2024年高考数学专项复习排列组合常见22类题型解题策略（解析版）.pdf

1排列组合常见22类题型解题策略考点01：特殊元素和特殊位置优先策略考点01：特殊元素和特殊位置优先策略1.1.贵州省首届“美丽乡村”篮球联赛总决赛在黔东南苗族侗族自治州台江县台盘村开赛.该联赛由台盘村“六月六”吃新节篮球赛发展演变而来，被网友称为“村BA”.村BA给全国人民展现的不仅是贵州人热爱生活的精神，更展现了如今欣欣向荣的贵州山水人文，同时给贵州的旅游带来巨大的收益.2023年8月20日晚上村BA西南大区赛总决赛落下帷幕，为庆祝比赛顺利结束，主办方设置一场扣篮表演，分别由重庆、贵州、四川、云南代表队每队各选出2名球员参加扣篮表演，贵州队作为东道主，扣篮表演必须在第一位及最后一位，那么一共有()种表演顺序.A.A88B.C28A66C.A22A66D.A28A662.2.云南省大理州于2023年5月4日至10日成功举办了三月街民族节活动.在活动期间，有6名志愿者报名参加了三月街民族节志愿服务活动，活动结束后6名志愿者排成一排合影，则甲志愿者不在两边，乙、丙志愿者相邻的概率为.考点02：相邻元素捆绑策略考点02：相邻元素捆绑策略3.3.2023年5月21日，中国羽毛球队在2023年苏迪曼杯世界羽毛球混合团体锦标赛决赛中以总比分3:0战胜韩国队，实现苏迪曼杯三连冠甲、乙、丙、丁、戊五名球迷赛后在现场合影留念，其中甲、乙均不能站左端，且甲、丙必须相邻，则不同的站法共有()A.18种B.24种C.30种D.36种4.4.为全面推进乡村振兴，永州市举办了“村晚兴乡村”活动，晚会有 走，去永州扬鞭催马运粮忙数幸福乡村振兴唱起来 四个节目，若要对这四个节目进行排序，要求 数幸福 与 乡村振兴唱起来 相邻，则不同的排列种数为(用数字作答)考点03：不相邻问题插空策略考点03：不相邻问题插空策略5.5.现有4男3女共7个人排成一排照相，其中三个女生不全相邻的排法种数为()A.A35A55B.A77-A55A33C.A44A35D.A77-A356.6.夏老师要进行年度体检，有抽血、腹部彩超、胸部CT、心电图、血压测量等五个项目，为了体检数据的准确性，抽血必须作为第一个项目完成，而夏老师决定腹部彩超和胸部CT两项不连在一起检查，则不同的检查方案一共有种.考点04：定序问题倍缩空位插入策略考点04：定序问题倍缩空位插入策略7.7.7人排队，其中甲、乙、丙 3 人顺序一定(可以相邻，也可以不相邻)，共有种不同的排法8.8.五名学生站成一排，其中甲必须站在乙的左边(可以不相邻)的站法种数为考点05：重排问题求幂策略考点05：重排问题求幂策略9.9.一个口袋里有5 5封信，另一个口袋里有4 4封信，各封信内容均不相同.把这两个口袋里的9 9封信，分别投入4 4个邮筒，有多少种不同的投法？10.10.有4名新冠疫情防控志愿者，每人从3个不同的社区中选择1个进行服务.则不同的选择办法共有种.考点06：环排问题线排策略考点06：环排问题线排策略11.11.8人围桌而坐，共有种坐法.2024年高考数学专项复习排列组合常见22类题型解题策略（解析版）212.12.有10个人围着一张圆桌坐成一圈，共有多少种不同的坐法？考点考点0707：多排问题直排策略：多排问题直排策略13.13.8人排成前后两排，每排4人，其中甲、乙在前排，丙在后排，共有排法.14.14.6个女生其中有1个领唱和2个男生分成两排表演(1)若每排4人，共有多少种不同的排法？(2)领唱站在前排，男生站在后排，每排4人，有多少种不同的排法？考点考点0808：排列组合混合问题先选后排策略：排列组合混合问题先选后排策略15.15.有5个不同的小球，装入4个不同的盒内，每盒至少装一个球，共有种不同的装法.16.16.将5名实习教师分配到高二年级的3个班实习，每班至少一名，则不同的分配方案有种.考点考点0909：小集团问题先整体局部策略：小集团问题先整体局部策略17.17.用1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中恰有两个偶数夹在1，5这两个奇数之间，这样的五位数有个.18.18.甲、乙、丙、丁4人坐成一排拍照，要求甲、乙两人位于丙的同侧，则共有种不同的坐法.考点考点1010：元素相同问题隔板策略：元素相同问题隔板策略19.19.有10个运动员名额分给7个班，每班至少一个名额，共有种分配方案.20.20.某校高三年级有6个班，现要从中选出10人组成高三女子篮球队参加高中篮球比赛，且规定每班至少要选1人参加求这10个名额有多少种不同的分配方法考点考点1111：正难则反总体淘汰策略：正难则反总体淘汰策略21.21.从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这10个数中取出3个数，使其和为不小于10的偶数，不同的取法有22.22.从6双不同颜色的手套中任取4只，其中恰好只有一双同色的取法有A.240种B.180种C.120种D.60种考点考点1212：平均分组问题除法策略：平均分组问题除法策略23.23.将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有种(数字作答)24.24.有5 5名学生志愿者到2 2个小区参加疫情防控常态化宣传活动，每名学生只去1 1个小区，每个小区至少安排1 1名学生，则不同的安排方法为()A.10种B.20种C.30种D.40种考点考点1313：合理分类与分步策略：合理分类与分步策略25.25.在一次演唱会上共10名演员，其中8人能唱歌，5人会跳舞，现要演出一个2人唱歌2人伴舞的节目，有种选派方法(填数字).26.26.3个大人和2个小孩乘船游玩，现有船3只，1号船最多装3人，2号船最多装2人，3号船最多装1人，可从中任选2只或3只船乘坐，但一只船上不能只有小孩，则有种不同的分乘方法.考点考点1414：构造模型策略：构造模型策略27.27.某排共有10个座位，安排4人就坐.若每人左右两边都有空位，则不同的坐法有种(用数字回答).328.28.马路上有编号为1，2，3，9九只路灯，现要关掉其中的三盏，但不能关掉相邻的二盏或三盏，也不能关掉两端的两盏，求满足条件的关灯方案有多少种？考点考点1515：实际操作穷举策略：实际操作穷举策略29.29.同室四人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人的贺年卡，则四张贺年卡不同的分配方式有()A.6种B.8种C.9种D.12种30.30.某校本学期迎来了某师范大学数学系甲、乙、丙、丁共4名实习教师，若将这4名实习教师分配到高一年级编号为1，2，3，4的4个班级实习，每班安排1名实习教师，且甲教师要安排在1班或2班，则不同的分配方案有A.6种B.9种C.12种D.24种考点考点1616：分解与合成策略：分解与合成策略31.31.30030能被个不同正偶数整除32.32.一个集合有5个元素(1)这个集合的含有3个元素的子集有多少个？(2)这个集合的子集共有多少个？考点考点1717：化归策略：化归策略33.33.全民运动会开幕式上，25名运动员需要排列成55方队入场，现从中选三人，要求这三人既不在同一行也不在同一列，则不同的选法有种(用数字作答).34.34.16名社区志愿者组成4行4列的方阵，现从中选出2人，要求他们既不在同一行又不在同一列，则不同的选法种数为.考点考点1818：走楼梯问题：走楼梯问题(分类法与插空法相结合分类法与插空法相结合)35.35.某中学有三栋教学楼，如图所示，若某学生要从A处到达他所在的班级B处(所有楼道间是连通的)，则最短路程不同的走法数为()A.5 5B.1010C.1515D.212136.36.小明家住二层，他每次回家上楼梯时都是一步迈两级或三级台阶。已知相邻楼层之间有16级台阶，那么小明从一层到二层共有多少种不同的走法？考点考点1919：排数问题：排数问题(注意数字“注意数字“0 0”)37.37.(1)由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有()A.210种B.300种C.464种D.600种438.38.(1 1)用0 0到9 9这1010个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位偶数？考点考点2020：染色问题：染色问题39.39.如图，一个地区分为5个行政区域，现给该地区的5个区域涂色，要求相邻区域不得使用同一种颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的涂色方法共有种.40.40.五行是华夏民族创造的哲学思想，多用于哲学 中医学和占卜方面，五行学说是华夏文明重要组成部分.古代先民认为，天下万物皆由五类元素组成，分别是金 木 水 火 土，彼此之间存在相生相克的关系.下图是五行图，现有5种颜色可供选择给五“行”涂色，要求五行相生不能用同一种颜色(例如金生火，水生木，不能同色)，五行相克可以用同一种颜色(例如水克火，木克土，可以用同一种颜色)，则不同的涂色方法种数有()A.3125B.1000C.1040D.1020考点考点2121：代数中的排列组合问题：代数中的排列组合问题41.41.从正整数1，2，10中任意取出两个不同的数，则取出的两个数的和等于某个正整数的平方的概率为()A.19B.645C.745D.84542.42.(多选)下列正确的是()A.由数字1，2，3，4能够组成24个没有重复数字的三位数B.由数字1，2，3，4，能够组成16个没有重复数字的三位偶数C.由数字1，2，3，4能够组成64个三位密码D.由数字1，2，3，4能够组成28个比320大的三位数考点考点2222：几何中的排列组合问题：几何中的排列组合问题43.43.在如图所示的四棱锥中，顶点为P，从其他的顶点和各棱中点中取3个，使它们和点P在同一平面内，则不同的取法种数为.(用数字作答)544.44.如图，平行直线a，b上分别有4个和5个不同的点，(1)任取这9个点中的两个连一条直线，则一共可以连多少条不同的直线？(2)任取这9个点中的三个首尾相连，则一共可以组成多少个不同的三角形？1排列组合常见22类题型解题策略考点考点0101：特殊元素和特殊位置优先策略：特殊元素和特殊位置优先策略1.1.贵州省首届“美丽乡村”篮球联赛总决赛在黔东南苗族侗族自治州台江县台盘村开赛.该联赛由台盘村“六月六”吃新节篮球赛发展演变而来，被网友称为“村BA”.村BA给全国人民展现的不仅是贵州人热爱生活的精神，更展现了如今欣欣向荣的贵州山水人文，同时给贵州的旅游带来巨大的收益.2023年8月20日晚上村BA西南大区赛总决赛落下帷幕，为庆祝比赛顺利结束，主办方设置一场扣篮表演，分别由重庆、贵州、四川、云南代表队每队各选出2名球员参加扣篮表演，贵州队作为东道主，扣篮表演必须在第一位及最后一位，那么一共有()种表演顺序.A.A88B.C28A66C.A22A66D.A28A66【答案】C【分析】先确定贵州两名球员的顺序，再确定其余6人的表演顺序即可.【详解】由题意易知，一共有8个人需要排列.先确定贵州两名球员的顺序为A22，在确定其余6人顺序为A66，由分步乘法原理可得一共有A22A66种顺序.故选：C.2.2.云南省大理州于2023年5月4日至10日成功举办了三月街民族节活动.在活动期间，有6名志愿者报名参加了三月街民族节志愿服务活动，活动结束后6名志愿者排成一排合影，则甲志愿者不在两边，乙、丙志愿者相邻的概率为.【答案】15/0.2【分析】先根据全排列求出所有的基本事件个数，然后利用特殊元素优先考虑结合相邻元素捆绑法求解满足题意的基本事件个数，利用古典概型概率公式求解即可.【详解】6名志愿者排成一排合影共有A66中排法，而乙、丙志愿者相邻，甲志愿者不在两边的排法有C13A44A22种排法，故甲志愿者不在两边，乙、丙志愿者相邻的概率为C13A44A22A66=15.故答案为：15考点考点0202：相邻元素捆绑策略：相邻元素捆绑策略3.3.2023年5月21日，中国羽毛球队在2023年苏迪曼杯世界羽毛球混合团体锦标赛决赛中以总比分3:0战胜韩国队，实现苏迪曼杯三连冠甲、乙、丙、丁、戊五名球迷赛后在现场合影留念，其中甲、乙均不能站左端，且甲、丙必须相邻，则不同的站法共有()A.18种B.24种C.30种D.36种【答案】C【分析】分别计算丙站在左端时和丙不站在左端时的情况，即可得到答案.【详解】当丙站在左端时，甲、丙必须相邻，其余人全排列，有A33=6种站法；当丙不站在左端时，从丁、戊两人选一人站左边，再将甲、丙捆绑，与余下的两人全排，有A12A22A33=24种站法，所以一共有6+24=30种不同的站法故选：C4.4.为全面推进乡村振兴，永州市举办了“村晚兴乡村”活动，晚会有 走，去永州扬鞭催马运粮忙数幸福乡村振兴唱起来 四个节目，若要对这四个节目进行排序，要求 数幸福 与 乡村振兴唱起来 相邻，则不2同的排列种数为(用数字作答)【答案】12【分析】利用捆绑求得正确答案.【详解】由于 数幸福 与 乡村振兴唱起来 相邻，所以两者“捆绑”，则不同的排列种数为A22A33=12种.故答案为：12考点考点0303：不相邻问题插空策略：不相邻问题插空策略5.5.现有4男3女共7个人排成一排照相，其中三个女生不全相邻的排法种数为()A.A35A55B.A77-A55A33C.A44A35D.A77-A35【答案】B【分析】用排除法，即7人的全排列减去3个女生都不相邻的情形(用插空法求三女生全不相邻的排法).【详解】7个人全排列诚去3个女生全部相邻的情形，即A77-A55A33，故选：B.6.6.夏老师要进行年度体检，有抽血、腹部彩超、胸部CT、心电图、血压测量等五个项目，为了体检数据的准确性，抽血必须作为第一个项目完成，而夏老师决定腹部彩超和胸部CT两项不连在一起检查，则不同的检查方案一共有种.【答案】12【分析】先将心电图、血压测量两项全排列，再将腹部彩超和胸部CT两项排在其空位中，最后将抽血放在第一位即可.【详解】解：由题意得：将心电图、血压测量两项全排列，有A22=2种情况，再将腹部彩超和胸部CT两项排在其空位中，有A23=6种情况最后将抽血放在第一位，有1种情况，所以共有261=12种情况，故答案为：12考点考点0404：定序问题倍缩空位插入策略：定序问题倍缩空位插入策略7.7.7人排队，其中甲、乙、丙 3 人顺序一定(可以相邻，也可以不相邻)，共有种不同的排法【答案】840【分析】利用排列求出不同的排法总数.【详解】对于某几个元素顺序一定的排列问题，可先把这几个元素与其他元素一起进行排列，然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数，则共有A77A33=840种不同的方法故答案为：840.8.8.五名学生站成一排，其中甲必须站在乙的左边(可以不相邻)的站法种数为【答案】60【分析】根据甲站在乙左边和右边的方法数相同易得【详解】五名学生站成一排，甲站在乙的左边与丫在右边的相同，因此方法数A552=60故答案为：60考点考点0505：重排问题求幂策略：重排问题求幂策略9.9.一个口袋里有5 5封信，另一个口袋里有4 4封信，各封信内容均不相同.3把这两个口袋里的9 9封信，分别投入4 4个邮筒，有多少种不同的投法？【答案】49【分析】将信封投入邮筒，是分步问题，每封信都有4种不同的方法，由分步乘法计数原理计算可得答案【详解】第一封信投入邮筒有4种可能第二封信投入邮筒有4种可能第九封信投入邮筒有4种可能由分步乘法计数原理可知，共有49种不同的投法【点睛】本题主要考查分步计数原理与分类计数原理的运用，解题时，注意分析题意，认清是分步问题还是分类问题，这是解题的关键.10.10.有4名新冠疫情防控志愿者，每人从3个不同的社区中选择1个进行服务.则不同的选择办法共有种.【答案】81【分析】利用分步计数原理求解即可【详解】解：每名新冠疫情防控志愿者都有3种不同的选择方法，根据分步计数原理可知，不同的选择方法共有34=81(种)故答案为：81考点考点0606：环排问题线排策略：环排问题线排策略11.11.8人围桌而坐，共有种坐法.【答案】5040【分析】根据圆桌的特点，没有首尾之分，因此要固定一人位置，再排其余7人，求出答案【详解】围桌而坐与坐成一排不同，围桌而坐没有首尾之分，因此固定一人并从此位置把圆形展成直线，则其余7人共有(8-1)！=7！=5040(种)排法.故答案为：504012.12.有10个人围着一张圆桌坐成一圈，共有多少种不同的坐法？【答案】362880种【分析】分析可知，要求的圆排列数，只需要求出全排列数，再除以10就可以了，即可得解.【详解】将10个人进行编号为110，按照一定的顺序站成一圈，就形成了一个圆排列，分别以1、2、3、4、5、6、7、8、9、10号作为开头将这个圆排列打开，就可以得到10种排列：1、2、3、4、5、6、7、8、9、10；10、1、2、3、4、5、6、7、8、9.这就是说，这个圆排列对应了10个排列，因此，要求的圆排列数，只需要求出全排列数，再除以10就可以了，即不同的坐法种数为A101010=362880种.考点考点0707：多排问题直排策略：多排问题直排策略13.13.8人排成前后两排，每排4人，其中甲、乙在前排，丙在后排，共有排法.【答案】5760【详解】按照前排甲、乙，后排丙，其余5人的顺序考虑，共有A24A14A55=5760种，故填5760.414.14.6个女生其中有1个领唱和2个男生分成两排表演(1)若每排4人，共有多少种不同的排法？(2)领唱站在前排，男生站在后排，每排4人，有多少种不同的排法？【答案】(1)40320种；(2)5760种.【分析】(1)从8人中选4人站在前排，另4人站在后排，再将前后排4人各自全排列，即得解；(2)除领唱外，从5个女生中选3人站在前排，另4人站在后排，再将前后排4人各自全排列，即得解.【详解】(1)要完成这件事分三步第一步，从8人中选4人站在前排，另4人站在后排，共有C48种不同的排法；第二步，前排4人进行全排列，有A44种不同的排法；第三步，后排4人进行全排列，有A44种不同的排法由分步乘法计数原理知，有C48A44A44=40320(种)不同的排法(2)要完成这件事分三步第一步，除领唱外，从5个女生中选3人站在前排，另4人站在后排，共有C35种不同的排法；第二步，前排4人进行全排列，有A44种不同的排法；第三步，后排4人进行全排列，有A44种不同的排法有C35A44A44=5 760(种)不同的排法考点考点0808：排列组合混合问题先选后排策略：排列组合混合问题先选后排策略15.15.有5个不同的小球，装入4个不同的盒内，每盒至少装一个球，共有种不同的装法.【答案】240【分析】依据不均匀分组问题去求解即可解决.【详解】从5个球中选出2个，共有C25种方法，把选出的2个球看作一个元素，其他3个球各看作一个元素，再把4个不同的元素装入4个不同的盒内有A44种方法，所以共有C25A44=240种不同的装法.故答案为：24016.16.将5名实习教师分配到高二年级的3个班实习，每班至少一名，则不同的分配方案有种.【答案】150【分析】根据题意，分两种情况讨论：将5名教师分成三组，一组1人，另两组都是2人，将5名教师分成三组，一组3人，另两组都是1人，由组合数公式计算可得每种情况下的分配方案数目，由分类计数原理计算可得答案【详解】解：将5名老师分组，可分成三组，一组1人，另两组都是2人，则有C15C24C22A33A22=90种分配方案，将5名教师分成三组，一组3人，另两组都是1人，则有C35A33=60种分配方案所以共有90+60=150种不同的分配方案，故答案为：150考点考点0909：小集团问题先整体局部策略：小集团问题先整体局部策略17.17.用1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中恰有两个偶数夹在1，5这两个奇数之间，这样的五位数有个.【答案】8【分析】依据特殊元素优先原则分步去完成即可.【详解】先把1，2，4，5当作一个小集团与3排列共有A22种排法，5再排小集团内部共有A22A22种排法，所以满足条件的五位数共有A22A22A22=8(个).故答案为：818.18.甲、乙、丙、丁4人坐成一排拍照，要求甲、乙两人位于丙的同侧，则共有种不同的坐法.【答案】16【分析】先排甲乙，再排丙，最后安排丁可得答案.【详解】先排甲乙，共有A22种方法，产生3个空位，要求甲、乙两人位于丙的同侧，故丙有2种选择，三人排好后，产生4个空位，故丁有4种选择，所以共有A2224=16种不同的做法.故答案为：16.考点考点1010：元素相同问题隔板策略：元素相同问题隔板策略19.19.有10个运动员名额分给7个班，每班至少一个名额，共有种分配方案.【答案】84【分析】以挡板法去求解即可.【详解】10个名额没有差别，把它们看成是10个圆圈排成一排，相邻圆圈之间形成9个空隙.在9个空隙中选6个空隙放入6个隔板，即可把圆圈(名额)分成7份，对应分给7个班级，即可达到题意要求.每一种插板的放置方法对应一种分法，共有C69=84种分法.故答案为：8420.20.某校高三年级有6个班，现要从中选出10人组成高三女子篮球队参加高中篮球比赛，且规定每班至少要选1人参加求这10个名额有多少种不同的分配方法【答案】126(种)【分析】运用相同元素分组分配问题的解决方法依次分类讨论即可.【详解】除每班1个名额以外，其余4个名额也需要分配这4个名额的分配方案可以分为以下几类：4个名额全部分给某一个班，有C16种分法；4个名额分给两个班，每班2个，有C26种分法；4个名额分给两个班，其中一个班1个，一个班3个，共有A26种分法；4个名额分给三个班，其中一个班2个，其余两个班每班1个，共有C16C25种分法；4个名额分给四个班，每班1个，共有C46种分法故共有C16+C26+A26+C16C25+C46=126(种)分配方法考点考点1111：正难则反总体淘汰策略：正难则反总体淘汰策略21.21.从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这10个数中取出3个数，使其和为不小于10的偶数，不同的取法有【答案】51【详解】从这10个数中取出3个不同的偶数的取法有C35种；取出1个偶数和2个不同奇数的取法有C15C25种从这10个数中取出3个数，使其和为小于10的偶数，有如下9种不同取法：0,1,3；0,1,5，0,2,4，1,2,3；0,1,7；0,2,6，0,3,5，1,2,5，1,3,4因此，符合题设要求的不同取法有C35+C15C25-9=51种22.22.从6双不同颜色的手套中任取4只，其中恰好只有一双同色的取法有6A.240种B.180种C.120种D.60种【答案】A【分析】首先确定取出一双同色手套的情况数；再求解出剩余2只手套的取法数；根据分步乘法计数原理可求得结果.【详解】取出的一双同色手套的颜色共有C16=6种情况在剩余的5双手套中，取不同颜色的2只共有：C110C182=40种取法任取4只，恰好有一双同色的取法有：640=240种取法故选：A【点睛】本题考查组合计数问题的求解，涉及到分步乘法计数原理的应用；易错点是在取不同颜色的 2只手套时，忽略无顺序的问题，造成情况重复.考点考点1212：平均分组问题除法策略：平均分组问题除法策略23.23.将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有种(数字作答)【解析】：第一步将4名大学生按，2，1，1分成三组，其分法有C24C12C11A23;第二步将分好的三组分配到3个乡镇，其分法有A33所以满足条件得分配的方案有C24C12C11A22A33=36说明：分配的元素多于对象且每一对象都有元素分配时常用先分组再分配.24.24.有5 5名学生志愿者到2 2个小区参加疫情防控常态化宣传活动，每名学生只去1 1个小区，每个小区至少安排1 1名学生，则不同的安排方法为()A.10种B.20种C.30种D.40种【答案】C【分析】先将5名学生分成两组，再分配即可求解.【详解】将5名学生分成两组可以有两类，一组4人，一组1人，则有C45A22=10，一组3人，一组2人，则有C35A22=20，所以不同的安排方法为10+20=30种，故选：C【点睛】关键点点睛：本题的关键点是先分组后分配，5名学生分成两组，即一组4人，一组1人和一组3人，一组2人，再分配即可.考点考点1313：合理分类与分步策略：合理分类与分步策略25.25.在一次演唱会上共10名演员，其中8人能唱歌，5人会跳舞，现要演出一个2人唱歌2人伴舞的节目，有种选派方法(填数字).【答案】199【分析】求出既会唱歌又会跳舞的演员人数为3，然后对所选的既会唱歌又会跳舞的演员人数进行分类讨论，并对所选的既会唱歌又会跳舞的演员进行安排，结合组合计数原理与分类加法计数原理可得结果.【详解】设既会唱歌又会跳舞的演员人数为x，则8+5-x=10，解得x=3，7所以，只会唱歌的演员人数为5，只会跳舞的演员人数为2，若既会唱歌又会跳舞的演员一个人都没选，则不同的选派方法种数为C25C22=10；若既会唱歌又会跳舞的演员只选了1个人，则这个人要么唱歌，要么伴舞，此时，不同的选派方法种数为C13C15C22+C25C12=75；若既会唱歌又会跳舞的演员选了2个人，则这2个人可以同时唱歌、同时伴舞或1人唱歌1人伴舞，此时，不同的选派方法种数为C23C25+C22+2C15C12=93；若既会唱歌又会跳舞的演员全选，则这3个人有2人唱歌1人伴舞或2人伴舞1人唱歌，此时，不同的选派方法种数为C23C12+C23C15=21.综上所述，不同的选派方法种数为10+75+93+21=199.故答案为：199.26.26.3个大人和2个小孩乘船游玩，现有船3只，1号船最多装3人，2号船最多装2人，3号船最多装1人，可从中任选2只或3只船乘坐，但一只船上不能只有小孩，则有种不同的分乘方法.【答案】27【分析】根据给定条件，利用分类加法计数原理、分步乘法计数原理结合排列、组合列式计算作答.【详解】选2只船游玩，1号船坐2大人，1小孩有C23A22；1号船坐1大人，2小孩有C13，选3只船游玩，每只船各坐1大人，1号船坐1小孩有A33A22；每只船各坐1大人，1号船坐2小孩有A33，由分类加法计数原理得不同的分乘方法种数是：C23A22+C13+A33A22+A33=27.故答案为：27考点考点1414：构造模型策略：构造模型策略27.27.某排共有10个座位，安排4人就坐.若每人左右两边都有空位，则不同的坐法有种(用数字回答).【答案】120【分析】用插空法，6张空位放在那里，4人插到空位中间可得【详解】由题意6张空位放在那里，4人插到空位中间的方法数为A45=120故答案为：120【点睛】本题考查排列的应用，解题方法是插空法相当于不相邻问题28.28.马路上有编号为1，2，3，9九只路灯，现要关掉其中的三盏，但不能关掉相邻的二盏或三盏，也不能关掉两端的两盏，求满足条件的关灯方案有多少种？【答案】10【分析】在6盏亮灯的5个空隙中插入3盏不亮的灯即可得解.【详解】把此问题当作一个排对模型，在6盏亮灯的5个空隙中插入3盏不亮的灯C35种方法，所以满足条件的关灯方案有10种考点考点1515：实际操作穷举策略：实际操作穷举策略29.29.同室四人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人的贺年卡，则四张贺年卡不同的分配方式有()A.6种B.8种C.9种D.12种【答案】C【分析】直接分类列举，再按照分类加法计数原理计算即可.【详解】设四张贺卡分别记为A、B、C、D，由题意，某人(不妨设A卡的供卡人)取卡的情况有3种，据此将卡的分配方式分为三类，对于每一类，其他人依次取卡分步进行，8为了避免重复或遗漏，我们用“树状图”表示如下：共有9种不同的分配方式.故选：C.30.30.某校本学期迎来了某师范大学数学系甲、乙、丙、丁共4名实习教师，若将这4名实习教师分配到高一年级编号为1，2，3，4的4个班级实习，每班安排1名实习教师，且甲教师要安排在1班或2班，则不同的分配方案有A.6种B.9种C.12种D.24种【答案】C【详解】试题分析：根据题意，分2步进行分析：由于甲教师要安排在1班或2班，则甲有2种情况可选，将剩下的3人全排列、安排在其他三个班级，有A33=6种情况，则不同的分配方案有26=12种；故选C考点：排列、组合的实际应用考点考点1616：分解与合成策略：分解与合成策略31.31.30030能被个不同正偶数整除【答案】32【分析】根据题意，先把30030分解成质因数，再结合计数原理即可求解.【详解】先把30030分解成质因数的形式：30030=23571113；依题意偶因数2必取，3，5，7，11，13这5个因数中任取若干个组成成积，所有的偶因数为C05+C15+C25+C35+C45+C55=32个故答案为：32.32.32.一个集合有5个元素(1)这个集合的含有3个元素的子集有多少个？(2)这个集合的子集共有多少个？【答案】(1)10，(2)32【分析】根据集合子集中的元素的不重复性，可以利用组合数公式求解【详解】解：(1)这个集合的含有3个元素的子集有C35=10个；(2)这个集合的子集包括有含有0个元素、1个元素、2个元素、3个元素、4个元素和5个元素，所以这个集合的子集共有C05+C15+C25+C35+C45+C55=25=32个，考点考点1717：化归策略：化归策略33.33.全民运动会开幕式上，25名运动员需要排列成55方队入场，现从中选三人，要求这三人既不在同一行也不在同一列，则不同的选法有种(用数字作答).【答案】600【分析】先从5列中选择3列，从某一列中任选一个人甲，从另一列中选一个与甲不同行的人，从剩下一列中选一个与甲、乙都不同行的丙，结合分步乘法计数原理可得结果.【详解】从5列中选择3列的选法种数为C35=10种，9从某一列中任选一个人甲有5种结果，从另一列中选一个与甲不同行的人乙有4种结果，从剩下一列中选一个与甲、乙都不同行的丙有3种结果，根据分步乘法计数原理可知，共有10543=600种.故答案为：600.34.34.16名社区志愿者组成4行4列的方阵，现从中选出2人，要求他们既不在同一行又不在同一列，则不同的选法种数为.【答案】72【分析】根据组合的定义，结合题意进行求解即可.【详解】从16人中选出2人，共有C216=16152=120种选法，若选出的2人既不在同一行又不在同一列，则共有C216-24C24=72种选法.故答案为：72.考点考点1818：走楼梯问题：走楼梯问题(分类法与插空法相结合分类法与插空法相结合)35.35.某中学有三栋教学楼，如图所示，若某学生要从A处到达他所在的班级B处(所有楼道间是连通的)，则最短路程不同的走法数为()A.5 5B.1010C.1515D.2121【答案】D【分析】利用组合数可求最短路程不同的走法数.【详解】从A到B共需走7步，其中横步(向右)有2步，竖直向上的有5步，故最短路程的不同走法数为C27=21故选：D.【点睛】本题考查组合的应用，注意把实际问题转化为组合问题，本题属于基础题.36.36.小明家住二层，他每次回家上楼梯时都是一步迈两级或三级台阶。已知相邻楼层之间有16级台阶，那么小明从一层到二层共有多少种不同的走法？【解析】：插空法解题：考虑走3级台阶的次数：1)有0次走3级台阶(即全走2级)，那么有1种走法；2)有1次走三级台阶。(不可能完成任务)；3)有两次走3级台阶，则有5次走2级台阶：(a)两次三级台阶挨着时：相当于把这两个挨着的三级台阶放到5个两级台阶形成的空中，有 C16=6种(b)两次三级不挨着时：相当于把这两个不挨着的三级台阶放到 5个两级台阶形成的空中，有 C26=15种走10法。4)有3次(不可能)5)有 4 次走 3 级台阶，则有 2 次走两级台阶，互换角色，想成把两个 2 级台阶放到 3 级台阶形成得空中，同(3)考虑挨着和不挨着两种情况有种C15+C25=15走法；6)有5次(不可能)故总共有：1+6+15+15=37种。考点考点1919：排数问题：排数问题(注意数字“注意数字“0 0”)37.37.(1)由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有()A.210种B.300种C.464种D.600种【解析】：按题意，个位数字只可能是0，1，2，3，4共5种情况，分别有A55个，A14A13A33，A13A13A33，A12A13A33，A13A33个，合并总计300个,选B.38.38.(1 1)用0 0到9 9这1010个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位偶数？【分析】(1)分类讨论0是否在末位，结合分类加法计数原理以及分步乘法计数原理求解即可；解：(1)首先应考虑“0”是特殊元素，当0排在末位时，有A29=98=72(个)当0不排在末位时，有A14A18A18=488=256(个)于是由分类计数原理，得符合题意的偶数共有72+256=328(个)考点考点2020：染色问题：染色问题39.39.如图，一个地区分为5个行政区域，现给该地区的5个区域涂色，要求相邻区域不得使用同一种颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的涂色方法共有种.【答案】72【分析】根据给定信息，利用用色多少分类，再结合分步乘法计数原理列式计算作答.【详解】观察图形知，2区与4区不相邻，3区与5区不相邻，且不相邻的区域可用同1种颜色涂色，因此计算涂色方法可用3色和4色，使用3种颜色，则2区与4区同色，3区与5区必同色，涂2区与4区有4种方法，涂3区与5区有3种方法，涂1区有2种方法，则涂色方法有432=24(种)；使用4种颜色，选取同色的方案有2种，涂同色的两块有4种方法，涂另外3块依次有3，2，1种方法，则涂色方法有24321=48(种)，所以不同的涂色方法共有48+24=72(种).故答案为：7240.40.五行是华夏民族创造的哲学思想，多用于哲学 中医学和占卜方面，五行学说是华夏文明重要组成部分.古代先民认为，天下万物皆由五类元素组成，分别是金 木 水 火 土，彼此之间存在相生相克的关系.下图是五行图，现有5种颜色可供选择给五“行”涂色，要求五行相生不能用同一种颜色(例如金生火，水生木，不能同色)，五行相克可以用同一种颜色(例如水克火，木克土，可以用同一种颜色)，则不同的涂色方法种数有()11A.3125B.1000C.1040D.1020【答案】D【分析】根据不邻区域是否同色进行分类，确定涂色顺序再分步计数即可.【详解】五行相克可以用同一种颜色，也可以不用同一种颜色，即无限制条件.五行相生不能用同一种颜色，即相邻位置不能用同一种颜色.故问题转化为如图A,B,C,D,E五个区域，有5种不同的颜色可用，要求相邻区域不能涂同一种颜色，即5色5区域的环状涂色问题.分为以下两类情况：第一类：A,C,D三个区域涂三种不同的颜色，第一步涂A,C,D区域，从5种不同的颜色中选3种按序涂在不同的3个区域上，则有A35种方法，第二步涂B区域，由于A,C颜色不同，有3种方法，第三步涂E区域，由于A,D颜色不同，则有3种方法，由分步计数原理，则共有33A35=540种方法；第二类：A,C,D三个区域涂两种不同的颜色，由于C,D不能涂同一色，则A,C涂一色，或A,D涂同一色，两种情况方法数相同.若A,C涂一色，第一步涂A,C,D区域，A,C可看成同一区域，且A,D区域不同色，即涂2个区域不同色，从5种不同的颜色中选2种按序涂在不同的2个区域上，则有A25种方法，第二步涂B区域，由于A,C颜色相同，则有4种方法，第三步涂E区域，由于A,D颜色不同，则有3种方法，由分步计数原理，则共有43A25=240种方法；若A,D涂一色，与A,C涂一色的方法数相同，则共有2240=480种方法.由分类计数原理可知，不同的涂色方法共有540+480=1020种.12故选：D.考点考点2121：代数中的排列组合问题：代数中的排列组合问题41.41.从正整数1，2，10中任意取出两个不同的数，则取出的两个数的和等于某个正整数的平方的概率为()A.19B.645C.745D.845【答案】C【分析】利用组合知识求出10个数任意取出两个不同的数的选法总数，再列举出满足取出