“T同比不增函数”，若存在，求T的取值范围；若不存在，请说明理由.55(2024(2024上上江苏常州江苏常州高一统考期末高一统考期末)中心对称函数指的是图形关于某个定点成中心对称的函数，我们学过的奇函数便是一类特殊的中心对称函数，它的对称中心为坐标原点.类比奇函数的代数定义，我们可以定义中心对称函数：设函数y=f x的定义域为D，若对xD，都有 f 2m-x+f x=2n，则称函数f x为中心对称函数，其中 m,n为函数 f x的对称中心.比如，函数y=1x+1就是中心对称函数，其对称中心为 0,1.(1)判断 f x=2x+1x-1是否为中心对称函数(不用写理由)，若是，请写对称中心；(2)若定义在,2上的函数 f x=sin 2x+为中心对称函数，求的值；(3)判断函数g x=23x+1-1是否为中心对称函数，若是，求出其对称中心；若不是，请说明理由.66(2024(2024上上山东济宁山东济宁高一统考期末高一统考期末)已知函数 f x=ln ex-1-ln ex+1(1)求函数 f x的定义域；(2)试判断 f x的单调性，并说明理由；(3)定义：若函数F x在区间 m,n上的值域为 m,n，则称区间 m,n是函数F x的“完美区间”若函数g x=f x+lnb存在“完美区间”，求实数b的取值范围77(2024(2024云南昆明云南昆明统考模拟预测统考模拟预测)我们把a0+a1x+a2x2+anxn=0(其中an0，nN N*)称为一元n次多项式方程代数基本定理：任何复系数一元n nN N*次多项式方程(即a0，a1，a2，an为实数)在复数集内至少有一个复数根；由此推得，任何复系数一元n nN N*次多项式方程在复数集内有且仅有n个复数根(重根按重数计算)那么我们由代数基本定理可知：任何复系数一元n nN*次多项式在复数集内一定可以分解因式，转化为n个一元一次多项式的积即a0+a1x+a2x2+anxn=anx-1k1x-2k2 x-mkm，其中k，mN*，k1+k2+km=n，1，2，m为方程a0+a1x+a2x2+anxn=0的根进一步可以推出：在实系数范围内(即a0，a1，a2，an为实数)，方程a0+a1x+a2x2+anxn=0的有实数根，则多项式a0+a1x+a2x2+anxn必可分解因式例如：观察可知，x=1是方程x3-1=0的一个根，则 x-1一定是多项式x3-1的一个因式，即x3-1=x-1ax2+bx+c，由待定系数法可知，a=b=c=1(1)解方程：x3-2x+1=0；(2)设 f x=a0+a1x+a2x2+a3x3，其中a0，a1，a2，a3R+，且a0+a1+a2+a3=1(i)分解因式：x-a0+a1x+a2x2+a3x3；(ii)记点P x0,y0是y=f x的图象与直线y=x在第一象限内离原点最近的交点求证：当a1+2a2+3a31时，x0=188(2024(2024上上江苏苏州江苏苏州高一校考期末高一校考期末)已知函数 f x和g x的定义域分别为D1和D2，若对任意x0D1，恰好存在n个不同的实数x1，x2，xnD2，使得g xi=f x0(其中i=1，2，n，nN N)，则称g x为 f x的“n重覆盖函数”.(1)判断g x=x-1x 0,4是否为 f x=x+2 x 0,1的“n重覆盖函数”，如果是，求出n的值；如果不是，说明理由(2)若g x=ax2+2a-3x+1,x1log2x,x1 为 f x=log122x-12x+1的“2重覆盖函数”，求实数a的取值范围.99(2024(2024上上广东广东高一统考期末高一统考期末)定义：函数 f x若存在正常数T，使得 f x+T=f x+M，M为常数，对任意xR R恒成；则称函数 f x为“T代M阶函数”(1)判断下列函数是否为“2代M阶函数”？并说明理由 f1x=sinx，f2x=2x.(2)设函数F x=f x+g x为“4代M阶函数”，其中 f x是奇函数，g x是偶函数.若 f 2=1，求f 2026的值1010(2024(2024上上上海上海高一上海市洋泾中学校考期末高一上海市洋泾中学校考期末)对于定义在区间 a,b上的函数 f x，若Pfx=max f tatxx a,b(1)已知 f x=12x，g x=x12，x 0,1试写出P Pf fx x、P Pg gx x的表达式；(2)设a0且a1，函数 f f x x=a a2 2x x+3 3-a a a ax x-1 1，x12,1，如果P Pf fx x与 f x恰好为同一函数，求a的取值范围；(3)若Qfx=min f tatxx a,b，存在最小正整数k，使得P Pf fx x-QQf fx xk k x x-a a对任意的x a,b成立，则称函数 f x为 a,b上的“k阶收缩函数”，已知函数 f x=x2，x-1,4，试判断 f x是否为-1,4上的“k阶收缩函数”，如果是，求出对应的k，如果不是，请说明理由1111(2024(2024上上广东肇庆广东肇庆高一统考期末高一统考期末)对于函数(x)，若定义域内存在实数x0，满足-x0=-x0，则称(x)为“L函数”.(1)已知函数 f(x)=2sin x+6，试判断 f(x)是否为“L函数”，并说明理由；(2)已知函数g(x)=3x+a3x(aR R)为R R上的奇函数，函数h(x)=g(x)+3-x2-2m g(x)+3-x-4,x-1-4,x0是否存在“优美区间”?(直接写出结论，不要求证明)(2)如果函数 f x=x2+a在R R上存在“优美区间”，求实数a的取值范围.1拓展：定义题拓展：定义题(解答题解答题)1(2024(2024安徽蚌埠安徽蚌埠统考模拟预测统考模拟预测)对于无穷数列a0,a1,a2,an,，我们称 f(x)=n=0ann!xn=a0+a1x+a22!x2+ann!xn+(规定0!=1)为无穷数列 an的指数型母函数无穷数列1，1，1，的指数型母函数记为e(x)=n=01n!xn=1+x+x22!+xnn!+，它具有性质e(x)e(y)=e(x+y)(1)证明：e(-x)=1e(x)；(2)记c(x)=k=0(-1)k(2k)!x2k=1-x22!+x44!+(-1)kx2k(2k)!+证明：c(x)=e(ix)+e(-ix)2(其中i为虚数单位)；(3)以函数xe(x)-1为指数型母函数生成数列 Bn，xe(x)-1=n=0Bnn!xn=B0+B1x+B22!x2+Bnn!xn+其中Bn称为伯努利数证明：B1=-12且B2k+1=0(k=1,2,3,)【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)证明见解析【分析】(1)由e(x)e(y)=e(x+y)，通过赋值即可证得；(2)根据i的周期性，经过多次推理，由求和可以证得；(3)构造g(x)=xe(x)-1，可以推出g(-x)-g(x)=x，然后再可证得.【详解】(1)令x=0，则e(0)=1由e(x)e(y)=e(x+y)，令y=-x，则e(x)e(-x)=e(0)=1因为e(x)0，故e(-x)=1e(x)(2)证明：因为(ix)4n(4n)!+(-ix)4n(4n)!=x4n(4n)!+x4n(4n)!=2x4n(4n)!，(ix)4n+1(4n+1)!+(-ix)4n+1(4n+1)!=ix4n+1(4n+1)!+-ix4n+1(4n+1)!=0，(ix)4n+2(4n+2)!+(-ix)4n+2(4n+2)!=-x4n+2(4n+2)!+-x4n+2(4n+2)!=-2x4n+2(4n+2)!，(ix)4n+3(4n+3)!+(-ix)4n+3(4n+3)!=-ix4n+3(4n+3)!+ix4n+3(4n+3)!=0，e(ix)+e(-ix)=n=02x4n(4n)!-2x4n+2(4n+2)!=k=02(-1)k(2k)!x2k=2k=0(-1)k(2k)!x2k=2c(x)，所以c(x)=e(ix)+e(-ix)2(3)证明：令g(x)=xe(x)-1，则有2g(-x)-g(x)=-xe(-x)-1-xe(x)-1=-x1e(-x)-1+1e(x)-1=-xe(x)-1+e(-x)-1e(-x)-1e(x)-1=-xe(x)+e(-x)-22-e(x)-e(-x)=x，因此x=g(-x)-g(x)=n=0Bnn!(-x)n-n=0Bnn!xn=-2k=0B2k+1(2k+1)!x2k+1=-2 B1x+k=1B2k+1(2k+1)!x2k+1故B1=-12且k=1B2k+1(2k+1)!x2k+1=0，即B2k+1=0(k=1,2,3,)【点睛】关键点点睛：主要考查了复数i的周期性，考查推理论证能力，对学生思维要求比较高，综合性很强.2(2024(2024上上全国全国高三校联考竞赛高三校联考竞赛)设有两个集合A,B，如果对任意aA，存在唯一的bB，满足f a=b，那么称 f是一个AB的函数.设 f a是AB的函数，g b是BC的函数，那么g f a是AC的函数，称为g和 f的复合，记为g f.如果两个AB的函数 f,g对任意aA，都有 f a=g a，则称 f=g.(1)对 f x=ex2，分别求一个g x,h x，使得 g fx=x=fhx对全体x1恒成立；(2)设集合A,B,C和AC的函数以及BC的函数.(i)对E=a,baA,bB,a=b，构造EA的函数p以及EB的函数q，满足p=q；(ii)对E=a,baA,bB,a=b，构造EA的函数p以及EB的函数q，满足p=q，并且说明如果存在其它的集合E满足存在EA的函数p以及EB的函数q，满足p=q，则存在唯一的EE的函数满足p=p,q=q.【答案】(1)g x=lnx，h x=lnx(2)(i)p a,b=a，q a,b=b；(ii)p a,b=a，q a,b=b，说明见解析【分析】(1)利用对数函数性质结合题干条件求解；(2)(i)利用常函数求解；(ii)结合(i)再证明唯一性即可.【详解】(1)因为 g fx=lnex2=x2=x，而 fhx=elnx2=elnx=x，g fx=x=fhx对全体x1恒成立；故g x=lnx,h x=lnx 对所有x1成立.(2)(i)考虑p a,b=a以及q a,b=b两个函数，对任意 a,bE，因为 a=b，所以p=p a,b=a=b=q a,b=q.(ii)我们可以继续使用(i)的构造，任意取eE，因为p=q，所以 pe=qe，所以peA,qeB，则 pe,qeE，因此存在 e=pe,qe满足条件；如果符合题意，即 p=p,q=q，3则p e=pe,q e=qe，由p,q定义得到e=pe,qe；所以存在唯一的EE的函数满足题意.【点睛】关键点点睛：充分利用题目定义的新函数证明唯一性是关键.3(2024(2024下下湖北湖北高一湖北省汉川市第一高级中学校联考开学考试高一湖北省汉川市第一高级中学校联考开学考试)定义在D上的函数 f x，如果满足：对任意xD，存在常数M0，f xM恒成立，则称 f x是D上的有界函数，其中M称为 f x的上界(1)若 f x=4x+a2x+1在-,0上是以2为上界的有界函数，求a的取值范围；(2)已知 f x=1+-12x，m为正整数，是否存在整数k，使得对nN*，不等式mkf nm+2恒成立？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由【答案】(1)-4a0(2)存在，k=2【分析】(1)利用上界的定义，换元令t=2x转化函数式得-t-3ta-t+1t，再结合y=-t+1t与y=-t-3t的单调性计算即可；(2)假设存在k满足题意，分离参数得m1+-12nkm+21+-12n，然后分类讨论n为奇数或偶数，结合1+-12n的取值范围计算即可.【详解】(1)令t=2x，x-,0，则t 0,1，由题意可得，f x2在x-,0上恒成立，则 t2+at+12在t 0,1上恒成立，-2t2+at+12，即-t-3ta-t+1t，易知y=-t+1t在 0,1上单调递减，则ymin=0，根据对勾函数的性质可知：y=-t-3t在 0,1上单调递增，则ymax=-4，综上：-4a0(2)假设存在k满足题意，mk 1+-12nm+2,nN*当n为正偶数时，mk 1+12nm+2，即m1+12nkm+21+12n设y=1+12nn=2t,tN，易知1+12n 1,54，则4m5m1+12nm，4 m+25m+21+12nm+2，mk45m+2；4当n为正奇数时，mk 1-12nm+2，即m1-12nkm+21-12n同理设y=1-12nn=2t-1,tN，易知1-12n12,1，则mm1-12n2m，m+20 ，即0m43，m=1，即2k125，k=24(2024(2024上上安徽安徽高一校联考期末高一校联考期末)对于函数 f(x)(xD)，D为函数定义域，若存在正常数T，使得对任意的xD，都有 f(x+T)f(x)成立，我们称函数 f(x)为“T同比不增函数”.(1)若函数 f(x)=kx+sinx是“2同比不增函数”，求k的取值范围；(2)是否存在正常数T，使得函数 f(x)=-x-x-1+x+1为“T同比不增函数”，若存在，求T的取值范围；若不存在，请说明理由.【答案】(1)-,-2 2(2)存在，且T4【分析】(1)由 f(x+T)f(x)恒成立，分离常数k，结合三角函数的最值来求得k的取值范围.(2)结合 f x的图象以及图象变换的知识求得T的取值范围.【详解】(1)因为函数 f(x)=kx+sinx是“2同比不增函数”，则 f x+2 f x恒成立，所以k x+2+sin x+2kx+sinx恒成立，所以k2sinx-cosx=2sin x-4，即k2 2sin x-4，由于sin x-4-1，所以k-2 2.所以k的取值范围是-,-2 2.(2)存在，理由如下：f(x)=-x-x-1+x+1=-x-2,x-1x,-1x0，解得x0，所以函数 f x的定义域是 0,+(2)f x=ln ex-1-ln ex+1在 0,+上单调递增理由如下：法一：因为 f x=ln ex-1-ln ex+1=lnex-1ex+1=ln 1-2ex+1，又y=ex+1在 0,+上为增函数，y=2ex+1在 0,+上为减函数，y=1-2ex+1在 0,+上为增函数，y=ln 1-2ex+1在 0,+上为增函数，故 f x=ln ex-1-ln ex+1在 0,+上单调递增法二：因为 f x=ln ex-1-ln ex+1=lnex-1ex+1，对任意x1，x2 0,+，且x1ex11，则f x1-f x2=lnex1-1ex1+1-lnex2-1ex2+1=lnex1-1ex2+1ex1+1ex2-1，又 ex1-1ex2+1-ex1+1ex2-1=2 ex1-ex20，可知0ex1-1ex2+1ex1+1ex2-11，所以lnex1-1ex2+1ex1+1ex2-10，即 f x10，所以b=t+1t+2t=t2+3t+2t=t+2t+33+2 2，当且仅当t=2 时，取等号又y=t+2t+3在 0,2上单调递减，在2,+上单调递增，8且当t0时，y+；当t+时，y+所以b3+2 2故实数b的取值范围为 3+2 2,+【点睛】思路点睛：第三问由题意，可将问题转化为方程 g x=x在 0,+上至少存在两个不同的实数解，即b=exex+1ex-1在 0,+上至少存在两个不同的实数解，所以y=b与y=exex+1ex-1在 0,+上至少存在两个不同的交点接下来利用换元法求出函数y=exex+1ex-1的值域即可.7(2024(2024云南昆明云南昆明统考模拟预测统考模拟预测)我们把a0+a1x+a2x2+anxn=0(其中an0，nN N*)称为一元n次多项式方程代数基本定理：任何复系数一元n nN N*次多项式方程(即a0，a1，a2，an为实数)在复数集内至少有一个复数根；由此推得，任何复系数一元n nN N*次多项式方程在复数集内有且仅有n个复数根(重根按重数计算)那么我们由代数基本定理可知：任何复系数一元n nN*次多项式在复数集内一定可以分解因式，转化为n个一元一次多项式的积即a0+a1x+a2x2+anxn=anx-1k1x-2k2 x-mkm，其中k，mN*，k1+k2+km=n，1，2，m为方程a0+a1x+a2x2+anxn=0的根进一步可以推出：在实系数范围内(即a0，a1，a2，an为实数)，方程a0+a1x+a2x2+anxn=0的有实数根，则多项式a0+a1x+a2x2+anxn必可分解因式例如：观察可知，x=1是方程x3-1=0的一个根，则 x-1一定是多项式x3-1的一个因式，即x3-1=x-1ax2+bx+c，由待定系数法可知，a=b=c=1(1)解方程：x3-2x+1=0；(2)设 f x=a0+a1x+a2x2+a3x3，其中a0，a1，a2，a3R+，且a0+a1+a2+a3=1(i)分解因式：x-a0+a1x+a2x2+a3x3；(ii)记点P x0,y0是y=f x的图象与直线y=x在第一象限内离原点最近的交点求证：当a1+2a2+3a31时，x0=1【答案】(1)x1=1，x2=-1+52，x3=-1-52(2)(i)-x-1a3x2+a2+a3x-a0；(ii)证明见解析【分析】(1)观察得到x=1是方程x3-2x+1=0的一个根，从而设x3-2x+1=x-1ax2+bx+c，对照系数得到a=1，b=1，c=-1，得到 x-1x2+x-1=0，求出方程的根；(2)(i)x=1是方程x-a0+a1x+a2x2+a3x3=0的一个根，设x-a0+a1x+a2x2+a3x3=x-1ax2+bx+c，对照系数得到a=-a3，b=a0+a1-1，c=a0，从而得到答案；(ii)令 f x-x=0，故x0是方程 a0+a1x+a2x2+a3x3-x=0的最小正实根，由(i)知：a0+a1x+a2x2+a3x3-x=x-1a3x2+a2+a3x-a0，设g x=a3x2+a2+a3x-a0，根据g x的开口方向，结合g 0=-a00，则g x一定有一正一负两个实根，设正实根为t，结合a1+2a2+3a31得到g 10，故t1，得到x0=1.【详解】(1)观察可知：x=1是方程x3-2x+1=0的一个根；所以x3-2x+1=x-1ax2+bx+c=ax3+b-ax2+c-bx-c，9由待定系数法可知，b-a=0c-b=-2-c=1，解得a=1，b=1，c=-1；所以 x-1x2+x-1=0，即x=1或x2+x-1=0，则方程的根为x1=1，x2=-1+52，x3=-1-52(2)(i)由a0+a1+a2+a3=1可知，x=1是方程x-a0+a1x+a2x2+a3x3=0的一个根；所以x-a0+a1x+a2x2+a3x3=x-1ax2+bx+c=ax3+b-ax2+c-bx-c，即-a3x3-a2x2-a1-1x-a0=ax3+b-ax2+c-bx-c，对照系数得a=-a3，-a2=b-a，-a1-1=c-b，-a0=-c，故a=-a3，b=-a2+a3=a0+a1-1，c=a0；所以x-a0+a1x+a2x2+a3x3=x-1-a3x2-a2+a3x+a0=-x-1a3x2+a2+a3x-a0(ii)令 f x-x=0，即 a0+a1x+a2x2+a3x3-x=0，点P x0,y0是y=f x的图象与直线y=x在第一象限内离原点最近的交点，等价于x0是方程 a0+a1x+a2x2+a3x3-x=0的最小正实根；由(i)知：x=1是方程x-a0+a1x+a2x2+a3x3=0的一个正实根，且 a0+a1x+a2x2+a3x3-x=x-1a3x2+a2+a3x-a0，设g x=a3x2+a2+a3x-a0，由a0，a1，a2，a3R+可知g x为开口向上的二次函数；又因为g 0=-a01 为 f x=log122x-12x+1的“2重覆盖函数”，求实数a的取值范围.【答案】(1)是，n=1(2)0a2310【分析】(1)根据定义，结合单调性即可求解；(2)先求出 f x的值域，然后将问题转化为y=g x的图象与直线y=k有两个交点的问题，然后对a进行分类讨论可得；【详解】(1)由定义可得，对任意x0 0,1，恰好存在n个不同的实数x1,x2,xn 0,4，使得g xi=f x0(其中i=1,2,n,nN N*)，即 xi-1=x0+2 2,3，由g x=x-1=1-x,0 x1x-1,1x4，故当0 x1时，g x 0,1，此时不存在xi使 xi-1=x0+2 2,3成立，当10，故x0，f x=log122x-12x+1=log22x+12x-1=log21+22x-1，即x0 0,+，存在2个不同的实数x1,x2R，使得g xi=f x0，其中i=1,2，由x0时，22x-10，故1+22x-11，即log21+22x-10，故 f x 0,+，故对任意x0 0,+，f x0 0,+，g xi=log21+22x-1 0,+，即对任意k0，g x=k都有2个实根，当x1时，log2x 0,+，且y=log2x在 1,+上递增，故x1时，g x=log2x=k都有唯一确定的实根，故当x1时，g x=ax2+2a-3x+1=k亦有且有一个实根，当a=0时，g x=-3x+1-2,+，且g x在-,1上单调递减，符合题意，当a0时，则需对称轴x=3-2a2a1，且g 1=a+2a-3+10，即0a34，且a23，即00且a1，函数 f f x x=a a2 2x x+3 3-a a a ax x-1 1，x12,1，如果P Pf fx x与 f x恰好为同一函数，求a的取值范围；(3)若Qfx=min f tatxx a,b，存在最小正整数k，使得P Pf fx x-QQf fx xk k x x-a a对任意的x a,b成立，则称函数 f x为 a,b上的“k阶收缩函数”，已知函数 f x=x2，x-1,4，试判断 f x是否为-1,4上的“k阶收缩函数”，如果是，求出对应的k，如果不是，请说明理由【答案】(1)P Pf fx x=1 1、P Pg gx x=x x(2)0 0,1 1 1 1,9 912(3)是，k=4【分析】(1)根据函数 f t、g t在 0,x上的单调性可得出Pfx、Pgx的表达式；(2)若Pfx与 f x恰好为同一函数，只须 f x=a2x+3-aax-1在x12,1上是单调递减，讨论a的取值由复合函数的单调性即可求解；(3)根据函数 f x=x2在x-1,4上的值域，写出Pfx、Qfx的解析式，再由Pfx-Qfxk x-a求出k的范围得到答案【详解】(1)解：因为函数 f t=12t在 0,x上单调递减，则Pfx=max f t0tx=120=1，因为函数g t=t 在 0,x上单调递增，则Pgx=max g t0tx=x.(2)解：若Pfx与 f x恰好为同一函数，只须 f x=a2x+3-aax-1在x12,1上是单调递增，当0a1时，令t=ax，则 f x=t2+3-at-1=h t，由x12,1，则ata，对称轴t=-3-a2-32,-1，根据复合函数的单调性，函数h t显然在ata 为单调递减，故0a1时，令t=ax，由x12,1，则a ta，只需t=-3-a2a，化简得a-3a+10，解得1a9，综上所述a的取值范围为 0,1 1,9(3)解：因为函数 f x在-1,0上单调递减，在 0,4上单调递增，则Qfx=x2,-1x00,0 x4，Pfx=1,-1x1x2,1x4，所以，Pfx-Qfx=1-x2,-1x01,0 x1x2,1x4，当x-1,0时，1-x2k x+1，k1-x，k2；当x 0,1时，1k x+1，k1x+1，因为函数y=1x+1在 0,1上单调递减，所以，k10+1=1；当x 1,4时，x2k x+1，kx2x+1，因为函数y=x+1-12x+1=x+12-2 x+1+1x+1=x+1+1x+1-2在 1,4上单调递增，所以，k424+1=165.综上所述：k165故 f x是-1,4上的“k阶收缩函数”，且小正整数k=4.13【点睛】关键点点睛：本题考查函数新定义问题，解题的关键在于确定新函数的解析式，根据题意将其转化为函数不等式成立的问题，再结合恒成立思想求解.11(2024(2024上上广东肇庆广东肇庆高一统考期末高一统考期末)对于函数(x)，若定义域内存在实数x0，满足-x0=-x0，则称(x)为“L函数”.(1)已知函数 f(x)=2sin x+6，试判断 f(x)是否为“L函数”，并说明理由；(2)已知函数g(x)=3x+a3x(aR R)为R R上的奇函数，函数h(x)=g(x)+3-x2-2m g(x)+3-x-4,x-1-4,x-1，为其定义域上的“L函数”，求实数m的取值范围.【答案】(1)f(x)是“L函数”，理由见解析(2)m m-32 【分析】(1)直接由新定义判断方程2sin-x0+6=-2sin x0+6是否有解即可.(2)由题意得首先得h x=3x2-2m3x-4,x-1-4,x-1，然后对x分类讨论，将问题转换为方程有解求参数范围即可.【详解】(1)由题意，若函数 f x在定义域内存在实数x0，满足 f-x0=-f x0，可得2sin-x0+6=-2sin x0+6，即sin x0-6=sin x0+6.当x0=2时，上式成立，所以存在x0=2，满足 f-x0=-f x0，所以函数 f x=2sin x+6是“L函数”.(2)因为函数g x=3x+a3xaR R为R R上的奇函数，所以g 0=1+a=0，所以a=-1，经检验a=-1满足条件，所以g x=3x-13x，所以g x+3-x=3x，所以h x=3x2-2m3x-4,x-1-4,x16.当在区间 1,+上存在x0，满足h-x0=-h x0时，则-4=-3x02-2m3x0-4，即m=3x02-43x0有解.因为y=3x02-43x0在区间 1,+上单调递增，所以m16.综上所述，实数m的取值范围为 m m-32 .【点睛】关键点睛：第二问的关键是首先求得h x表达式，结合分类讨论以及方程有解即可顺利得解.12(2024(2024上上北京顺义北京顺义高一统考期末高一统考期末)对于定义域为I的函数 f x，如果存在区间 m,nI，使得f x在区间 m,n上是单调函数，且函数y=f x，x m,n的值域是 m,n，则称区间 m,n是函数 f x的一个“优美区间”.(1)判断函数y=x2xR和函数y=3-4xx0是否存在“优美区间”?(直接写出结论，不要求证明)(2)如果函数 f x=x2+a在R R上存在“优美区间”，求实数a的取值范围.【答案】(1)y=x2xR存在优美区间是0,1，y=3-4xx0不存在优美区间(2)-1a-34或0a0)是增函数，若存在优美区间m,n，则3-4m=m3-4n=n，无解，即函数不存在优美区间；(2)函数g(x)=x2+a在R上存在“优美区间”，设m,n是一个优美区间，g(x)在(-,0)上递减，在(0,+)上递增，若m0，则g(m)=mg(n)=n，即g(x)=x有两个不等的非负根，即x2+a=x，可得x2-x+a=0，当=1-4a0，即a14时，设方程两根分别为x1,x2，则x1+x2=1x1x2=a，则a0，所以0a0，解得a-34，又x1+x2=-10满足题意，由x1x2=a+10，解得a-1，所以-1a-34；综上，a的取值范围是-1a-34或0a14【点睛】本题考查函数的新定义，解题关键是理解新定义，解题难点是新定义的应用，解题方法是利用新定义把问题转化为一元二次方程根的分布，注意分类讨论的应用对学生的逻辑思维能力运算求解能力要求较高，属于难题