2024年高考数学专项复习双切线题型与构造同构方程（解析版）.pdf

1双切线题型与构造同构方程1.双切线题型知识与方法知识与方法过圆锥曲线外一点P，作圆锥曲线的两条切线，由此衍生的一系列问题，一般称之为双切线问题.这类问题一般的处理步骤是：(1)设切线的斜率为k，结合点P写出切线的方程；(2)将切线的方程代入圆锥曲线方程，化简得出关键方程；(3)由(2)中方程满足判别式=0，建立关于k的一元二次方程，两切线的斜率k1、k2为方程的两根；(4)结合韦达定理，计算k1+k2、k1k2等，并将之用于其他量的计算.1典型例题1 1()已知椭圆C:x2a2+y2b2=1 ab0的一个焦点为5,0，离心率为53.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若动点P x0,y0为椭圆外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程.学科网(北京)股份有限公司2024年高考数学专项复习双切线题型与构造同构方程（解析版）22 2()已知抛物线C1:x2=y，圆C2:x2+y-42=1的圆心为点M.(1)求点M到抛物线C1的准线的距离；(2)已知点 P 是抛物线 C1上一点(异于原点)，过点 P 作圆 C2的两条切线，交抛物线 C1于 A、B 两点，过M、P两点的直线l垂直于直线AB，求直线l的方程.2强化训练1()如下图所示，已知椭圆C:x2a2+y2b2=1 ab0的上顶点为A 0,1，离心率为22.(1)求椭圆C的方程；(2)若过点 A作圆 M:x+12+y2=r2(圆 M在椭圆 C内)的两条切线分别与椭圆 C 相交于 B、D 两点(B、D不同于点A)，当r变化时，试问直线BD是否过某个定点?若是，求出该定点；若不是，请说明理由.学科网(北京)股份有限公司32()设椭圆 E:x2a2+y2b2=1 ab0的左、右焦点分别为 F1、F2，其离心率 e=12，且点 F2到直线xa+yb=1的距离为217.(1)求椭圆E的方程；(2)设点P x0,y0是椭圆E上一点 x01，过点P作圆 x+12+y2=1的两条切线，切线与y轴交于A、B两点，求 AB的取值范围.3()已知圆O:x2+y2=1和抛物线E:y=x2-2.(1)若直线l与圆O相切，与抛物线E交于M、N两点，且满足OMON，求直线l的方程；(2)过抛物线E上一点P x0,y0作两条直线PQ、PR与圆O相切，且分别交抛物线E于Q、R两点，若直线OR的斜率为-3，求点P的坐标.学科网(北京)股份有限公司42.构造同构方程知识与方法知识与方法在计算的过程中，如果发现某个关于x1的方程和某个关于x2的方程的结构是一致的，那么可以构造一个同构的方程，x1、x2就是该方程的两个解，此时可通过分析该方程，求解问题.1典型例题1 1(2021新课标卷理20)抛物线 C 的顶点为坐标原点 O，焦点在 x 轴上，直线 l:x=1 交 C 于 P、Q 两点，且 OP OQ，已知点M 2,0，且M与l相切.(1)求C，M的方程；(2)设A1、A2、A3是C上的三个点，直线A1A2、A1A3均与M相切，判断直线A2A3与M的位置关系，并说明理由.2强化训练1()已知抛物线C:y2=2px p0，点F为抛物线的焦点，E 1,1为抛物线C内部一点，抛物线C上任意一点P满足 PF+PE的最小值为2，直线l:y=13x+m与抛物线C交于A、B两点，OAB的内切圆圆心恰好为点E.(1)求抛物线C的方程；(2)求直线l的方程；学科网(北京)股份有限公司52()已知椭圆C:x2a2+y2b2=1 ab0的离心率为e=32，且过点P 0,1.(1)求椭圆C的标准方程；(2)过点Q 0,-53且斜率为k的直线l与椭圆C交于不同两点A、B，记PA、PB的斜率分别为k1、k2.(i)求k1k2的值；(ii)设点M m,0，若点M到直线PA、PB的距离相等，求m的值.学科网(北京)股份有限公司1双切线题型与构造同构方程1.双切线题型知识与方法知识与方法过圆锥曲线外一点P，作圆锥曲线的两条切线，由此衍生的一系列问题，一般称之为双切线问题.这类问题一般的处理步骤是：(1)设切线的斜率为k，结合点P写出切线的方程；(2)将切线的方程代入圆锥曲线方程，化简得出关键方程；(3)由(2)中方程满足判别式=0，建立关于k的一元二次方程，两切线的斜率k1、k2为方程的两根；(4)结合韦达定理，计算k1+k2、k1k2等，并将之用于其他量的计算.1典型例题1 1()已知椭圆C:x2a2+y2b2=1 ab0的一个焦点为5,0，离心率为53.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若动点P x0,y0为椭圆外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程.【解析】(1)由题意，a2-b2=5，且5a=53，解得：a=3，b=2，故椭圆C的方程为x29+y24=1.(2)若两条切线分别与x轴、y轴垂直，这样的点P有四个，分别为 3,2、3,-2、-3,2、-3,-2，若切线都不与坐标轴垂直，设切线方程为y-y0=k x-x0，代入椭圆方程整理得：4+9k2x2+18k y0-kx0 x+9 y0-kx02-36=0，判别式=18k y0-kx02-4 4+9k29 y0-kx02-36=0，化简得：36-4x20k2+8x0y0k+16-4y20=0，故过P的两条切线的斜率为上述关于k的一元二次方程的两根k1、k2，又切线垂直，所以k1k2=16-4y2036-4x20=-1，整理得：x20+y20=13显然 3,2、3,-2、-3,2、-3,-2也满足上述方程，故点P的轨迹方程为x2+y2=13.【反思】本题的背后有一个经典的结论，椭圆x2a2+y2b2=1 ab0的互相垂直的切线的交点轨迹学科网(北京)股份有限公司2是圆，一般称之为蒙日圆，其方程为x2+y2=a2+b2.2 2()已知抛物线C1:x2=y，圆C2:x2+y-42=1的圆心为点M.(1)求点M到抛物线C1的准线的距离；(2)已知点 P 是抛物线 C1上一点(异于原点)，过点 P 作圆 C2的两条切线，交抛物线 C1于 A、B 两点，过M、P两点的直线l垂直于直线AB，求直线l的方程.【解析】(1)由题意可知，抛物线C1的准线方程为y=-14，所以C2的圆心M 0,4到准线的距离是174(2)设P x0,x20，A x1,x21，B x2,x22，由题意，x00，x01，x1x2，设过点P的圆C2的切线方程为y-x20=k x-x0，整理得：即kx-y-kx0+x20=0，则圆心M到切线的距离d=-4-kx0+x201+k2=1，整理得：x20-1k2+2x04-x20k+x20-42-1=0，设PA、PB的斜率为k1、k2k1k2，则k1、k2是方程的两根，所以k1+k2=2x0 x20-4x20-1，k1k2=x20-42-1x20-1，直线PA的方程为k1x-y-k1x0+x20=0，联立k1x-y-k1x0+x20=0y=x2 消去y整理得：x2-k1x+k1x0-x20=0所以x0+x1=k，故x1=k1-x0，同理，x2=k2-x0，所以kAB=x21-x22x1-x2=x1+x2=k1+k2-2x0=2x0 x20-4x20-1-2x0，kMP=x20-4x0由MPAB得kABkMP=2x0 x20-4x20-1-2x0 x20-4x0=-1解得x20=235，即点P的坐标为 1155,235，所以直线MP的斜率为235-41155=3 115115，从而直线MP的方程为y=3 115115x+4或y=-3 115115x+4.学科网(北京)股份有限公司32强化训练1()如下图所示，已知椭圆C:x2a2+y2b2=1 ab0的上顶点为A 0,1，离心率为22.(1)求椭圆C的方程；(2)若过点 A作圆 M:x+12+y2=r2(圆 M在椭圆 C内)的两条切线分别与椭圆 C 相交于 B、D 两点(B、D不同于点A)，当r变化时，试问直线BD是否过某个定点?若是，求出该定点；若不是，请说明理由.【解析】(1)由题意，b=1，离心率e=a2-b2a=22，所以a=2，故椭圆C的方程为x22+y2=1(2)因为圆M在椭圆C内部，不难得出r1，所以直线AB、AD 的斜率均存在，设过点A与圆M相切的直线为y=kx+1，设直线AB、AD的斜率分别为k1、k2，则圆心 M-1,0到直线 y=kx+1 的距离 d=-k+1k2+1=r，化简得：1-r2k2-2k+1-r2=0，所以k1、k2是方程的两根，从而k1k2=1，故k2=1k1，联立y=kx+1x22+y2=1 消去y整理得：1+2k2x2+4kx=0，解得：x=0或-4k1+2k2将x=-4k1+2k2代入y=kx+1可得y=1-2k21+2k2，所以B-4k11+2k21,1-2k211+2k21，D-4k21+2k22,1-2k221+2k22，结合k2=1k1可得D-4k1k21+2,k21-2k21+2，记T 0,-3，则TB=-4k11+2k21,4+4k211+2k21TD=-4k1k21+2,4k21+4k21+2所以TB=k21+21+2k21TD，从而TB 与TD 共线，故直线BD过定点T 0,-3.2()设椭圆 E:x2a2+y2b2=1 ab0的左、右焦点分别为 F1、F2，其离心率 e=12，且点 F2到直线xa+yb=1的距离为217.(1)求椭圆E的方程；(2)设点P x0,y0是椭圆E上一点 x01，过点P作圆 x+12+y2=1的两条切线，切线与y轴交于A、B两点，求 AB的取值范围.学科网(北京)股份有限公司4【解析】(1)由题意，椭圆E的离心率e=a2-b2a=12，整理得：a=23b，所以a2-b2=33b，从而F233b,0，直线xa+yb=1可化为3x+2y-2b=0，由题意，F2到直线3x+2y-2b=0 的距离 d=3 33b-2b7=217，解得：b=3，所以 a=2，从而椭圆E的方程为x24+y23=1.(2)显然直线PA、PB的斜率都存在，设过点P与圆相切的直线的方程为kx-y+y0-kx0=0，则F-1,0到切线的距离d=-k+y0-kx01+k2=1，整理得：x20+2x0k2-2 x0+1y0k+y20-1=0，判别式 =-2 x0+1y202-4 x20+2x0y20-1，将x204+y203=1 代入整理得：=x20+8x0+12，设直线 PA、PB的斜率分别为k1、k2，则k1、k2为方程的两根，在方程kx-y+y0-kx0=0中令x=0得：y=y0-kx0，故A 0,y0-k1x0，B 0,y0-k1x0所以 AB=x0k1-k2=x0 x20+8x0+12x20+2x0=x20+8x0+12x0+22=x0+6x0+2=1+4x0+2，因为1x02，所以2 1+4x0+2213，故 AB的取值范围为2,213 .3()已知圆O:x2+y2=1和抛物线E:y=x2-2.(1)若直线l与圆O相切，与抛物线E交于M、N两点，且满足OMON，求直线l的方程；(2)过抛物线E上一点P x0,y0作两条直线PQ、PR与圆O相切，且分别交抛物线E于Q、R两点，若直线OR的斜率为-3，求点P的坐标.【解析】(1)由题意，直线l的斜率存在，设其方程为y=tx+b，设M x1,y1，N x2,y2，因为直线l与圆O相切，所以d=b1+t2=1，即b2=1+t2，联立y=tx+by=x2-2 消去y整理得：x2-tx-b-2=0，由韦达定理，x1+x2=t，x1x2=-b-2，所以y1y2=tx1+btx2+b=t2x1x2+tb x1+x2+b2=b2-2t2，因为OMON，所以OM ON=x1x2+y1y2=b2-2t2-b-2=0，由解得t=0，b=-1，即直线l的方程为y=-1.(2)设Q x3,y3，R x4,y4，则kQR=y3-y4x3-x4=x23-2-x24-2x3-x4=x3+x4=-3设过点P与圆O相切的直线的方程为y=kx+y0-kx0，则y0-kx01+k2=1，学科网(北京)股份有限公司5整理得：x20-1k2-2x0y0k+y20-1=0 x01设直线PQ、PR 的斜率分别为k1、k2，则k1、k2为方程的两个解，所以k1+k2=2x0y0 x20-1，直线PQ的方程为y=k1x+y0-k1x0，代入y=x2-2得：x2-k1x+k1x0-y0-2=0故x0+x3=k1，从而x3=k1-x0，同理，x4=k2-x0，所以x3+x4=k1+k2-2x0=2x0y0 x20-1-2x0=-3由y0=x20-22x0y0 x20-1-2x0=-3 解得：x0=-33y0=-53 或x0=3y0=1，所以点P的坐标为-33,-53或3,1.2.构造同构方程知识与方法知识与方法在计算的过程中，如果发现某个关于x1的方程和某个关于x2的方程的结构是一致的，那么可以构造一个同构的方程，x1、x2就是该方程的两个解，此时可通过分析该方程，求解问题.1典型例题1 1(2021新课标卷理20)抛物线 C 的顶点为坐标原点 O，焦点在 x 轴上，直线 l:x=1 交 C 于 P、Q 两点，且 OP OQ，已知点M 2,0，且M与l相切.(1)求C，M的方程；(2)设A1、A2、A3是C上的三个点，直线A1A2、A1A3均与M相切，判断直线A2A3与M的位置关系，并说明理由.【解析】(1)由题意，可设抛物线C的方程为y2=2px p0，联立x=1y2=2px 解得：y=2p，因为OPOQ，由对称性易得OPQ为等腰直角三角形，所以 PQ=2，即2 2p=2，解得：p=12，故抛物线C的方程为y2=x，又M与l相切，所以圆心M到直线l的距离等于圆M的半径r，即r=1，故圆M的方程为 x-22+y2=1.(2)设A1y21,y1，A2y22,y2，A3y23,y3，则直线A1A2的方程为x-y21=y1+y2y-y1，整理得：x-y1+y2y+y1y2=0，学科网(北京)股份有限公司6因为直线A1A2与圆M相切，所以点M到直线A1A2的距离2+y1y21+y1+y22=1，同理可得直线 A1A3的方程为 x-y1+y3y+y1y3=0，点 M 到直线 A1A3的距离2+y1y31+y1+y32=1，对比和知y2、y3是方程2+y1y1+y1+y2=1的两根，化简得：y21-1y2+2y1y+3-y21=0，由题意，y21-10，否则过A1且与圆M相切的其中一条直线为y=1(或y=-1)，该直线与抛物线只有一个交点，不合题意，所以y11，故方程是关于y的一元二次方程，由韦达定理，y2+y3=2y11-y21，y2y3=3-y21y21-1，直线A2A3的方程为x-y2+y3y+y2y3=0，点 M 到直线 A2A3的距离 d=2+y2y31+y2+y32=2+3-y21y21-11+4y211-y212=y21+1y21-11+y2121-y212=1，即直线 A2A3与圆M也相切.【反思】本题解题的关键是翻译直线A1A2、A2A3与圆M相切，得到方程和，观察发现这两个方程是同构的，进而构造一个以y2、y3为解的方程出来，运用该方程的韦达定理，来计算M到直线A2A3的距离2强化训练1()已知抛物线C:y2=2px p0，点F为抛物线的焦点，E 1,1为抛物线C内部一点，抛物线C上任意一点P满足 PF+PE的最小值为2，直线l:y=13x+m与抛物线C交于A、B两点，OAB的内切圆圆心恰好为点E.(1)求抛物线C的方程；(2)求直线l的方程；【解析】(1)如图，作PM抛物线C的准线l于M，作ENl于N，因为点E 1,1在抛物线内部，所以 PE+PF=PE+PM EN=1+p2当且仅当点P为线段EN与抛物线交点时取等号，所以 PE+PF的最小值为1+p2，由题意，1+p2=2，解得：p=2，所以抛物线C的方程为y2=4x.(2)设A 2x1,x21，B 2x2,x22，由题意，x1x20，m0，则直线OA的方程为y=x12x，即x1x-2y=0，因为E为OAB的内切圆圆心，所以点E到直线OA与到直线AB的距离相等，从而x1-2x21+4=3m-210，两端同时平方化简得：3m-22-10 x21+40 x1+4 3m-22-40=0，同理，3m-22-10 x22+40 x2+4 3m-22-40=0，所以x1、x2是方程3m-22-10 x2+40 x+4 3m-22-40=0的两个解，学科网(北京)股份有限公司7判别式1=402-43m-22-104 3m-22-400由韦达定理，x1x2=4 3m-22-403m-22-10=4，另一方面，联立y=13x+my2=4x 消去x整理得：y2-12y+12m=0，判别式2=144-48m0，所以m3，由韦达定理，x21x22=12m，所以12m=16，解得：m=43，满足mb0的离心率为e=32，且过点P 0,1.(1)求椭圆C的标准方程；(2)过点Q 0,-53且斜率为k的直线l与椭圆C交于不同两点A、B，记PA、PB的斜率分别为k1、k2.(i)求k1k2的值；(ii)设点M m,0，若点M到直线PA、PB的距离相等，求m的值.【解析】(1)由题意，e=a2-b2a=32，所以a=2b，又椭圆过点P 0,1，所以b=1，故a=2，椭圆C的标准方程为x24+y2=1.2(2)(i)设A x1,y1，B x2,y2，由题意，直线l的方程为y=kx-53，代入x24+y2=1消去y整理得：1+4k2x2-403kx+649=0，易得判别式0，由韦达定理，x1+x2=40k3 1+4k2，x1x2=649 1+4k2，所以y1+y2=k x1+x2-103=-103 1+4k2，y1y2=k2x1x2-53k x1+x2+259=64k29 1+4k2-200k29 1+4k2+25 1+4k29 1+4k2=25-36k29 1+4k2，k1k2=y1-1x1y2-1x2=y1y2-y1+y2+1x1x2=25-36k29 1+4k2+103 1+4k2+1649 1+4k2=1(ii)解法1：由题意，直线PA的方程为y=k1x+1，学科网(北京)股份有限公司8设点M到直线PA的距离为d，则k1m+1k21+1=d，整理得：d2-m2k21-2mk1+d2-1=0，同理可得 d2-m2k22-2mk2+d2-1=0，所以k1、k2是方程 d2-m2k2-2mk+d2-1=0的两根，由(i)可得k1k2=1，所以d2-1d2-m2=1，解得：m=1.解法2：由题意，直线PA、PB的方程分别为y=k1x+1，y=k2x+1，因为点M到直线PA、PB的距离相等，所以k1m+1k21+1=k2m+1k22+1，故m2k21+2mk1+1k21+1=m2k22+2mk2+1k22+1由(i)可得k1k2=1，所以k2=1k1，代入得：m2k21+2mk1+1k21+1=m2k21+2mk1+11k21+1所以m2k21+2mk1+1k21+1=m2+2mk1+k211+k21，整理得：m2-1k21-1=0，显然k11，否则结合k1k2=1可得k1=k2，从而PA、PB重合，不合题意，所以m2-1=0，解得：m=1.学科网(北京)股份有限公司